FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH. Statistika Matematika. Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi. Oleh :

Transkripsi

1 FUNGSI PEMBANGKIT MOMEN UNTUK MEMENUHI TUGAS MATAKULIAH Statistika Matematika Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi Oleh : Intan Putri Natari Nurroh Fitri A Reza Taufikurachman Rizky Abadi C Wasilatun Nafiah Kelompok 8 Off G/ 01 UNIVERSITAS NEGERI MALANG FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM JURUSAN S1 MATEMATIKA Maret 014

2 Fungsi Pembangkit Momen Definisi.6.1 Misal X suatu peubah acak. Maka nilai ekspetasi M (t) = E(e tx ) disebut fungsi pembangkit momen dari X jika nilai ekspetasi tersebut ada pada selang h < t < h, untuk suatu h > 0. Untuk selanjutnya, fungsi pembangkit momen ini ditulis sebagai mgf, yang merupakan singkatan dari moment generating function. Jika tidak menimbulkan kerancuan, yaitu dalam hal kita hanya menghadapi satu peubah acak, maka mgf ini cukup ditulis sebagai M(t). Untuk fungsi pembangkit momen berakibat : jika X peubah acak diskret maka dan jika X peubah acak kontinu maka M(t) = e t f(), M(t) = e t f()d Khususnya untuk t = 0, kita mempunyai M(0) = 1. Jelas bahwa mgf ada pada kitaran (neighborhood) terbuka dari 0. Oleh karena itu jika mgf ada, maka dia haruslah ada pada selang terbuka sekitar 0. Meskipun demikian mgf dari suatu sebaran tidak selalu ada. Contoh.6.1 Misal X peubah acak diskret dengan pdf Maka mgf dari X adalah f() = ( ) I( = 0,1,) 4 M(t) = e t f() = e t et et = et et

3 Contoh.6. Misal seseorang menunggu suatu bus pada tempat tertentu. Misal bus aka lewat tempat tersebut setiap 15 menit. Jika waktu tunggu dinyatakan sebagai peubah acak X, maka pdf-nya adalah f() = 1 I(0 < < 15) 15 Oleh karena itu fungsi pembangkit momen dari X adalah M(t) = e t 15 f()d = 1 15 et d 0 = [1 t et = 1 ]0 15t [e15t 1], t 0 Misal X dan Y dua peubah acak yang mempunyai mgf. Jika X dan Y mempunyai cdf yang sama, yaitu F X (z) = F Y (z) untuk semua z, maka tentu M X (t) = M Y (t) dalam kitaran terbuka 0, dan sebaliknya berlaku benar. Ini berarti mgf dari suatu sebaran, jika ada, dia adalah tunggal. Pernyataan tersebut disajikan pada teorema berikut Teorema.6.1 Misal X dan Y dua peubah acak dengan mgf berturut-turut M X (t) dan M Y (t), ada dalam kitaran terbuka 0. Maka F X (z) = F Y (z) untuk semua z R jika dan hanya jika M X (t) = M Y (t) untuk semua t ( h, h) untuk suatu h > 0. Contoh.6.3 Misal peubah acak X mempunyai mgf M(t) = 1 10 et + 10 et e3t e4t untuk semua bilangan real t. JIka kita misalkan f mempunyai pdf dari X dan misal a, b, c, d, merupakan titik-titik diskret dalam ruang peubah acak X sehingga f() > 0, maka Oleh karena itu M(t) = e t f() 1 10 et + 10 et e3t e4t = f(a)e at + f(b)e bt + f(c)e ct + f(d)e dt Karena kesamaan ini merupakan suatu identitas, yaitu berlaku untuk semua bilangan real t, maka ita peroleh

4 a = 1, f(a) = 1 3 4, b =, f(b) =, c = 3, f(c) =, d = 4, f(d) = Jadi pdf dari X adalah f sehingga f() = I( = 1,,3,4) 10 Contoh.6.4 Misal kontinu X mempunyai mgf Oleh karena itu M(t) = 1, (t < 1) (1 t) 1 (1 t) = et f()d, (t < 1) Umumnya tidak mudah untuk menentukan f(). Namun dalam contoh ini kita mudah melihat bahwa pdf dari X f() = e I(0 < < ) Teorema.6. (i) E(X r ) = M r (0), Misal mgf dari peubah acak X ada. Maka r = 1,, 3, (ii) M(t) = 1 + E(Xr )t r r=1 r! Bukti Bukti untuk kasus peubah acak X kontinu. Kita mulai dengan membuktikan bagian pertama, mgf dari X dapat kita tulis seperti berikut M(t) = e t f()d

5 Jika mgf tersebut ada, maka turunan pertamanya adalah Oleh karena itu, Turunan keduanya adalah M (0) = M (t) = e 0 M (0) = e 0 e t f()d = f()d f()d = f()d = E(X) f()d = E(X ) Proses ini dapat dilanjutkan sampai ke r dimana r = 1,, Oleh karena itu kita peroleh dan M r (t) = r e t f()d, M r (0) = E(X r ), r = 1,, Untuk membuktikan bagian kedua kita gunakan rumus perluasan deret di sekitar nol, yaitu M(t) = M(0) + M (0)t 1! + M (0)t! Karena mgf pada saat t = 0 adalah satu, maka kita peroleh Bentuk M(t) = 1 + M (X r )t r r=1 + = M(0) + Mr (0)t r r! M (X r ) = M r (0) disebut sebagai momen ke r di sekitar pusat dari peubah acak X. Inilah alasan bahwa M(t) disebut fungsi pembangkit momen. Hubungan antara mgf dengan μ dan r=1 r!

6 Dengan menggunakan Teorema.6. bagian (i), maka untuk = 1, kita peroleh μ = E(X) = M (0) Sedangan untuk = E(X ) [E(X)] = M (0) [M (0)] Kembali ke contoh.6.1, M (t) = 4 et + 4 et jadi μ = M (0) = = 1 Untuk memperoleh varians, kita kerjakan M (t) = 4 et + 4 et dan M (t) = 4 et et = 1 et + e t Sehingga M (0) = Jadi = M (0) [M (0)] = ( 1 + 1) 1 = 1 Teorema.6.3 Misal X dan Y dua peubah acak sehingga Y = ax + b maka M Y (t) = e bt M X (at) Bukti M Y (t) = E(e ty ) = E(e t(ax+b) ) = E(e tax+tb ) = E(e tax e tb ) = e bt E(e tax ) = e bt M X (at)

7 Latihan Soal Tunjukkan bahwa mgf dari peubah acak X yang mempunyai pdf f() = 1 I( 1 < < ), adalah 3 M(t) = e t f()d 1 e t e t, t 0 M(t) = { 3t 1, t = 0 = e t 1 3 d 1 = [ et 3t ] = e e 3t 1.6. Misal peubah acak diskret X mempunyai pdf f() = ( 1 )+1 I(0,1,, ). Tentukan : a. mgf. Petunjuk : gunakan rumus pada deret geometric b. Purata c. Varians a. Mencari mgf M(t) = e t ( 1 +1 ) =0 M(t) = e t f() = e 0 ( 1 1 ) + e t ( 1 ) + e t ( 1 3 ) + M(t) = et et + M(t) = et = 1 e t b. Mencari purata

8 Karena μ = M (0) maka akan dicari M (0) Jadi, μ = 1 c. Mencari varians M(t) = 1 e t M 1 e t (t) = ( e t ) ( et ) = ( e t ) M (0) = e 0 ( e 0 ) = 1 1 = 1 Karena = M (0) [M (0)], maka akan dicari M (0) M (0) = M (t) = M (t) = Jadi, = M (0) [M (0)] = 3 1 = e t ( e t ) et ( e t ) 3 + e t ( e t ) e 0 ( e 0 ) 3 + e 0 ( e 0 ) = = Misal peubah acak diskret X mempunyai pdf f() = e I( > 0). Tentukan : a. mgf b. Purata c. Varians a. Mencari mgf M(t) = e t e d 0 M(t) = e t f()d n = lim e (1 t) d n 0 = lim [ e (1 t) n n t 1 ] 0 b. Mencari purata M(t) = lim ( e (1 t)n n t 1 1 t 1 ) = 1 t 1

9 Karena μ = M (0) maka akan dicari M (0) Jadi, μ = 1 c. Mencari varians M(t) = 1 t 1 1 M (t) = (t 1) M (0) = 1 ( 1) = 1 Karena = M (0) [M (0)], maka akan dicari M (0) M (t) = M (t) = M (0) = Jadi, = M (0) [M (0)] = 1 = 1 1 (t 1) (t 1) 3 ( 1) 3 =.6.4 Anggap peubah acak diskret X mempunyai mgf Tentukan : M(t) = 1 8 et et e5t a. Purata b. Varians c. pdf d. P(X=) e. cdf a. Mencari purata Karena μ = M (0) maka akan dicari M (0) M(t) = 1 8 et et e5t M (t) = 1 8 et + 4 et e5t M (0) = 1 8 e0 + 4 e e0 = 30 8 Jadi, μ = 30 8 b. Mencari varians

10 Karena = M (0) [M (0)], maka akan dicari M (0) M (t) = 1 8 et + 4 et e5t M (t) = 1 8 et et e5t M (0) = 1 8 e e e0 = Jadi, = M (0) [M (0)] = (30 8 ) = = = c. Mencari pdf M(t) = e t f() M(t) = 1 8 et et e5t maka, f() = 8 I(1,,5) d. Mencari P(X=) P(X = ) = f() = 8 = 1 4 e. Mencari cdf F() = f(t) F() = 1 8 I( = 1) I( = 1; ) + 8 I( = 1; ; 5) Misal peubah acak X mempunyai purata μ, simpangan baku dan mgf M(t), h < t < h. Tunjukkan bahwa dan μ E ( ) = 0, E [(X ) ] = 1, μ E {ep [t ( )]} = e tm ( t ), h < t < h

11 i. Akan ditunjukkan bahwa E ( X μ ) = 0 Karena μ = E(X), maka E ( ) = E (X μ ) = E (X ) E (μ ) = 1 E(X) μ Jadi terbukti bahwa E ( X μ ) = 0 E ( ) = 1 μ μ = μ μ = 0 ii. Akan ditunjukkan bahwa E [( X μ ) ] = 1 E [( ) ] = E ( X Xμ + μ ) = 1 (E(X ) E(Xμ) + E(μ )) = 1 (E(X ) μe(x) + μ ) = 1 (E(X ) μ + μ ) = 1 (E(X ) μ ) Karena = E(X ) [E(X)] = E(X ) μ, maka E [( ) ] = 1 (E(X ) μ ) = 1 ( ) = 1 Jadi, terbukti bahwa E [( X μ ) ] = 1 iii. Akan ditunjukkan bahwa E {ep [t ( X μ )]} = e tμ M ( t ), h < t < h E {ep [t ( )]} = E (et( X μ ) ) = E (e t X. e tμ Jadi, terbukti bahwa E {ep [t ( X μ )]} = e tμ M ( t ) ) = e tμ. M ( t ).6.6 Misal X peubah acak dengan mgf M(t), h < t < h. Buktikan bahwa P(X a) e at M(t), 0 < t < h, dan P(X a) e at M(t), h < t < 0 Petunjuk : Misalkan u(x) = e t dan c = e ta dalam teorema.5.4 Misal u(x) = e tx dan c = e ta

12 maka karena E[e tx ] = M(t), maka P[u(X) c] E[u(X)] c P[e tx e ta ] E[etX ] e ta P[e tx e ta ] M(t) e ta karena e tx e ta, maka t ta. Sehingga i. Untuk 0 < t < h tx ta X a Jadi, P[X a] e ta. M(t) ii. Untuk h < t < 0 tx ta X a Jadi, P[X a] e ta. M(t) = e ta. M(t).6.7 Misal mgf dari X ada untuk semua t dan diberikan oleh M(t) = et e t, t 0, M(0) = 1 t Gunakan latihan.6.7 untuk menentukan P[X 1] dan P[X 1] i. P[X a] e ta. M(t) P[X 1] e t. et e t t ii. P[X a] e ta. M(t) P[X 1] e t. et e t t = et t e t t t = et+t e t+t t = 1 e t t, t 0 = et 1, t 0 t