UJI NORMALITAS DAN FUNGSI LINEAR KEPADATAN PENDUDUK SALATIGA TAHUN 2008

Transkripsi

1 UJI NORMALITAS DAN FUNGSI LINEAR KEPADATAN PENDUDUK SALATIGA TAHUN 8 Haa A. Parhusi, Evi Kusumawardhai da Dyah Kristati Ceter of Alied Mathematics (CAM) Program Studi Matematika Idustri da Statistika Uiversitas Kriste Satya Wacaa ABSTRAK Pada makalah ii dituukka ui ormalitas data keeduduka Kota Salatiga yag terdiri dari kecamata yaitu (Sidoreo, Sidomukti, Argomulyo, da Tigkir berdasarka eis kotrasesi yag diguaka. Data mula-mula memberika determia matriks kovariasi yag dekat di ol sehigga ivers matriks kovariasi tidak terdefiisi. Utuk itu data ditrasformasi sehigga data daat berdistribusi ormal. Selautya data keadata eduduk tia kecamata sebagai fugsi liear eggua alat kotrasesi. Sedagka arameter ada regressi liear diberika melalui metode kuadrat terkecil yag meghasilka ilai edekata keadata eduduk yag tidak auh beda dari data sebearya (kurag dari 5%). Utuk keadata eduduk secara keseluruha di Salatiga tidak daat sebagai fugsi liear eggua alat kotrasesi karea error lebih dari 5%. Kata kuci : ui ormalitas data, fugsi liear, Hotellig T PENDAHULUAN Pada aalisa statistika serigkali diguaka asumsi bahwa data yag diaalisa berdistribusi ormal. Selautya daat dilakuka aalisa lebih laut. Aka tetai serigkali data tidak selalu berdistribusi ormal sehigga asumsi yag diguaka tidak teat. Hal ii berakibat ika data tidak berdistribusi ormal maka hasil-hasil aalisa dega asumsi data berdistribusi ormal meadi tidak bear. Utuk itu dierluka ui distribusi ormalitas data. Hal iilah yag aka dituukka ada makalah ii. Data yag diguaka adalah umlah eduduk berdasarka tie alat kotrasesi agka aag ada eduduk di Kota Salatiga, Jawa Tegah yag memiliki kecamata (Sidoreo, Sidomukti, Argomulyo, da Tigkir) da keadata eduduk Kota Salatiga er km. Data yag diambil dari Salatiga Dalam Agka Tahu 8 (Baeda Kota Salatiga, 9) ii aka diolah dega ui ormalitas. Setelah diketahui distribusi ormalya maka aka dituukka keadata eduduk sebagai fugsi eis alat kotrasesi yag diguaka. Pada Bagia aka dituukka teori yag diguaka. Sedagka metode eelitia dituukka ada Bagia. Utuk hasil aalisa dituukka ada Bagia yag kemudia disimulka ada bagia akhir makalah ii. 6

2 UJI NORMALITAS DATA MULTIVARIAT Pada makalah ii dituukka ui ormalitas utuk data keeduduka Kota Salatiga yag terdiri dari kecamata yaitu (Sidoreo, Sidomukti, Argomulyo, da Tigkir). Sebagaimaa disebutka ada Pedahulua, data yag diguaka adalah tetag eis egguaa kotrasesi. Utuk itu erlu disimbolka terlebih dahulu yaitu : X := variabel radom eis kotrasesi IUD, X :=variabel radom eis kotrasesei MOP, X := variabel radom eis kotrasesei MOW, X := variabel radom eis kotrasesi susuk. Meurut (Johso ad Wicher,,hal.) maka aalisa data multivariat dituukka sebagai berikut. Diketahui utuk variabel radom X berdistribusi ormal memuyai fugsi desitas / / f ( ) e,. () Sedagka utuk variabel radom X yag multivariat sebutlah desitas gabuga berbetuk X,..., X memuyai fugsi ' / f ( ) e () / dega : bayakya observasi ada tia variabel radom, : matriks kovariasi dari oulasi, : determia matriks kovariasi oulasi,: bayakya variable radom, :rata-rata oulasi, ilai idividu oulasi utuk i=,,. Notasi ( ) meyataka vektor kolom samel yag dikuragka dega rata-rata tia variabel radom X, =,..., sedagka / dari matriks kovariasi. Betuk ' lebih sederhaa ditulis ( )' meyataka trasosya da meyataka ivers ' meyataka betuk skalar sehigga secara c. Hal ii dikareaka secara geometri betuk ' meyataka betuk ellisoida (Johso,, hal.8-). Tetag hal ii tidak dibahas lebih laut ada makalah ii. Pegguaa ersamaa () utuk aalisa data megguaka samel yag dituukka ada Tabel. Oleh karea itu otasi matriks kovariasi da rata-rata diguaka berturut-turut adalah S da. Betuk ' yag mucul ada eksoe ersamaa () sagat meetuka ormalitas data. Hal ii dituukka ada eryataa berikut. Teorema. Jika X= [ X,..., X ] berdistribusi (, ) N dega > maka 6

3 ' terdistribusi X ( ), dega X ( ) meyataka chi-square. distribusi dega deraat kebebasa sebesar.. N (, ) meyataka distribusi utuk robabilitas (- ) ellisoida ' : ( ) dari distribusi ( ) X ( ) Oleh karea itu sebagai ui ormalitas data yaitu : dega X ( ) meyataka batas atas rosetase ke X. Bukti : (Johso ad Wicher,,hal.). ' X ( ) dega X ( ) meyataka distribusi chi-squre. Persamaa () tersebut ika tidak dieuhi maka data diagga tidak berdistribusi ormal. Diagga bahwa variabel radom salig bebas (mutually ideedet) sehigga fugsi desitas gabuga utuk semua observasi diyataka sebagai ( )' ( ) / (,..., ) e / /. (a) ( ) () Utuk lebih elasya dituukka dega cotoh. Sebelumya, data erlu diyataka dalam betuk tak berdimesi yaitu membagi tia idividu data dega ilai maksimum masig-masig variabel. Cotoh. Ui Normalitas Sidoreo Diketahui bayakya data ada keluraha Sidoreo adalah =6 yag dituuka ada Tabel. Tabel. Data eggua kotrasesi ada tia desa di kecamata Sidoreo keluraha PUS Metode Kotrasesi Jagka Paag AKDR MOP MOW Susuk (eliqible coule) IUD Vasectomi Tubectomi Imlat I. SIDOREJO Blotoga Sidorea Lor Salatiga Bugel Kauma Kidul Puluta Persamaa () diguaka dega α=.7. Data yag diguaka ada Tabel dega.7, =.878, dieroleh hasil aalisaya yaitu tidak ada data yag berdistribusi ormal. Oleh karea itu rasio atara selisih bayakya data dega data yag tidak berdistribusi omal da bayakya keluraha adalah (>.7). Ii megartika bahwa data Sidoreo berdistribusi ormal. 65

4 Utuk meyusu fugsi desitas gabuga maka diguaka formula ada ersamaa (). Matriks kovariasiya adalah S = Meurut ersamaa (a) dieroleh S sehigga,..., ) yag berdimesi maka dieroleh / / (. Kemudia dega data S sehigga,..., ). Hal ii berarti asumsi ( yag diguaka salah bahwa variabel radom salig bebas (mutually ideedet). Kita daat membuat eryataa berikut. / (,..., ) Proosisi. Jika ada ersamaa (a) maka. Jika / maka (,..., ). Akibat. Jika,..., ) atau,..., ) maka variabel radom tidak salig bebas ( (mutually ideedet). ( Berdasarka roosisi, maka fugsi desitas ada ersamaa () meadi f() utuk S da f() utuk S. Jika hal ii teradi maka salah satu cara agar daat meyusu fugsi desitas ormal adalah dega metrasformasi data meadi ormal (Johso da Wicher,,hal.6). Traformasi erlu diilih yag teat karea terdaat beberaa trasformasi. Salah satu usula dega Hal ii dituukka ada Bagia Aalisa da Pembahasa. X b X. (b) Keadata Peduduk Sebagai Fugsi Liear Peggua Alat Kotrasesi dega metode kuadrat terkecil Sebut Y:=variabel keadata eduduk, X := variabel radom eis kotrasesi IUD, X :=variabel radom eis kotrasesei MOP, X := variabel radom eis kotrasesei MOW, da X := variabel radom eis kotrasesi susuk. Diasumsika Y,, a a a a a (5a), dega koefisie a, a, a, a dicari berdasarka data da diasumsika E( ) da Var( )=. Hal ii daat dilakuka dalam metode kuadrat terkecil (Parhusi,9). Y meyataka variabel reso yag daat ula lebih dari macam variabel reso. Jika variabel reso adalah Y = [ Y, Y,, Y ] T da,,, r adalah variabel rediktor maka model regresi liear secara umum adalah Y=X a + e (5b) 66

5 Y r a atau Y r a. (5c) Y z z zr ar r Perhatika bahwa matriks X memuat kolom ertama berilai tia barisya, sedagka kolomkolom berikutya adalah data yag kita uyai. Metode kuadrat terkecil secara umum adalah memiimumka kuadrat arak kuadrat arak S(a) = ˆ ˆ ˆ a a ar r y = (y Xa) T (y Xa). (5d) Hasil otimasi emiimuma (5d) memberika hasil ada Teorema. Teorema. Agga bahwa X uya rak euh dega r +. Nilai estimasi arameter ada ersamaa (5b) diberika oleh â = (X T X) - X T y. Bukti tidak diberika ada makalah ii (daat diruuk ada literatur). Ui Hiotesis Rata-Rata Peggua Alat Kotrasesi er Kecamata di Kota Salatiga Setelah diui ormalitas data Peggua Alat Kotrasesi di kota Salatiga, selautya ada makalah ii aka dituuka ui hiotesis dega meduga vektor rata-rata data er variabel. Dalam hal ii variabel yag dimaksud adalah : =bayakya orag eggua alat kotasesi eis IUD, =data bayakya orag eggua alat kotasesi eis MOP, = bayakya orag eggua alat kotasesi eis MOW, = bayakya orag eggua alat kotasesi eis susuk. Berikut ii diguaka ustaka (Johso da Wicher, ). Dega ilai dugaa disimbolka dega, H : μ = da H : μ dimaa ilai kita tetuka sediri. Selautya aka dicari ilai Hotellig dimaa T utuk megetahui ilai dugaa diterima atau ditolak dega ersamaa X ' S X T (6) dega T S adalah ivers dari kovariasi S X X X X. Dikataka H : μ = ditolak ika ilai distribusi... T yag dimaksud adalah = ( ) ( ) F, adalah bayakya variabel. Jadi H : μ = ditolak ika T X da X T > ( ilai distribusi). Nilai, dega adalah bayakya oulasi da ( ) ' (7) ( ) X S X F, Jika X tidak rak euh maka (X T X) - digatika oleh geeralized ivers dari X T X. 67

6 Setelah diketahui H : μ = ditolak atau diterima, dilautka mecari iterval keercayaa utuk vektor rata-rataya, utuk membuktika ilai dugaa vektor rata-rata berada didalam iterval atau diluar dega megguaka ersamaa t t t S S t S S t S S t. (8) METODE PENELITIAN Sumber Data Data yag diguaka adalah egguaa tie alat kotrasesi agka aag ada eduduk di Kota Salatiga, Jawa Tegah yag memiliki kecamata (Sidoreo, Sidomukti, Argomulyo, da Tigkir) da keadata eduduk Kota Salatiga er km. Data yag diambil dari Salatiga Dalam Agka Tahu 8 dituukka ada Tabel da Tabel. Ui Normalitas Data Multivariat Kita aka megui ormalitas data dega mehitug determia matriks kovariasi utuk masigmasig kecamata. Utuk selautya data digabugka dega megui ormalitas data taa tergatug ada wilayah yag diguaka. Demikia ula ormalitas atara () variabel atar wilayah yag berbeda. Aka tetai ika data yag dieroleh tidak memeuhi Proosisi () maka data erlu ditrasformasi utuk dekat dega ormal meurut ersamaa (b). Keadata Peduduk Sebagai Fugsi Liear Peggua Alat Kotrasesi Dega megguaka ersamaa () da data keadata eduduk Salatiga utuk tahu 8 ada Tabel, kita aka mecari ilai koefisie dari a ˆ, aˆ ˆ ˆ, a, a. Kita asumsika bahwa X := variabel radom eis kotrasesi IUD, X :=variabel radom eis kotrasesei MOP, X := variabel radom eis kotrasesei MOW, X := variabel radom eis kotrasesi susuk. Berdasarka ilai koefisie da asumsi variabel radom tersebut daat diaalisa tetag keadata eduduk sebagai fugsi liear terhada eggua alat kotrasesi diseluruh kecamata yag berada di Kota Salatiga. 68

7 Tabel. Data eggua kotrasesi di Kota Salatiga ada tahu 8 Keluraha PUS Metode Kotrasesi Jagka Paag AKDR MOP MOW Susuk (eliqible coule) IUD Vasectomi Tubectomi Imlat I. SIDOREJO Blotoga Sidorea Lor Salatiga Bugel Kauma Kidul Puluta II. Tigkir Kutowiagu Gedoga Sidoreo Kidul Kalibeig Tigkir lor Tigkir Tegah III. Argomulyo Noboreo Ledok Tegalreo Kumulreo Raduacir Ceboga IV. Sidomukti Kecadra Dukuh Magusari Kalicacig

8 Tabel. Data Keadata Peduduk Kota Salatiga ada tahu 8 er km Keluraha 65 Keadata eduduk er km I. SIDOREJO Blotoga SidoreoLor Salatiga Bugel,876,898,97,95,98 5. Kauma Kidul Puluta II. Tigkir Kutowiagu Gedoga Sidoreo Kidul ,8,86. Kalibeig ,6, Tigkir lor Tigkir Tegah III. Argomulyo Noboreo Ledok Tegalreo Kumulreo Raduacir Ceboga IV. Sidomukti Kecadra 7 5. Dukuh Magusari Kalicacig Keadata/km 95 7 Ui Hiotesis Dega Meduga Vektor Rata-Rata Peggua Alat Kotrasesi er Kecamata di Kota Salatiga Ui hiotesis dega meduga vektor rata-rata daat dilakuka dega mudah dega megikuti alur dasar teori. Data yag sudah dibawa kedalam data tak berdimesi. Data tak berdimesi disii memiliki maksud setia data er variabel dibagi dega data maksimum yag ada ada variabel tersebut, ii dimaksudka memermudah dalam megaalisis data agar tidak ada data ecila. Lagkah awal adalah meduga ilai rata-rata data. Kemudia dicari ilai er variabel da S utuk medaatka ilai Hotellig T seerti ada ersamaa (6). Selautya dega data,,da tabel distribusi F utuk memeroleh ilai dari distribusi T (Persamaa (7)). Jika ilai Hotellig T da ilai dari distribusi T telah dieroleh, ersamaa (7) diteraka utuk meetuka H : μ = ditolak atau diterima. Bilamaa semua telah diketahui maka ersamaa (8) dikeraka utuk medaatka iterval keercayaa.

9 ANALISA DAN PEMBAHASAN Hasil Ui Normalitas Sebagaimaa dituukka ada studi literatur fugsi desitas f() utuk S da f() utuk S. Utuk wilayah Sidoreo dieroleh data yag berdimesi maka S da utuk data Sidoreo tak berdimesi dieroleh S. Hal ii meyebabka tidak terdefiisiya S. Demikia ula utuk ketiga kecamata yag lai (Tigkir, Argomulyo da Sidomukti). Hal ii mugki disebabka bayakya data () sama dega bayakya variabel (). Utuk itu aka diselidiki ormalitas data eduduk eggua kotrasesi seluruh kota Salatiga taa megelomokka er-kecamata. Teryata dega megguaka = da = teta dieroleh data yag berdimesi maka S da utuk data tak berdimesi dieroleh S. Utuk itu diguaka trasformasi. Trasformasi data meadi ormal Trasformasi ii diguaka utuk data =. Dega trasformasi tersebut dieroleh S = Utuk meyusu fugsi desitas meurut ersamaa () maka dierluka meghitug ivers dari matriks kovariasi. Jarak kuadrat ada agkat eksoe ersamaa () berua b, b, T ( X b ) S ( Xb ) = T b, b, b, b, b, b, b, b, b, b, S b, b, b, b, = T 8. 5 b, b, 5..8 b, 86.5 b, Sehigga fugsi desitas utuk variabel yag baru adalah f ( b, b, b, b) e ( ) (.798) dega c memeuhi ersamaa (9) c / b -.67 b. b.99 b,.(9), Kita daat megui aakah atara variabel X, X ) salig bebas i,=,, dega meyelidiki ( b, i b, Cov X, X ). Daat dituukka bahwa Cov X, X ) buka matriks. Hal ii berarti kita ( b, i b, ( b, i b, tidak daat meyusu fugsi desitas gabuga meurut ersamaa (a). Keadata Peduduk Sebagai Fugsi Liear Peggua Alat Kotrasesi Dega megguaka ersamaa () da Teorema 5, maka keadata eduduk Salatiga daat diyataka sebagai fugsi liear : a. Sidoreo Y(,,, ) ( ) dega error 8.7%. Hal ii daat diilustrasika ada Gambar. b. TigkirY(,,, ) ( dega error.8% (Gambar ).,, 65

10 c. Argomulyo Y,,, ) ( ( dega error.659%(gambar ) d. Sidomukti Y (,,, ) ( dega error.% (Gambar ) Gambar. Ilustrasi keadata eduduk sebagai fugsi eggua alat kotrasesi ada kecamata Sidoreo ada tahu 8 (*: data, o : edekata liear). Gambar. Ilustrasi keadata eduduk sebagai fugsi eggua alat kotrasesi ada kecamata Tigkir ada tahu 8 (*: data, o : edekata liear).. Gambar. Ilustrasi keadata eduduk sebagai fugsi eggua alat kotrasesi ada Kecamata Argomulyo ada tahu 8. (*: data, o : edekata liear). Gambar. Ilustrasi keadata eduduk sebagai fugsi eggua alat kotrasesi ada Kecamata Sidomukti ada tahu 8. (*: data, o : edekata liear). Keadata eduduk setia Kecamata di Kota Salatiga telah diyataka sebagai fugsi liear eggua alat kotrasesi dega Dega edekata ilai koefisie a, a, a, a daat dilihat ada Gambar, Gambar, Gambar, da Gambar yag meuukka bahwa atara data da ilai edekata tidak auh beda. 65

11 Aka tetai keadata eduduk kota Salatiga secara keseluruha sebagai fugsi liear dari variabel (tie kotrasesi yag diguaka) tidak cuku baik. Hal ii dituukka dega error sekitar 5% sebagaimaa dituukka ada Gambar 5. Gambar 5. Ilustrasi keadata eduduk sebagai fugsi eggua alat kotrasesi ada kota Salatiga ada tahu 8 (*: data, o : edekata liear). Ui Hiotesis Rata-Rata Peggua Alat Kotrasesi er Kecamata di Kota Salatiga Megguaka data Peggua Alat Kotrasesi er Kecamata di Kota Salatiga seerti ada Tabel, kita duga vektor rata-rata adalah [ ]. Setelah itu dega batua rogram Matlab 6.5 ersamaa (6) dialaka, da dieroleh ilai T sebesar Kemudia dicari ilai distribusi T dega = da = dega tabel F didaat,668. Meurut ersamaa(7), H ditolak ika ilai T > ilai ditribusi. Sebalikya H diterima ika ilai hasil terlihat bahwa ilai T =9.78 <.668, maka H diterima. 65 T < ilai ditribusi. Dari Telah diketahui bahwa H diterima selautya dega megasumsika tigkat keercayaa yag diguaka adalah 95%, iterval vektor rata-rata yag sesugguhya daat dieroleh dega ersamaa (8) sebagai berikut : Dega ilai dugaa vektor rata-rata awal [ ], maka ilai tersebut masuk dalam iterval. KESIMPULAN Pada makalah ii telah dibahas ui ormalitas utuk data eggua alat kotrasesi ada tia kecamata di Kota Salatiga Dieroleh data berdistribusi ormal dega trasformasi. Sedagka keadata eduduk tia Kecamata diyataka dalam fugsi liear dari variabel eggua alat kotrasesi agka aag dega error kurag dari 5%. Sedagka eduduk kota Salatiga tidak daat diyataka sebagai fugsi liear dari variabel eggua alat kotrasesi agka aag karea error lebih dari 5%.

12 DAFTAR PUSTAKA [] Johso,R.A. ad Wicher, D. W.. Alied Multivariate Statistical Aalysis. Third Editio. Pretice Hall. New Jersey. [] Parhusi H. A. 9. Elemetary Derivatio of Efficiet Frotier Based O the Efficiecy Fuctio, Proceedigs of th Iteratioal Coferece o Mathematics ad Statistics (ICOMS 9), Uiversitas Malahayati Badar ad Uiv.Malahayati, ISSN , age