DIAGONALISASI MATRIKS HERMITE A UNTUK MENGHITUNG MATRIKS HERMITE A n, n Z + DAN APLIKASINYA PADA PENGAMANAN PESAN RAHASIA

Transkripsi

1 DIAGONALISASI MATRIKS HERMITE A UNTUK MENGHITUNG MATRIKS HERMITE A n, n Z + DAN APLIKASINYA PADA PENGAMANAN PESAN RAHASIA Skripsi Disajikan sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains Oleh Mohamad Afiffudin NIM JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG

2 ABSTRAK Mohamad Afiffudin,. Diagonalisasi Matriks Hermite A untuk Menghitung Matriks Hermite A n, n Z + dan Aplikasinya Pada Pengamanan Pesan Rahasia. Skripsi. Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Pembimbing I: Dra. Rahayu B.V, M.Si Pembimbing II: Drs.Supriyono, M.S. Kata kunci: Matriks Hermite, Diagonalisasi, Kriptografi Matematika merupakan ilmu yang sangat banyak manfaatnya, salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah aljabar. Matriks Hermite A merupakan matriks dengan entri bilangan kompleks yang memenuhi sifat A H A dimana A H adalah matriks konjugat transpose dari A. Diagonalisasi matriks Hermite merupakan proses untuk mendekomposisikan matriks Hermite menjadi matriks diagonal dimana unsur-unsur dari diagonal utamanya merupakan nilai eigen dari matriks Hermite. Salah satu manfaat dari pendiagonalan matriks Hermite adalah sebagai pengaman pesan rahasia. Dari uraian tersebut muncul permasalahan sebagai berikut matriks apa yang dapat mendiagonalkan matriks Hermite? Bagaimana bentuk nilai eigen pada matriks Hermite? Bagaimana langkah-langkah mendiagonalisasikan matriks Hermite? Bagaimana cara menghitung matriks Hermite A n, n Z + menggunakan proses pendiagonalan? Bagaimana proses pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks Hermite? Simpulan dari permasalah di atas adalah matriks yang dapat mendiagonalkan matriks Hermite adalah matriks uniter, nilai eigen dari matriks Hermite selalu riil, langkah-langakah mendiagonalisasi matriks Hermite A adalah ()Tentukan polynomial karakteristik dari A ()Tentukan nilai-nilai eigen dari A,.()Terapakan proses Gram-Schmidt pada masing-masing basis. (4)Bentuklah matriks P yang kolom-kolomnya adalah vektor-vektor basis yang dibangun dilangkah. Proses penghitungan matriks Hermite A n, n Z + menggunakan proses diagonalisasi matriks Hermite yaitu dengan mendekomposisikan matriks A sedemikian hingga matriks A U - DU dimana U matriks uniter yang mendigonalisasi A dan D adalah matriks diagonal yang entri-entri diagonalnya merupakan nilai eigen dari matriks Hermite A. Langkah- langkah pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks Hermite adalah sebagai berikut. () Pilih matriks Hermite A n, sebagai matriks penyandi. () Lakukan proses diagonalisasi pada matriks Hermite A untuk menghitung matriks Hermite A n. () Tranformasikan matriks Hermite A n [a ij ] kedalam matriks real B[b ij ] dimana b ij. (4) Kelompokan karakter-karakter biasa yang berurutan ke dalam pasangan-pasangan, mengganti masing-masing huruf teks-biasa dengan nilai numeriknya, konversikan masing-masing pasangan teks biasa P I P ke vektor kolom Dan bentuk perkalian ap. (5) Konversikan masing-masing teks-sandi ke abjadnya yang setara. Saran dari penulis adalah sebaiknya pesan yang akan dikirim dienskripsi terlebih dahulu menggunakan proses diagonalisasi matriks Hermite sehingga pesan yang terkirim hanya dapat dimengerti oleh orang yang berhak menerimanya saja. ii

3 MOTTO DAN PERSEMBAHAN MOTTO. Sesungguhnya ALLAH tidak akan mengubah nasib suatu kaum sebelum ia mengubah nasibnya sendiri (Q.S. Ar radu, ).. Tidak ada suatu kesulitan menimpamu kecuali masih dalam batas kemampuanmu dalam mengatasinya. PERSEMBAHAN. Ayah Samlawi dan Ibunda Djaroah tercinta.. Adik-adik ku Leli dan Reza yang ku sayangi.. Putri yang selalu memberi semangat dan mendukungku dalam menjalani hidup ini. iii

4 KATA PENGANTAR Puji Syukur ke hadirat Allah SWT atas segala rahmat dan hidayah-nya, sehingga skripsi yang berjudul Diagonalisasi Matriks Hermite A Untuk Menghitung Matriks Hermite A n, n Z + dan Aplikasinya Pada Pengamanan Pesan Rahasia dapat terselesaikan dengan baik. Penyelesaian skripsi ini dimaksudkan untuk melengkapi persyaratan agar memperoleh gelar Sarjana Sains Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Semarang. Sehubungan dengan pelaksanaan penelitian sampai tersusunnya skripsi ini, dengan rasa rendah hati disampaikan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada yang terhormat:. Prof. Dr. H. Sudijono Sastroatmodjo, M.Si, selaku Rektor Universitas Negeri Semarang.. Dr. Kasmadi Imam S., M.S, selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Semarang.. Drs. Edy Soedjoko, M. Pd, selaku Ketua Jurusan Matematika Universitas Negeri Semarang. 4. Dra. Rahayu B.V, M.Si, selaku Dosen Pembimbing I yang telah memberikan ilmunya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan baik. 5. Drs.Supriyono, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II yang telah menyalurkan ilmunya kepada penulis sehingga penulis mampu menyelesaikan skripsi dengan baik. 6. Ayah Samlawi yang dengan cucuran keringatnya membiayai seluruh pendidikan ku. 7. Ibu Djaroah yang selalu mendoakanku dalam kesabarannya. 8. Teman teman seperjuangan parmin FC (ucil, ke+, ambon, klepon, luh, deack, miftah, kemal, bapane, bunbun, dona, pokas, ari) yang telah meluangkan iv

5 waktu untuk mendukung dan memberiku semangat dalam menjalani hidup ini. 9. Serta semua pihak yang telah membantu dalam penulisan skripsi ini. Disadari bahwa skripsi ini masih jauh dari sempurna, oleh karena itu kritik dan saran dari semua pihak sangat diharapkan guna penyempurnaan skripsi ini. Semoga amal baik dari semua pihak mendapat pahala yang berlipat dari Allah SWT. Amin. Semarang, Penulis v

6 DAFTAR ISI Halaman HALAMAN JUDUL... i PERSETUJUAN PEMBIMBING... ii PENGESAHAN KELULUSAN... iii PERNYATAAN... iv MOTTO DAN PERSEMBAHAN... v PRAKATA... vi ABSTRAK... vii DAFTAR ISI... viii BAB I PENDAHULUAN.... Latar Belakang.... Permasalahan.... Tujuan....4 Batasan Masalah Manfaat Sistematika Penulisan... 4 BAB I Landasan Teori Sistem Bilangan kompleks Matriks dan operasi pada matriks.... Ruang-Ruang Vektor....4 Kebebasan linier....5 Merentang Basis Dimensi Ruang Hasil Kali Dalam....9 Basis Ortonormal Dan Proses Gramm-Schmidt Matriks kompleks Nilai Eigen Dan Vektor Eigen... 7 vi

7 . Diagonalisasi matriks Bilangan Bulat Kriptografi BAB III METODE PENELITIAN Pengumpulan Data Analisis Data Pengolahan data Pengambilan Simpulan... 6 BAB IV PEMBAHASAN Matriks Pendiagonal Matriks Hermite Nilai Eigen Matriks Hermite Diagonalisasi matriks hermite Menghitung matriks hermite A n n Z Pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks hermite... 7 BAB V SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Saran... 8 DAFTAR PUSTAKA... 8 LAMPIRAN... 8 vii

8 BAB I PENDAHULUAN. Latar Belakang Matematika merupakan ilmu yang sangat banyak manfaatnya, salah satu cabang ilmu dalam matematika adalah aljabar. Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilangan-bilangan. Jenis matriks bermacam-macam sejauh ini kebanyakan orang yang mengenal tentang matriks biasanya hanya mengetahui bahwa entri-entri dari matriks adalah bilangan real, padahal lebih luas lagi ada beberapa matriks yang entrinya merupakan bilangan kompleks. Salah satu matriks yang entrinya memuat bilangan kompleks adalah matriks Hermite. Matriks bujur sangkar A dengan unsur-unsur kompleks disebut Hermite jika A A *. untuk mengenali matriks Hermite dilihat dari unsur-unsur pada diagonal utama adalah bilangan real, dan bayangan cermin dari masing-masing unsur terhadap diagonal utama adalah kompleks sekawannya. Matriks Hermite menikmati banyak sifst-sifat matriks real simetri tetapi tidak semuanya.matriks Hermite dapat didiagonalkan secara uniter, namun demikian bila matriks real simetrik adalah satu-satunya matiks dengn insur real yang dapat didiagonalkan secara ortogonal maka matriks Hermite tidak membentuk keseluruhan kelas matriks yang dapat didiagonalkan secara uniter dengan kata lain terdapat matriks dengan unsur-unsur bilangan kompleks yang dapat didiagonalkan secara uniter bukan matriks Hermite.

9 Matriks diagonal adalah matriks n n yang semua entrinya kecuali beberapa yang berada pada diagonalnya. Jika A adalah matriks untuk T: V V yang bertalian dengan beberapa basis sebarang, maka matriks baru untuk T akan sama dengan P - AP di mana P adalah matriks transisi yang sesuai. Diagonalisasi merupakan suatu proses pembentukan matriks bujur sangkar A menjadi matriks diagonal P A P - dimana P disebut matriks pendiagonal A. Pendiagonalan suatu matriks Hermite sangatlah diperlukan terutama saat kita menghitung matriks Hermite A n karena dengan proses pendiagonalan maka untuk menghitung matriks Hermite A n akan relatif lebih singkat dari pada menghitung secara langsung yang tentunya akan memakan waktu yang sangat lama apalagi jika n merupakan bilangan bulat positif yang cukup besar. Matriks Hermite dapat diaplikasikan untuk proses pengamanan pesan rahasia, hal ini layak diterapakan di era globalisasi karena kerahasiaan adalah suatu hal yang sangat penting di jaman serba modern seperti sekarang, mengingat semakin maraknya pembajakan liar dan transaksi kriminal yang semakin modern. Akhir-akhir ini sering terjadi konflik internasional seperti perang di timur tengah, untuk itu demi mempertahankan keutuhan bangsa dan negara maka pemerintah wajib memperkuat pertahanan militernya, keamanan dan kerahasiaan data-data penting dalam suatu negara adalah syarat mutlak terbentuknya negara yang aman dan tangguh, sebab dengan diketahuinya data-data penting dalam suatu negara oleh pihak asing, maka negara tersebut akan sangat mudah dilumpuhkan oleh pihak asing.

10 Berdasarkan uraian diatas penulis menyusun skripsi dengan judul Diagonalisasi Matriks Hermite A untuk Menghitung Matriks Hermite A n, n Z + dan Aplikasinya pada Pengamanan Pesan Rahasia.. Permasalahan Berdasarkan uraian latar belakang diatas maka penulis mengangkat beberapa permasalahan sebagai berikut.. Matriks apa yang dapat dapat mendiagonalkan matriks Hermite A?. Bagaimana bentuk nilai eigen pada matriks Hermite?. Bagaimana langkah-langkah mendiagonalisasikan matriks Hermite? 4. Bagaimana cara menghitung matriks A n, n Z + dimana A matriks Hermite menggunakan proses pendiagonalan? 5. Bagaimana proses pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks Hermite?. Tujuan Berdasarkan permasalahan diatas, tujuan penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut.. Mengetahui matriks yang dapat mendiagonalisasi matriks Hermite A.. Mengetahui bentuk nilai eigen pada matriks Hermite.. Mengetahui langkah langkah mendiagonalisasi matriks Hermite. 4. Mengetahui cara menghitung matriks A n, n Z + dimana A matriks Hermite menggunakan proses pendiagonalan.

11 4 5. Mengetahui proses pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks Hermite..4 Batasan Masalah Dalam skripsi ini matriks hermitian yang akan didiagonalkan ukuran dan perpangkatannya tidak dibatasi, namun matriks Hermite yang dijadikan matriks kunci dalam proses kriptografi adalah matriks Hermite X..5 Manfaat Penulisan skripsi ini diharapkan bermanfaat bagi :.5. Penulis Penulisan skripsi ini memotivasi penulis untuk lebih mengembangkan ilmu pengetahuan yang dimiliki terutama dibidang Aljabar kompleks. Banyak sekali ilmu pengetahuan yang belum diketahui penulis sehingga dengan penulisan skripsi ini penulis berusaha untuk menggali lebih dalam ilmu yang telah dikembangkan di bangku perkuliahan..5. Mahasiswa Jurusan Matematika Penulisan skripsi ini bermanfaat untuk mendorong mahasiswa Jurusan Matematika untuk mengembangkan materi-materi yang mereka peroleh di bangku perkuliahan khususnya di bidang aljabar sehingga dapat diaplikasikan dalam kehidupan nyata.

12 5.6 Sistematika Penulisan Skripsi Secara garis besar dalam penulisan skripsi ini dibagi dalam tiga bagian, yaitu: bagian awal, bagian isi, dan bagian akhir skripsi..6. Bagian Awal Bagian awal skripsi ini terdiri dari: (a) halaman judul; (b) halaman pengesahan; (c) pernyataan keaslian tulisan; (d) abstrak; (e) motto dan persembahan; (f) kata pengantar; (g) daftar isi; (h) daftar lampiran..6. Bagian isi Bagian isi terdiri dari lima bab yaitu sebagai berikut. () Bab : Pendahuluan Pada bab ini dikemukakan tentang latar belakang, permasalahan, batasan masalah, tujuan, manfaat, dan sistematika penulisan skripsi. () Bab : Landasan Teori Berisikan penjelasan mengenai teori-teori yang menyangkut dan mendasari dari pemecahan masalah-masalah yang ada. Teori-teori tersebut meliputi: bilangan kompleks, matriks, kebebasaan linier, dimensi, nilai eigen, diagonalisasi, hasil kali dalam, bilangan modula dan kriptografi.

13 6 () Bab : Metode Penelitian Meliputi metode-metode yang digunakan dalam penelitian seperti identifikasi masalah, perumusan masalah, studi pustaka, pemecahan masalah, dan penarikan kesimpulan. (4) Bab 4 : Pembahasan Berisikan pembahasan masalah-masalah yang dikaji, meliputi: matriks pendiagonal matriks Hermite, nilai eigen dari matriks Hermite, proses pendigonalan matriks Hermite, proses mencari matriks Hermite A n, n Z dan langkah-langkah pengamanan pesan rahasia menggunakan diagonalisasi matriks Hermite (5) Bab 5 : Penutup Bab ini berisi simpulan dan saran..6. Bagian Akhir Bagian akhir berisi daftar pustaka yang merupakan informasi mengenai buku-buku, sumber, dan referensi yang digunakan penulis.

14 BAB II LANDASAN TEORI Pada bab ini dibahas konsep dasar yang berhubungan dengan matriks, vektor, nilai eigen, vektor eigen, diagonalisasi matriks, bilangan kompleks dan kriptografi.. Sistem Bilangan kompleks.. Sistem bilangan kompleks sebagai suatu aljabar. Definisi. bilangan kompleks adalah suatu pasangan dari dua bilangan real dan y yang dinyatakan oleh z (, y). Bilangan kompleks (, ) i dimana i -. Bilangan kompleks z (, y) (, ) + (, y) (, ) + y (, ) + iy (Anton, 5: 8). Lambang bilangan kompleks kita gunakan z, yang berarti z + iy, dengan adalah unsur real dari z yang ditulis Re(z) dan y adalah unsur imajiner dari z yang ditulis Im(z). Himpunan semua pasangan terurut dengan operasioperaasi tertentu yang sesuai padanya dapat didefinisikan sebagai sistem bilangan kompleks. Definisi. Himpunan bilangan kompleks tuliskan dengan C { + iy, y R)} Contoh. z + 4i ; z k k + y k i. 7

15 8 Definisi. Sistem bilangan kompleks adalah himpunan bilangan kompleks yang dilengkapi dengan operasi penjumlahan dan perkalian. Sistem bilangan kompleks ditulis dengan (C,+.). (supriyono, 99:)... Bilangan kompleks sekawan Definisi.4 jika z + iy C maka z iy C disebut bilangan kompleks sekawan. Sifat-sifat bilangan sekawan.. ( z) z. Bukti. Misal z + iy. Jelas ( z ) ( iy) ( (-iy)) ( + iy) z.. (z +z ) z + z. Bukti. Misal z k ( k + iy k ), k,. Jelas z ( + iy ) dan z ( + iy ) Jelas (z + z ) ( + iy + + iy ) (( + ) + i (y + y )) (( + ) - i (y + y )) ( + - iy - iy ) (( iy ) + ( iy )) z + z.. (z -z ) ( z - z ) Misal z k ( k + iy k ), k,.

16 9 Jelas z ( + iy ) dan z ( + iy ) Jelas (z - z ) ( + iy ( + iy ) (( - ) + i (y - y )) (( - ) - i (y - y )) ( - - iy + iy ) ( - iy ) ( iy ) z - z. 4. (z.z ) z. z. Bukti. Misal z k ( k + iy k ), k,. Jelas z ( + iy ) dan z ( + iy ) Jelas (z. z ) ( + iy ) ( + iy ) ( + i y + i y y y ) ( -y y ) + i ( y + y ) ( -y y ) i( y + y ) ( -i y - i y y y ) ( iy ) ( iy ) z. z. 5. (. Bukti. Misal z k ( k + iy k ), k,. Jelas z ( + iy ) dan z ( + iy ) Misal z

17 Jadi z z. z z z. z z. z z (. 6. z.z +y. Bukti. Misal z + iy Jelas z iy. Jedi z. z ( + iy ( iy) iy + iy + y + y. 7. z + zre(z). Bukti. Misal z + iy Jelas z iy. Jadi z + z + iy + iy Re(z). 8. z - zi Im(z).

18 Bukti. Misal z + iy Jelas z iy. Jadi z - z + iy - + iy y Im(z)... Nilai mutlak bilangan kompleks. Definisi.5 Jika z + iy, maka modulus z adalah panjang dari vektor Z ditulis z, dimana z. Contoh. Tentukan modulus dari z jika z 7-4i. Penyelesaian: z.. Matriks dan operasi pada matriks..... Matriks Real Tujuan dari bagian ini untuk mengetahui pengertian matriks, jenis-jenis matriks dan sifat sifat matriks. Definisi.6 Matriks adalah susunan segi empat siku-siku dari bilanganbilangan. Bilangan-bilangan dalam susunan tersebut disebut entri dalam matriks. (Howard anton, 99:) Contoh. susunan matriks:

19 (). (). Seperti yang ditunjukan oleh contoh di atas, maka ukuran matriks-matriks bermacam besarnya. Ukuran matriks dijelaskan dengan banyaknya baris (garis horisontal ) dan banyaknya kolom (garis vertikal) yang terdapat dalam matriks tersebut. Matriks pertama dalam contoh mempunyai baris dan kolom sehingga ukurannya adalah kali (yang dituliskan X ). Angka pertama selalu menunjukan banyaknya baris dan angka kedua menunjukan banyaknya kolom.... Matriks kuadrat. Definisi.7 Matriks kuadrat adalah matriks yang banyaknya baris dan kolomnya sama. Contoh. A. Definisi.8 jika A adalah matriks mr dan B adalah matriks berukuran rn maka hasil kali dari AB adalah matriks C yang berukuran mn. Secara matematis ditulis A mr B rn C mn dengan c ij a i b j +a i b j + a i b j a ir b rj Contoh. Tinjaulah matriks matriks berikut ini. A Hitung A. B Karena A adalah matriks dan B adalah matriks maka hasil kali AB adalah matriks. untuk menentukan misalnya entri dalam baris dan kolom dari AB, kita dapat memilih baris dari A dan kolom ke dari,maka

20 seperti yang dilukiskan di bawah, kita dapat mengalikan entri- entri yang bersesuaian bersama sama dan menambah hasil kali ini.. Perhitungan perhitungan untuk hasil kali nya adalah sebagai berikut. (.5) + (5.)6 AB Ab AB Jadi AB Definisi perkalian matriks mengharuskan bahwa banyaknya kolom pada matriks pertama harus sama dengan banyaknya baris dari matriks kedua supaya membentuk hasil kali. Jika kondisi ini tidak dipenuhi, maka hasil kali tersebut tidak dapat didefinisikan. Definisi.9 Jika I adalah matriks kuadrat berukuran n n maka matriks I disebut matriks identitas jika untuk setiap matriks A berukuran n n berlaku IA AI A. Matriks identitas I berukuran n n ditulis I n. Contoh. I I Definisi. Jika A adalah matriks kuadrat, dan jika terdapat matriks B sehingga AB BA I, maka A dikatakan dapat dibalik (invertible) dan B dinamakan invers (inverse) dari A atau sebaliknya. Matriks yang tidak punya inversd disebut matriks singular. (Howard anton, 99:4)

21 4 Contoh 4. Matriks B adalah invers dari A Sebab AB dan BA. Carilah invers dari matriks C 4 a Misal C - a a a4 maka berlaku 4 a a a a 4 sehingga a + a 4a + a a 4a + a 4 + a 4 diperoleh 4 buah persamaan : a + a...() 4a + a...() a + a4...() 4a + a4...(4) Dari 4 persamaan tersebut diperoleh : a / ; a /, a, a 4 / Jadi A - /

22 5 Untuk mempermudah dalam penulisan, jika A dapat dibalik maka invernya dinyatakan dengan simbol A -. Definisi. Diberikan matriks A berukuran n m maka transpos dari matriks A ditulis A t adalah matrik berukuran m n yang setiap kolom dari matriks A menjadi baris pada matriks A t atau secara matematis ditulis untuk setiap a ij entri matriks A maka a ij b ji dengan b ji entri matriks A t. Contoh. Carilah transpos dari matriks matriks berikut A ; B Penyelesaian. Jelas A t dan B t Definisi. Matriks A [a ij ] disebut matriks segitiga atas jika a ij untuk setiap i > j dimana i,,...,n dan j,,..., n Secara umum matriks A [a ij ] jika Definisi. Matriks A [a ij ] disebut matriks segitiga atas jika a ij untuk setiap i < j dimana i,,...,n dan j,,..., n Secara umum matriks A [a ij ] jika

23 6 Definisi.4 Permutasi himpunan bilangan-bilanganbulat {,,..., n} adalah susunan bilangan,,..., n menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulang bilangan-bilangan tersebut. Definisi.5 Sebuah permutasi dinamakan genap (event) jika jumlah invers sseluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang genap dan dinamakan ganjil (odd) jika jumlah invers seluruhnya adalah sebuah bilangan bulat yang ganjil. Tabel berikut mengklasifikasikan berbagai permutasi dari {,, } sebagai genap atau ganjil. Permutasi Banyaknya Invers Klasifikasi (,, ) Genap (,, ) Ganjil (,, ) Ganjil (,, ) Genap (,, ) Genap (,, ) Ganjil Definisi.6 Jika A adalah matriks berorde nn, hasil kali elementer bertanda A adalah hasil kali elemter a j. a j...a n j n dikalikan dengan + atau, dimana tanda + jika (j, j,...,j n ) adalah permutasi genap dan tanda jika (j, j,...,j n ) adalah permutasi ganjil.

24 7 Contoh Daftarkan semua hasil kali bertanda daari matriks A. Penyelesaian. Hasil kali Permutasi Klasifikasi Hasil kali elementer bertanda elementer terasosiasi (,, ) Genap (,, ) Ganjil (,, ) Ganjil (,, ) Genap (,, ) Genap (,, ) Ganjil Definisi.7 Misalkan A adalah matriks kuadrat, fungsi determinan dinyatakan oleh det, dan kita definisikan det(a) sebagai jumlah semua hasil kali elementer bertanda dari A. Jumlah det(a) disebut determinan A. Secara matematis jika Maka det(a). Dimana

25 8 Dan S n Himpunan selurah permutasi dari n. Matriks yang determinannya disebut matriks singular. Contoh. Hitunglah determinan dari matriks - matriks berikut ini. Penyelesaian Det (A) 5. (-6) Det (B) 5. (-4) (. (-4) ) (-8) ( ) 98. Teorema. Jika matriks A kuadrat dapat dibalik maka Det (A). Bukti : jika A dapat dibalik,maka IAA - sehingga det (I) det (AA - ) det(a) det(a - ). Jadi, det (A). Definisi.8 Jika A matriks kuadrat, maka minor dari entri a ij, dinotasikan dengan M ij adalah determinan dari submatriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dihilangkan dari A. Kofaktor dari entri a ij adalah bilangan (- ) i+j M ij, dinotasikan dengan C ij. (Anton,99:77). Contoh Misalkan Minor entri a adalah M

26 9 Kofaktor a adalah C (-) + M M -46. Definisi.9 Jika A [ a ij ] adalah matriks nn dan C ij adalah kofaktor a ij, maka matriks dinamakan matriks kofaktor A. Transpos dari matriks ini dinamakan adjoin A dan dinyatakan dengan adj(a). Sedangkan ekspansi kofaktor adalah metode untuk menghitung det(a) dengan mengalikan entri- entri dalam baris ke-i dari A dengan kofaktornya (ekspansi kofaktor sepanjang baris ke i) atau mengalikan entri-entri dalam kolom ke-j dari A dengan kofaktornya (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j ). Atau secara matematis ekspansi kofaktor adalah menghitung det(a) dengan rumus sebagai berikut. det(a) (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) atau det(a) (ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke j) Contoh. Misalakan carilah kofaktor A, adjoin A dan determinan A. Kofaktor A adalah C C 6 C -6 C 4 C C 6 C C C 6 sehingga matriks kofaktor A adalah Dan

27 . Dengan menggunakan ekspansi kofaktor sepanjang kolom ke diperoleh det (A) -. (-6) Teorema. Jika A [a ij ] adalah matriks yang dapat dibalik, maka. Bukti. Pertama kita perlihatkan bahwa A adj(a) det (A) I Missal C ij adalah kofaktor dari entri a ij Jelas A adj (A) Entri dri baris ke i kolom ke j dari A adj(a) adalah a i C j + a i C j +.+ a in C jn (*) Jadi jika i j mak persamaan (*) menjadi a i C i + a i C i + + a in C in yang tidak lain adalah ekspansi kofaktor dari det(a). sebaliknya jika i j maka koefisien a dan kofaktor-kofaktor berasal dari baris A yang berbeda, jadi nilai dari (*). Jadi...(*) Karena A dapat dibalik maka det(a). Selanjutnya persamaan (*) dapat dituliskan kembali sebagai Dengan mengalikan kedua ruas kiri dengan A - diperoleh

28 Teorema. Matriks kuadrat A dapat dibalik jika det (A). Bukti. Dipunyai det(a) Jelas R. Jadi ada. Jadi ada. Berdasarkan teorema, Misal C ij adalah kofaktor dari entri a ij Jelas Jadi terdapat sehingga AA - I Jadi A dapat dibalik.... Matriks diagonal Definisi. Matriks A nn disebut matriks diagonal jika semua unsur di luar diagonal utamanya (William, Gere. I987:4 ) Contoh 5.

29 ..4. Matriks ortogonal Definisi. suatu matriks persegi A dikatakan matriks ortogonal jika A - A t. Contoh 6. Buktikan bahwa matriks A Bukti jelas A t Jadi A A t A - A A t A - I A t A -I Jadi A ortogonal. Pemeriksaan pada matriks A pada contoh diatas menunjukan bahwa setiap baris pada matriks itu adalah vektor satuan, karena + dan +. Disamping itu, perkaliaan skalar antara baris pertama dan kedua sama dengan nol, Jadi, baris pada matriks itu adalah vektor satuan yang saling tegak lurus(ortogonal).

30 . Ruang-Ruang Vektor Definisi. Misalkan V sebarang himpunan yang operasinya meliputi penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan real). V dinamakan sebuah ruang vektor dan himpunan pada V dinamakan vektor Jika setiap vektor u, v, w pada V dan oleh setiap skalar k dan l pada R, memenuhi aksioma-aksioma sebagai berikut.. u + v berada di V.. u + v v + u. u + (v + w) (u + v) + w 4. Terdapat sebuah vektor di V sehingga + u u + u. 5. Untuk setiap u di V terdapat u di V yang dinamakan negatif u sedemikian sehingga u + (-u) (-u) + u. 6. ku berada di V. 7. k(u + v) ku + kv 8. (k + l)uku + lu 9. k(lu) (kl)u. u u (Anton, 99:7).4 Kebebasan Linear Definisi. Jika S v, v, K, v } adalah himpunan vektor, maka { r persamaan vektor k v k v + K + k r v mempunyai paling sedikit satu + r pemecahan, yakni k, k, K, k. Jika ini adalah satu-satunya r pemecahan maka S dinamakan himpunan bebas linear (linearly independent). Jika

31 4 ada yang lain maka S dinamakan himpunan tak bebas linear (linearly dependent) (Anton 987: 57). Contoh. Apakah vektor-vektor v,,), v (,,4), dan v (,,8 ) membentuk suatu ( himpunan bebas linear atau himpunan tidak bebas linear. Penyelesaian: Dipunyai vektor-vektor v (,,), v (,,4), dan v (,,8 ). Persamaan vektor dalam bentuk komponen-komponennya k v + kv + kv k (,,) + k(,,4) + k(,,8) ( k + k + k,k k + k,k 4k + 8k ) (,,) Dengan menyamakan komponen yang bersesuaian, maka diperoleh: (.4) k k k + k k 4k + k + k + 8k Untuk mengetahui apakah v,v, dan v membentuk himpunan tak bebas linear jika persamaan (.4) tersebut mempunyai lebih dari satu solusi (solusi nontrivial) atau membentuk himpunan bebas linear jika persamaan tersebut hanya mempunyai solusi tunggal yaitu nol (solusi trivial). Oleh karena itu perlu dicari penyelesaian dari sistem persamaan (.4). Matriks yang diperbesar yang sesuai dengan sistem persamaan (.4) adalah 4 8

32 5 Untuk mendapatkan penyelesaian dari sistem persamaan (.4) dilakukan operasi baris elementer. Adapun penghitungannya adalah sebagai berikut. R ( ) 4 5 R ( ) 8 R( ) 5 Ket: 5 R 5 R R( ) 5. R ( ) : Baris ketiga ditambah dengan (-) kali baris pertama R ( ) R ( ) 5 R ( ) : Baris kedua ditambah dengan (-) kali baris pertama R ( ) : Baris ketiga ditambah dengan (-) kali baris kedua R : Kalikan baris pertama dengan 5 5 R ( ) : Baris pertama ditambah dengan (-) kali baris ketiga R ( ) : Baris kedua ditambah dengan 5 5 R : Kalikan baris ketiga dengan kali baris ketiga R ( ) : Baris pertama ditambah dengan (-) kali baris kedua Sehingga solusi dari sistem persamaan (.4) adalah k, k, dan k. Karena sistem tersebut hanya mempunyai solusi nontrivial, maka v,v, dan v membentuk himpunan bebas linear.

33 6.5 Merentang Definisi.4 Jika v, v, K, v adalah vektor-vektor pada ruang vektor V r dan jika setiap vektor pada V dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear v, v, K, maka dikatakan vektor-vektor tersebut merentang V (Anton 987: 46). Contoh. v r Misalkan v (4, ) dan v ( 7, 8). Perlihatkanlah bahwa himpunan S v, v } merentang R. { Penyelesaian: Untuk memperlihatkan bahwa S merentang R maka harus ditunjukkan sebarang vektor b b, b ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor ( di S. yaitu b kv + k v ( b, b ) k(4,) + k ( 7, 8) ( b, b ) (4k 7k, k 8k ) atau 4k k 7k 8k b b 4 7 k 8 k b b 4 Misal B Jelas BK C K B C 7 k b 8, K, dan C k b maka diperoleh persamaan BK C.

34 b 4 b 8b + 7b 5 b + 4b Akibatnya didapat nilai k ( 8b + 7b ) dan k ( b + 4b ). Karena 5 5 vektor b ( b, b ) dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear b kv + k v, yaitu b ( 8b + 7b )(4,) + ( )( b + 4b )( 7, 8). 5 5 Akibatnya S merentang R..6 Basis Definisi.5 Jika V adalah sebarang ruang vektor dan S { v, v,..., v r } merupakan himpunan berhingga dari vektor-vektor pada V, maka S dinamakan basis untuk V jika S bebas linear dan S merentang V. (Anton 987:58). Contoh 9. Misalkan v (4,) dan v (-7,-8), Perlihatkanlah bahwa himpunan S { v, v } adalah basis untuk Penyelesaian: R. (a) Dari contoh 8 telah diketahui bahwa himpunan S v, v } merentang { R. (b) Untuk menunjukkan S bebas linear harus ditunjukkan satu-satunya solusi dari k v + k v adalah k k. Dipunyai k v + k v k ( 4,) + k ( 7, 8) (,) atau ( 4k 7k, k 8k ) (,)

35 k k k k k k Selanjutnya akan dicari nilai k dan k,yaitu sebagai berikut ) ( 8) 4( k k 5 k k k k Sehingga diperoleh nilai k k. Akibatnya S bebas linear. Dari (a) dan (b) dapat disimpulkan bahwa S merupakan basis untuk R Definisi.6 sebuah ruang vektor tak nol V dinamakan berdimensi berhingga (finite dimensional) jika ruang vektor tersebut mengandung sebuah himpunan berhingga dari vektor-vektor { v, v,..., v n }yang membentuk sebuah basis. Jika tidak ada himpunan berhingga dari vektor-vektor { v, v,..., v n }, maka V dinamakan berdimensi takberhingga (infinite dimensional). Teorema.4 sebarang dua basis untuk ruang vektor berdimensi berhingga mempunyai jumlah vektor yang sama. Bukti. Misalkan S{ v, v,..., v m } dan S { w, w,..., w n }adalah dua basis untuk sebuah ruang vektor V yang berdimensi berhingga. Karena S adalah sebuah basis dan S adalah himpunan yang bebas linier, maka m n. Demikian juga karena S adalah sebuah basis dan S bebas linier, maka n m. Jadi n m.

36 9.7 Dimensi Definisi.7 Misalkan V adalah ruang vektor. Jika V memiliki basis yang terdiri dari n vektor, maka kita katakan bahwa V memiliki dimensi n. (Leon:998:). Contoh. Tentukanlah basis dan dimensi untuk ruang pemecahan dari sistem homogen berikut Penyelesaian: dengan cara yang mudah diperoleh s, -s - t, -t, 4, 5 t sehingga vektor-vektor pemecahan tersebut ditulis sebagai + s + t Yang memperlihatkan bahwa vektor-vektor Merentang ruang pemecahan. Karena vektor-vektor tersebut juga bebas linier, maka { v, v } adalah sebuah basis, dan ruang pemecahan tersebut adalah ruang berdimensi.

37 Definisi.8 Tinjaulah matriks A m n Vektor-vektor ( (.... ( Terbentuk dari baris-baris A yang disebut vektor-vektor baris A, dan vektorvektor Terbentuk dari kolom-kolom A yang kita namakan vektor-vektor kolom A. Subruang R n yang direntang oleh vektr-vektor baris disebut ruang baris (row space) A dan sub ruang R m yang direntang oleh vcektor-vektor kolom disebut ruang kolom(coloum space) A. Definisi.9 Dimensi ruang baris dan ruang kolom matriks A dinamakan rank A dan dinyatakan dengan rank (A). Contoh. Tentukan rank dari A

38 Penyelesaian: Karena matriks A t mempunyai baris tak nol maka ruang baris A berdimensi jadi Rang A..8 Ruang Hasil Kali Dalam Ruang hasil kali dalam merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan operasi hasil kali dalam..8. Hasil Kali Dalam Definisi. Misalkan V adalah suatu ruang vektor, dan u, v, w V, notasi <, > dinamakan hasil kali dalam jika memenuhi keempat aksioma sebagai berikut: () < u, v > < u, v > (Simetris) () < u + w, v > < u, w > + < u, v > (Aditivitas). () Untuk setiap k R, berlaku < k u, v > < u, k v > k < u, v > (Homogenitas) (4) < u, u >, dan < u, u > u. (Positivitas).

39 Definisi. Ruang vektor yang dilengkapi dengan hasil kali dalam dinamakan ruang hasilkali dalam (RHD). Jika V merupakan suatu ruang hasil kali dalam, maka norm (panjang) sebuah vektor u dinyatakan oleh yang didefinisikan oleh :. (Anton, 99, 75). Contoh Misalnya W R yang dilengkapi dengan operasi hasil kali berbentuk : < u, v > u v + u v + u v, u, v W Buktikan bahwa W adalah ruang hasilkali dalam ( RHD). Bukti : Misalnya u, v, w W (i) < u, v > u v + u v + u v v u + v u + v u < v, u > (terbukti simetris) (ii) < u + v, w > < (u +v, u +v, u +v ), (w, w, w )> (u + v )w + (u +v ) w + (u +v ) w u w + v w + u w + v w + u w + v w u w +u w + u w + v w + v w + v w < u,w > + < v,w> (terbukti aditivitas) (iii) Untuk setiap k R, <k u, v > <(ku, ku, ku ), (v, v, v )>

40 ku v + ku v + ku v k.u v + ku v + k.u v k < u, v > k (u v + u v + u v ) ku v + ku v + ku v u kv + u kv + u kv < u,k v > (terbukti homogenitas). (iv) < u, u > u + u + u. Jelas bahwa < u, u >, untuk setiap u, dan < u, u > u terbukti memenuhi sifat positifitas. Jadi W adalah ruang hasilkali dalam ( RHD)..9 Basis Ortonormal Dan Proses Gramm-Schmidt Definisi. Sebuah himpunan vektor pada ruang hasil kali dalam dinamakan himpunan ortogonal jika semua pasangan vektor-vektor yang berbeda dalam himpunan tersebut ortogonal (saling tegak lurus). Sebuah himpunan ortogonal yang setiap vektornya mempunyai norma dinamakan ortonormal (anton, 99: 9). Secara matematis misalkan T { c, c,., c n } pada suatu RHD, T dikatakan himpunan vektor ortogonal jika Setiap vektor didalam T berlaku < c i, c j >, i j, I, j,,,., n. T dikatakan himpunan

41 4 ortonormal jika T merupakan himpunan ortogonal dan untuk setiap vektor c i T, maka. Definisi. Misal S { d, d,, d n } merupakan basis bagi suatu RHD V dan S merupakan himpunan ortonormal, maka S dinamakan Basis Ortonormal. Definisi.4. Proses Gramm Schmidt adalah proses untuk mentransformasi basis S { c, c,, c n } pada suatu RHD V menjadi basis ortonormal B { w, w,, w n } dimana Misalkan V adalah sebarang ruang hasil kali dalam berdimensi n, dan misalkan S {u, u,, u n }. Langkah langkah melakukan proses Gramm-Schmidt untuk mendapatkan basis ortonormal {v, v,, v n } untuk V adalah sebagai berikut. Langkah. Misalkan. Jadi vektor v mempunyai norma. Langkah. Untuk membangun vektor u yang normanya yang orthogonal dengan v, kita hitung komponen u yang orthogonal terhadap ruang W yang direntang oleh v dan kemudian normalisasikan komponen u tersebut, diperoleh. Jadi vektor mempunyai norma. Langkah. Untuk membangunb vektor v dari norma yang orthogonal baik terhadap v maupun v, kita perlu menghitung komponen u yang orthogonal

42 5 terhadap ruang W yang direntang oleh v dan v dan menormalisasikannya sebagai berikut. Jadi vektor mempunyai norma. Langkah 4. Untuk menentukan vektor v 4 dari norma yang orthogonal terhadap v, v, v, kita hitung komponen u 4 yang orthogonal terhadap ruang W yang direntang oleh v, v,v dan menormalisasikannya. Jadi Dengan meneruskannya dalam cara ini, kita akan mendapatkan himpunan ortonormal dari vektor vektor {v, v,, v n }merupakan basis ortonormal untuk V.. Matriks kompleks. Definisi.5 Matriks kompleks adalah matriks yang entri-entri nya berisi bilangan kompleks. Misalkan M(m ij ) adalah suatu matriks mn Dengan m ij a ij +ib ij untuk setiap i dan j. Kita dapat menuliskan M dalam bentuk MA+iB Dimana A(a ij ) dan B(b ij ) mempunyai entri bilangan real. secara umum. Kita mendefinisikan matriks sekawan M dengan M A - ib.

43 6 Secara umum M Jadi M adalah matriks yang terbentuk dengan mengambil kompleks sekawan dari setiap entri M. Konjugat dari A ditulis A merupakan matriks yang diperoleh dengan menegasikan bagian imajiner dari A. Transpos konjugat dari A dilambangkan dengan A H A t. Ruang vektor dari semua matriks mn dengan entri kompleks dilambangkan sebagai C mn. Diberikan matriks A [a ij ], B[b ij ] dan skalaar α, ß maka berlaku :. (A H ) H A. (αa+ßb) H αa H + ß B H. (AB) H B H A H. Bukti. (A H ) H ( a ji ) H ( a ij ) (a ij ) A.. (αa+ßb) H ((α a ij ) + (ß b ij )) H ((α a ij + ß b ij )) H ((α a ij + ß b ij )) t ((α a ji + ß b ji )) ((α a ji + ß b ji )) α ( a ji ) + ß( b ji ) αa H +ßB H.. (AB) ij H

44 7.. Matriks uniter Definisi.6 Suatu matriks U nn, disebut Uniter jika vektor-vektor kolomnya membentuk suatu himpunan ortonormal dalam C n. Jadi U uniter jika dan hanya jika U H U I.. Dengan demikian U - IU - U H UU - U H. Suatu matriks uniter sesungguhnya adalah matrik ortogonal. (goldberg,88:99). Contoh Buktikan bahwa matriks U adalah matriks uniter Bukti. Jelas U H t Jadi U H U Jadi U matriks uniter... Matriks Normal Definisi.7 Matriks kuadrat A dengan unsur kompleks disebut normal jika AA H A H A. (Anton,48)... Matriks Hermite. Definisi.8 Suatu matriks M dengan unsur kompleks disebut Hermite jika MM H. Contoh. Tunjukan bahwa matriks M Hermite.

45 8 Bukti. Jelas M H Jadi M Hermite.. Nilai eigen dan vektor eigen Definisi.9 Jika A adalah sebuah matriks n n, maka sebuah vektor taknol pada R n dinamakan vektor eigen (eigen vektor) dari A, jika A adalah sebuah kelipatan skalar dari yaitu: A λ untuk suatu skalar λ. Skalar λ disebut nilai eigen (eigen value) dari A, dan disebut sebagai vektor eigen yang bersesuaian dengan λ (Anton 987: 77). Untuk mendapatkan nilai eigen matriks A yang berukuran n n dapat dituliskan kembali A λ sebagai A λ I ( λi A). Agar λ menjadi nilai eigen maka harus terdapat solusi taknol dari persamaan tersebut. Persamaan ( λi A) memiliki solusi taknol jika dan hanya jika det ( λ I A). Vektor-vektor eigen yang terkait dengan A adalah vektorvektor taknol dalam solusi ( λi A), ruang solusi ini sebagai ruang eigen dari matriks A yang terkait dengan λ. Bentuk det ( λi A) dinamakan persamaan karakteristik matriks A. Bila diperluas didapatkan determinan ( λi A) adalah polinom λ yang dinamakan polinom karakteristik dari A (Anton 987:78). Jika diberikan matriks A berukuran n n maka polinom karakteristik dari matriks A yang berukuran n n yaitu:

46 9 n n det ( λ I A) λ + cλ c. n Berdasarkan Teorema Dasar Aljabar persamaan karakteristik n n λ + c λ c memiliki sebanyak-banyaknya n solusi yang berbeda. n Sehingga sebuah matriks berukuran n n memiliki sebanyak-banyaknya n nilai eigen yang berbeda. Matriks A yang berukuran n n dan unsur-unsurnya bilangan nyata dikatakan simetri jika A t A, dengan kata lain jika a a untuk semua i dan j. ij ji Penerapan matriks simetri sangat banyak sekali, dikarenakan matriks simetri memiliki sifat-sifat yang menarik. Teorema.5 Jika A matriks simetri maka vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda akan orthogonal. (Anton 987: 94) Bukti. Misalkan λ dan λ adalah dua nilai eigen yang berbeda dari matriks simetri A berukuran n n. Dimisalkan pula u u v dan v M u n ' u ' u M ' u n Adalah vektor-vektor eigen yang bersesuaian, akan diperlihatkan bahwa v. v u + +. ' ' ' '. u u. u + u. u +... u n. u n Karena v t v adalah matriks yang entrinya adalah v. v maka bukti dapat dilengkapi dengan memperlihatkan v t v. Karena v dan v merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ dan λ maka A v λ v dan A v λ v Jelas A v λ v (A v ) t (λ v ) t t t t t v. A λ. v

47 4 t Karena λ λ ( λ suatu skalar) maka t t t v. A λ. v. Dengan mengalikan kedua ruas persamaan t t t v. A λ. v pada bagian kanan menggunakan v menghasilkan v v t t t A v λv v, karena A merupakan matriks simetri maka A t A. Jadi t t Av λv v (.5) Dengan mengalikan kedua ruas pesamaan Av λv dengan menghasilkan v t t Av vλv t v pada bagian kiri v ( t t Av λvv t t v λv λ (sifat komutatif )) (.6) Dari persamaan (.5) dan (.6) diperoleh λ. v t t v. v λ. v. ( λ λ ) v t v Oleh karena λ λ didapat v t v Jadi, v. v ( v dan v orthogonal). Contoh. Carilah nilai-nilai eigen, vektor-vektor eigen dan eigen space dari matriks berikut. A 4 5 Penyelesaian: Jelas polinomial karakteristik A adalah det ( λ I A). Jelas det ( λi A) λ + 4 λ λ 5 λ det( λi A) ( λ + ) + λ 5 4 λ 5 4 λ det( λi A) ( λ + )((( λ )( λ 5)) 4) + (( λ 5) + 8) ( 4 4( λ )) det( λi A) ( λ + )( λ 8λ + 5 4) + (λ + 8) ( 4 4λ + )

48 4 λ λ λ λ λ λ λ λ ) det( A I 6 6 ) det( + λ λ λ λ A I Sehingga diperoleh persamaan karakteristiknya adalah sebagai berikut λ λ λ ) )( )( ( λ λ λ Jadi nilai-nilai eigennya adalah,, λ λ dan λ. Akibatnya terdapat ruang eigen dari A. Berdasarkan definisinya merupakan vektor eigen dari matriks A yang terkait dengan, jika dan hanya jika adalah sebuah solusi nontrivial dari ( A) I λ yakni λ λ λ (.7) Jika λ disubstitusikan ke persamaan (.7), diperoleh atau sesuai dengan (.8) (.9) 4 4 (.) Dari persamaan (.8) dan (.9) didapatkan

49 4 Karena maka diperoleh. Jadi penyelesaian dari persamaan (.7) dengan λ adalah,, Sehingga vektor eigen yang terkait dengan λ adalah vektor taknol yang berbentuk. Jadi, adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan λ. Jika λ disubtitusikan ke persamaan (.7), didapat atau sesuai dengan 4 (.) (.) 4 (.) Dari persamaan (.) dan (.) didapatkan 4 Sistem persamaan ini akan dieliminasi untuk mendapatkan pemecahannya

50 Sehingga diperoleh nilai dan. Jadi penyelesaian dari persamaan (.7) dengan λ adalah,,. Sehingga vektor eigen yang terkait dengan λ adalah vektor taknol yang berbentuk Jadi adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan λ. Jika λ disubtitusikan ke persamaan (.7), di dapat atau sesuai dengan 5 (.4) (.5) 4 (.6) Dari persamaan (.5) didapat Karena maka dari persamaan (.4) diperoleh 5 Jadi penyelesaian dari persamaan (.7) dengan λ adalah,,

51 44 Sehingga vektor eigen yang terkait dengan λ adalah vektor taknol yang berbentuk Jadi adalah sebuah basis untuk ruang eigen yang terkait dengan λ.. Diagonalisasi matriks Definisi.4 Matriks kuadrat A disebut dapat didiagonalisassikan (diagonalizable) jika terdapat matris P yang dapat dibalik sehingga P - AP matriks diagonal. Matriks P dikatakan mendiagonalisasi A. (anton,99:84). Langkah-langkah untuk mendigonalisasi matriks A yang berukuran nn adalah sebagai berikut.. Carilah n vektor eigen bebas linier A, p,p,...,p n.. Bentuklah matriks P yang mempunyai p,p,...,pn sebagai vektor-vektor kolomnya.. Matriks P - AP akan diagonal dengan,,... n sebagai entri-entri diagonalnya yang berurutan, dimana i adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan p i, i,,...,n. Contoh. Carilah matriks P yang mendiagonalkan A kemudian tentukan solusi dari A 6

52 45 Pemecahan: Nilai-nilai eigen A adalah dan 5, dan Jadi vektor-vektor eigennya P p p Jadi P Dan P - Akan mendiaginal A. Sebagai pemeriksaan kita kalikan P - AP sehingga diperoleh hasil sebagai berikut. P - AP Tidak ada orde yang diistimewakan untuk kolom-kolom P. Karena entri diagonal ke i dari P - AP adalah nilai eigen untuk vektor-vektor kolom ke i dari P, maka dengan mengubah orde kolom-kolom P hanyalah mengubah orde nilai-nilai eigen pada diagonal P - AP. Andaikan kita tulis P Maka diperoleh P - AP Jelas P - AP

53 46 Jadi A P(P - AP)P - A 6 (P(P - AP)P - ) 6 P(P - AP) 6 P - Definisi.4 Matriks A kuadrat dinamakan dapat didiagonalisasi secara ortogonal jika terdapat matriks P yang ortogonal sehingga P - AP P t AP diagonal; matriks P dikatakan mendiagonalisasi A secara ortogonal. (anton, 99: 9). Contoh. Carilah matriks ortogonal P yang mendiagonalkan matriks A. Penyelesaian. Persamaan karakteristik A adalah Jadi, nilai-nilai eigen dari A adalah

54 47 Jadi Membentuk basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan. Dengan menerapakan proses Gram-Schmidt terhadap {u,u } menghasilkan vektor-vektor eigen ortonormal sebagai berikut. Ruang eigen yang bersesuaian dengan λ 8 adalah Sebagai basis. Dengan menerapakan proses Gram-Schmidt terhadap {u } menghassilkan vektor-vektor eigen ortonormal Akhirnya, dengan v, v, v sebagai vektor-vektor kolom maka diperoleh

55 48 Jelas.. Bilangan bulat Definisi.4 Diberikan a, n Z. Bilangan bulat a dikatakan membagi n jika terdapat b Z sedemikian hingga n ab. Jika a membagi n, maka a disebut pembagi n dan n merupakan kelipatan a. Bilangan bulat a yang membagi n ditulis a n. (stinson, D.R 995) Definisi.4 Jika m adalah sebuah bilangan bulat positif, a dan b adalah bilangan-bilangan bulat sebarang, maka kita mengatakan bahwa a ekuivalen dengan b modula m, ditulis a b (mod m) Jika a b adalah kelipatan bilangan bulat dari m. Misalkan a dan b dibagi dengan m, didapat hasil bagi bilangan bulat dan sisa, dimana sisa bernilai antara dan m, dimana a q m + r dan b q m + r, dengan r m dan r m, maka jelas bahwa a b (mod m) jika dan hanya jika r r. (Anton, Rorrer) Definisi.44 Pembagi persekutuan (common divisor) dari bilangan bulat a,a,...,a k adalah suatu bilangan bulat yang membagi a,a,...,a k.

56 49 Definisi.45 Diberikan a,a,...,a k Z. Suatu bilangan bulat nonnegatif d disebut pembagi persekutuan terbesar (greatest common divisor) dari a,a,...,a k jika. Bilangan bulat d merupakan pembagi persekutuan dari a,a,...,a k, yaitu d membagi a,a,...,a k.. Untuk sebarang bilangn bulat c, jika c membagi a,a,...,a k maka c membagi d. Bilangan bulat d dinotasikan dengan d gcd(a,a,...,ak). Teorema (stinson, D.R.,995) Suatu persamaan kongruensi a b (mod m) mempunyai solusi tunggal Z m untuk setiap b Z m jika dan hanya jika gcd(a,m). Bukti. ( ) dengan menggunakan kontraposisinya, jika gcd(a,m) (karena dalam hal ini nilai gcd selalu non negatof, maka gcd(a,m) > ) maka bersamaan kongruensi a (mod m) paling sedikit dua penyelesaian yang berada di Z m. Yaitu dan. Artinya solusi tidak tunggal. ( ) misalakan diketahui gcd(a,m) misalkan terdapat, sedemikian hingga a a (mod m), maka a( ) (mod m) artinya m a( ). Dari sifat teori bilangan,diperoleh gcd(a,b) dan a bc maka a c. Karena gcd (a,m) dan m a( ). Maka mod m) (solusi tunggal). Definisi.46 Misalkan diberikan a Z m. Invers terhadap pergandaan dari a adalah bilangan a - Z m sedemikian sehingga aa - a - a (mod m). Invers ini disebut invers modula m. (stinson, D.R., 995)

57 5 Contoh: () 7 (mod 5) (). - 5 (mod 6) Untuk sebarang bilangan bulat modula m, dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan bulat a adalah ekuivalen modula m, dengan tepat satu dari bilanganbilangan bulat,,,..., m. Kita menyebut bilangan bulat tersebut residu dari a modula m, dan kita menuliskannya Z m {,,,..., m } Untuk menyatakan residu-residu dari modula m. Jika a adalah bilangan bulat tak negatif, maka residu dari modula m secara sederhana adalah sisa yang dihasilkan ketika a dibagi dengan m. Untuk sebarang bilangan bulat a, residu dapat ditentukan dengan menggunakan teorema berikut ini. Teorema.6 Untuk sebarang bilangan bulat a dan modulus m, misalkan R sisa dari Maka residu r dari modula m dapat ditentukan dengan r R jika a r m R jika a < dan R r jika a < dan R (Anton, Rorrer : ). Bukti. Kasus a Dipunyai R sisa dari Jelas. Karena R adalah sisa dari, maka residu r dari (modula m) R. Jadi r m. Kasus a <

58 5 Dipunyai R sisa dari Jelas. Karena R adalah sisa dari maka residu r dari (modula m) m R. Jika R, jelas m R m m. Jadi residu r dari (modula m). Contoh. Tentukan residu modula 6 dari a. 87 b. -8 Penyelesaian. a (mod 6) b. Pembagian -8 8 dengan 6 menghasilkan sisa 9 sehingga r Dengan demikian -8 7 (mod 6). Dalam aritmatika biasa, setiap bilangan bulat bukan mempunyai sebuah resiprok atau invers perkalian (multiplicative inverse), yang dilambangkan dengan a -, sedemikian sehingga aa - a - a. Dalam aritmatika modular, kita mempunyai konsep yang dibicarakan dalam definisi-definisi dibawah ini. Definisi.47 Jika a adalah bilangan di Z m, maka sebuah bilangan a - di dalam Z m disebut sebuah resiprok atau invers perkalian dari a modula m jika aa - a - a (mod m). Teorema.7 Untuk setiap bilangan bulat m, dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan bulat a adalah ekuivalen modulus m, dengan tepat satu dari bilanganbilangan bulat,,,..., m. Bukti. Berdasarkan Algoritma pembagian bilangan bulat, maka untuk setiap a, m di Z terdapat c, d di Z sehingga a c. m + d dengan d atau < d

59 5 < m., dengan m bilangan bulat positif. Jadi a d (mod m) dengan d atau < d < m. Jadi a ekuivalen modula m. Teorema.8 Jika a dan m tidak mempunyai faktor-faktor prima yang sama, maka a mempunyai sebuah resiprok tunggal di modula m, dan jika a dan m mempunyai faktor prima yang sama, maka a tidak mempunyai resiprok modula m. Bilangan mempunyai sebuah resiprok modula 67 karana dan 67 tidak mempunyai faktor prima yang sama. Resiprok ini dapat diperoleh dengan menentukan bilangn pada Z 67 yang memenuhi persamaan modular ( mod 67). Salah satu metode yang cukup mudah untuk menyelesaikan persamaan ini adalah dengan mencoba-coba solusi yang mungkin, yaitu hinggsa 66. Dengan pendekatan ini kita dapat menjumpai bahwa 4 adalah solusi untuk persoalan ini, karena (mod 6). Contoh. Tentukan residu modula 67 dari a. b. Penyelesaian: a. ( mod 67 ) 7. - ( mod67) 7. 6 ( mod 67 ) 47 ( mod 67 ) 5 (mod 67 ). b. Karena ( mod67) mod 67, maka ( mod67). - ( mod67). - ( mod67). 65 ( mod67) 95 6 (mod (67). Dengan melihat sifat bilangan modula diatas maka penulis memperoleh teorema baru sebagai berikut.

60 5 Teorema.9 Untuk setiap bilangan rasional q, a, b di Z, FPB dari a dan b (ditulis (a,b)), adalah equivalen modula p jika dan hanya jika b dan p tidak mempunyai faktor-faktor prima yang sama. Bukti. dipunyai bilangan rasional q, a, b di Z, dan FPB dari a dan b (ditulis [a,b]), adalah equivalen modula p. Jelas Z p {,,,...,p }. Andaikan b dan p mempunyai faktor prima yang sama Jelas b tidak mempunyai invers pada Z p. Jadi tidak ada b Z b. b - b. b - (mod p). Berakibat q tidak terdefinisi di Z p. Jadi q tidak eqivalen modula p. Ini suatu kontradiksi. Jadi b dan p tidak mempunyai faktor prima yang sama. dipunyai q Q, q, a, b di Z, FPB dari a dan b (ditulis [a,b]), b dan p tidak mempunyai faktor prima yang sama. Berdasarkan teorema 4 karena b dan p tidak mempunyai faktor prima yang sama, maka terdapat b - Z b. b - b -. b (mod p). Karena a, b - Z, maka a. b - Z. Jadi a. b - equivalen modula p. Contoh. Tentukan residu modula 67 dari a.,45 b.,

61 54 Penyelesaian. a.,45 (mod 67) (mod 67) (mod67) (mod67) (mod67) 95 (mod67) 44 (mod 67) 44 b., ( mod67) ( mod67) 8. - ( mod67) 8. 6 ( mod67) 9 ( mod67) 9..4 Kriptografi Pada bagian ini dibahas tentang pengertian kriptografi, Sejarah Kriptografi dan Algoritma kriptografi..4. Pengertian Kriptografi. Kriptografi (cryptography) berasal dari bahasa Yunani, terdiri dari dua suku kata yaitu kripto dan graphia. Kripto artinya menyembunyikan, sedangkan graphia artinya tulisan. Kriptografi adalah ilmu yang mempelajari teknik-teknik matematika yang berhubungan dengan aspek keamanan informasi, seperti kerahasiaan data, keabsahan data, integritas data, serta autentikasi data (Menezes, Oorschot and Vanstone, 996). Tetapi tidak semua aspek keamanan informasi dapat diselesaikan dengan kriptografi. Kriptografi dapat pula diartikan sebagai ilmu atau seni untuk menjaga keamanan pesan. Ketika suatu pesan dikirim dari suatu tempat ke tempat lain, isi pesan tersebut mungkin dapat disadap oleh pihak lain yang tidak berhak untuk mengetahui isi pesan tersebut. Untuk menjaga pesan, maka pesan tersebut dapat diubah menjadi suatu kode yang tidak dapat dimengerti oleh pihak lain.

62 55 Enskripsi adalah sebuah proses penyandian yang melakukan perubahan sebuah kode (pesan) dari yang bisa dimengerti (plainteks) menjadi sebuah kode yang tidak bisa dimengerti (cipherteks). Sedangkan proses kebalikannya untuk mengubah cipherteks menjadi plainteks disebut dekripsi. Proses enkripsi dan dekripsi memerlukan suatu mekanisme dan kunci tertentu. Kriptoanalisis (cryptanalysis) adalah kebalikan dari kriptografi, yaitu suatu ilmu untuk memecahkan mekanisme kriptografi dengan cara mendapatkan kunci dari cipherteks yang digunakan untuk mendapatkan plainteks. Kriptologi (cryptology) adalah ilmu yang mencakup kriptografi dan kriptoanalisis. Ada empat tujuan mendasar dari kriptografi yang juga merupakan aspek keamanan informasi, yaitu Kerahasiaan, adalah aspek yang berhubungan dengan penjagaan isi informasi dari siapapun kecuali yang memiliki otoritas atau kunci rahasia untuk membuka informasi yang telah dienkripsi Integritas data, adalah aspek yang berhubungan dengan penjagaan dari perubahan data secara tidak sah. Untuk menjaga integritas data, sistem harus memiliki kemampuan untuk mendeteksi manipulasi data oleh pihak-pihak yang tidak berhak, antara lain penyisipan, penghapusan, dan pensubsitusian data lain kedalam data yang sebenarnya. Autentikasi, adalah aspek yang berhubungan dengan identifikasi atau pengenalan, baik secara kesatuan sistem maupun informasi itu sendiri. Dua pihak yang saling berkomunikasi harus saling memperkenalkan diri. Informasi