Aplikasi Persamaan Gelombang Schrödinger pada Atom dengan Satu Elektron. Sudaryatno Sudirham

Transkripsi

1 Dapubic Apikasi Pesamaan Geombang Scödinge pada Atom dengan Satu Eekton Sudayatno Sudiam Setea kita meiat apikasi pesamaan Scödinge daam koodinat katesian xyz, kita akan meiat apikasinya pada koodinat poa yaitu apikasi pada atom yang anya memiiki satu eekton sepeti idogen, deuteium, titium, ion eium He, ion itium Li. Daam buku Maceo Aonso dan E.J Finn, pesoaan ini dibaas secaa deti, namun pesamaan Scödinge agak kuang teiat apikasinya. Di sini kita akan membaas pesoaan tesebut secaa ebi sedeana namun kita akan beangkat dai pesamaan Scödinge yang tea kita baas daam koodinat katesian xyz. Pesamaan Scödinge Daam Koodinat Boa Gaya senta oe inti atom menyebabkan eekton beada daam medan potensia yang membentuk simeti boa, yang meupakan fungsi jaak dai inti,. Pesamaan Scödinge tiga dimensi bebas-waktu menjadi Ze V ( ) () ψ ψ ψ Ze E ψ m x y z Daam pesoaan gaya senta ini, kita akan bekeja daam koodinat boa, dengan memposisikan inti atom pada titik asa sepeti teiat pada Gb.. z eekton () inti atom x ϕ y Gb... Koodinat boa dengan inti atom di titik asa. Fungsi geombang dinyatakan daam,, dan ϕ, menjadi ψ(,,. Enegi potensia eekton, yang disebabkan oe adanya pengau dai inti atom, anya meupakan fungsi. Daam koodinat boa, pesamaan () menjadi cot ψ Ψ ψ Ψ ψ Ze E ψ m sin d ϕ Sepeti apa yang tea kita akukan pada tinjauan sumu tiga dimensi xyz, kita tuiskan fungsi geombang daam koodinat boa sebagai ψ(,, ( ) ( ) Φ( () Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge / (3)

2 Dapubic Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge / dengan,, dan Φ adaa fungsi-fungsi dai satu peuba saja, betuut-tuut,, dan ϕ. Kita masukkan tuunan-tuunan pasia () ke (3) kemudian kita kaikan dengan ),, ( / ϕ ψ, maka akan kita peoe sin cot ϕ Φ Φ e E d m (5) uas kii (.5) dapat kita keompokkan daam suku-suku yang mengandung peuba dan yang tidak, seingga (.5) dapat dituiskan menjadi sin cot ϕ Φ Φ m e E d m (6) Enegi Eekton Enegi eekton tekait dengan besa momentum sudutnya akan tetapi tidak dengan aa momentum. Ada satu kondisi di mana momentum tidak memiiki aa tetentu, yaitu kondisi simeti boa. Daam kondisi ini fungsi geombang tidak meupakan fungsi dan ϕ dan a ini akan tejadi jika suku kedua uas kii (6) tidak memiiki pean seingga dapat kita katakan sebagai beniai no. Daam keadaan demikian kita memiiki pesamaan: Ze E d m (7) Jika (7) kita kaikan dengan / maka akan kita peoe Ze E m (8) Jika kedua uas (8) kita kaikan dengan / m dan kita keompokkan suku-suku yang bekoefisien konstan akan kita peoe me mze (9) Saa satu keadaan aga pesamaan (9) tepenui untuk semua niai adaa mze (.a) dan me (.b) Masing-masing pesamaan pada () dapat diseesaikan secaa tepisa tetapi dengan ketentuan bawa sousi dai pesamaan petama aus pua meupakan sousi dai pesamaan kedua. Bentuk sousi adaa s A e dengan mze s, yang juga aus memenui me s. Dai sini kita peoe fomuasi untuk E

3 Dapubic mze mz e E () m 3π ε Inia niai E yang aus dipenui aga bentuk fungsi geombang yang meupakan sousi pesamaan (.a) juga meupakan sousi pesamaan (.b). Pobabiitas Kebeadaan Eekton Fungsi geombang beaku untuk < <. Pobabiitas kebeadaan eekton daam seang ini dapat dicai meaui peitungan pobabiitas kebeadaan eekton daam suatu voume dinding boa yang mempunyai jai-jai dan teba dinding. Di daam voume itu pobabiitas kebeadaan eekton adaa e π s P A e () dengan adaa fungsi geombang yang dipeoe pada pemecaan pesamaan (9) yang juga membeikan easi (). Gb.. mempeiatkan kuva dan P e teadap dinomaisasikan.. P e [Å] Gb.. Fungsi geombang dan pobabiitas kebeadaan eecton teadap. Peatikan bawa kuva-kuva pada Gb... dinomaisasikan seingga niai maksimum maupun P e adaa. Niai-niai maksimum sesunggunya dapat s dipeoe dengan memasukkan besaan-besaan fisis pada pesamaan A e dengan s mze, dan e π Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 3/ s P A e. Niai s daam a ini adaa -8, Jika maks (pada ) maka P emaks pada,5 Å. Kuva ini menunjukkan pobabiitas maksimum ada di sekita suatu niai sedangkan di ua pobabiitas ditemukannya eekton dengan cepat menuun. Ha ini beati bawa kebeadaan eekton tekonsentasi di sekita jai-jai. Inia stuktu atom yang memiiki anya satu eekton di sekita inti atomnya dan inia yang disebut status dasa atau gound state. Enegi eekton pada status ini dibeikan oe pesamaan (), yang jika kita masukkan niai-niai e, m,, dan Z untuk atom idogen, akan kita dapatkan niai 8 E,8 J atau E 3, 6 ev (3) Jai-jai dapat dicai meaui difeensiasi () yang disamakan dengan no yang akan membeikan. π ε s e m,58 Å (.)

4 Dapubic Pada mode atom Bo, inia jai-jai dai obita petama yang dikemukakan oe Bo dan disebut jai-jai atom Bo. Pada teoi kuantum jai-jai ini adaa posisi di mana eekton paing mungkin ditemukan. Dengan () ini maka fungsi geombang dapat dituis sebagai s / niai no A e A e (5) Fungsi geombang ini mempunyai satu titik simpu; titik simpu ini teetak di, dan geombang ini membeikan tingkat enegi yang petama yaitu E. Kita ingat bawa daam tinjauan satu dimensi, apikasi pesamaan Scödinge untuk eekton di daamn sumu potensia menunjukkan bawa ada ketekaitan antaa tingkat enegi dengan juma simpu fungsi geombang yaitu juma titik di mana fungsi geombang beniai no. Daam tinjauan tiga dimensi, pengetian mengenai titik simpu geombang tentua beuba menjadi bidang di mana fungsi geombang beniai no. Fungsi geombang (5) memiiki satu titik simpu yang tekait dengan tingkat enegi E. Sousi ain dai (7) beupa fungsi geombang yang memiiki dua simpu, satu di dan satu agi misanya di A /B dengan bebentuk 3 s ( A B ) e (6) Sousi yang ain agi adaa fungsi geombang yang memiiki tiga simpu, dengan bentuk s3 ( A B C ) e (7) Secaa umum sousi yang dapat dipeoe akan bebentuk dengan n muai dai. 3 sn n L n ( ) e (8) Peitungan untuk mempeoe sousi ini tidak kita baas; kita anya akan meiat asinya saja. Bentuk fungsi geombang n sampai dengan n 3 dipeiatkan pada Gb.3. 3,5,5,5 3 3,5 [Å] Gb.3. Bentuk geombang dengan satu, dua, dan tiga simpu.[] Pobabiitas kebeadaan eekton adaa P en s t n π L ( ) e (9) Kuva pobabiitas kebeadaan eekton untuk ketiga bentuk fungsi geombang yang dipeiatkan pada Gb.3. adaa sepeti teiat pada Gb.. Kuva-kuva daam gamba ini dinomaisasikan aga intega dai no sampai tak ingga beniai satu. n Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge /

5 ,,8,6,, Dapubic P e P e P e3 Gb.. Kuva pobabiitas kebeadaan eekton untuk fungsi geombang,, 3. []. Masing-masing fungsi geombang membeikan tingkat enegi tetentu yang tekait dengan n yaitu E n 3,6, dengan n,, 3, () n Inia tingkat-tingkat enegi yang meupakan tingkat-tingkat enegi utama pada atom dan biangan n disebut biangan kuantum utama. Ha ini tea pua kita iat pada mode atom Bo. Momentum Sudut,5,5,5 3 3,5 Sebagaimana tea kita iat, biangan kuantum utama n yang tekait dengan tingkat enegi utama, muncu pada apikasi pesamaan Scödinge pada bagian yang meupakan fungsi. Pada benda yang begeak, seain enegi kita juga mengena momentum; keduanya adaa besaan-besaan geak. Jika enegi tekuantisasi, seausnya momentum juga tekuantisasi. Ha ini akan kita iat. Daam pesamaan Scödinge, momentum sudut tekait dengan bagian fungsi geombang yang tidak tegantung yang beati tidak tegantung dai potensia V (). Besa dan aa momentum sudut tekait dengan fungsi geombang yang meupakan fungsi sudut ϕ,. L p Gb.5. Vekto Momentum Sudut Daam mekanika kasik, vekto momentum sudut eekton yang beeda mengeiingi inti atom dapat kita tuiskan sebagai (Liat Gb.5). L Daam mekanika kuantum, kita memiiki opeato momentum sudut, yaitu Opeato ini dapat kita tuiskan sebagai / x p / y / z L j. u x u y uz L j j x y z () Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 5/

6 Dapubic Komponen-komponen dai opeato momentum ini adaa L x j y z ; z y L y j x z z x ; L z j x y (.) y x Dai ubungan-ubungan daam koodinat boa kita dapat mempeoe x sin cos ϕ, y sin sin ϕ, z cos x y z sin sin ϕ y; sin cos ϕ x; ϕ ϕ ϕ ϕ dan opeato L z pada () dapat dituiskan seingga x y z y x ϕ x ϕ y ϕ z x y L z j (3) ϕ Penyataan (3) ini besifat umum. Sumbu z bisa dipii pada aa manapun dai posisi inti atom yang beada di titik asa. Oe kaena itu dapat dikatakan bawa opeato momentum sudut pada aa manapun, adaa j dengan ϕ adaa sudut yang diuku sekeiing ϕ aa tesebut. Jika opeato L z bekeja pada bagian fungsi geombang Φ yang anya tegantung dai ϕ, maka dapat kita tuiskan L z Φ( L z Φ( j Φ( () ϕ Daam easi (), untuk suatu Φ( tetentu tedapat L z yang meupakan niai konstan; Φ( yang membeikan niai L z konstan tesebut disebut fungsi pope dan L z adaa niai pope-nya. Dai () kita dapatkan pesamaan ϕ Φ( jm Φ( (5) Lz dengan m. Pada pesamaan (5) tuunan suatu fungsi sama dengan suatu niai konstan kai fungsi itu sendii; sousi dai (5) dapat kita duga bebentuk fungsi eksponensia Φ ϕ ( Ae jm (6) jm ( ϕ π) Kaena sifat peiodiknya maka ϕ jm jπm e e dan ausa e. Ha ini beati bawa m aus beniai buat positif ataupun negatif, temasuk no. Jadi m, ±, ±...dst (7) Niai A pada (6) dapat kita peoe meaui nomaisasi; pobabiitas ditemukannya eekton pada kisaan sudut antaa sampai π adaa satu. Jadi π Φ Φd ϕ, seingga * Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 6/

7 Dapubic π jm ϕ ϕ jm ( Ae )( Ae ) dϕ A π dϕ π A Jika A beniai nyata maka A / π. Dengan demikian maka fungsi pope (yang dinomaisi) dai L z pada () adaa dan niai pope jmϕ Φ( e dengan m, ±, ±... dst (8) π L z m (9) easi ini menunjukkan bawa komponen z dai momentum sudut adaa tekuantisasi, dan a ini besifat umum. Tanpa mengetaui komponen yang ain, kita dapat mengatakan bawa aa momentum sudut tekuantisasi kaena sudut yang dibentuk oe vekto momentum L dengan sumbu z tidaka sembaang meainkan ditentukan oe biangan buat m. Bagaimanaka dengan besa momentum? Kita tidak meneusui ebi anjut pesamaan yang tekait dengan momentum ini akan tetapi anya akan meiat asi yang tea dipeoe daam anaisis teoitis maupun ekspeimenta. Hasinya adaa bawa besa momentum sudut juga tekuantisasi. ( ) L (3) dengan,,, 3,... biangan buat positif Dengan demikian maka momentum sudut ditentukan oe dua macam biangan buat, yaitu yang menentukan besa momentum sudut, dan m yang menentukan komponen z momentum sudut yang bemakna aa momentum sudut. Niai m tidak akan meebii niai sebab jika a itu tejadi L z akan ebi besa dai L, suatu a yang tak dapat diteima. Niai dan m yang mungkin adaa sebagai beikut: m m m, ±, ±, ± Biangan buat dan m adaa biangan-biangan kuantum untuk momentum; (yang menentukan besa momentum) disebut biangan kuantum momentum sudut, atau biangan kuantum azimuta; m (yang menentukan aa momentum sudut) disebut biangan kuantum magnetik. Biangan kuantum dinyatakan dengan simbo uuf untuk mengindakan keancuan dengan biangan kuantum utama. Simbo uuf yang digunakan adaa sepeti teiat pada Tabe-. Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 7/ dst Tabe-. Simbo Huuf Untuk Status Momentum Sudut biangan kuantum 3 5 simbo s p d f g Daam mekanika kasik momen sudut dibawa pengau gaya senta mempunyai niai dan aa konstan. Akan tetapi daam mekanika kuantum tidaka mungkin untuk mengetaui secaa eksak ebi dai satu komponen momentum sudut. Oe kaena itu jika L z diketaui, L x dan L y anya dapat diketaui daam ketidakpastian L dan L sesuai dengan easi x y (3)

8 Dapubic Lz Lx Ly (3) easi (3) ini miip dengan easi ketidakpastian posisi-momentum dan enegi-waktu. Dengan demikian maka mengenai momentum sudut kita anya dapat mengetaui besanya, L, dan komponen-z-nya, L z. Oe kaena itu jika kita menggambakam momentum sudut ini kita dapat menggambakan besa L dengan aa yang anya ditentukan oe sudut yang dibentuk oe vekto L dengan sumbu z, sepeti teiat pada Gb.6. z L y x Gb.6. Momentum Sudut Biangan Kuantum Pembaasan kita sampai kepada kesimpuan bawa ada tiga biangan kuantum. Biangan kuantum yang petama adaa biangan kuantum utama, n, yang menentukan tingkat enegi; biangan kuantum yang kedua adaa biangan kuantum momentum sudut, atau biangan kuantum azimuta, ; dan yang ketiga adaa biangan kuantum magnetik, m. Setiap tingkat enegi yang ditentukan oe n, tedapat n momentum sudut yang memiiki enegi yang sama, dengan niai muai dai sampai (n ). Status momentum ini dinyatakan sebagai ns untuk, np untuk, nd untuk dst. Niai membeikan kondisi simeti boa yang disebutkan pada awa pembaasan enegi eekton, atau dengan kata ain status s membeikan simeti boa. Pada status p ( ) ada tiga fungsi sudut yang menyatakan tiga kemungkinan aa momentum sudut yang tekait dengan m,, dan. Untuk status d ( ) ada ima fungsi sudut yang menyatakan ima kemungkinan aa momentum sudut, tekait dengan m, ±, ± dan seteusnya. Untuk n yang sama, semua eekton dengan status momentum sudut yang bebeda memiiki enegi yang sama. Akan tetapi daam teoi yang ebi cemat yang mempeitungkan pengau ain sepeti eativitas, status momentum sudut yang bebeda pada n yang sama memiiki enegi yang bebeda waaupun pebedaan enegi antaa status momentum di n yang sama ini sangat keci. Gb.7. menjeaskan pebedaan penyataan tingkat enegi atom idogen menuut mode atom Bo dan penyataan tingkat enegi pada peitungan yang ebi cemat. Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 8/

9 Dapubic Enegi tota [ev],5 3, biangan kuantum utama n : s, 6 3p, 3d s, p 3,6-6 Bo ebi cemat Gb.7. Tingkat-tingkat enegi atom idogen menuut Bo dan peitungan yang ebi cemat. [6]. Spin Eekton Apabia sebekas atom be-eekton tungga meintasi medan magnet tak omogen, aa dan besa gaya pada atom tegantung dai pebedaan aa antaa dipoe magnet pada atom dengan aa medan magnet. Jika aa dipoe magnet atom paae dengan aa medan magnet, atom begeak keaa medan magnet yang ebi tinggi. Jika dipoe magnet atom antipaae dengan aa medan magnet, atom begeak ke aa medan magnet yang ebi keci. Gejaa ini tetap tejadi waaupun atom beada pada gound state di mana momentum obitanya beniai no ( ), yang seausnya tidak tepengau oe medan magnet. Gejaa ini dijeaskan dengan pengetian spin eekton. Gagasan mengenai spin eekton ini petama kai dikemukakan oe Uenbeck untuk menjeaskan peiaku tetentu dai atom yang memiiki eekton tungga. Penjeasan tentang spin eekton tidak kita bicaakan ebi jau. Tansisi Eekton Daam Atom Dengan tesedianya banyak tingkat enegi daam satu atom, maka dimungkinkan tejadinya tansisi (pepindaan) eekton dai satu tingkat enegi ke tingkat enegi yang ain, jika keadaan memungkinkan. Daam meninjau tansisi (pepindaan status) eekton, peu dipeatikan kenyataan bawa setiap tingkat enegi memiiki bebeapa status momentum. Tansisi eekton ini diikuti dengan emisi ataupun absobsi poton, tegantung dai apaka eekton bepinda dai tingkat enegi yang ebi tinggi ke tingkat yang ebi enda atau sebaiknya. Poton yang di-emisi-kan ataupun yang di-absobsi daam poses tansisi ini juga memiiki momentum. Kaena daam poses tansisi eekton pinsip konsevasi momentum tetap aus dipenui, maka tedapat kaida tansisi. Untuk geakan yang dipengaui gaya senta, kaida seeksi tansisi eekton adaa ±, m, ± (33) Pinsip konsevasi momentum sudut dan atuan penjumaan momentum sudut sesunggunya mempekenankan tansisi, ±. Akan tetapi a ain (paitas fungsi geombang) tidak memungkinkan tejadinya pepindaan dengan. s Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge 9/

10 Dapubic Menuut kaida seeksi (33) tansisi eekton bisa tejadi misanya - dai status p ke s, dai 3s ke p tetapi tidak dai 3s ke s - dai 3p ke s tetapi tidak dai 3p ke p - dai d ke 3p, dai d ke p - dai p ke s, dai 3p ke s dst. Status s adaa satu-satunya status yang beada di bawa status s, namun tansisi dai s ke s tidak dipekenankan. Oe kaena itu status s disebut status metastabi. Tea disebutkan bawa status s ( ) tidak tepengau oe medan magnet, sedangkan status p, dibawa pengau medan magnet yang kuat tepeca menjadi tiga status sesuai dengan m,, dan. Oe kaena itu tansisi p ke s meupakan tansisi dengan tiga kemungkinan, yaitu tansisi dai m ke m yang tejadi dengan fekuensi asinya, dan dua kemungkinan ain yaitu tansisi dai m ± ke m yang tejadi dengan pebedaan fekuensi dengan µ B B f ±, B Hz (3) e µ B adaa magneton Bo. m e Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge /

11 Dapubic Bebeapa Konstanta Fisika Kecepatan ambat caaya c 3, 8 mete / detik Biangan Avogado N 6, 3 moeku / moe Konstanta gas 8,3 joue /(moe)( o K) Konstanta Panck 6,63 3 joue-detik Konstanta Botzmann k B,38 3 joue / o K Pemeabiitas µ,6 6 eny / mete Pemitivitas ε 8,85 faad / mete Muatan eekton e,6 9 couomb Massa eekton diam m 9, 3 kg Magneton Bo µ B 9,9 amp-m Pustaka (beuut sesuai pemakaian). Zbigniew D Jastzebski, Te Natue And Popeties Of Engineeing Mateias, Jon Wiey & Sons, ISBN , Danie D Poock, Pysica Popeties of Mateias fo Enginees, Voume I, CC Pess, ISBN , Wiiam G. Moffatt, Geoge W. Peasa, Jon Wuf, Te Stuctue and Popeties of Mateias, Vo. I Stuctue, Jon Wiey & Sons, ISBN , Maceo Aonso, Edwad J. Finn, Fundamenta Univesity Pysics, Addison-Wesey, obet M. ose, Lawence A. Sepad, Jon Wuf, Te Stuctue and Popeties of Mateias, Vo. IV Eectonic Popeties, Jon Wiey & Sons, ISBN , Sudayatno Sudiam, P. Gomes de Lima, B. Despax, C. Mayoux, Patia Syntesis of a Discage-Effects On a Poyme Caacteized By Tema Stimuated Cuent makaa, Conf. on Gas Disage, Oxfod, Sudayatno Sudiam, éponse Eectique d un Poyimide Soumis à une Décage Luminescente dans Agon, Desetasi, UNPT, Sudayatno Sudiam, Anaisis angkaian Listik, Bab- dan Lampian-II, Penebit ITB, ISBN W. Tia Sugg, Handbook of Eectica and Eectonic Insuating Mateias, IEEE Pess, 995, ISBN Danie D Poock, Pysica Popeties of Mateias fo Enginees, Voume III, CC Pess, ISBN , 98.. Jee H. Bopy, obet M. ose, Jon Wuf, Te Stuctue and Popeties of Mateias, Vo. II Temodynamic of Stuctue, Jon Wiey & Sons, ISBN X, L. Soyma, D. Was, Lectues on te Eectica Popeties of Mateias, Oxfod Scie. Pubication, ISBN X, Danie D Poock, Pysica Popeties of Mateias fo Enginees, Voume II, CC Pess, ISBN , 98.. G. Boune, C. Bousse, J.J. Moine, Cimie Oganique, Cedic/ Fedinand Natan, Fed W. Bimeye, J, Textbook of Poyme Science, Jon Wiey & Son, 98. Sudayatno Sudiam, Apikasi Pesamaan Geombang Scodinge /