5. Konvolusi dan Transformasi Fourier

Transkripsi

1 5. Konvolusi dn Trnsformsi Fourir Bb ini brisi konsp mtmtis yng mlndsi tori pngolhn citr. Du oprsi mtmtis pnting yng prlu diphmi dlm mmpljri pngolhn citr dijitl dlh oprsi konvolusi dn Trnsformsi Fourir. Konvolusi trdpt pd oprsi pngolhn citr yng mnglikn sbuh citr dngn sbuh msk tu krnl (kn dijlskn kmudin), sdngkn Trnsformsi Fourir dilkukn bil citr dimnipulsi dlm rnh (domin) frkunsi ktimbng dlm rnh spsil. Bgin prtm di dlm Bb 5 ini kn mmbhs konvolusi, dn bgin kdu kn mmbhs Trnsformsi Fourir. 5. Tori Konvolusi Oprsi yng mndsr dlm pngolhn citr dlh oprsi konvolusi. Konvolusi buh fungsi f(x) dn g(x) didfinisikn sbgi brikut: h ( x) f ( x) * g( x) f ( ) g( x ) d (5.) yng dlm hl ini, tnd * mnytkn oprtor konvolusi, dn pubh (vribl) dlh pubh bntu (dummy vribl). Untuk fungsi diskrit, konvolusi didfinisikn sbgi h ( x) f ( x) * g( x) f ( ) g( x ) (5.) Pd oprsi konvolusi di ts, g(x) disbut krnl konvolusi tu krnl pnpis (filtr). Krnl g(x) mrupkn sutu jndl yng dioprsikn scr brgsr pd sinyl msukn f(x), yng dlm hl ini, jumlh prklin kdu fungsi pd stip titik mrupkn hsil konvolusi yng dinytkn dngn klurn h(x). Ilustrsi konvolusi dlh sbgi brikut. Mislkn fungsi f(x) dn g(x) diprlihtkn pd Gmbr 5.() dn 5.(b). Lngkh-lngkh prhitungn hsil konvolusi ditunjukkn muli dri Gmbr 5.(c) smpi 5.(f). Hsil konvolusi ditunjukkn pd Gmbr 5.(g), yitu: x /, x < f ( x) * g( x) x /, x (5.3), linny

2 f() g() / () (b) g(-) g(x - ) / / - (c) - x (d) f()g(x-) f()g(x-) / <x< / <x< - x () - x- () x f(x)*g(x) / (f) x Gmbr 5.. Ilustrsi pross konvolusi [GON77]

3 Contoh ilustrsi konvolusi yng lin dlh dngn fungsi dlt. Ad du mcm fungsi dlt: dlt Dirc dn dlt Kronckr. Fungsi dlt Dirc disbut jug fungsi dnyut (impuls). Fungsi ini brnili untuk x, dn lbr dnyutny sm dngn. Scr mtmtis fungsi dlt Dirc dfinisikn sbgi δ ( x), x lim ε ε ε δ ( x ) dx (5.) Gmbr 5. mmprlihtkn bntuk fungsi dlt Dirc. Sift-sift fungsi dlt Dirc:. f ( x' ) δ ( x x' ) dx' f ( x) (5.5) δ ( x). δ ( x) (5.6) Fungsi dlt Dirc dlh fungsi dngn drh sl bilngn riil. Bil kit bkrj dngn fungsi diskrit, mk fungsi dlt yng digunkn dlh fungsi dlt Kronckr, yng didfinisikn sbgi dngn sift, n δ ( n) (5.7), n m f ( m) δ ( n m) f ( n) (5.8) Bntuk dwimtr dri fungsi dlt diprolh dngn mnglikn bntuk stumtrny: Dirc: δ(x,y) δ(x) δ(y) Kronckr: δ(m,n) δ(m) δ(n) δ (x) Gmbr 5.. Fungsi dlt Dirc x

4 Hsil konvolusi fungsi f(x) pd Gmbr 5.3() dngn fungsi g(x) δ(x + T) + δ(x) + δ(x T) pd Gmbr 5.3(b) ditunjukkn pd Gmbr 5.3(c). f() g() A A b -T T -T b T () (b) (c) Gmbr 5.3. Konvolusi dngn fungsi impuls Slh stu pnggunn fungsi dlt dlh mlkukn pnrokn (smpling) pd sinyl mlr f(x). Pross pnrokn umumny dilkukn pd priod yng ttp. Jik sinyl mlr f(t) ditrok dngn priod ttp T, mk diprolh srngkin nili diskrit f d (n): f d (n) f(nt), < n < + Pross pnrokn ini ditunjukkn dngn Gmbr 5.. f(t) Pnrokn f d (nt) Gmbr 5.. Pross pnrokn Scr mtmtis, pross pnrokn dinytkn sbgi prklin sinyl mlr f(t) dngn fungsi pnrok brup rnttn sinyl dlt sjrk T stu sm lin (Gmbr 5.5). Fungsi pnrok itu dpt dinytkn sbgi s(t) Dngn dmikin, δ ( t nt ) (5.9) f d (t) f(t)s(t) f(t) δ ( t nt ) f ( t) δ ( t nt ) (5.) Ilustrsi grfis pross pnrokn ditunjukkn pd Gmbr 5.6 3

5 T Gmbr 5.5. Fungsi pnrok s f(t) t s(t) t f(t)s(t) t Gmbr 5.6. Ilustrsi grfis pross pnrokn

6 5. Konvolusi Pd Fungsi Dwimtr Untuk fungsi dngn du pubh (fungsi du dimnsi tu dwimtr), oprsi konvolusi didfinisikn sbgi brikut: ) untuk fungsi mlr h ( x, y) f ( x, y)* g( x, y) f (, b) g( x, y b) ddb (5.) b) untuk fungsi diskrit h ( x, y) f ( x, y)* g( x, y) f (, b) g( x, y b) (5.) b Fungsi pnpis g(x,y) disbut jug convolution filtr tu convolution msk tu convolution krnl tu tmplt. Dlm rnh diskrit krnl konvolusi dinytkn dlm bntuk mtriks (umumny 3 3, nmun d jug yng brukurn tu tu ). Ukurn mtriks ini bisny lbih kcil dri ukurn citr. Stip lmn mtriks disbut kofisin konvolusi. Ilustrsi konvolusi ditunjukkn pd Gmbr 5.7. A B C D E F G H I krnl p p p 3 p p 5 p 6 p 7 p 8 p 9 f(i,j) citr f(i,j) A p + B p + C p 3 + D p + E p 5 + F p 6 + G p 7 + H p 8 + I p 9 Gmbr 5.7 Ilustrsi konvolusi [JAI95] Oprsi konvolusi dilkukn dngn mnggsr krnl konvolusi pixl pr pixl. Hsil konvolusi disimpn di dlm mtriks yng bru. 5

7 Contoh 5.. Mislkn citr f(x, y) yng brukurn 5 5 dn sbuh krnl tu yng brukurn 3 3 msing-msing dlh sbgi brikut: 6 f(x, y) g(x, y) 3 Ktrngn: Tnd mnytkn posisi (, ) dri krnl. Oprsi konvolusi ntr citr f(x, y) dngn pnpis g(x, y): f(x, y) * g(x, y) dpt digmbrkn sbgi brikut: () Tmptkn krnl pd sudut kiri ts: Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( ) + (- ) + ( 3) + (- 6) + ( 6) + (- 5) + ( 5) + (- 6) + ( 6) 3 () Gsr krnl stu pixl k knn, kmudin hitung nili pixl pd posisi (, ) dri krnl: Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( ) + (- 3) + ( 5) + (- 6) + ( 5) + (- 5) + ( 6) + (- 6) + ( 6) 6

8 (3) Gsr krnl stu pixl k knn, kmudin hitung nili pixl pd posisi (, ) dri krnl: Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( 3) + (- 5) + ( ) + (- 5) + ( 5) + (- ) + ( 6) + (- 6) + ( ) () Slnjutny, gsr krnl stu pixl k bwh, llu muli lgi mlkukn konvolusi dri sisi kiri citr. Stip kli konvolusi, gsr krnl stu pixl k knn: (i) Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( 6) + (- 6) + ( 5) + (- 5) + ( 6) + (- 6) + ( 6) + (- 7) + ( 5) (ii) Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( 6) + (- 5) + ( 5) + (- 6) + ( 6) + (- 6) + ( 7) + (- 5) + ( 5) 7

9 (iii) Nili intnsits bru dri pixl pd posisi (, ) dri krnl dihitung dngn cr brikut: ( 5) + (- 5) + ( ) + (- 6) + ( 6) + (- ) + ( 5) + (- 5) + ( 3) 6 Dngn cr yng sm sprti di ts, mk pixl-pixl pd bris ktig dikonvolusi shingg mnghsilkn: Sbgi cttn, jik hsil konvolusi mnghsilkn nili pixl ngtif, mk nili trsbut dijdikn, sblikny jik hsil konvolusi mnghsilkn nili pixl lbih bsr dri nili kbun mksimum, mk nili trsbut dijdikn k nili kbun mksimum (ingt oprsi clipping). Mslh timbul bil pixl yng dikonvolusi dlh pixl pinggir (bordr), krn bbrp kofisin konvolusi tidk dpt dpt diposisikn pd pixl-pixl citr (fk mnggntung ), sprti contoh di bwh ini: 3 5? ? ? Mslh mnggntung sprti ini sllu trjdi pd pixl-pixl pinggir kiri, knn, ts, dn bwh. Solusi untuk mslh ini dlh [SID95]:. Pixl-pixl pinggir dibikn, tidk di-konvolusi. Solusi ini bnyk dipki di dlm pustk fungsi-fungsi pngolhn citr. Dngn cr sprti ini, mk pixl-pixl pinggir niliny ttp 8

10 sm sprti citr sl. Gmbr 5.8 mmprlihtkn hsil konvolusi pd Contoh 5., yng dlm hl ini nili pixl-pixl pinggir sm dngn nili pixl smul.. Dupliksi lmn citr, mislny lmn kolom prtm dislin k kolom M+, bgitu jug sblikny, llu konvolusi dpt dilkukn trhdp pixl-pixl pinggir trsbut. 3. Elmn yng ditndi dngn? disumsikn brnili tu konstnt yng lin, shingg konvolusi pixl-pixl pinggir dpt dilkukn. Solusi dngn ktig pndktn di ts mngsumsikn bgin pinggir citr lbrny sngt kcil (hny stu pixl) rltif dibndingkn dngn ukurn citr, shingg pixl-pixl pinggir tidk mmprlihtkn fk yng kst mt Gmbr 5.8 Pixl-pixl pinggir (yng tidk dirsir) tidk dikonvolusi (dri Contoh 5.) Algoritm konvolusi citr N M dngn dngn msk tu krnl yng brukurn 3 3 ditunjukkn pd Algoritm 5.. Pixl yng dikonvolusi dlh lmn (i, j). Dlpn buh pixl yng brttngg dngn pixl (i, j) diprlihtkn pd Gmbr 5.9. i-,j- i-,j i-,j+ i, j- i,j i, j+ i+,j- i+,j i+,j+ Gmbr 5.9 Pixl-pixl pinggir (yng tidk dirsir) tidk dikonvolusi (dri Contoh 5.) 9

11 void konvolusi(citr Img, citr ImgRsult, imtriks Msk, int N, int M) /* Mngkonvolusi citr Img yng brukurn N M dngn msk 3 3. Hsil konvolusi disimpn di dlm mtriks ImgRsult. */ { int i, j; } for (i; i<n-3; i++) for(j; j<m-3; j++) ImgRsult[i][j] Img[i-][j-]*Msk[][] + Img[i-][j+]*Msk[][] + Img[i-][j]*Msk[][] + Img[i][j-]*Msk[][] + Img[i][j]*Msk[][] + Img[i][j+]*Msk[][] + Img[i+][j-]*Msk[][] + Img[i+][j]*Msk[][] + Img[i+][j+]*Msk[][]; Algoritm 5.. Konvolusi citr dngn sbuh msk yng brukurn 3 3. And dpt mliht bhw oprsi konvolusi mrupkn komputsi pd rs lokl, krn komputsi untuk sutu pixl pd citr klurn mlibtkn pixl-pixl ttngg pd citr msuknny. Konvolusi brgun pd pross pngolhn citr sprti: - prbikn kulits citr (img nhncmnt) - pnghilngn dru - mngurngi rotn - pnghlusn/plmbutn citr - dtksi tpi, pnjmn tpi - dll Sbgi contoh, Gmbr 5.9 mmprlihtkn konvolusi citr Ln dngn pnpis Gussin untuk mmprtjm tpi-tpi di dlm citr. Pnpis Gussin dlh sbuh msk yng brukurn 3 3: g( x, y)

12 * () Citr Ln smul (b) Citr Ln ssudh konvolusi Gmbr 5. Konvolusi citr Ln dngn pnpis Gussin untuk mmprtjm gmbr. Krn konvolusi dilkukn pr pixl, dn untuk stip pixl dilkukn oprsi prklin dn pnjumlhn, mk jls konvolusi mngkonsumsi bnyk wktu. Jik citr brukurn N N dn krnl brukurn m m, mk jumlh prklin dlh dlm ord N m. Sbgi contoh jik citr brukurn 5 5 dn krnl brukurn 6 6, mk d skitr 3 jut prklin yng dibutuhkn. Ini jls tidk cocok untuk pross yng rl tim tnp prngkt krs yng ddictd. Stu cr mngurngi wktu komputsi dlh mntrnsformsi citr dn krnl k dlm rnh frkunsi (dngn mnggunkn Trnsformsi Fourir kn diurikn di upbb 5.), slnjutny konvolusi dilkukn dlm rnh wktu. Kuntungn utm dri pnggunn rnh frkunsi dlh pross konvolusi dpt ditrpkn dlm bntuk prklin lngsung. Pross prubhn fungsi dri rnh rnh spsil k rnh frkunsi dilkukn mllui Trnsformsi Fourir. Sdngkn prubhn fungsi dri rnh frkunsi k rnh spsil dilkukn mllui Trnsformsi Fourir Blikn (invrs). f(x, y) Trnsformsi Fourir F(u, v) F(u, v) Trnsformsi Fourir Blikn f(x, y) Dngn dmikin, oprsi konvolusi du buh fungsi dlm rnh frkunsi mnjdi: h(x, y) f(x, y) * g(x, y) H(u, v) F(u, v) G(u, v) H(u, v) Trnsformsi Fourir Blikn h(x, y)

13 5.3 Trnsformsi Fourir Trnsformsi Fourir mrupkn trnsformsi pling pnting di dlm bidng pngolhn sinyl (signl procssing), khususny pd bidng pngolhn citr. Umumny sinyl dinytkn sbgi bntuk plot mplitudo vrsus wktu (pd fungsi stu mtr) tu plot mplitudo vrsus posisi spsil (pd fungsi dwimtr). Pd bbrp pliksi pngolhn sinyl, trdpt ksukrn mlkukn oprsi krn fungsi dlm rnh wktu/spsil, mislny pd oprsi konvolusi di ts. Oprsi konvolusi dpt ditrpkn sbgi bntuk prklin lngsung bil fungsi brd dlm rnh frkunsi. Trnsformsi Fourir dlh kks (tool) untuk mngubh fungsi dri rnh wktu/spsil k rnh frkunsi. Untuk prubhn sblikny digunkn Trnsformsi Fourir Blikn. Intisri dri Trnsformsi Fourir dlh mngurikn sinyl tu glombng mnjdi sjumlh sinusoid dri brbgi frkunsi, yng jumlhny kivln dngn glombng sl. Di dlm pngolhn citr, trnsformsi Fourir digunkn untuk mngnlisis frkunsi pd oprsi sprti prkmn citr, prbikn kulits citr, rstorsi citr, pngkodn, dn lin-lin. Dri nlisis frkunsi, kit dpt mlkukn prubhn frkunsi pd gmbr. Prubhn frkunsi brhubungn dngn spktrum ntr gmbr yng kbus kontrsny smpi gmbr yng ky kn rincin visulny. Sbgi contoh, pd pross prkmn citr mungkin trjdi pngburn kontrs gmbr. Pd gmbr yng mnglmi kkburn kontrs trjdi prubhn intnsits scr prlhn, yng brrti khilngn informsi frkunsi tinggi. Untuk mningktkn kulits gmbr, kit mnggunkn pnpis frkunsi tinggi shingg pixl yng brkontrs kbur dpt dinikkn intnsitsny [. 5. Trnsformsi Fourir Mlr Trnsformsi Fourir untuk stu pubh: iπux I { f( x)} F( f ( x) du (5.3) Trnsformsi Fourir Blikn untuk stu pubh: I { F( } iπux f ( x) F( du (5.) yng dlm hl ini, i imginr u dlh pubh frkunsi Bik trnsformsi Fourir mupun Trnsformsi Fourir Blikn kduny dinmkn psngn trnsformsi Fourir.

14 Untuk f(x) rl, F( dlh fungsi komplks dn dpt dituliskn sbgi: F( R( + ii( F( iφ( (5.5) Amplitudo tu F( disbut spktrum Fourir dri f(x) dn didfinisikn sbgi: F ( R ( + I ( (5.6) Sudut fs spktrum, I( Θ ( tn [ ] (5.7) R( mnytkn prgsrn fs tu sudut fs dri stip frkunsi u. Dngn mngingt ksmn Eulr ± ix cos( x) ± i sin( x) (5.8) mk psngn trnsformsi Eulr dpt jug ditulis sbgi iπux F( f ( x) dx f ( x){cos(πux) i sin (πux)} dx iπux f ( x) F( du F( {cos(πux) + i sin (πux)} du (5.9) (5.) Trnsformsi Fourir untuk fungsi dngn du pubh dlh F( u, v) f ( x, y) iπ ( ux+ uy) dudv (5.) sdngkn Trnsformsi Fourir Bliknny dlh f ( x, y) F( u, v) iπ ( ux+ uy) dudv (5.) yng dlm hl ini, x dn y dlh pubh spsil, sdngkn u dn v dlh pubh frkunsi. Spktrum Fourir dri fungsi du pubh: F ( u, v) R ( u, v) + I ( u, v) (5.3) 3

15 sdngkn sudut fsny: I( u, v) Θ ( u, v) tn [ ] (5.) R( u, v) Sift-sift Trnsformsi Fourir Jik f(t) F( dn g(t) G(, mk sift-sift Trnsformsi Fourir dirumuskn di dlm Tbl 5.. Tbl 5. Sift-sift Trnsformsi Fourir Sift Rnh Wktu Rnh Frkunsi. Klnjrn f ( t) + bg( t) F ( + bg(. Pnskln f (t) F( u / ) 3. Prgsrn f ( t ) F( u ). Modulsi iπt f ( t) F( iπu 5. Konyugsi * * f ( t) F ( 6. Konvolusi h ( t) f ( t)* g( t) H ( F( G( 7. Prklin h ( t) f ( t) g( t) H ( F( * G( 8. Difrnsisi n d f ( t) ( iπ F( n dt 9. Simtri F (t) f ( n. Hsil kli dlm * f ( t) g ( t) dt * F ( G ( du 5.5 Trnsformsi Fourir Diksrit Pd pngolhn sinyl dngn komputr digitl, fungsi dinytkn olh himpunn brhingg nili diskrit. Trnsformsi Fourir Diskrit (TFD) ditujukn bgi prsoln yng tidk mnghsilkn solusi trnsformsi Fourir dlm bntuk fungsi mlr. Bil f(x) yng mnrus dibut diskrit dngn mngmbil N buh trokn (smpling) sjrk x, yitu himpunn nili {f(x ), f(x + x), f(x + x),, f(x + (N-) x)}. Jdi, f x f(x + x x), x,,,, N

16 Psngn Trnsformsi Fourir Diskrit untuk fungsi dngn stu pubh: F f u x N i ux / N f x N x N iπux / N Fu u π, u,,,, N (5.5), x,,,, N (5.6) Dngn mngingt ksmn Eulr, psngn Trnsformsi Fourir Diskrit dpt ditulis dlm bntuk F f u x N x [ f x cos(πux / N ) i f x sin(πux / N )] (5.7) N N u [ F cos(πux / N ) + i F sin(πux / N )] (5.8) u u Intrprtsi dri TFD dlh sbgi brikut: TFD mngkonvrsi dt diskrit mnjdi sjumlh sinusoid diskrit yng frkunsiny dinomori dngn u,,,, N, dn mpiltudony dibrikn olh F(. Fktor /N pd prsmn F( dlh fktor skl yng dpt disrtkn dlm prsmn F( tu dlm prsmn f(x), ttpi tidk kdu-duny. Contoh 5.. [MEN89] Dikthui fungsi sinyl f(t) dngn hsil pnrokn k dlm nili-nili diskrit sbgi brikut (N ): x.5, f x.75, f 3 x., f x 3.5, f 3 Trnsformsi Fourir Diskrit dlh sbgi brikut: / i πx F f x f x f x ( f + f + f + f3) 3.5 F x x x 3 i..πx / iπ / iπ i3π / f x ( f + f + f + f3 x 3 ( + 3[cos( π / ) i sin( π / )] + [cos( π ) i sin( π )] + [cos(3π / ) i sin(3π / )]) ( + 3[ i ] + [ ] + [ + i]) ( i) ) 5

17 F 3 i..πx / iπ iπ i3π x ( x f ( + i ) F ( + 3 i Spktrum Fourirny: ) F 3.5 F (/ ) + (/ ) / + /6 5/6 F 3 F 5 ) 5 Algoritm TFD dn lgoritm TFD Blikn ditunjukkn msing-msing pd Algoritm 5. dn Algoritm 5.3. void TFD(int N) /* Mlkukn Trnsformsi Fourir Diskrit untuk N buh dt msukn. Hsil trnsformsi disimpn di dlm rry R dn I. Arry R mnyimpn bgin riil, dn rry I mnyimpn bgin bgin imjinr. Kdu rry ini didklrsikn sbgi pubh globl. Dt msukn disimpn di dlm rry f[] s/d f[n-] */ { int j, k; doubl tth; } for (j; j<n; j++) { R[j].; I[j].; } for (k; k<n; k++) for (j; j<n-; j++) { tth k**3.*j/(doubl)n; R[k]R[k]+(f[j]*cos(tth))/(doubl)N; I[k]I[k]-(f[j]*sin(tth))/(doubl)N; } Algoritm 5.. Trnsformsi Fourir Diskrit 6

18 void TFD_blikn(int N) /* Mlkukn Trnsformsi Fourir Diskrit Blikn untuk N buh dt msukn. Msukn disimpn di dlm rry R dn I. Arry R mnyimpn bgin riil, dn rry I mnyimpn bgin bgin imjinr. Kdu rry ini didklrsikn sbgi pubh globl. Dt klurn disimpn di dlm rry frl[] s/d f[n-] dn rry fimg[] s/d fimg[n-]. */ { int j, k; doubl tth, psilon E-; } for (j; j<n; j++) { frl[j]; fimg[j]; } for (k; k<n; k++) { for (j; j<n; j++) { tthk**3.*j/(doubl)n; frl[k]frl[k]+(r[j]*cos(tth) I[j]*sin(tth)); fimg[k]fimg[k]+(i[j]*cos(tth)+ R[j]sin(tth)); } if (fimg[k] < psilon) fimg[k]; } Algoritm 5.3. Trnsformsi Fourir Diskrit Blikn Citr dijitl dlh fungsi diskrit dlm rnh spsil, dngn du pubh, x dn y. Pd fungsi diskrit dngn du pubh dn brukurn N M, psngn Trnsformsi Fourir Diskritny dlh: F f u, v x, y NM N M N M u v x y F u, v f x, y iπ ( ux / N + vy / M ) iπ ( ux / N + vy / M ), u dn v,,,, N (5.9), x dn y,,,, N (5.3) tu F f u, v x, y N N u N x F f u, v x, y iπux / N M iπux / N v M F u, v M y f x, y iπvy / M iπvy / M (5.3) (5.3) untuk u, x,,, N dn v, y,,, M. 7

19 Algoritm TFD dn bliknny dpt ditrpkn untuk fungsi diskrit dwimtr. Mul-mul trnsformsi dilkukn dlm rh x (dngn nili y ttp). Kmudin, hsilny ditrnsformsikn lgi dlm rh y. Algoritm TFD tidk bgus untuk N yng bsr krn komputsiny mmkn wktu yng lm. Komplksits wktu lgoritmny dlh O(N ). Algoritm yng diknl cpt untuk mnghitung trnsformsi Fourir diskrit dlh FFT (Fst Fourir Trnsform). Algoritm FFT mmpunyi komplksits wktu O(N log N). Jdi, untuk N 5, TFC kir-kir kli lbih cpt dripd TFD, untuk N skitr kli lbih cpt. Algoritm FFT tidk dibhs di dlm buku ini. 8