MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3

Transkripsi

1 Bandung Arry Sanjoyo, dkk. MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3 SMK Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional

2 Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN JILID 3 Untuk SMK Penulis Ilustrasi Cover Ukuran Buku : Tim : 17,6 x 5 cm SAN m SANJOYO, Bandung Arry Matematika Bisnis dan Manajemen Jilid 3 untuk SMK /oleh Bandung Arry, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S ---- Jakarta : Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional, 008. viii. 1 hlm Daftar Pustaka : A1-A Glosarium : B1-B6 ISBN : Diterbitkan oleh Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional Tahun 009 Diperbanyak oleh: CV. ARYA DUTA Jl. Revolusi No. 9 Villa Pertiwi Sukamaju Depok Telp. (01) , Fax. (01) marketing@aryaduta.co.id ii

3 KATA SAMBUTAN Puji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT., berkat rahmat dan karunia Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional, telah melaksanakan kegiatan penulisan buku kejuruan sebagai bentuk dari kegiatan pembelian hak cipta buku teks pelajaran kejuruan bagi siswa SMK. Karena buku-buku pelajaran kejuruan sangat sulit didapatkan di pasaran. Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan Standar Nasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK dan telah dinyatakan memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 45 Tahun 008 tanggal 15 Agustus 008. Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada seluruh penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya kepada Departemen Pendidikan Nasional, sehingga dapat digunakan secara luas oleh pendidik dan peserta didik SMK. Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada Departemen Pendidikan Nasional tersebut, kami tayangkan lewat internet agar dapat diunduh (download), digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualan harus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Dengan ditayangkan soft copy ini diharapkan akan lebih memudahkan bagi masyarakat khususnya para pendidik dan peserta didik SMK di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri untuk mengakses dan memanfaatkannya sebagai salah satu sumber belajar. Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapat memanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan. Jakarta, 17 Agustus 008 Direktur Pembinaan SMK iii

4 iv

5 KATA PENGANTAR Matematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidang ilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan matematika kita dapat mengungkapkan gejala-gejala alam, sosial, dan teknik dengan suatu ungkapan rumusan matematika yang tidak memuat makna ganda. Bahkan dengan berbantuan matematika kita dapat menyelesaikan permasalahan sosial, ekonomi, manajemen, dan teknik dengan penyelesaian yang akurat dan optimal. Fakta menunjukkan bahwa beberapa pemenang nobel untuk bidang ekonomi atau teknik berasal dari matematikawan. Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dari usia sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan. Buku ini disusun dengan memperhatikan konsep berfikir matematis dan selalu mengaitkannya dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada permasalahan ekonomi, bisnis, dan manajemen. Pada setiap konsep kecil yang dituangkan dalam suatu sub-bab selalu dikaitkan dengan permasalahan sehari-hari. Juga pada setiap bab diawali dengan kalimat motivasi, pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk mengerti dari awal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana. Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsep saja. Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupa dengan contoh-contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiap akhir sub bab diberikan banyak soal-soal sebagai latihan dalam menguasai konsep dan meningkatkan ketrampilan olah pikir dan penyelesaian permasalahan. Buku Matematika SMK Bisnis dan Manajemen ini terdiri dari 11 bab. Bab awal memuat materi dasar dalam matematika, yang akan dipakai untuk materi lain yang ada pada bab sesudahnya. Setiap bab berisi tentang topik kajian matematika yang disajikan lewat orientasi/ilustrasi, teori, beberapa contoh soal mulai dari yang mudah ke soal yang sulit. Sebelum mengerjakan latihan soalsoal pada setiap subbab, didahului dengan rangkuman, dengan tujuan siswa dapat mengingat hal-hal penting dari subbab yang telah dipelajari. v

6 Dengan bekal matematika untuk SMK Bisnis dan Manajemen ini, diharapkan lulusan SMK mempunyai bekal yang cukup dalam berfikir secara logis dan sistematis dengan selalu berpijak pada kaidah-kaidah keilmuan matematika dalam menghadapi problema-problema pada dunia kerja. Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh dari sempurna. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikan sangat diharapkan oleh penulis. Suatu penghargaan yang setinggi-tingginya disampaikan kepada semua pihak yang telah mendukung dan memberikan fasilitas dalam penyusunan buku ini. Terutama kepada beliaubeliau yang dengan ikhlas mengarahkan, mengoreksi, memberikan masukan terhadap isi buku ini. Sekali lagi kami menyampaikan perhargaan yang sangat tinggi dan terima kasih yang sedalam-dalamnya. Penulis. Penulis vi

7 DAFTAR ISI Kata Sambutan... Kata Pengantar... Daftar Isi Geometri Bidang Sudut Keliling Bangun Datar Persegi Dan Persegi Panjang Jajaran Genjang, Layang Layang Dan Trapesium Segitiga Lingkaran Luas Bangun Datar Persegi Dan Persegi Panjang Segitiga Jajaran Genjang Layang-Layang Trapesium Lingkaran Transformasi Geometri Translasi Rotasi Refleksi (pencerminan) Dilatasi Komposisi Transformasi Komposisi Translasi Komposisi Rotasi Komposisi Refleksi (pencerminan) Komposisi Lebih Dari Dua Transformasi Penerapan Geometri Bidang Peluang Pengertian Dasar Kaidah Pencacahan Kaidah Perkalian Kaidah Penjumlahan Permutasi Dan Kombinasi Notasi Faktorial Permutasi Kombinasi Peluang Suatu Kejadian Peluang Komplemen Suatu Kejadian Peluang Gabungan Dua Kejadian Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas Peluang Bersyarat Dan Kejadian Saling Bebas Frekuensi Harapan Suatu Kejadian... iii v vii vii

8 10. Statistika Pengertian Dasar Pengertian Statistika Pengertian Populasi Dan Sampel Macam-macam Data Penyajian Data Penyajian Data Dalam Bentuk Tabel Penyajian Data Dalam Bentuk Diagram Penyajian Data Dalam Bentuk Grafik Ukuran Statistika Bagi Data Ukuran Pemusatan Ukuran Penyebaran Matematika Keuangan Bunga Tunggal Dan Bunga Majemuk Diskonto Bunga Majemuk Nilai Tunai, Nilai Akhir, Dan Valuta Rente (rentetan Modal) Anuitas Metode Saldo Menurun... Daftar Pustaka... Indeks A1 B1 viii

9 Bab 8 G E O M E T R I B I D A N G Pada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua atau yang disebut dengan bidang datar, seperti persegi, persegi panjang, jajaran genjang, layang-layang, trapesium dan lingkaran. Disamping itu juga dibahas tentang keliling serta luasan dari bidang tersebut, yang penerapannya erat kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis dan manajemen), terutama yang menyangkut luasan dari bidang. Selain itu, untuk mendukung pembahasan, juga dikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan radian serta hubungan antara kedua satuan ukuran ini. Bidang matematika yang mencakup bahasan tentan kaitan titik, garis, bangun, dan sejenisnya dinamakan geometri. Ada berbagai macam geometri, namun yang dibahas disini adalah geometri Euclid dan lebih khusus lagi adalah geometri bidang. Bab 8: Geometri Bidang 405

10 8.1 S udut Sebelum kita membicarakan tentang sudut, terlebih dahulu kita perhatikan tentang titik (point) dan garis (lines). Titik dan garis merupakan sesuatu yang tidak didefinisikan dalam geometri Euclid. Dengan adanya titik dan garis, dibuat juga beberapa aksioma dan definisi yang membentuk suatu sistem aksioma. Garis disini dimaksudkan adalah garis lurus. Beberapa aksioma yang kita pakai sebagai landasan pembahasan bab ini adalah: - Hanya ada satu garis lurus yang melalui dua titik. - Dua garis lurus hanya berpotongan di satu titik. - Melalui suatu titik diluar suatu garis lurus, hanya ada satu garis lurus yang sejajar dengan garis tersebut. Pembahasan berikutnya selalu berpijak pada kaidah di atas. Misalkan kita menggambar dua garis lurus OX dan OP yang berpotongan di titik O, seperti terlihat pada Gambar Garis lurus OX dan OP membentuk sudut di titik O, yang dinamakan sudut O dan dilambangkan dengan XOP atau dapat juga ditulis POX, sedangkan garis OX dan garis OP dinamakan sisi sudut dari sudut XOP. Gambar Garis OX dan garis OP membentuk XOP 406 Bab 8: Geometri Bidang

11 Sering kali, suatu sudut dibentuk dari memutar garis dari posisi awal OX menuju posisi akhir OP, dengan titik O sebagai pusat perputaran. Garis OX disebut sisi awal sudut dan garis OP disebut sisi akhir sudut. Untuk mengukur XOP digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar ke kanan. Seperti sudut pada Gambar 8.1. (a) dan (c) adalah sudut positif, sedang sudut pada Gambar 8.1. (b) adalah sudut negatif. Gambar 8.1. Sudut positif dan sudut negatif Ada dua ukuran sudut yaitu derajat dan radian. Lihat Gambar 8.1. (a), jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak satu kali putaran (sisi akhir OP berimpit kembali dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 360 o. Ukuran satu derajat ( o ) adalah suatu ukuran sudut pusat lingkaran yang diperoleh dari membagi keliling busur lingkaran dengan 360. Sebagai ilustrasi lihat Gambar Bab 8: Geometri Bidang 407

12 Gambar Ukuran sudut dalam derajat Beberapa ukuran beberapa sudut istimewa disajikan berikut ini. 1. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak setengah putaran (sisi akhir OP membentuk garis lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 180 o. Seperti yang terlihat pada Gambar (a).. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak seperempat putaran (sisi akhir OP membentuk garis tegak lurus dengan sisi awal OX), maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 90 o. Seperti yang terlihat pada Gambar (b). 3. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kiri dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 45 o. Seperti yang terlihat pada Gambar (c). 408 Bab 8: Geometri Bidang

13 Gambar Ukuran sudut dalam derajat 4. Jika kita memutar garis OP dari sisi awal OX ke arah kanan dengan pusat putaran O sebanyak seperdelapan putaran, maka sudut XOP yang terbentuk besarnya adalah 45 o. Seperti yang terlihat pada Gambar (f). Ukuran sudut yang kurang dari 90 o, dinamakan sudut lancip. Ukuran sudut sama dengan 90 0 dinamakan sudut siku-siku. Dua garis yang berpotongan dan membentuk sudut 90 0 dikatakan saling tegak lurus. Ukuran sudut lebih dari 90 0 dinamakan sudut tumpul. Ada ukuran sudut yang lebih kecil dari derajat, yaitu menit dan detik, dengan 1 drajat ( 0) = 60 menit ( ) dan 1 menit ( ) = 60 detik ( ). Bab 8: Geometri Bidang 409

14 Radian dan Hubungannya dengan Derajat Dua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan ukuran sudut yaitu radian dan derajad. Apabila kita menggunakan ukuran derajat, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis/sisi berukuran Dalam ukuran radian, sudut yang dibentuk oleh satu putaran garis besarnya adalah π radian. Misal kita buat sebuah lingkaran dengan pusat O dan jari-jari r seperti terlihat pada Gambar Gambar Ukuran sudut radian Misal XP sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat XOP yang menghadap busur XP adalah satu radian. Keliling lingkaran sama dengan r (nilai 3,14 ) dan besar sudut satu putaran adalah radian. Besar sudut pusat lingkaran dengan satu putaran adalah Jadi diperoleh radian atau 1 radian Bab 8: Geometri Bidang

15 Persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat. Oleh karena itu : radian '45 " 1 0 radian 0, 01745radian 180 CONTOH Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalam derajat adalah 45 0? Jawab. Karena Maka 1 0 radian 0, 01745radian, radian radian 0, 7855radian CONTOH 8.1. Berapa besar sudut dalam derajat jika diketahui dalam besar sudut dalam radian adalah 1,5 radian? Penyelesaian: Karena 1 radian '45 ", Bab 8: Geometri Bidang 411

16 Maka 1,5 radian 1, '11" CONTOH Nyatakan besar sudut Penyelesaian: dalam derajat! 3 Karena 1 radian 180 0, maka CONTOH Nyatakan besar sudut dalam bentuk radian Penyelesaian: Karena 1 radian 180 0, maka radian 3 radian Sudut sudut yang dibentuk oleh perpotongan garis 1. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar Jika dua garis berpotongan, maka jumlahkan sudut sudut yang bersebelahan adalah 180 o, atau α + β = 180 o. 41 Bab 8: Geometri Bidang

17 Gambar Jumlahan sudut yang bersebelahan. Perhatikan gambar perpotongan dua garis pada Gambar Jika dua garis berpotongan, maka sudut sudut yang bertolak belakang adalah sama, atau α = α dan β = β Gambar Sudut yang bertolak belakang 3. Perhatikan gambar perpotongan satu garis dengan dua garis yang sejajar pada Gambar Jika sebuah garis memotong sepasang garis yang paralel sebagaimana pada Gambar 8.1.8, maka: - φ 1, θ 1, α, β merupakan sudut sudut dalam (interior) - φ, θ, α 1, β 1 merupakan sudut sudut luar (exterior) - Sudut-sudut yang berseberangan adalah sama, atau θ 1 = α, dan φ 1 = β. - Sudut-sudut yang bersesuaian adalah sama, atau Bab 8: Geometri Bidang 413

18 α 1 = α, β 1 = β, φ 1 = φ, dan θ 1 = θ. Gambar Sudut sudut dalam, luar, bersesuaian, dan berseberangan. CONTOH Tentukan besar sudut α, β, dan γ pada gambar berikut ini. Penyelesaian: - Karena sudut α bertolak belakang dengan sudut 30 o, maka α = 30 o. - Karena sudut β beseberangan dengan sudut 30 o, maka β + 30 o = 180 o, atau β = 180 o 30 o = 150 o - Karena sudut γ bertolak belakang dengan sudut β, maka γ = β = 150 o. 414 Bab 8: Geometri Bidang

19 RANGKUMAN Untuk mengukur besarnya sudut digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yang putar kanan. Sudut bernilai positip jika arah putar sudut ke kiri dan bernilai negatif jika arah putar sudut ke kanan. Besar sudut dinyatakan dalam derajat ( o ) atau radian. Hubungan antara radian dan derajat adalah radian '45 " Jika dua garis berpotongan, maka: - jumlahan sudut sudut yang bersebelahan adalah 180 o, atau α + β = 180 o. - sudut sudut yang bertolak belakang adalah sama. SSOALL LLAT IIHAN Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian a c b d Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat a. 6,8 radian c. 9 radian b. 0,314 radian d. 11 radian 3. Ubahlah ke dalam satuan radian Bab 8: Geometri Bidang 415

20 a c b d Ubahlah ke dalam satuan derajat 5 a. 6 3 b Ubahlah ke dalam satuan radian 11 c. 4 7 d. 3 a b. -60 o c d Tentukan besar sudut A, B, dan C pada gambar berikut ini, jika besarnya sudut D adalah a b. 60 o c. /6 radian d. /10 radian 8. Keliling Bangun Datar Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya. Juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari melalui sisinya dan sampai kembali ke tempat semula. 416 Bab 8: Geometri Bidang

21 8..1 Persegi dan Persegi Panjang Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dan mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar Gambar 8..1 Bangun persegi panjang dan persegi Keliling dari persegi adalah jarak yang ditempuh jika mengitari sisisisinya dan kembali pada titik awal. Untuk persegi panjang, kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p) ditambah dua kali lebar (l) dan dinyatakan dengan : K = p + l = (p + l) Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka keliling persegi dinyatakan dengan : K = s + s = 4s Jumlahan semua sudut dalam persegi panjang atau persegiemat adalah 360 o. Bab 8: Geometri Bidang 417

22 CONTOH 8..1 Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 0 satuan dan lebar 15 satuan! Penyelesaian: Keliling persegi panjang tersebut adalah: K = p + l = satuan = 70 satuan CONTOH 8.. Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 0 satuan! Penyelesaian: Keliling persegi tersebut adalah: K = 4s = 4 0 satuan = 80 satuan 8.. Jajaran Genjang, Layang Layang dan T rapesium Bentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layanglayang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisi yang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjang sedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentuk bangun datar ini diperlihatkan pada Gambar Bab 8: Geometri Bidang

23 Gambar 8..3 Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan Trapesium Keliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yang ditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titik asal. Dengan demikian keliling untuk masing masing bangun segi empat ini adalah : Jajaran genjang : K p l Layang-layang : K p l Trapesium : K k l m n 8..3 Segitiga Segitiga (triangle) dibentuk dari tiga titik (yang tidak segaris) yang dihubungkan dengan tiga segmen garis yang melalui tiga titik tersebut. Gambar 8..3 merupakan gambar bentuk umum segitiga. Titik titik dalam segitiga tersebut adalah A, B, dan C. Karena itu, segitiganya dinamakan segitiga ABC atau ditulis dengan ABC. Segmen garis yang menghubungkan titik-titik tersebut dinamakan sisi dari segitiga. Bab 8: Geometri Bidang 419

24 Pada titik A ada BAC atau singkatnya A, besarnya A adalah α. Sisi segitiga yang berada didepan A adalah segmen garis BC dengan panjang a. Pada titik B ada ABC atau singkatnya B, besarnya B adalah β. Sisi segitiga yang berada didepan B adalah segmen garis AC dengan panjang b. Pada titik C ada BCA atau singkatnya C, besarnya C adalah γ. Sisi segitiga yang berada didepan C adalah segmen garis AB dengan panjang c. Gambar 8..3 Segitiga ABC Jika pada Gambar 8..3 segmen garis AB dianggap sebagai alas segitiga ABC, maka tinggi dari segitiga ABC adalah t. Keliling segitiga (K) adalah jumlahan dari ketiga sisinya dan tulis sebagai berikut. K = a + b + c Sifat sudut dalam segitiga Dalam segitiga ABC pada Gambar 8..3, jumlahan sudut sudut dalam segitiga adalah 180 o atau ditulis 40 Bab 8: Geometri Bidang

25 α + β + γ = 180 o Hal ini dapat diperlihatkan berikut ini. Pandang segitiga ABC seperti tampak dibawah ini. Garis BE sejajar dengan garis AC. - Karena bersesuaian, besarnya CAB sama dengan DBE. - Karena berseberangan, besarnya ACB sama dengan CBE. Diperoleh ABC + CBE + DBE = 180 o β + γ + α = 180 o Jenis segitiga Ada tiga jenis segitiga, yaitu: Segitiga siku-siku adalah suatu segitiga dengan salah satu sudutnya siku-siku (90 o atau π/), seperti tampak pada gambar dibawah ini. Jika dipunyai segitiga siku-siku seperti tampak pada gambar di atas, maka: Bab 8: Geometri Bidang 41

26 i. α + β = 90 o ii. berlaku hukum pythagoras, a + b = c iii. didefinisikan beberapa fungsi trigonometri: - sin α = a c - cos α = b c - tan α = a b = sin α cos α Dari definisi tentang fungsi trigonometri di atas, berikut ini dibuat tabel nilai sin α, cos α, dan tg α untuk sudut-sudut α yang istimewa. Definisi fungsi trigonometri ini, akan dipakai pada akhir bab. α 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o -30 o -45 o -60 o -90 o sin α cos α tan α Segitiga sama kaki (isosceles triangle) adalah suatu segitiga dengan dua sisinya sama panjang, seperti tampak pada gambar dibawah ini. 4 Bab 8: Geometri Bidang

27 Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di atas, maka: i. a = b, ii. α = β, iii. garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas AB di tengah-tengah, atau panjang AD = panjang DB, iv. keliling segitiga K = a + c v. tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut. t = a c Segitiga sama sisi ketiga sisinya sama panjang Jika dipunyai segitiga sama kaki seperti tampak pada gambar di atas, maka: i. a = b = c ii. α = β = γ = 60 o iii. garis ketinggian segitiga CD memotong segmen garis alas AB di tengah-tengah, atau panjang AD = panjang DB. iv. keliling segitiga K = 3a vi. tinggi t dapat ditentukan sebagai berikut. Bab 8: Geometri Bidang 43

28 = a 3 t = a a CONTOH 8..3 Misal dipunyai segitiga seperti tampak pada gambar berikut ini. Tentukan besarnya sudut α! Penyelesaian: Jumlahan sudut sudut dalam segitiga adalah 180 o, atau α + β + γ = 180 o α + 53 o + 5 o = 180 o α = 180 o 53 o 5 o = 10 o CONTOH 8..4 Suatu segitiga ABC dengan panjang sisi masing masing adalah a = 45 cm, b = 37 cm, dan c = 57 cm. Tentukan keliling segitiga tersebut! 44 Bab 8: Geometri Bidang

29 Penyelesaian: Keliling segitiga adalah K = a + b + c = 45cm + 37cm + 57cm = 139cm CONTOH 8..5 Suatu penggaris berbentuk segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi yang diketahui seperti tampak pada gambar berikut ini. Tentukan keliling dari penggaris tersebut! Penyelesaian: Sisi miring (hypotenuse) belum diketahui, dapat dicari dengan menggunakan rumus pythagoras. c = a + b = = 5 = 5 Jadi keliling dari penggaris tersebut adalah K = 4cm + 3cm + 5cm = 1cm Bab 8: Geometri Bidang 45

30 8..4 L ingkaran Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering kita jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk lingkaran diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik (Gambar 8..4). Titik tetap (x o, y o ) tersebut dikatakan pusat lingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari lingkaran. Gambar 8..4 Lingkaran Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali dikalikan dengan jari-jarinya, atau ditulis : K r 46 Bab 8: Geometri Bidang

31 RANGKUMAN Keliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjang sisi-sisinya, dapat juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun datar adalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari sampai kembali ke tempat semula. Keliling untuk persegi panjang : K p l p l Keliling Persegi : K s s 4s Keliling Jajaran genjang : K p l Keliling Segitiga : K a b c Keliling Layang-layang : K p l Keliling Trapesium : K k l m n Keliling Lingkaran : K r SSOALL LLAT IIHAN Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm b. Persegi dengan sisi = 4 cm c. Jajajaran genjang panjang = 1 cm, lebar = 8 cm d. Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang =,4 m dan lebar 1,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah lingkaran. a. Tentukan keliling jendela b. Jika harga bahan Rp 4.500,-/m dan ongkos pembuatan jendela Rp ,-. Tentukan harga jendela tersebut. Bab 8: Geometri Bidang 47

32 3. Sebuah pagar berbentuk seperti gambar di bawah ini, bagian atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi. 3 m 0,5 m 5 m Jika harga bahan Rp ,-/m, ongkos pembuatan Rp 5.000,- tentukan harga pagar. 4. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 15 m dan lebar 10 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3. Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman tersebut. 8.3 Luas Bangun Datar P ersegi dan P ersegi P anjang Bangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segi empat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuran panjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus dari persegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti terlihat pada Gambar Luas dari persegi panjang adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegi panjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah p satuan dan lebar 48 Bab 8: Geometri Bidang

33 dari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjang tersebut adalah: L p l Sedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dan dinyatakan dengan: L s s s CONTOH Tentukan luas dari persegi panjang dengan panjang 8 cm & lebar 4 cm Penyelesaian: L p l 8cm 4cm 3 cm CONTOH 8.3. Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 m Jawab L s s 4m 4m 16 m 8.3. S egitiga Perhatikan Gambar Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luas persegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapat dirumuskan sebagai berikut : Bab 8: Geometri Bidang 49

34 Gambar Segi tiga siku-siku 1 L ( AB) ( CD) Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garis tinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis: 1 L a t CONTOH Tentukan luas segitiga yang panjang alasnya 8 cm dan tinggi 4 cm Jawab L 1 a t 1 8cm 4cm 16 cm J ajaran G enjang Untuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar. Potong bentuk segitiga BFD (sebelah kanan), kemudian geser ke sebelah kiri sampai 430 Bab 8: Geometri Bidang

35 menempel diatas segitiga AEC, akan membentuk bangun menjadi persegi panjang. Misalkan panjang alas jajaran genjang diketahui a dan tingginya t. Gambar 8.3. Jajaran genjang dan persegi panjang yang dibentuk dari potongan segitiga dari jajaran genjang. Jadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan: L a t CONTOH Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cm. Penyelesaian: L a t 8cm 4cm 3 cm L ayang-layang Luas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal-diagonalnya, kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapat dua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi dari Bab 8: Geometri Bidang 431

36 kedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihat pada Gambar Gambar Layang-layang dipotong menjadi dua segitiga Luas segitiga BCD (potongan atas) adalah L BCD = 1 l p Luas segitiga ABC (potongan bawah) adalah L ABC = 1 l p 1 Luas layang-layang: L BCD + L ABC = 1 l p + 1 l p 1 = 1 l p 1 + p = 1 l p Jadi luas layang-layang: L layang laya ng = 1 l p CONTOH Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 10 cm dan tinggi 6 cm. 43 Bab 8: Geometri Bidang

37 Penyelesaian: L layang layang = 1 l p = = 30 cm T rapesium Perhatikan Gambar Penghitungan luas trapesium dengan membuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotong mengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datar berbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang. Gambar Trapesium dan Tiga Potongan Luas trapesium adalah jumlahan dari L 1 + L + L 1, dengan L 1 = L = L 3 = 1 c t b t 1 d t Bab 8: Geometri Bidang 433

38 1 L trap = c t trap 1 b + d t + t 1 1 = t c b d 1 1 = t c b d c d, panjang a c b d 1 = t a c d, panjang c d a b 1 L = t a b CONTOH Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm. Jawab L = t a b = cm trap L ingkaran Bentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpai dalam kehidupan sehari-hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan, jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contoh benda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkaran diperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunan semua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik (Gambar 8..4). Titik tetap (x o, y o) tersebut 434 Bab 8: Geometri Bidang

39 dikatakan Pusat lingkaran dan jarak r lingkaran. tersebut dikatakan jari-jari Gambar Lingkaran Luas sebuah lingkaran sama dengan dikalikan dengan kuadrat jarijarinya, atau ditulis : L r CONTOH Tentukan luas lingkaran dengan jari-jari 4 cm. Jawab L r 4 16 cm RANGKUMAN Luas dari bidang datar adalah banyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan bidang datar tersebut. Luas untuk persegi panjang : L p l Luas Persegi : L s s s Bab 8: Geometri Bidang 435

40 Luas Jajaran genjang : L at Luas Layang-layang : L 1 d 1 Luas Trapesium : trap Luas Lingkaran : L r 1 L = t a b SSOALL LLAT IIHAN Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi dengan sisi 3 cm b. Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar cm c. Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm d. Lingkaran dengan jari-jari 6 cm. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini 3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman sekolah yang berukuran 8 x 10 m a. Berapa banyak paving yang dibutuhkan b. Jika harga paving Rp.500,-/buah berapa harga paving seluruhnya. 436 Bab 8: Geometri Bidang

41 c. Ongkos pemasangan paving Rp 5.000,-/m Berapa beaya yang dibutuhkan d. Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak 1 m dengan harga Rp 750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya 4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga semen yang berisi 50 kg Rp ,- a. Berapa luas teras b. Berapa kg semen yang dibutuhkan c. Berapa biaya untuk membeli semen 8.4 T ransformasi Geometri Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari tempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu: Translasi (pergeseran) Rotasi (putaran) Refleksi (pencerminan) Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan) Translasi Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindahkan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu. Bab 8: Geometri Bidang 437

42 Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor ABatau pasangan berurutan Suatu translasi dari pemetaan: T Titik x y : R R a. b R (ruang dimensi dua) ke a P, ditranslasikan oleh T b artinya titik P x, y dipetakan ke titik ' x', y ' hubungan: x ' x a y ' y b R didefinisikan oleh P sehingga berlaku Hubungan ini mengandung pengertian: 1. Jika a 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a 0 arah pergeseran kekiri.. Jika b 0maka arah pergeseran keatas dan jika b 0 arah pergeseran kebawah. Secara geometri diperlihatkan pada Gambar Bab 8: Geometri Bidang

43 Gambar Translasi Titik P x, y ke P ' x', y ' CONTOH Tentukan bayangan titik P, 5 dan 3,1 Jawab Q oleh translasi T 3 Untuk titik P: P, 5 P ', 5 3 P' 4, Untuk titik Q: Q 3,1 Q ' 3,1 3 P' 1,4 CONTOH 8.4. Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola y x oleh translasi 1 T, Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi. 3 Penyelesaian: Persamaan translasi adalah: Bab 8: Geometri Bidang 439

44 Bab 8: Geometri Bidang 440 y x x y 1 x x y 4 ' ' ' x x y 1 ' 1 ' x x x x 3 ' 3 ' y y y y Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat: x y 1 ' 3 ' x y 3 1 ' ' ' x x y 4 ' ' ' x x y Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5. Gambar 8.5. Grafik Parabola dan hasil Translasi Pertama kita gambarkan grafik x y, grafik ini digeser ke-kiri sejauh satu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeser ke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal).

45 CONTOH a Bayangan titik a b, a b oleh translasi adalah titik 8,1 b Tentukan bayangan titik b, a 1 oleh translasi yang sama. Jawab. Bentuk translasi sebagai berikut: a a b a 8 b b 1 a b a 8 a b (1) a b b 1 a b 1.. () Dari persamaan (1) dan () didapat a 3 dan b 1, Oleh krena itu titik b, a 1 =, 4. Bayangan titik, 4 3 oleh translasi 1 x 3 1 y a Jadi, bayangan titik, 4 oleh tranlasi = b adalah: 3 1 adalah 1,3 Bab 8: Geometri Bidang 441

46 8.4. Rotasi Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif berlawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatif putaran searah dengan jarum jam. Gambar memperlihatkan bangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O 0,0, sudut putar sebesar searah jarum jam. O Gambar Segitiga dirotasi pusat O sebesar searah jarum jam Misalkan titik P x, y diputar dengan titik pusat O0,0 dengan sudut putar sebesar berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titik hasil rotasi yaitu titik ' x', y ' P perhatikan Gambar y P' x', y ' y ' y O r x ' x P x, y x Gambar Rotasi titik P x, y ke P' x', y ' 44 Bab 8: Geometri Bidang

47 OP = OP = r, XOP, POP ' x r cos, y r sin x ' r cos x cos y sin r cos cos sin sin r cos cos r sin sin y ' r sin r sin cos cos sin r sin cos r cos sin y cos xsin xsin y cos Jadi, x' xcos ysin y ' xsin y cos Dalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai berikut: x' cos sin x y ' sin cos y Bentuk matriks cos sin sin cos disebut matriks rotasi R O,. Bab 8: Geometri Bidang 443

48 CONTOH Diberikan titik-titik A,4, B 3,5 dan 0, 3 C diputar dengan sudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbu sumbu putar O. Tentukan bayangannya!. Jawab. 0 Persamaan rotasi dengan 90 dengan pusat sumbu O adalah: 0 0 x ' cos90 sin y ' sin 90 cos Jadi, 3 A ' 4,, B ' 5, 3 dan C ' 3, Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan O 0,0, misal P a, b. Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikan O 0,0 ke titik a b P,, sehingga didapat persamaan: x' a y ' b atau dalam bentuk matriks: x acos y bsin x asin y bcos x' a cos y ' b sin sin x a cos y b 444 Bab 8: Geometri Bidang

49 CONTOH Tentukan bayangan dari persamaan parabola sudut putar sebesar Jawab. Pusat rotasi,0, besar sudut putar persamaan rotasi: x ' y ' 0 y x diputar dengan 0 90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat,0 0 0 x cos90 y 0sin x sin 90 y 0cos90 x' x 0 y1 y ' 0 x' y y ' x y x' x y ' x 1 y berlawanan arah jarum jam, Substitusikan ke persamaan parabola y x didapat persamaan bayangan: atau x ' y ' x ' y ' 4y ' Jadi bayangan dari persamaan parabola sudut putar sebesar adalah x y 4y. y x yang diputar dengan 0 90 berlawanan arah jarum jam, titik pusat,0 Bab 8: Geometri Bidang 445

50 8.4.3 R efleksi (P encerminan) Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misal suatu segitiga dicerminkan terhadap garis l, seperti pada Gambar l B B ' A A ' C C ' Gambar Segitiga ABC dicerminkan terhadap l Pencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbu cermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin. Pada koordinat Kartesius, titik x y P " x, y y P, dicerminkan terhadap sumbu x dan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar P x, y P' x, y x Gambar Pencerminan x y P, terhadap sumbu koordinat 446 Bab 8: Geometri Bidang

51 Titik P x, y dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P x, y ', bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah: x' x x' 1x 0 y y ' y y ' 0 x 1y Dinyatakan dalam bentuk persamaan matriks: x' 1 0 x y ' 0 1 y 1 0 Matriks disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x. 0 1 Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matriks pencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkan mempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulis dalam tabel Tabel Matriks Transformasi Pencerminan Transformasi Bentuk Matriks Pencerminan terhadap 1 0 sumbu x 0 1 Pencerminan terhadap 1 0 sumbu y 0 1 Pencerminan terhadap 1 0 Pusat sumbu O 0,0 0 1 Pencerminan terhadap 0 1 garis y x 1 0 Pencerminan terhadap 0 1 garis y x 1 0 Pemetaan x, y x, y x, y x, y x, y x, y x, y y, x x, y y, x Bab 8: Geometri Bidang 447

52 Selanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbu cerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalah sebagai berikut: Sumbu cermin garis x h P x, y hasil pencerminan (bayangan) adalah: P ' h x, y Sumbu cermin garis y k P x, y hasil pencerminan (bayangan) adalah: P' x,k y Sumbu cermin garis y mx, bentuk matriks pencerminan: M y mx 1 1 m m 1 m m m 1 CONTOH Diberikan titik-titik A,4, B 3,5 dan 0, 3 C. Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis Jawab. Matriks pencerminan terhadap garis 0 1 y x adalah: 1 0 y x Persamaan matriks untuk titik-titik A,4, B 3,5 dan C 0, 3 x' 0 1 = y ' = Jadi hasil pencerminan didapat: A ' 4,, B5, 3 dan C 3,0 448 Bab 8: Geometri Bidang

53 CONTOH Tentukan bayangan titik 3,7 jika dicerminkan terhadap garis x y 3 0 Jawab. Ubah persamaan garis x y 3 0 menjadi y x 3. 0 Garis y x 3 diperoleh dari garis y x ditranslasi oleh T 3 Bayangan 3,7 dapat dicari dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Translasikan titik 3,7 0 dengan 3. Tentukan matriks pencerminan garis y x T diperoleh: 3, M yx 1 = Cerminkan titik 3,4 terhadap garis y x dengan menggunakan matriks pada. diperoleh: x = y = x, y 5, Translasikan titik 5,0 dengan 3 Jadi hasil refleksi 3,7 terhadap garis y 3 0 T diperoleh 5,3 x adalah: 5,3 Bab 8: Geometri Bidang 449

54 8.4.4 D ilatsi Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jika skal < 1 maka obyek diperkecil. Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik x y pusat O 0,0 dengan skala a. P, dilakukan dilatasi dengan y " y y ' y O x ' P ' x', y ' P x, y P " x", y" x x " x Gambar Dilatasi titik P x, y a 1menghasikan P ' x', y', 1 a menghasikan P " x", y" Persamaan dilatasi dengan pusat O0,0 dan k skala dinyatakan dalam bentuk: x' k y ' k Persamaan matriksnya adalah: x y 450 Bab 8: Geometri Bidang

55 Bab 8: Geometri Bidang 451 ' ' y x = k k 0 0 y x Matriks k k 0 0 disebut matriks dilatasi k O D, Untuk dilatasi dengan pusat b a P, dengan skala k dan ditulis k P D, bentuk persamaannya adalah: a x k a x ' b y k b y ' Persamaan dalam bentuk matriks adalah: ' ' y x = b a + k k 0 0 b y a x CONTOH Tentukan bayangan titik,8 6 oleh dilatasi: a. O, D b. 1 O, D Jawab a. Titik,8 6 dilatasi O, D, gunakan persaman matriks dilatasi didapat: ' ' y x = = 16 1 Jadi, hasil dilatasi,16 1

56 b. Titik 6,8 dilatasi dilatasi didapat: 1 x' = y ' 0 Jadi, hasil dilatasi 3, = D O,, gunakan persaman matriks CONTOH Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut A,, B,, C, dan, pusat titik C dengan skala Jawab. Bentuk dilatasi adalah: D C, D jika dilakukan dilatasi dengan Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik: A,,, C, dan, D adalah: x' 0 = + y ' = = Titik-titik hasil dilatasi: A ' 6,6, B ',6, ', D ' 6,. B, C dan 45 Bab 8: Geometri Bidang

57 RANGKUMAN Transformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar dari tempat asal ketempat yang lain Terdapat empat bentuk transformasi geometri yaitu : Translasi (pergeseran), Rotasi (putaran), Refleksi (pencerminan) dan Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan). Translasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu. Rotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyek dengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat, besar sudut dan arah sudut rotasi. Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yang memindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Dilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar atau memperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untuk melakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atau skala. SSOALL LLAT IIHAN Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (,0) dan (,3). Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi: 1 a. Translasi: T 4 Bab 8: Geometri Bidang 453

58 3 b. Translasi: T 0 c. Rotasi titik pusat O dengan 60 0 d. Rotasi titik pusat O dengan 40 e. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y f. Refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x, y = -x dan x = g. Dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala: 3 dan 1/ m. Titik A(,-4) dengan translasi T menjadi A (-1,). n Tentukan m dan n 3. Diberikan persamaan parabola y x 1, tentukan persamaan yang sesuai dan sket grafik jika ditransformasikan dengan: 1 a. Translasi: T 1 0 b. Rotasi titik pusat O dengan 90 0 c. Rotasi titik pusat P(0,1) dengan 180 d. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y 4. Tentukan matriks refleksi terhadap garis x = h dan y = k 8.5 K omposisi T ransformasi Kita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatu obyek ditranslasi dengan T 1 kemudian dilanjutkan translasi yang kedua dengan T yang dinyatakan dengan T 1 T y x,, bentuk ini dinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasi 454 Bab 8: Geometri Bidang

59 yang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi yang telah dipelajari pada subbab K omposisi Translasi Misal diberikan translasi translasi T 1 dan T dinyatakan: a c T T 1 = + b d c T1 T = d a c T 1 dan T, komposisi dua b d a c = b d a c a + = b d b Karena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka: T T 1 = T 1 T Catatan T T 1 artinya obyek ditranslasi oleh T 1 dilanjutkan dengan T T 1 T artinya obyek ditranslasi oleh T dilanjutkan dengan T 1 Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutan pengerjaan translasi K omposisi Rotasi Misalkan titik P x, y dilakukan rotasi oleh O dilanjutkan dengan O dengan R dinyatakan: R kemudian 1, 1 R 1,, komposisi rotasi dari 1 R dilanjutkan Bab 8: Geometri Bidang 455

60 R y R 1 x, = cos1 sin 1 cos sin 1 cos1 sin sin x cos y cos1 cos sin 1 sin cos1 sin sin 1 cos = x sin 1 cos cos1 sin sin 1 sin cos1 cos y = cos sin 1 sin 1 1 cos 1 x y Jadi, merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berarti merotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi. Secara geometri diperlihatkan pada gambar P " P ' O 1 P Gambar Komposisi Rotasi Titik P dirotasikan pusat O besar sudut 1 didapat P ' dilanjutkan rotasi pusat O besar sudut didapat P" atau dapat dilakukan dengan pusat O dengan besar sudut rotasi Bab 8: Geometri Bidang

61 8.5.3 K omposisi R efleksi (P encerminan) Misalkan titik x y P, dilakukan refleksi terhadap garis x k kemudian dilanjutkan dengan x h, komposisi refleksi dari M 1 dilanjutkan dengan M dinyatakan: M y M 1 x, = M M x, y = 1 M k x, y = h k x, = k h x, y y Secara geometri hasil dari komposisi M 1 M y x, terhadap garis x k dilanjutkan dengan x h diperlihatkan pada gambar y P x, y P ' k x, y P " h k x, y x x k x h Gambar 8.6. Komposisi Refleksi terhadap dua garis sejajar Bagaimana jika titik x y P, direfleksikan terhadap sumbu koordinat, untuk itu perhatikan gambar dibawah ini. Titik P x, y direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan P x, y ' dilanjutkan terhadap sumbu x menghasilkan P " x, y. Bagaimana jika P x, y direfleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y, dicoba sendiri sebagai latihan. Bab 8: Geometri Bidang 457

62 P ' x, y y P x, y x P" x, y Gambar Refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan sumbu x Komposisi Lebih Dari Dua Transformasi Setelah kita mengerti komposisi dua transformasi, untuk mempelajari komposisi lebih dari dua transformasi sangatlah mudah. Hal penting untuk diingat adalah operasi transformasi mana yang lebih dahulu dikerjakan dan bentuk serta operasi dari matriks transformasi. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini. CONTOH P ditranslasikan terhadap T, dilanjutkan rotasi 1 Titik,3 dengan titik pusat O dengan terhadap sumbu x. Jawab 0 90, selanjutnya direfleksikan Urutan dan hasil transformasi adalah: 458 Bab 8: Geometri Bidang

63 M sumbu x 1 R 0 T,3, 90 = O 1,3 1 = M sumbu x R 0, 90 T O 1 = M sumbu x R 0 O, = M R sumbu x O, = M sumbu x = M sumbu x = = Jadi titik P,3 hasil dari tiga transformasi berurutan: 5, 1 RANGKUMAN Komposisi Transformasi geometri adalah menggabungkan dua atau lebih bentuk-bentuk transformasi. Bab 8: Geometri Bidang 459

64 Komposisi translasi dinotasikan T T 1, artinya obyek ditranslasi oleh T 1 dilanjutkan dengan T dan berlaku T = T 1 T. 1 T Misalkan titik P x, y dilakukan rotasi oleh R O kemudian dilanjutkan dengan R O 1, 1, 1, maka disebut dengan komposisi rotasi dari R 1 dilanjutkan dengan R, ditulis R R 1 Misalkan titik x y P, dilakukan refleksi terhadap garis x k kemudian dilanjutkan dengan x h, komposisi refleksi dari M 1 dilanjutkan dengan M dinyatakan M M 1 SSOALL LLAT IIHAN Carilah nilai p dan q dalam masing-masing persamaan berikut ini 3 p 1 a. 4 q 6 p 4 1 b. 3 q 4 p 1 p c. q 3 q. Carilah peta dari titik dan transformasi yang ditentukan dibawah ini a. Titik (, - 4) oleh pencerminan berturutan terhadap garis x 3 kemudian terhadap garis x Bab 8: Geometri Bidang

65 b. Titik (-3, ) oleh pencerminan berturutan terhadap garis y 1 kemudian terhadap garis y 5 c. Jika (5, 1) (1, 1) oleh pencerminan berturutan terhadap x 4, kemudian x h, carilah h 3. Misalkan refleksi terhadap sumbu x adalah X dan refleksi terhdapa garis y x adalah M a. Berilah transformasi tunggal yang ekuivalen dengan M X, dan tulislah peta dari P a, b b. Tulislah matriks A dan yang berkaitan dengan X dan M, dan periksa apakah BA merupakan matriks yang berkaitan dengan M X c. Periksa apakah AB BA 4. Carilah matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan setengah putaran terhadap pusat. Periksa hasilnya secara geometri Perlihatkan bahwa matriks memberikan transformasi 4 3 yang sama dengan dilatasi O,5 dilanjutkan dengan rotasi sebesar suatu sudut lancip terhadap pusat, dimana tan 3 4. Apakah transformasi-transformasi dalam komposisi tersebut bersifat komutatif?. 8.6 Penerapan Geometri Bidang Penerapan dalam kehidupan sehari-hari perlu diperhatikan kondisi yang ada di Lapangan, penghitungan yang eksak harus dibulatkan keatas. Bab 8: Geometri Bidang 461

66 Contoh pada pemasangan keramik untuk lantai rumah kurang 3 buah, kita tidak bisa membeli keramik hanya 3 buah tetapi harus satu dos, demikian juga dalam perhitungan yang lain. CONTOH Perhatikan denah rumah dibawah ini ukuran dalam m, lantai rumah akan dipasang keramik yang berukuran 30 x 30 cm. Satu dos berisi 10 buah keramik, harga satu dos keramik Rp 4.000,-. Ongkos pemasangan Rp 5.000,- per m. Tentukan Beaya yang dibutuhkan!. Jawab m 4 m 9 m Luas lantai adalah: cm cm 1 dos keramik luasnya adalah: 9m Kebutuhan keramik: 10, dos, dibulatkan 103 dos. 0,9 m Beaya yang dibutuhkan: 1. Pembelian keramik: 103 x Rp 4.000,- = R ,-. Ongkos Pemasangan: 9 x Rp 5.000,- = Rp ,- Total beaya yang dibutuhkan = Rp ,- 46 Bab 8: Geometri Bidang

67 CONTOH 8.6. Sebuah taman yang berukuran 15 m x 10 m diberi pagar yang berbentuk seperti gambar dibawah ini. Bahan pagar dibuat dari besi dengan harga Rp 7.000,-/m. Tentukan harga bahan yang dibutuhkan. 0,5 m 3 m 5 m Panjang besi Vertikal (warna biru) = 3 m x 10 = 30 m Horisontal (warna merah muda) = 5 m x = 10 m Segitiga = 3 x 0,5 m x 9 = 13,5 m Lingkaran = 9 x x 3,14 x 0,5 m = 8, 6 m Jumlah = 81,76 m Ukuran pagar taman = 15 m x 10 m Bahan yang dibutuhkan untuk panjang taman: 3 x 81,76 m = 45,8 m Bahan yang dibutuhkan untuk lebar taman : x 81,76 m = 163,5 m Total bahan yang dibutuhkan = 408,8 m Harga bahan Rp 7.000,- Harga bahan seluruhnya adalah: Rp 7.000,- 408,8 m = Rp ,- Bab 8: Geometri Bidang 463

68 RANGKUMAN Banyak permasalahan dalam kehidupan sehari-hari yang dapat diselesaikan dengan menerapkan geometri bidang. SSOALL LLAT IIHAN Tepi-tepi jalan pada gambar dibawah ini dibangun trotoar terbuat dari paving berukuran 10 cm 4 cm, harga paving Rp ,-/m, ongkos pemasangan Rp 4.000,-/m. Tentukan total beaya yang dibutuhkan. Anggaran yang tersedia untuk pembangunan jaringan pipa air sebesar Rp ,-, pipa yang digunakan berukuran 1 dim dengan panjang 6 m, harga satu lonjor pipa Rp 4.000,-, harga sambungan pipa Rp 5.000,-/buah. Ongkos pemasangan pipa setiap 10 lonjor Rp ,-. Berapa m panjang pipa air yang terpasang. 3. Dinding sebuah hotel dengan luas m dilakukan pengecatan, 1 galon cat berisi 5 kg cukup digunakan untuk mengecat 15 m. Berapa galon cat yang dibutuhkan. 4. Lantai sebuah lobi hotel berukuran 10 m x 8 m akan dipasang keramik berukuran 40 cm x 40 cm, 1 dos keramik berisi 6 keramik, berapa dos keramik yang dibutuhkan. 464 Bab 8: Geometri Bidang

69 Bab 9 P E L UANG H itung peluang mula-mula dikenal pada abad ke-17 yang bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan, probability) dari permukaan dadu yang tampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan sejenis ini berkembang cukup pesat menjadi teori peluang yang banyak pemakaiannya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam berpergian kita sering mempertanyakan apakah terjadi hujan hari ini. Dalam berdagang kita selalu berfikir tentang kemungkinan untuk mengambil keuntungan. Masih banyak contoh lagi yang berkaitan dengan peluang. Bab 9: Peluang 465

70 Dalam bab ini siswa akan belajar tentang kaidah pencacahan, permutasi, kombinasi, peluang kejadian, dan pemakaiannya dalam menyelesaikan permasalahan. 9.1 Pengertian Dasar Ruang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatu himpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satu titik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadian yang terdiri dari lebih dari titik sampel disebut kejadian majemuk. Jadi kejadian majemuk merupakan gabungan dari beberapa kejadian sederhana. Ruang nol adalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak memuat anggota. Elemen / anggota dari ruang sampel dinamakan titik sampel. Gambar merupakan diagram ruang sampel S = {a, b, c, d, e, f, g} yang terdiri dari titik sampel a, b, c, d, e, f, dan g. Kejadian A = {a, b, c}, kejadian B = {b, c, d, e}, kejadian C = {c, d, f}, dan D = {e} merupakan kejadian bagian dari ruang sampel S. Gambar Ruang Sampel S = a, b, c, d, e, f, g. 466 Bab 9: Peluang

71 Irisan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan A B, adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A dan juga ada di B. Dua kejadian A dan B dikatakan kejadian saling terpisah (saling asing) apabila dua kejadian tersebut tidak memiliki unsur persekutuan, atau A B = =. Untuk ruang sampel pada Gambar 9.1.1, A B = {b, c}, A C = c, A D =, B C = {c, d}, B D = {e}, dan C D =. Kejadian A dan D dikatakan saling terpisah. Gabungan dua kejadian A dan B, dinotasikan dengan A B, adalah kejadian yang memuat semua titik sampel yang ada di A atau B. Untuk ruang sampel pada Gambar 9.1.1, A B = {a, b, c, d, e}, A C = a, b, c, d, f, A D = {a, b, c, e}, B C = {b, c, d, e, f}, B D = {b, c, d, e}, dan C D = {c, d, e, f}. Komplemen suatu kejadian A, dinotasikan dengan A, adalah himpunan semua titik sampel di S yang bukan anggota A. Untuk ruang sampel pada Gambar 9.1.1, A = {d, e, f, g} dan B = {a, f, g}. CONTOH Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasil percobaannya adalah: jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah S = {1,, 3, 4, 5, 6} Elemen 1,, 3, 4, 5, atau 6 merupakan titik sampel. jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah Bab 9: Peluang 467

72 S = {genap, gasal} Elemen genap atau gasal merupakan titik sampel. CONTOH 9.1. Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasil percobaannya adalah Jika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah S = {,,, } Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah CONTOH S = {Mera, Hitam} Percobaan pelemparan buah mata dadu, ruang sampel-nya adalah S = {(1,1), (1,), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (,1), (,), (,3), (,4), (,5), (,6), (3,1), (3,), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)} Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 1 maka A = { }, kejadian mustahil. Jika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 7 maka B = {(1,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (6,1)}. Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu sama dengan 11 maka C = {(5,6), (6,5)}. Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka D = {(5,1), (5,), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}. Irisan kejadian A dan B adalah A B = { }. Irisan kejadian B dan C adalah B C = { }. 468 Bab 9: Peluang

73 Irisan kejadian C dan D adalah C D = { (5,6)}. Gabungan kejadian A dan B adalah A B = 1,6,,5, 3,4, 4,3, 5,, 5,1 = B. Gabungan kejadian B dan C adalah B C = {(1,6), (,5), (3,4), (4,3), (5,), (5,1), (5,6), (6,5)}. Gabungan kejadian C dan D adalah C D = 5,6, 6,5, 5,1, 5,, 5,3, 5,4, 5,5. 9. Kaidah Pencacahan Untuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampel diperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya kaidah penjumlahan, kaidah perkalian, permutasi dan kombinasi. Dalam menghitung banyaknya elemen ruang sampel dikenal dua prinsip penghitungan dasar (basic counting principles), yaitu: Kaidah Perkalian (Rule of Product) dan Kaidah Penjumlahan (Rule of Sum) Kaidah Perkalian Sebelum menuju ke kaidah perkalian kita awali dengan pengamatan percobaan sederhana. Sebuah diagram pohon dapat digunakan dalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan kali pelemparan sebuah mata uang. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh oleh seluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut. Bab 9: Peluang 469

74 Gambar 9..1 Diagram pohon untuk dua kali lemparan mata uang Dalam setiap percobaan ada kemungkinan hasil angka (A) atau gambar (G). Percobaan dengan kali pelemparan mata uang didapat hasil sebanyak = 4 buah titik sampel. Jadi ruang sampel S = {GG, GA, AG, AA}. CONTOH 9..1 Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu jalur p, q, atau r sedangkan dari kota B ke kota C ada jalan yaitu jalur a atau b maka dari kota A ke kota C dapat ditempuh melalui 3 x jalur yang berbeda, yaitu: S = p, a, p, b, q, a, q, b, r, a, r, b. Selanjutnya akan kita pelajari suatu kaidah yang berkaitan dengan percobaan seperti contoh di atas. Dalam melakukan dua percobaan, kaidah perkalian mengatakan bahwa: 470 Bab 9: Peluang

75 Jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka jika dua percobaan tersebut dilakukan bersamaan memiliki mn hasil yang mungkin. Secara umum, dikatakan bahwa: Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n i hasil yang mung-kin, 1i r, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n 1, n, n 3,..., n r hasil yang mungkin. CONTOH 9.. Sebuah komite yang terdiri atas orang masing-masing mewakili siswa kelas 1 dan kelas akan dipilih. Jika calon dari kelas 1 ada 6 orang dan calon dari kelas ada 4 orang, maka ada 6 4 = 4 komite berbeda yang dapat dipilih. CONTOH 9..3 Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampel dalam ruang sampelnya? Penyelesaian : Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka dadu pertama akan muncul 6 cara sedangkan dadu kedua.akan muncul 6 cara juga Dengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam 6 6 = 36 cara. Bab 9: Peluang 471

76 CONTOH 9..4 Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar secara bersamaan, hasil yang mungkin adalah: untuk dadu; jika hasil dari lemparan mata dadu adalah 1,, 3, 4, 5, 6, maka ada 6 hasil yang mungkin, untuk uang logam; jika hasil lemparan uang logam ada gambar dan angka, maka ada hasil yang mungkin. Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya elemen dari ruang sampel ada 6 = 1 hasil yang mungkin. CONTOH 9..5 Diketahui empat angka 1, 3, 4, 9 tentukan banyaknya bilangan yang dapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari a. angka / digit. b. angka tetapi tidak boleh ada angka yang sama. Penyelesaian : a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap kotak, yaitu kotak pertama untuk letak angka puluhan dan kotak kedua untuk angka satuan. Gambar 9.. Menyusun dua angka pada deretan dua kotak 47 Bab 9: Peluang

77 Kotak pertama ada 4 kemungkinan angka. Kotak kedua ada 4 kemungkinan, karena angka yang muncul di kotak pertama boleh muncul di kotak kedua. Jadi banyaknya bilangan yang dimaksud adalah 4 4 = 16. b. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal a, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 3 = Kaidah Penjumlahan Dalam melakukan dua percobaan, kaidah penjumlahan mengatakan bahwa: jika satu percobaan memiliki m hasil yang mungkin dan percobaan yang lain memiliki n hasil yang mungkin, maka ada m+n hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan. Secara umum, dikatakan bahwa: Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n i hasil yang mungkin, maka ada n 1 +n +n 3 + +n r hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan. CONTOH 9..6 Sebuah bola diambil dari sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan dari sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor. Hasil yang mungkin adalah: untuk mangkuk ada 4 hasil dan Bab 9: Peluang 473

78 untuk kaleng ada 6 hasil. Sehingga dengan kaidah penjumlahan, hasil yang mungkin ada = 10. CONTOH 9..7 Sebuah program komputer memiliki input yang valid berupa sederetan huruf saja atau angka saja yang disebut string. String ini hanya terdiri dari 4 huruf atau angka, atau panjang string adalah 4. Berapa banyak input untuk program tersebut yang mungkin? Penyelesaian: Jika huruf atau angka dalam sebuah string boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : = (6) 4 = String angka ada sebanyak: = (10) 4 = Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string input adalah = Jika huruf atau angka dalam sebuah string tidak boleh sama, maka: String huruf ada sebanyak : = String angka ada sebanyak: = Sehingga dengan kaidah penjumlahan, banyaknya string adalah = Bab 9: Peluang

79 9.3 Permutasi dan Kombinasi Dalam pembahasan permutasi dan kombinasi, kita awali dengan suatu ekspresi yang sering dipakai dalam matematika, yaitu faktorial Notasi Faktorial Hasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n, yaitu (n-) (n-1) n sering digunakan dalam matematika. Dan selanjutnya buat definisi sebagai berikut. DEFINISI Untuk sembarang bilangan bulat n 0, n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai: dan didefinisikan 0!=1. n! = n (n 1) (n ) 3 1 Dari definisi n!, didapat persamaan berikut ini. n! = n (n 1) (n ) 3 1 n! = n n 1! n = n! n 1! CONTOH ! = = 4. 6! = 6.5! = = 70. Bab 9: Peluang 475

80 Notasi faktorial ini akan sering digunakan dalam pembahasan tentang permutasi dan kombinasi yang akan dibahas berikut ini Permutasi Permutasi Tanpa Pengulangan Permutasi berkaitan dengan pengaturan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan objek tanpa ada pengulangan. Susunan pada permutasi memperhatikan urutannya. CONTOH 9.3. Untuk mengatur 3 huruf A, B dan C secara berurutan, didapat hasil yang mungkin adalah : ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Masing-masing urutan ini dinamakan permutasi dari 3 obyek berbeda yaitu: A, B dan C. Jadi banyaknya permutasi dari 3 obyek berbeda ada 6. Misal, diberikan n obyek berbeda. Banyaknya permutasi n obyek tersebut dapat dihitung sebagai berikut: - untuk mengisi posisi urutan pertama ada n cara berbeda, - untuk mengisi posisi urutan kedua ada n-1 cara berbeda, - untuk mengisi posisi urutan ketiga ada n- cara berbeda, untuk mengisi posisi urutan ke-r ada n-(r-1) cara berbeda, Bab 9: Peluang

81 - untuk mengisi posisi urutan ke-n ada n-(n-1)=1 cara berbeda. Sehingga dengan kaidah perkalian diperoleh banyaknya permutasi adalah n (n-1) (n-) (n-3) 3 1 = n! DEFINISI 9.3. Suatu pengaturan susunan/urutan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk dari n objek berbeda, dengan n r, dinamakan permutasi r objek dari n objek. Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan n P r. Jika r=n maka banyaknya permutasi n objek yang berbeda adalah n P n = n!. Lihat penjelasan sebelum definisi dan definisi dari permutasi. CONTOH Jika di suatu kantor ada 3 orang yang akan menduduki jabatan Kepala, Sekretaris, dan Bendahara, maka ada berapa cara dapat dibuat susunan jabtan tersebut. Penyelesaian : Ada 3 orang yang akan disusun urutan masing-masing sebagai Kepala, Sekretaris, dan Bendahara. Jadi ada 3 objek diambil 3 untuk dibuat Bab 9: Peluang 477

82 suatu urutan jabatan. Oleh karena itu, susunan yang dapat dibuat ada sebanyak 3 P 3 = 3! = 6. TEOREMA Banyaknya permutasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda adalah n P r = n! n r! Bukti: Setiap permutasi r obyek memuat r posisi berurutan. Untuk mengisi posisi pertama sampai posisi ke-r secara berurutan dapat dilakukan dengan : n, n-1, n-, n-3,, n-(r-1) cara. Sehingga untuk mengisi r posisi urutan sekaligus adalah: (n)(n-1)(n-)(n-3) (n-(r-1)) = n n 1 n n r 1 n r n r = n r n r = n! n r! cara. CONTOH Dua kupon diambil dari 5 kupon untuk menentukan hadiah pertama dan kedua. Hitung banyaknya titik sampel dalam ruang sampelnya. 478 Bab 9: Peluang

83 Penyelesaian : Misal 1,,3,4,5 menyatakan nomor kupon. Akan diambil dua nomor berbeda yang tidak boleh kembar untuk disusun / dimasukkan ke dalam sederetan kotak XY. Nomor yang ada pada kotak X adalah nomor yang mendapatkan hadiah pertama, sedangkan yang ada dalam kotak Y adalah nomor yang mendapatkan hadiah ke dua. Karena itu, permasalahan ini sama dengan permutasi objek dari 5 buah objek yang berbeda. Sehingga banyak titik sampel adalah CONTOH ! 5 P = = = 5 4 = 0. 5! 3 1 Seorang sekretaris ingin menyusun 6 buah buku laporan semesteran dan 3 buah buku laporan tahunan dalam satu rak berjajar. Setiap jenis buku laporan harus berdekatan. Berapa banyak cara sekretaris tersebut menyusun buku?. Penyelesaian : Disini dipunyai dua kelompok buku laporan, yaitu buku laporan semesteran dan buku laporan tahunan. Pengaturan dua jenis buku laporan ini ada sebanyak P = cara.!! = Oleh karena setiap jenis buku laporan harus berdekatan, pengaturan pada setiap jenis buku laporan dilakukan sebagai berikut: Jenis buku laporan semesteran: ada 6 buah buku laporan semesteran yang berbeda dan akan ditata berderetan. Bab 9: Peluang 479

84 Permasalahan ini sama dengan mengambil 6 buah objek dari 6 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan semesteran ada sebanyak P 6 = 6 6! 6 6! = 70. Jenis buku laporan tahunan: ada 3 buah buku laporan tahunan yang berbeda dan akan ditata berderetan. Permasalahan ini sama dengan mengambil 3 buah objek dari 3 objek yang berbeda. Sehingga banyaknya pengaturan buku laporan tahunan ada sebanyak P 3 = 3 3! 3 3! = 6. Karena ini merupakan tiga buah kejadian yang terjadi secara bersamaan, berlaku kaidah perkalian. Oleh karena itu, banyaknya pengaturan buku laporan tersebut ada sebanyak 70 6 = cara. CONTOH Profesor Amir memiliki koleksi buku yang terdiri atas: 5 buku Matematika, 4 buku Statistika, 3 buku Fisika dan buku Kimia, diatur berjajar dalam sebuah rak buku sehingga buku yang memiliki subyek sama berkumpul. Tentukan ada berapa pola pengaturan yang mungkin?. Penyelesaian: Silahkan dicoba untuk melakukan penghitungan sendiri. Cara menghitung mirip dengan pada contoh sebelum ini. Permutasi dengan Pengulangan Permutasi dengan pengulangan merupakan permutasi r objek dari n buah objek yang tidak harus berbeda. Beda dengan sebelumnya yang n 480 Bab 9: Peluang

85 buah objeknya berbeda. Sebelum menghitung banyaknya permutasi dengan pengulangan ini, terlebih dahulu kita lihat contoh berikut ini. CONTOH Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata PEPPER! Penyelesaian: Jika 3 huruf P dan huruf E dapat dibedakan, maka ada sebanyak 6 P 6 = 6! cara berbeda yang mungkin. Akan tetapi, jika 3 huruf P tidak dapat dibedakan, maka 3! susunan yang dibentuk dari 3 huruf P diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi 3!, akibat 3 huruf P yang kembar. Secara sama, jika huruf E tidak dapat dibedakan, maka! susunan yang dibentuk dari huruf E diwakili/dihitung satu saja. Sehingga banyaknya susunan yang ada harus dibagi lagi dengan!, akibat huruf E yang kembar. Jadi banyaknya cara menyusun menyusun huruf-huruf tersebut ada sebanyak 6! 3!! = = ( 1) Bab 9: Peluang 481

86 Secara umum, kasus seperti contoh di atas membawa kita kepada teorema berikut ini. Pada buku ini, teorema tersebut tidak disertai dengan bukti. TEOREMA 9.3. Banyaknya permutasi dari n objek yang terdiri dari n 1 objek sama, n objek sama,, n r objek sama, dengan n 1 + n + n n r n, adalah n! n 1! n! n 3! n r! CONTOH Sebanyak 9 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah, 3 bola berwarna kuning, dan bola berwarna biru. Semua bola dimasukkan kedalam sebuah tabung kaca dan membentuk deretan bola memanjang dalam tabung kaca. Tentukan ada berapa pola warna deretan bola yang mungkin!. Penyelesaian: Sebagai ilustrasi, salah satu bentuk susunan bola tersebut adalah Karena 4 bola merah, 3 bola kuning, dan bola biru tak dapat dibedakan, maka ada sebanyak 9! 4! 3!! = ( 1) = Bab 9: Peluang

87 pola warna susunan bola. CONTOH Berapa banyak susunan yang berbeda bila ingin membuat serangkaian lampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning, dan lampu biru. Penyelesaian : Permasalahan ini identik dengan menyusun sederetan 9 buah objek, dengan 3 buah objek sama, 4 buah objek lainnya lagi sama, dan buah objek lainnya lagi sama. Oleh karena itu, banyaknya susunan lampu hias pada pohon tersebut ada sebanyak 9! 4! 3!! = ( 1) = CONTOH Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan kamar doubel?. Penyelesaian : Untuk mempermudah penyelesaian, dimisalkan: - T menyatakan kamar tripel (memuat 3 orang). - D 1 menyatakan kamar doubel yang pertama (memuat orang). - D menyatakan kamar doubel yang kedua (memuat orang). - Ketujuh orang tersebut diberi nama A, B, C, D, E, F, dan G. Bab 9: Peluang 483

88 Suatu kondisi: i. Orang A, B, dan C berada dikamar T. ii. Orang D dan E berada di kamar D 1. iii. Orang F dan G berada di kamar D. Dapat diidentikkan dengan: i. Membagi 3 buah objek T ke orang A, B, dan C. ii. Membagi dua buah objek D 1 ke orang D dan E. iii. Membagi dua buah objek D ke orang F dan G. Oleh karena itu, permasalahan tersebut identik juga dengan menyusun 7 buah objek yang terdiri dari 3 objek sama, objek lainnya sama, dan objek lainnya lagi sama. Sehingga banyaknya susunan 7 orang tersebut menginap ada Permutasi Siklik 7! 3!!! = = 10 Permutasi siklik berkaitan dengan penyusunan sederetan objek yang melingkar. Sebagai gambaran adalah susunan duduk dari beberapa orang pada meja bundar. Permutasi ini juga dikenal dengan permutasi melingkar. Sebagai ilustrasi, misal ada tiga orang A, B, dan C akan didudukan dalam meja bundar seperti Gambar Bab 9: Peluang

89 (a) (b) (c) Gambar Permutasi siklik tiga objek Susunan pengaturan duduk pada Gambar (a) dianggap sama dengan susunan pada Gambar (b) dan Gambar (c). Karena pada ketiga gambar tersebut, orang yang berada sebelah kiri A adalah C, dan disebelah kanan A adalah B. Atau orang yang berada pada sebelah kiri dan kanan kita adalah sama pada susunan gambar tersebut. Sehingga tiga buah susunan semacam ini dianggap satu. Jika ilustrasi di atas dikembangkan untuk n buah objek yang disusun dalam deretan melingkar, maka akan ada n susunan yang sama dan harus dihitung sekali, dengan kata lain harus dibagi dengan n. Hal ini akan membawa kita pada teorema berikut ini. Bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini. TEOREMA Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk deretan melingkar adalah P n n n = n! n = n 1! Bab 9: Peluang 485

90 CONTOH Tentukan banyaknya menempatkan 5 orang duduk melingkar pada meja bundar dengan 5 kursi. Penyelesaian: Ini adalah permasalahan permutasi siklis dengan 5 objek, sehingga banyaknya cara menempatkan 5 orang duduk melingkar adalah CONTOH ! = 4! = 4. Jika kita mempunyai 7 permata dan ingin ditempatkan pada gelang, maka ada berapa kemungkinan gelang yang dapat dibuat. Penyelesaian: Banyak cara menempatkan permata adalah 7 1! = 6! = 70. CONTOH Pada suatu pertemuan keluarga, ada 5 pasang suami-istri yang akan duduk pada meja makan yang melingkar dengan 10 kursi. Berapa susunan duduk pada pertemuan makan tersebut jika setiap pasang suami istri selalu berdampingan. Penyelesaian: Anggaplah sepasang suami istri adalah sebuah objek, karena selalu berdampingan. Oleh karena itu, banyaknya susunan duduk untuk Bab 9: Peluang

91 objek melingkar adalah 5 1! = 4. Akan tetapi, dari setiap pasang suami istri cara duduknya dapat ditukar, dan ini masih menjamin suami-istri duduk berdampingan. Sehingga banyaknya cara duduk pada pertemuan makan keluarga tersebut adalah 4 = Kombinasi Didalam permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misal susunan ABC dan BCA dianggap berbeda. Didalam kombinasi dua susunan tersebut dipandang sama. Sebagai gambaran, tim bola voli terdiri dari Anton, Budi, Cecep, Dede, Erik, dan Fery. Karena ini merupakan tim bola voli maka urutannya dibalik dianggap sama, atau dengan kata lain urutan tidak diperhatikan. Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berlainan adalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya ( r n). DEFINISI Suatu pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda tanpa memperhatikan urutan, dengan n r, dinamakan kombinasi r objek dari n objek. Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan n C r atau n r. CONTOH Tentukan kombinasi 3 huruf yang diambil dari 4 huruf A, B, C, dan D. Bab 9: Peluang 487

92 Penyelesaian: Kombinasi tersebut adalah: ABC, ABD, ACD, dan BCD. Banyaknya kombinasi ada 4. Pada contoh di atas, susunan ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA dianggap sama atau dihitung satu. Sehingga kalau dalam permutasi dihitung 3!, namun didalam kombinasi susunannya dianggap sama dan dihitung satu. Oleh karena itu, banyaknya kombinasi sama dengan banyaknya permutasi dibagi dengan r! = 3!. Hal tersebut di atas, akan membawa kepada teorema berikut ini. TEOREMA Untuk sembarang bilangan bulat positip n dan bilangan tak negatip r, dengan r n, banyaknya kombinasi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda adalah C r = n r = n! n n r! r! Bukti: Jika urutan dalam r elemen diperhatikan, maka ada n P r hasil berbeda. Karena kombinasi tidak memperhatikan urutan, maka seluruh permutasi r elemen tertentu dalam himpunan n elemen yaitu sebanyak r! pola diwakili salah satu saja. Jadi banyaknya kombinasi adalah n C r = P r n! n =. r! n r! r! 488 Bab 9: Peluang

93 CONTOH Sebuah tim bola voli inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?. Penyelesaian: Karena dalam tim tidak dikenal urutan, masalah ini identik dengan masalah menghitung kombinasi 6 obyek yang diambil dari 10 obyek berbeda. Jadi ada sebanyak konfigurasi tim inti. 10! 10C 6 = 10 6! 6! = 10 CONTOH Club Catur Harapan akan mengirimkan orang pemain catur dari 10 pemain caturnya dalam suatu turnamen catur nasional. Berapa banyak kemungkinan susunan orang pemain catur yang dikirim tersebut. Penyelesaian : Masalah pemilihan pemain catur termasuk dalam masalah kombinasi, karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya. Sehingga untuk soal ini adalah kombinasi dari 10 orang, atau 10! 10C = 10!! = 45. Bab 9: Peluang 489

94 CONTOH Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim?. Penyelesaian: - Untuk memilih tim pertama ada sebanyak C = - Untuk memilih tim kedua ada C = - Untuk memilih tim ketiga ada C = - Untuk memilih tim keempat ada C = 8! 8!! = ! 6!! = ! 4!! = 6 4.!!! = 1. Jadi dengan kaidah perkalian banyaknya konfigurasi adalah 8 C 6 C 4 C C = =.50. CONTOH Diketahui klub Tenis yang terdiri 15 putra dan 10 putri a. b. tentukan banyak kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 5 orang. tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 3 putra dan putri. Penyelesaian : 490 Bab 9: Peluang

95 a. Masalah pemilihan delegasi termasuk dalam masalah kombinasi. Karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk soal ini identik dengan kombinasi 5 dari 5 orang, yaitu 5 C 5 = 5! 5 5! 5! = b. Dalam hal ada dua pemilihan putra dan putri, untuk pemilihan putra adalah masalah kombinasi 3 unsur dari 15, yaitu 15 C 3 = 15! 15 3! 3! = 455 Sedangkan untuk pemilihan putri adalah kombinasi unsur dari 10 unsur, yaitu 10 C = 10! 10!! = 45 Banyaknya kombinasi total adalah merupakan hasil kali antara keduanya, yaitu (455)(45) = Bab 9: Peluang 491

96 RANGKUMAN Kaidah perkalian Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n i hasil yang mung-kin, 1 ir, maka jika semua percobaan itu dilakukan bersamaan memiliki n 1, n, n 3,..., n r hasil yang mungkin. Kaidah Penjumlahan Misalkan r percobaan dapat dilakukan. Jika percobaan ke-i memiliki n i hasil yang mungkin, maka ada n 1 +n +n 3 + +n r hasil yang mungkin jika tepat satu percobaan dilakukan. Untuk sembarang bilangan bulat n 0, n faktorial yang ditulis n!, didefinisikan sebagai: n! = n (n 1) (n ) 3 1 Didefinisikan 0!=1 Pengaturan susunan r objek tanpa pengulangan yang dibentuk dari n objek berbeda, dengan n r, dinamakan permutasi r objek dari n objek. Banyaknya permutasi ini disimbulkan dengan n P r Banyaknya permutasi siklik dari n objek yang disusun dalam bentuk deretan melingkar adalah n P n n = n! n = n 1! Pengaturan susunan r objek yang dibentuk dari n objek berbeda tanpa memperhatikan urutan, dengan n r, dinamakan kombinasi r objek dari n objek. Banyaknya kombinasi ini disimbulkan dengan n C r atau n r 49 Bab 9: Peluang

97 SSOALL LLAT IIHAN Kerjakanlah soal-soal latihan dibawah ini. A. Hitunglah ekspresi: a. 7! c. P 3 6 b. 5 4! d. C 3 6 B. Hitunglah ekspresi: a. 4 P P c. 8 C + 8 P b. 4 P 1 6 P d. 8 C 5 P C. Diketahui angka 1, 3, 5, 7, 9. Tentukan: a. b. Banyak bilangan terdiri dari angka yang dapat dibuat dari angka tersebut. Banyak bilangan terdiri dari angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama. D. Diketahui angka 0, 1,, 4, 5, 6, 8. Tentukan: a. b. c. d. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi bernilai ganjil. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut yang habis dibagi 5. Bab 9: Peluang 493

98 E. Diketahui ada 5 baju berbeda, 4 celana panjang berbeda dan 3 dasi berbeda. Tentukan banyak kombinasi dalam memakai baju, celana dan dasi. F. Didalam suatu ruangan terdapat 10 kursi. 6 pemuda dan 4 pemudi akan duduk di dalam ruangan tersebut. Tentukan banyaknya posisi duduk, jika a. duduknya sembarang. b. pemuda dan pemudi duduknya selang-seling. G. H. I. Diketahui ada 4 buku yang berbeda dalam bahasa Jepang, 5 buku berbeda dalam bahasa Inggris dan 3 buku berbeda dalam bahasa Indonesia. a. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku dari bahasa yang semuanya berbeda jika urutan bahasa menjadi tidak penting. b. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku dari bahasa yang sama jika urutan bahasa menjadi tidak penting. c. Tentukan banyak kemungkinan dalam mengambil tiga buku yang terdiri dari dua bahasa jika urutan bahasa menjadi tidak penting. Berapa banyak kemungkinan susunan pengurus OSIS yang terdiri dari ketua, sekretaris dan bendahara dapat dibentuk, jika ada 50 calon pengurus OSIS. Diketahui 1 bendera yang terdiri dari bendera Indonesia, bendera Amerika dan bendara Jepang. Bendera yang berasal dari Negara 494 Bab 9: Peluang

99 yang sama tidak dapat dibedakan. Jika diambil 1 bendera tentukan banyak urutan yang dapat muncul dari pengambilan bendera jika : a. bendera Indonesia ada 5, bendera Amerika ada 4 dan bendera Jepang ada 3. b. bendera Indonesia ada 3, bendera Amerika ada 3 dan bendera Jepang ada 6. J. Di Republik BBM, DPR terdiri dari Partai yaitu Partai Bulan dan Partai Matahari. Salah satu anggota komite terdiri 7 orang Partai Bulan dan 5 orang Partai Matahari. Akan dibuat satu delegasi yang diambil dari komite. Tentukan banyak cara menyusun a. delegasi yang terdiri dari 4 orang. b. delegasi terdiri dari 4 orang dengan satu orang dari partai Bulan. c. delegasi terdiri dari 5 orang, dengan ketua dari partai Bulan dan anggota seimbang antara kedua partai. K. L. M. Berapa jumlah 3 tempat pariwisata yang dapat dipilih dari 9 tempat yang ditawarkan. Tentukan banyaknya pembagi (factor) dari bilangan Sebuah bola diambil sebuah mangkuk yang berisi 4 bola merah dan sebuah kaleng yang berisi 6 bola putih yang masing-masing bernomor, maka berapa banyak hasil yang mungkin? N. Sebuah program komputer memiliki valid input berupa string huruf saja atau string angka saja dengan panjang 4. Berapa banyak valid input program tersebut yang mungkin?. Bab 9: Peluang 495

100 O. P. Q. Sebanyak 6 orang akan membeli tiket tanda masuk sebuah pertunjukkan secara bersa-maan. Jika hanya tersedia sebuah loket pembelian tiket, maka berapa konfigurasi antrian yang mungkin dapat terjadi. Tentukan ada berapa cara untuk menyusun berjajar huruf-huruf yang terdapat dalam sebuah kata MEMILIKI! Ada berapa cara untuk memilih seorang pemenang pertama, seorang pemenang kedua dan seorang pemenang ketiga dari sebuah kontes yang diikuti oleh 100 kontestan? R. Sebuah kata kunci ( keyword) terdiri atas 6 huruf kecil. Tentukan ada berapa kata kunci berbeda yang mungkin?. S. T. U. Sebuah tim bola volley inti diseleksi dari sebanyak 10 kandidat anggota. Berapakah banyaknya konfigurasi tim inti yang mungkin?. Empat tim bulu tangkis ganda disusun dari sejumlah 8 pemain. Tentukan banyaknya konfigurasi yang mungkin, jika setiap pemain hanya bermain pada satu tim? Sebanyak 50 orang turis manca negara ingin mengunjungi sebuah pulau dengan menggunakan jalur udara. Jika hanya tersedia sebuah pesawat dengan kapasitas 10 penumpang yang menuju pulau tersebut, ada berapa formasi penerbangan para turis tersebut?. V. Ada berapa banyak plat nomor kendaraan berbeda dapat dibuat, jika setiap pelat memuat sebuah barisan huruf diikuti dengan 4 angka dan diikuti dengan huruf?. 496 Bab 9: Peluang

101 W. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip berbeda yang mungkin untuk persamaan: x 1 + x = 3?. X. Tentukan banyaknya solusi berupa bilangan bulat tak negatip berbeda yang mungkin untuk persamaan: x 1 + x + x 3 = 13?. 9.4 Peluang Suatu Kejadian Untuk percobaan pelemparan mata dadu, didapat ruang sampel S = 1,, 3, 4, 5, 6. Seperti yang telah dipaparkan pada awal Bab 9. Kita dapat beranggapan bahwa setiap mata dadu mempunyai peluang kemunculan yang sama. Sehingga peluang setiap mata dadu adalah 1. 6 Jika peluang mata dadu 1 dinotasikan dengan P(1), maka P 1 = 1. 6 Secara sama, P 1 = P = P 3 = P 4 = P 4 = P 5 = P 6 = 1. 6 Dalam sebuah percobaan, semua kejadian sederhana dalam ruang sampel dianggap mempunyai peluang (kemungkinan) sama untuk muncul (equally likely). Ruang sampel yang demikian dinamakan ruang sampel berpeluang sama. Jika S = {s 1, s,, s N } merupakan ruang sampel berpeluang sama dengan N titik sampel, maka peluang dari kejadian sederhana A = s i, i = 1,,.., N, dinotasikan dengan P(s i ) dan didefinisikan sebagai P s i = 1 N Bab 9: Peluang 497

102 Selanjutnya untuk kejadian A = {s 1, s,, s k } dengan k N, peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A, atau dituliskan sebagai atau P A = P s 1 + P s P s k (9.4.1) P A = A S = k N. (9.4.) Dengan A adalah banyaknya titik sampel / elemen di A, dan S adalah banyaknya titik sampel di S. Nilai dari P(A) berkisar mulai dari 0 hingga 1, atau 0 P(A) 1. Jika P(A) = 0 maka kejadian A tidak mungkin terjadi. Sedangkan jika P(A) = 1 maka kejadian A pasti terjadi. CONTOH Misalkan kita melakukan percobaan pelemparan satu mata dadu. d. Jika A adalah kejadian muncul sisi bertanda, maka tentukan peluang dari kejadian A. e. Jika B adalah kejadian muncul sisi bertanda genap, maka tentukan peluang dari kejadian B. Penyelesaian: Dalam percobaan pelemparan mata dadu, ruang sampelnya adalah S = 1,, 3, 4, 5, Muncul satu sisi (bertanda apa saja) dalam percobaan pelemparan dadu merupakan kejadian sederhana. Diasumsikan bahwa dadu 498 Bab 9: Peluang

103 mempunyai enam sisi yang serupa, setiap kejadian sederhana A mempunyai peluang sama, yaitu P A = 1 6, atau P 1 = P = P 3 = P 4 = P 5 = P 6 = Kejadian B =, 4, 6 atau B mempunyai tiga anggota, sehingga peluangnya adalah P B = P + P 4 + P 6 = = 1. CONTOH 9.4. Misal dalam suatu tas Farhan berisi 6 pensil dan 3 pulpen. Kemudian Farhan mengambil satu objek (bisa pensil atau pulpen) secara acak (tanpa memilih). a. Tentukan peluang mengambil pensil b. Tentukan peluang mengambil pulpen Penyelesaian : Ruang sampel dari pengambilan satu objek adalah S = {P, P, P, P, P, P, L, L, L}, anggota S adalah 9. Dengan P menyatakan objek pensil yang terambil dan L menyatakan objek pulpen yang terambil. a. Misal A merupakan kejadian mengambil pensil, banyaknya anggota A adalah 6, jadi peluang kejadian A adalah Bab 9: Peluang 499

104 P A = k N = 6 9 = 3 b. Misal B merupakan kejadian mengambil pulpen, banyaknya anggota B adalah 3, jadi peluang kejadian B adalah P B = k N = 3 9 = 1 3 CONTOH Irfan mempunyai 6 bola putih dan 3 bola merah. Kemudian Irfan mengambil dua bola secara acak (tanpa memilih). a. Tentukan peluang mengambil semuanya bola putih. b. Tentukan peluang mengambil semuanya bola merah. c. Tentukan peluang mengambil satu bola merah dan satu bola putih. Penyelesaian : Dua bola yang terambil tidak diperhatikan urutannya. Oleh karena itu, permasalahan ini termasuk permasalahan kombinasi. Ruang sampel S adalah himpulan cara Irfan mengambil bola dari 9 bola. Banyaknya anggota S (banyaknya titik sampel di S) adalah S = C = 9 9! (9 )!! = 36. a. Misal A merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola putih. Banyaknya anggota A adalah 500 Bab 9: Peluang

105 A = C = 6! (6 )!! = Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola putih adalah P A = A S = = 5 1. b. Misal B merupakan kejadian Irfan mengambil dua bola merah. Banyaknya anggota B adalah B = C = 3! (3 )!! = 3 3. Jadi peluang dari Irfan mengambil dua bola merah adalah P B = B S = 3 36 = 1 1. c. Kejadian mengambil satu bola putih dan satu bola merah dianggap sama dengan kejadian mengambil satu bola merah dan satu bola putih. Misal C merupakan kejadian Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah. Banyaknya anggota C adalah banyaknya kejadian Irfan mengambil satu bola putih dikalikan banyaknya Irfan mengambil satu bola putih. Ingat kembali kaidah perkalian pada subbab Jadi banyaknya anggota C adalah 6! C = 6C 1 C 1 = (6 1)! 1! 3! (3 1)! 1! = 6 3 = Bab 9: Peluang 501

106 Jadi peluang dari Irfan mengambil satu bola putih dan satu bola merah adalah P C = C S = = Peluang Komplemen Suatu Kejadian Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A bagian dari S, dan A adalah komplemen dari A. Lihat Gambar Gambar Ruang Sampel S dan Kejadian A. Jika A dan A dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka P A + P A = 1 (9.4.3) Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut. CONTOH Tentukan peluang mengambil satu kartu dari kartu brigde standard memperoleh bukan As. Penyelesaian : Misal A merupakan kejadian mengambil satu kartu dan memperoleh kartus As. Peluang memperoleh satu kartu As adalah P A = 4 5, karena banyaknya titik sampel di A ada 4 dan banyaknya kartu ada Bab 9: Peluang

107 Dengan demikian peluang mengambil satu kartu dan memperoleh bukan As adalah P A = 1 P A = = Peluang Gabungan Dua Kejadian Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B bagian dari S. Lihat Gambar Gambar 9.4. Kejadian A dan B bagian dari Ruang Sampel S. Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian A B adalah P A B = P A + P B P(A B) (9.4.4) Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut. CONTOH Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah mata dadu yang muncul adalah 8. Kejadian B adalah kejadian mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Tentukan peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul adalah 5. Bab 9: Peluang 503

108 Penyelesaian : Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah S = 36. Misal pasangan angka mata dadu pertama dan angka mata dadu kedua dinyatakan sebagai (x, y). Ruang sampel S adalah S = x, y x dan y bernilai 1,, 3, 4, 5, atau 6} Untuk kejadian A: - A = {(, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, )} - Peluang kejadian A adalah P A = A S = 5 36 Untuk kejadian B: - B = {(1, 5), (, 5), (3, 5), (4, 5), (5, 5), (6, 5)} - Peluang kejadian B adalah P B = B S = 6 36 = 1 6 Interseksi kejadian A dan B: - A B = 3, 5 - Peluang interseksi kejadian A dan B adalah P A B = A B S = 1 36 Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 8 atau mata dadu kedua yang muncul 5 adalah P A B = P A + P B P(A B) = = Bab 9: Peluang

109 9.4.3 Peluang Gabungan Dua Kejadian Saling Lepas Misal dipunyai ruang sampel S, kejadian A dan kejadian B saling lepas merupakan bagian dari S. Lihat Gambar Gambar Kejadian A dan B Saling Lepas. Kejadian A dan B adalah dua kejadian bagian dari S yang saling lepas. Atau, A B =. Jika A B = kita subsitusikan ke persamaan (9.4.4) maka didapat peluang kejadian A B seperti persamaan (9.4.5). P A B = P A + P B (9.4.5) Untuk memperjelas rumusan diatas, kita lihat contoh berikut. CONTOH Pada percobaan pelemparan dua buah dadu setimbang. Kejadian A adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 3. Kejadian B adalah kejadian jumlah angka mata dadu pertama dan kedua yang muncul adalah 8. Tentukan peluang kejadian jumlah angka mata dadu pertma dan kedua yang muncul adalah sama dengan 3 atau 8. Penyelesaian : Pada pelemparan dua buah dadu setimbang, banyaknya ruang sample adalah S = 36. Bab 9: Peluang 505

110 Untuk kejadian A: - A = {(1, ), (, 1)} - Peluang kejadian A adalah P A = A S = 36 = 1 18 Untuk kejadian B: - B = {(, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, ) } - Peluang kejadian B adalah P B = B S = 5 36 Interseksi kejadian A dan B: - A B =, kejadian A dan B saling lepas. Jadi peluang kejadian jumlah mata dadu yang muncul sama dengan 3 atau 8 adalah P A B = P A + P B = = Peluang Bersyarat dan Kejadian Saling Bebas Sebelumnya kita membahas peluang bersyarat ini, terlebih dahulu kita lihat suatu kasus permasalahan peluang. Peluang dari kejadian orang mengidap penyakit paru-paru adalah kecil. Akan tetapi, jika kita berikan syarat bahwa orang yang perokok berat, maka peluang kejadian orang tersebut mengidap penyakit paru-paru menjadi lebih besar. Peluang dengan ada suatu syarat seperti yang digambarkan di atas dinamakan peluang bersyarat. 506 Bab 9: Peluang

111 Sebelum menuju pada suatu rumusan peluang bersyarat, kita lihat contoh berikut ini. CONTOH Perhatikan percobaan pelemparan dadu. Ruang sampel dari percobaan pelemparan dadu adalah S = 1,, 3, 4, 5, 6 Mari kita lihat beberapa kejadian yang terkait dengan pelemparan dau ini. Misal A merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah ganjil, diperoleh: - A = 1, 3, 5 - Peluang A adalah P A = 3 = 1 6 Misal B merupakan kejadian angka mata dadu yang muncul adalah lebih besar dari, diperoleh: - B = 3, 4, 5, 6 - Peluang B adalah P B = 4 6 = 3 Selanjutnya, kita ingin menghitung peluang munculnya angka mata dadu ganjil dengan syarat angka yang muncul adalah lebih besar dari. - Angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari, pasti merupakan titik sampel yang ada di B. Jika kejadian B ini kita anggap sebagai ruang sampel (bukan lagi S), maka ruang Bab 9: Peluang 507

112 sampel yang demikian ini dinamakan tereduksi. ruang sampel - Suatu kejadian munculnya angka mata dadu ganjil dan lebih besar dari adalah A B = 3, 5 dan peluangnya P A B = A B S = 6 = Muncul dua dari empat titik sampel di ruang sampel tereduksi B. Oleh karena itu, dapat dikatakan bahwa 4 adalah peluang bersyarat munculnya angka mata dadu ganjil jika diketahui angka mata dadu yang muncul lebih besar dari. Atau dikatakan sebagai peluang kejadian A dengan syarat kejadian B, dan diberi notasi P A B = A B B Lihat Gambar = 4. Gambar Ruang Sampel Tereduksi Hasil pengamatan di atas, akan membawa kita pada definisi peluang bersyarat berikut ini. DEFINISI Misal kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B dinotasikan dengan P A B dan didefinisikan sebagai dengan B 0. P A B = A B B 508 Bab 9: Peluang

113 Dari definisi di atas juga dapat diturunkan bentuk rumusan sebagai berikut. Atau P A B = P A B = P A B = A B B A B S B S P(A B) P(B) P A B = P A B P(B). (9.4.6) Persamaan (9.4.6) ini dinamakan aturan hasil kali. Jika A merupakan komplemen dari A, maka peluang kejadian A dengan syarat B adalah P A B = 1 P(A B) (9.4.7) Dua kejadian dikatakan saling bebas jika dua kejadian tersebut tidak saling mempengaruhi. Jadi kejadian A dan kejadian B dikatakan saling bebas jika diberikan syarat kejadian B, maka tidak mempengaruhi kejadian A atau sebaliknya. Dengan kata lain P(A B) = P(A) atau P(B A) = P(B). Jika dimasukkan ke dalam persamaan (9.4.6), maka diperoleh P A B = P A P(B) (9.4.8) Jika berlaku P A B = P A P(B), maka kejadian A dan kejadian B merupakan dua kejadian saling bebas. Bab 9: Peluang 509

114 CONTOH Sebuah kaleng berisi bola merah dan bola biru. Dilakukan pengambilan bola secara berurutan, tanpa pengembalian. Tentukan peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan yang kedua, jika diketahui bola pertama yang terambil adalah biru. Penyelesaian: Misal A kejadian terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua. Kejadian B adalah kejadian terpilihnya bola biru pada pengambilan pertama. Gambar Pengambilan Dua Bola Berurutan Untuk mempermudah, kita beri nama bola merah dengan m 1 dan m. Bola biru kita beri nama b 1 dan b. Kejadian terpilihnya bola pertama biru, kejadian B. - Anggaplah B sebagai ruang sampel tereduksi. - B = {b 1 b, b 1 m 1, b 1 m, b b 1, b m 1, b m } - B = Bab 9: Peluang

115 Kejadian terpilihnya bola kedua merah dalam ruang sampel tereduksi B adalah kejadian A B. - A B = { b 1 m 1, b 1 m, b m 1, b m } - A B = 4 Peluang terpilihnya bola merah pada pengambilan kedua, jika pengambilan bola pertama terpilih putih adalah P A B = A B B = 4 6 = 3 CONTOH Manajemen suatu kompleks pertokoan telepon genggam mencatat bahwa 60% pembeli adalah wanita dan sisanya adalah pembeli pria. Sebanyak 80% pembeli wanita membayar dengan cara angsuran. Pembeli pria yang membayar dengan cara angsuran hanya 0%. Jika seorang pembeli dipilih secara acak, maka tentukan peluang terpilihnya: a. Seorang wanita yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran. b. Seorang pria yang membeli telepon genggam dengan cara angsuran. Penyelesaian: Ruang sampel S adalah pembelian telepon genggam di pertokoan. Misal: - Kejadian W adalah kejadian wanita membeli telepon genggam, P(W) = 0,6. Bab 9: Peluang 511

116 - Kejadian L adalah kejadian pria membeli telepon genggam, P(L) = 0,4. - Kejadian A adalah kejadian seorang membeli telepon genggam dengan cara angsuran. P(A W) = 0,8 dan P(A L) = 0,. Berdasarkan aturan hasil kali, diperoleh: a. Peluang terpilihnya seorang wanita membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah P W A = P A W P(W) P W A = 0,8 0,6 = 0,48 b. Peluang terpilihnya seorang pria membeli telepon genggam dengan cara angsuran adalah P L A = P A L P(L) P L A = 0, 0,4 = 0,08 Untuk memahami dua kejadian saling bebas, perhatikan contoh berikut ini. CONTOH Sebuah uang logam dan sebuah dadu dilemparkan bersama-sama. Berapa peluang munculnya sisi angka pada uang logam dan peluang munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil?. Penyelesaian : Ruang sampel dari percobaan ini adalah 51 Bab 9: Peluang

117 S = { a, 1, a,, a, 3, a, 4, a, 5, a, 6, g, 1, g,, g, 3, g, 4, g, 5, g, 6 } Dengan titik sampel (x, y) adalah - pelemparan uang logam muncul x, nilai dapat a (angka) atau g (gambar) - pelemparan dadu muncul angka y, nilai y dapat 1,, 3, 4, 5, atau 6. Peluang masing masing kejadian adalah Kejadian A adalah kejadian munculnya sisi angka pada uang logam - A = a, 1, a,, a, 3, a, 4, a, 5, a, 6. - P A = 1. Kejadian B adalah kejadian munculnya angka pada mata dadu adalah ganjil. - B = a, 1, a, 3, a, 5, g, 1, g, 3, g, 5 - P B = 3 6 = 1. Kejadian A B merupakan kejadian munculnya sisi angka pada uang logam dan angka ganjil pada mata dadu. - A B = {(a, 1), (a, ), (a, 3)} - P A B = 3 = Terlihat bahwa berlaku P A P B = 1 1 = 1 = P A B 4 Oleh karena itu, dikatakan bahwa kejadian A dan B saling bebas. Bab 9: Peluang 513

118 9.4.5 Frekuensi Harapan Suatu Kejadian Perhatikan kasus berikut ini : Sebuah dadu dilempar sebanyak 1 kali Tentukan berapa kali kemungkinan muncul mata dadu?. Untuk menjawab permasalahan diatas, kita dapat melakukan kegiatan dengan cara sebuah dadu kita lempar 1 kali, kemudian kita catat banyaknya mata dadu yang muncul. Kita ulang lagi dengan melempar dadu sebanyak 1 kali dan kita catat banyaknya mata dadu yang muncul. Kegiatan tersebut kita lakukan beberapa kali. Dari hasil catatan akan terlihat banyaknya muncul mata dadu, misal kali. Peluang munculnya mata dadu pada pelemparan sebuah dadu adalah 1 6. Jika dadu dilempar sebanyak 1 kali, maka diharapkan mendapatkan mata dadu sebanyak 1 1 kali = kali. Harapan munculnya mata 6 dadu sebanyak kali tersebut dinamakan frekuensi harapan. Frekuensi harapan munculnya kejadian A dengan n kali percobaan adalah P(A) n CONTOH Sebuah uang logam dilempar sebanyak 40 kali. Tentukan frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam tersebut. Penyelesaian : Misal A merupakan kejadian munculnya sisi gambar, A = {G}. 514 Bab 9: Peluang

119 Peluang kejadian A adalah P A = 1. Jadi frekuensi harapan munculnya sisi gambar pada uang logam adalah 1 40 = 0 kali. RANGKUMAN Peluang suatu kejadian Untuk kejadian A = {s 1, s,, s k } dengan k N, peluang suatu kejadian A adalah jumlah semua peluang titik sampel dalam A. Ditulis sebagai P A = P s 1 + P s P s k atau P A = A S = k N Peluang komplemen kejadian Jika A dan A dua kejadian yang satu merupakan komplemen lainnya, maka P A + P A = 1. Jika A dan B adalah dua kejadian bagian dari S, maka peluang kejadian A B adalah P A B = P A + P B P(A B) Kejadian A dan B bagian dari ruang sampel S. Peluang kejadian A dengan syarat B adalah A B P A B = B dengan B 0 SSOALL LLAT IIHAN Kerjakan soal-soal latihan dibawah ini. Bab 9: Peluang 515

120 1. Sebuah dadu dilemparkan. Tentukan peluang a. Muncul mata dadu 4. b Muncul mata dadu genap. c. Muncul mata dadu ganjil. d. Muncul mata dadu genap atau ganjil. 1. Sebuah dadu dan sebuah uang logam dilempar bersamasama.tentukan peluang a. Muncul mata uang angka dan angka dadu 3. b. Muncul mata uang gambar dan angka dadu genap. c. Muncul angka dadu ganjil. d. Muncul mata uang angka dan angka dadu lebih dari.. Dari satu kantong terdiri dari 6 bola merah, 4 bola hitam dan 3 bola hijau diambil satu bola. Tentukan peluang bola yang terambil berwarna a. Merah atau hitam. b. Merah atau hitam atau hijau. c. Bukan hitam. d. Bukan hitam atau bukan merah. 3. Jika sebuah huruf diambil dari kata MATEMATIKA. Tentukan peluang yang terambil a. Huruf M b. Huruf vocal c. Huruf konsonan d Bukan huruf vocal 4. Satu kelompok terdiri dari 1 putera dan 4 puteri. Jika tiga orang diambil dari kelompok tersebut, berapa peluang bahwa ketiganya adalah putera. 516 Bab 9: Peluang

121 5. Farhan mempunyai bola 8 bola merah dan 10 bola biru. Kemudian Farhan mengambil dua bola secara acak. Tentukan peluang bola yang terambil a. Semuanya merah b. Semuanya biru c. Satu bola merah dan satu bola biru 6. Budi mempunyai bola 8 bola merah, 10 bola biru dan 6 bola putih.kemudian Budi mengambil tiga bola secara acak. Tentukan peluang yang terambil a. Tiga bola tersebut berwarna sama b. Dua bola merah dan 1 bola putih c. Satu bola merah dan bola biru d. Paling sedikit 1 bola putih e. Tiga bola tersebut berlainan warna 7. Dua buah dadu dilempar bersama sama.tentukan peluang munculnya a. Jumlah mata dadu 5 atau 10 b. Jumlah mata dadu 10 atau mata dadu pertama adalah 6 a. Mata dadu pertama ganjil atau mata dadu kedua genap 8. Pada permainan bridge, 4 pemain masing-masing memegang 13 kartu dari 5 kartu yang ada. Tentukan peluang seorang pemain tertentu kartunya terdiri dari 7 diamond, club, 3 heart dan 1 spade. 9. Tiga buah dadu dilempar bersama sama. Tentukan peluang munculnya a. Jumlah mata dadu 1 b. Jumlah mata dadu 10 atau 15 Bab 9: Peluang 517

122 10. Tentukan peluang bahwa sebuah bilangan puluhan adalah kelipatan Peluang tim sepak bola SMK Nusantara untuk memenangkan suatu pertandingan sepak bola adalah 0,6. Jika tim tersebut akan bermain dalam 50 kali pertandingan, Berapa kali tim sepakbola tersebut akan menang? 1. Peluang tim basket SMK Tunas Harapan untuk memenangkan suatu pertandingan basket adalah 0,8. Jika tim tersebut akan bermain dalam 30 kali pertandingan, Berapa kali tim basket tersebut akan kalah? 13. Dua buah dadu dilempar bersama - sama sebanyak 88 kali. Tentukan frekuensi harapan a. Munculnya jumlah mata dadu 10. b. Munculnya jumlah mata dadu 5 atau 1. c. Munculnya mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua genap. d. Munculnya jumlah mata dadu selain Bab 9: Peluang

123 Bab 10 S T A TISTI KA Dalam kehidupan sering dijumpai informasi yang berupa kumpulan data dalam bentuk angka atau sajian data dalam bentuk grafik. Informasi ini disebut statistik. Pada bab ini dibahas tentang pengertian statistik, statistika, bentuk penyajian data serta bagaimana cara menghitung ukuran pusat Pengertian Dasar Kemajuan ilmu pengetahuan dan teknologi tidak dapat dipisahkan dari statistik. Seorang manajer yang berpacu dengan waktu akan enggan membaca laporan hasil survei atau evaluasi yang panjang. Laporan yang disajikan secara sederhana dan lengkap sangat diperlukan oleh seorang manajer. Bentuk laporan yang dimaksud adalah statistik. Contoh lain, dengan keterbatasan waktu berbagai informasi dalam Bab 10: Statistik 519