PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID 2 DIMENSI MENJADI 3 DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA

Transkripsi

1 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 PERLUASAN KURVA PARAMETRIK HYPOCYCLOID DIMENSI MENJADI DIMENSI DENGAN SISTEM KOORDINAT BOLA Purwoto ), Hanna Arini Parhusip ), Tundjung Mahatma ) )) Program Studi Matemarika,Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen SatyaWacana Jl. Diponegoro 5-6 Salatiga 57 ) 66@student.uksw.edu, ) hannaariniparhusip@yahoo.co.id, ) t.mahatma@staff.uksw.edu Abstrak Hyplocycloid merupakan kurva parametrik yang ditentukan oleh nilai parameternya. Berbagai macam bentuk kurva hypocycloid yang dihasilkan diperluas ke dalam dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola, dimana setiap titik dari permukaan mempunyai jari-jari dan sudut. Hasil persamaan perluasan diturunkan terhadap masingmasing parameternya dan dikombinasikan untuk mendapatkan hasil perluasan yang lain. Hasil perluasan dimensi digambarkan atau divisualisasikan dengan menggunakan program MATLAB. Hasil visualisasi ini merupakan persamaan hypocycloid yang telah di generalisasikan terhadap sistem koordinat bola. Kata kunci: Hypocycloid, persamaan parametrik, sistem koordinat bola, dimensi A. Pendahuluan Beberapa bentuk kurva di dalam matematika sudah banyak dikenal dan disajikan, baik dalam bentuk persamaan kartesian maupun persamaan parametrik. Contohnya adalah lingkaran, ellips, hiperbola, dan parabola. Persamaan-persamaan tersebut dapat diperluas ke dalam dimensi atau sebagai permukaan kuadrik berturut-turut menjadi bola, ellipsoida, hiperboloida, dan paraboloida. Bentuk-bentuk kurva lain dalam persamaan kartesian dan persamaan parametrik sudah banyak divisualisasikan di dalam bentuk dimensi dan diberikan nama. Beberapa diantaranya adalah astroid, cycloid, hypocycloid, dan masih banyak lagi (Web). Hypocycloid merupakan salah satu persamaan parametrik yang mempunyai bentukbentuk beranekaragam tergantung parameternya. Persamaan hypocycloid ini yang kemudian akan dicari bentuk perluasan dimensi dengan beberapa bentuk parameter yang berbeda. Dalam satu persamaan hypocycloid akan dihasilkan beberapa bentuk perluasan dimensi sesuai dengan parameternya. Penyusunan perluasan hypocycloid ke dalam dimensi kmenggunakan sistem koordinat bola yang digeneralisasikan terhadap persamaan parametriknya. Persamaan baru yang dihasilkan diturunkan terhadap parameter dan. Perluasan yang sudah terbentuk kemudian divisualisasikan secara grafis dengan menggunakan program MATLAB. Hasil turunan yang didapat juga dikombinasikan dan divisualisasikan sehingga akan diperoleh bentuk-bentuk perluasan lain yang bermacam-macam dari satu persamaan hypocycloid. ISBN

2 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 B. Tinjauan Pustaka Visualisasi dimensi dalam model dekoratif Beberapa visualisasi kurva parametrik klasik, seperti hypocycloid telah dipelajari dan digunakan di dalam menyusun motif dekoratif. Persamaan parametrik yang berbentuk x x(t) dan y y(t) mempunyai pasangan titik ( x, y) sehingga membentuk motif-motif dekoratif. Persamaan hypocycloid merupakan salah satu dari persamaan parametrik. Persamaan hypocycloid telah dipelajari sebagai domain dari beberapa pemetaan seperti pemetaan kompleks dan pemetaan Voronoi (Parhusip,4). Sebagai contoh pemetaan fungsi kompleks yang digunakan adalah fungsi kompleks F z = dan F z = cos(z). Hasil z visualisasi dibuat dengan menggunakan program MATLAB (Suryaningsih,dkk,). Hasil yang diperoleh ditunjukkan sebagai berikut Gambar. Komposisi transformasi F z = cos(z) terhadap F z = z yang kemudian di gabungkan (Suryaningsih,dkk,) Selain itu terdapat juga pemetaan kurva parametrik hypocycloid oleh fungsi kompleks f z cosz, f z, f z sinz dan dipetakan dengan pemetaan voronoi z (Parhusip,4). Hasil yang diperoleh ditunjukan sebagai berikut ISBN

3 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 Gambar.Hasil pemetaan persamaan hypocycloid dalam ( z) cos( z) pemetaan voronoi (Parhusip,4) f dan dipetakan dengan Visualisasi dimensi Tim IMAGINARY oleh sebuah badan Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach di Jerman mengumpulkan berbagai macam ilustrasi yang didapatkan dari geometri. Geometri yang merupakan salah satu bidang dalam matematika dipandang sebagai sesuatu yang sangat menarik dan diekspresikan dalam sebuah gambar dengan program computer untuk matematika. Program-program matematika yang digunakan dalam memvisualisasikan beberapa diantaranya adalah D_XplorMath, Cinderella, dan Surfer. D_XplorMath merupakan program yang paling luas di dalam memvisualisasikan objek matematika (Greuel,8). Beberapa objek oleh tim IMAGINARY ditunjukkan Gambar. Hasil visualisasi Algebraic sculptures yang diornamenkan oleh tim IMAGINARY (Greuel,8) C. Metode Penelitian Mengenal bentuk dan persamaan hypocycloid. Hypocycloid terbentuk oleh sebuah titik P pada keliling sebuah lingkaran kecil dengan radius b yang menggelinding di dalam lingkaran yang lebih besar dengan radius a (a>b) (Hsu,et.al,8). Bermacam ukuran dari lingkaran menghasilkan hypocycloid yang berbeda. Secara umum persamaan dapat dituliskan sebagai a b a b x a bcos bcos ; y a b sin bsin ; () b b Persamaan () tersebut pada dasarnya merupakan persamaan umum dari epicycloid dan juga hypocycloid. Parameter b menjadi parameter yang menentukan bentuk yang diperoleh. Ketika b bernilai positif akan menghasilkan epicycloid dan ketika b bernilai negatif akan menghasilkan hypocycloid. Hypocycloid mempunyai beberapa bentuk yang berbeda-beda tergantung dari parameter yang diberikan. Dengan ditetapkan a= sebagai p radius lingkaran besar dan b sebagai radius lingkaran kecil yaitu b bentuk hypocycloid q akan dijumpai ketika p < q. Sedangkan ketika p>q akan terbentuk kurva epicycloids sekalipun b bernilai negatif. Secara umum untuk persamaan hypocycloid itu sendiri dapat dituliskan sebagai berikut ISBN

4 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 a b a b x a bcos bcos ; y a b sin bsin ; () b b Sistem Koordinat bola Sistem koordinat bola merupakan salah satu dari banyak cara pemerincian posisi titik di ruang dimensi. Jenis koordinat bola,, ini memainkan peranan penting di dalam kalkulus (Purcell,987). Gambar 4. Titik P di dalam sistem koordinat bola (Purcell,987) Sebuah titik P mempunyai koordinat bola,, jika adalah jarak OP dari titik asal ke P, adalah kutub yang berhubungan dengan proyeksi P dari P ke bidang xy, dan adalah sudut antara z positif dan ruas garis OP. Hasil yang diperoleh dari perluasan kurva parametrik hypocycloid oleh sistem koordinat bola memberikan persamaan dengan dua parameter yaitu dan. Hasil persamaan yang diperoleh diturunkan terhadap parameter-parameter tersebut. Turunan Persamaan Parametrik Diasumsikan persamaan parametrik x f u dan y gu maka turunan pertama dy persamaan parametrik adalah (Ayres,9). Turunan persamaan parametrik dirumuskan dx Contoh : Persamaan parametrik Penyeleseian dy 4a cos sin dy dx dy du dx du x a cos 4 dan 4 dy y a sin ; tentukan dx () ISBN

5 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 dx 4a sin cos dy cos dx sin D. Hasil dan Pembahasan Persamaan () mempunyai bentuk yang bermacam-macam dipengaruhi oleh nilai parameter a dan b. Dengan parameter a= sebagai radius lingkaran besar maka bentukbentuk hypocycloid hanya tergantung parameter b. Dengan b akan dibuat pola p q perubahan bentuk hypocycloid dengan parameter yang ditentukan. Dengan menggunakan program MATLAB diperoleh hasil Tabel. Program Matlab untuk mencari bentuk hypocycloid dan parameternya clear close all n=; p=; for q=:9; a=;b=-(p/q); %banyaknya titik syms theta x=(a+b).*cos(theta)+ b.*cos((a+b)./b.*theta); y=(a+b).*sin(theta)+ b.*sin((a+b)./b.*theta); subplot(,, *(p-) + q) ; ezplot(x, y, [ *p*pi]); end %Pengulangan terhadap nilai q % b bernilai negative sebagai persamaan hypocycloid Gambar 5. Bentuk hypocycloid untukp= dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) Gambar 6. Bentuk hypocycloid untukp= dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) Gambar 7. Bentuk hypocycloid untukp= dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) Gambar 8. Bentuk hypocycloid untukp=4 dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) ISBN

6 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 Gambar 9. Bentuk hypocycloid dengan p=5 dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) Gambar. Bentuk hypocycloid dengan p=6 dan q=,,,4 (kolom -),q=5,6,7,8 (kolom -4) Persamaan () dengan p 6 dan q 8 didapatkan beberapa hal mengenai hypocycloid dan juga epycicloid. Berikut diantaranya adalah (Rovenskii,) a. Apabila parameter b bernilai positif maka bentuk kurva epycicloid b. Apabila parameter b bernilai negatif maka bentuk kurva hypocycloid p p c. Jika nilai maka kurva berbentuk epyicloid, sebaliknya jika kurva q q berbentuk hypocycloid d. Gambar kosong diperoleh ketika p=q sedang nilai a= dan parameter b negatif sehingga nilai persamaan x= dan y= e. Nilai penyebut q pada parameter b menjadi jumlah ujung pada kurva hypocycloid. Namun jika nilai p dan q dapat disederhanakan,maka nilai q yang paling sederhana tersebut yang akan menjadi jumlah ujung kurva hypocycloid. Beberapa bentuk hypocycloid sudah diberikan nama seperti deltoid dan juga astroid. Berikut adalah kurva yang akan diperluas ke dalam dimensi dengan sistem koordinat bola Gambar. Bentuk hypocycloid yang akan diperluas ke dimensi dengan sistem koordinat bola Persamaan () akan dibentuk ke dalam persamaan dimensi dengan mengikuti sistem koordinat bola. Permukaan bola dianggap sebagai perluasan dari titik-titik yang setiap titiknya mempunyai jari-jari dan juga sudut dari pusat bola. Demikian pula setiap titik di permukaan hasil perluasan kurva hypocycloid juga mempunyai jari-jari dan juga sudut.persamaan hypocycloid menjadi sin cos cos ; sin a b a b x sin sin a b b y a b b ; (4) b b dengan r ISBN x y ; maka dikonstruksi sin z cos (5) r

7 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 Terdapat dua parameter berbeda pada persamaan (4) dan (5) yaitu dan. Dari hasil turunan persamaan tersebut akan diperoleh persamaan baru yang kemudian dikombinasikan sebagai bentuk perluasan yang baru. Persamaan (4) diturunkan terhadap dx a b dy a b cos ( a b) cos b cos cos ( a b)sin bsin b b Persamaan (4) diturunkan terhadap dy sin a b ( ) cos ( ) cos a b a b ; b dx sin a b ( )sin ( )sin a b a b ; b Persamaan (5) diturunkan terhadap dz sin Bentuk (Deltoid) Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan () dengan parameter a= dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai dan. Bentuk umum deltoid ini kemudian diperluas dengan sistem koordinat bola. Hasil turunan dari masing-masing parameternya dikombinasikan sehingga menghasilkan persamaan baru dan divisualisasikan. Perlakuan ini juga diterapkan pada bentuk astroid, star, dan juga bentuk 4. Hasil perluasan ditunjukkan Gambar. Deltoid dan perluasan dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari ISBN

8 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 dx dy dz dx dy dx dy,,,,, z,,, z dx dy dx dy dz dx dy dz dx dy dz,, z,,,,,,,,, kombinasi turunannya Bentuk (Astroid) Bentuk Astroid diperoleh dari persamaan () dengan parameter a= dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai dan. Hasil perluasan ditunjukan 4 4 dan Gambar. Deltoid dan perluasan dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari dx dy dz dx dy dx dy,,,,, z,,, z dx dy dx dy dz dx dy dz dx dy dz,, z,,,,,,,,, kombinasi turunannya Bentuk (Star) Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan () dengan parameter a= dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai dan. Hasil perluasan ditunjukkan 5 5 dan ISBN

9 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal Gambar 4. Deltoid dan perluasan dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari dx dy dz dx dy dx dy,,,,, z,,, z dx dy dx dy dz dx dy dz dx dy dz,, z,,,,,,,,, kombinasi turunannya Bentuk 4 Bentuk deltoid diperoleh dari persamaan () dengan parameter a= dan b mempunyai bentuk sederhana bernilai dan 5. Hasil perluasan ditunjukan oleh gambar 7 7 dan ISBN

10 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal Gambar 5. Deltoid dan perluasan dimensi dengan sistem koordinat bola dilanjutkan visualisasi dari ISBN dx dy dz dx dy dx dy,,,,, z,,, z dx dy dx dy dz dx dy dz dx dy dz,, z,,,,,,,,, kombinasi turunannya Hasil perluasan hypocycloid dengan sistem koordinat bola menghasilkan bentuk dimensi yang mempunyai kemiripan dengan bentuk bola. Bentuk yang dihasilkan mempunyai Hanya saja kontur dari hasil perluasan dipaksakan seperti bentuk dasar dari hypocycloid yang diperluas dan bukan lagi lingkaran yang menjadi bentuk dasar bola. Hasil turunan persamaan yang kemudian dikombinasikan juga menghasilkan berbagai bentuk dimensi yang bermacam-macam. E. Simpulan dan Saran Hypocycloid merupakan persamaan parametrik yang mempunyai berbagai bentuk tergantung nilai parameternya. Bentuk-bentuk dasar hypocycloid dapat diperluas kedalam bentuk dimensi dengan menggunakan sistem koordinat bola. Persamaan perluasan hypocycloid dimensi yang diturunkan terhadap parameter-parameternya membentuk persamaan baru yang dapat dikombinasikan dan membentuk perluasan baru. Setiap gambar yang diperoleh dengan masing-masing bentuk dasarnya didapatkan kemiripan dalam setiap kombinasi yang dibuat. Setiap kombinasi hypocycloid yang diperluas dengan sistem koordinat bola tersebut dipolakan ke dalam bentuk dimensi dan menjadi satu bentuk keluarga. Hypocycloid merupakan satu dari berbagai persamaan parametrik, sehingga sangat dimungkinkan persamaan-persamaan yang lain untuk diperluas ke dalam dimensi dengan sistem koordinat bola. Terdapat banyak program komputer yang dapat digunakan sebagai alat bantu visualisasi dimensi. F. Daftar Pustaka dan

11 Perluasan Kurva Parametrik Hypocycloid Dimensi Menjadi Dimensi Dengan Sistem Koordinat Bola Prosiding Semnar Nasional VIII UNNES, 8 Nov 4 Semarang Hal.6-6 [] Ayres.F., Mendelson.E. 9. Schaum s Outlines Calculus, Fifth Edition. McGraw-Hill, Singapore. [] Hsu MH, Yan HS, Liu JY, Hsieh LC (8). Epicycloid (Hypocycloid) Mechanisms Design Proceedings of the International Multi Conference of Engineers and Computer Scientists, IMECS, Hong Kong,(). [] Greuel G.M, Matt A.D, IMAGINARY-Through the eyes of mathematics Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach (8),ISBN , Oberwolfach-German. [4] Parhusip H.A, 4. Arts revealed in calculus and its extension. International Journal of Statistics and Mathematics, (): -9, Premier-Publisher,(online). : or or [5] Purcell,Edwin J. Dale Varberg, Kalkulus dan Geometri Analitis jilid, edisi kelima,terj. I Nyoman Susila, Jakarta: Erlangga. [6] Rovenskii, Vladimir Y.,. Geometry of Curves and Surfaces with Maple. New York: Birkhauser Bolton [7] Suryaningsih, V, Parhusip,H.A, Mahatma, T,. Kurva Parametrik dan Transformasinya untuk Pembentukan Motif Dekoratif, Prosiding, Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika UNY,9 Nov, ISBN: ,hal. MT [8] Web : (Di akses pada 9 September 4) ISBN