Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi
|
|
- Vera Dharmawijaya
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 Modul 6 Penggunaan Fungsi Non-Linear Dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec F PENDAHULUAN ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran. Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier, sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak. Setelah mempelajari modul ini Anda diharapkan mampu: a. mendemonstrasikan pembuatan grafik berbagai macam bentuk fungsi non-linier; b. menjelaskan sifat-sifat berbagai bentuk fungsi non-linier; c. menunjukkan perbedaan fungsi permintaan dan penawaran yang disajikan dalam bentuk persamaan kuadratik; d. menghitung harga dan jumlah keseimbangan; e. menghitung kepuasan seorang konsumen dengan menggunakan konsep kurva indifference;
2 6. Matematika Ekonomi 1 f. menghitung kombinasi jumlah barang yang diminta dengan menggunakan konsep garis anggaran.
3 ESPA411/MODUL P Kegiatan Belajar 1 Fungsi Permintaan dan Penawaran ada bab sebelumnya telah dibahas tentang fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang merupakan fungsi linear. Secara grafis, fungsi permintaan dan penawaran dapat ditunjukkan juga oleh fungsi non-linear seperti berikut: P S 0 Q D Gambar 6.1 Kurva permintaan dan penawaran Pada gambar di atas, sumbu vertikal menunjukkan harga (P) dan sumbu horisontal menunjukkan jumlah (Q), sedang fungsi permintaan maupun penawaran, keduanya ditunjukkan oleh garis lengkung. Mengingat bahwa keinginan seseorang untuk membeli suatu barang akan bertambah bila harganya turun dan keinginan seseorang untuk menjual suatu barang akan bertambah bila harganya naik, maka dari gambar kedua kurva di atas dengan mudah dapat ditebak bahwa kurva yang menurun adalah kurva permintaan dan kurva yang menaik merupakan kurva penawaran. Kurva permintaan dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola atau hiperbola, sedangkan kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh suatu bentuk parabola. Dalam ilmu ekonomi, umumnya seseorang tidak akan meninjau harga dan jumlah barang yang nilainya negatif, sehingga bagian kurva yang berlaku dan digunakan adalah bagian kurva permintaan dan penawaran yang berada di kuadran satu. Melalui gambar di bawah ini dapat dilihat bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian dari parabola yang sumbunya dapat sejajar dengan sumbu vertikal maupun sumbu horisontal dan kurvanya bisa terbuka ke atas
4 6.4 Matematika Ekonomi 1 maupun ke bawah atau terbuka ke kiri maupun ke kanan. Meskipun demikian setiap bentuk kurva ini mempunyai ciri-ciri sendiri yang satu sama lainnya berbeda. Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu P (sumbu vertikal) bentuk persamaan umumnya dapat ditulis sebagai berikut: (Q - h) = 4p (P - k) P P p < 0 h 0 p > 0 k > 0 (a) h > 0 k 0 0 Q 0 Q P P p < 0 (c) (d) h > 0 k < 0 p > 0 h 0 k > 0 0 Q Q Gambar 6. Grafik Bentuk-bentuk Kurva Parabola Pada gambar (a), parabola terbuka ke bawah berarti p < 0. Titik vertex (h, k) terletak di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Ini berarti nilai h 0 dan k > 0. Gambar (b) menunjukkan parabola yang terbuka ke atas. Parabola macam ini mempunyai p > 0 dan titik vertex (h,k) yang terletak di kuadran keempat atau dapat pula terletak di sumbu Q (sumbu horisontal) jadi h > 0
5 ESPA411/MODUL dan k 0. Ada dua potongan kurva yang terletak di kuadran pertama yaitu bagian kurva yang menaik dan menurun. Namun untuk kurva permintaan yang dipakai adalah potongan kurva yang menurun. Nilai Q yang berlaku mempunyai batas yaitu 0 < Q < Q 1, dan Q 1 terletak pada potongan kurva yang menurun. Bentuk parabola yang ditunjukkan oleh gambar (c) dan (d) adalah parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu Q (sumbu horisontal) dan bentuk umumnya adalah (P - k) = 4p(Q - h) Pada gambar (c), parabola terbuka ke kiri yang berarti p < 0 dan titik vertex terletak di kuadran keempat dan mungkin juga terletak di sumbu Q. Titik vertex (h,k) di kuadran keempat ditunjukkan oleh h > 0 dan k < 0. Gambar (d) adalah gambar parabola yang terbuka ke kanan dengan P > 0. Titik vertex bisa berada di kuadran kedua dan dapat pula di sumbu P. Titik vertex (h,k) yang berada di kuadran kedua, ditandai oleh nilai h 0 dan k > 0. Pada gambar tersebut dapat dilihat bahwa bagian parabola yang berada di kuadran pertama ada dua potong, yakni bagian kurva yang menaik dan potongan kurva yang menurun. Mengingat sifat kurva permintaan yang selalu menurun, maka bagian kurva yang digunakan untuk kurva permintaan adalah potongan parabola yang menurun. Dengan demikian maka nilai P yang memenuhi batas adalah 0 < P < P 1, di mana P 1, terletak pada kurva yang menurun. Contoh 6.1: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 P = 11 - Q - Q 4 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut: 4P = 44-4Q - Q atau Q + 4Q + 4 = 4P + 48 (Q + ) = -4(P - 1)
6 6.6 Matematika Ekonomi 1 maka: P = -1, h = -, k = 1 Perpotongan dengan sumbu vertikal (P) terjadi untuk Q = 0 dan P = 11. Perpotongan dengan sumbu horisontal (Q) terjadi untuk P = 0 dan Q 1 = P Q = p = 11 Q - 1 Q 0 Q Contoh 6.: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 P= Q 4Q+ 0 5 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara sebagai berikut: 1 Q 4Q + 0 = P 5 Q 0Q + 100= 5P 5 (Q 10) = 4. (P 0) 4 Jadi p = 5 4, h = 10, k = 0 dan titik vertex berada di sumbu Q. Perpotongan dengan sumbu P terjadi bila Q = 0, jadi untuk Q = 0, maka P =0. Perpotongan dengan sumbu Q terjadi bila P = 0, jadi untuk P = 0 makaq= 10.
7 ESPA411/MODUL Kurva permintaan adalah 1 P= Q 4Q + 0 untuk 0 < Q < 10 5 Contoh 6.3: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: 1 Q= 15 P P 4 Persamaan dapat dirubah menjadi bentuk umum dengan cara: 1 P + P 15 = Q 4 P + 4P 60= 4Q P + 4P + 4= 4Q + 64 (P + ) = 4(Q 16) Jadi P = -1, h = 16, k = -. 1 Dari persamaan Q= 15 P P, bila P = 0, maka Q = 15 dan bila Q = 0, 4 maka P 1 = 6 dan P = -10.
8 6.8 Matematika Ekonomi 1 Contoh 6.4: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: P 0P 5Q = 0 Persamaan ini dibawa ke bentuk umumnya: P 0P = 5Q (P 10) = 5(Q 0) 5 Jadi P =, h = 0, k = 10, titik vertex di sumbu P. 4 Kurva memotong sumbu Q bila P = 0 dan Q = 0.
9 ESPA411/MODUL P Q Di atas telah disebutkan bahwa kurva permintaan dapat merupakan bagian dari hiperbola yang asimtotnya sejajar dengan sumbu horisontal dan sumbu vertikal. Seperti pada parabola, maka hiperbola yang dipakai sebagai permintaan adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Gambar grafik dari hiperbola yang bagiannya merupakan permintaan dapat dilihat pada gambar berikut ini: Y Y 0 (a) Q 0 X Gambar 6.3 Grafik Kurva Permintaan dari Hiperbola
10 6.10 Matematika Ekonomi 1 Dari dua grafik di atas dapat dilihat bahwa titik pusat parabola terletak di kuadran pertama atau di kuadran ketiga. Sesungguhnya tidak ada batasan untuk letak titik pusat parabola. Bila pada kuadran pertama terdapat dua bagian hiperbola yang masing-masing menurun dari kiri atas ke kanan bawah, maka kurva yang akan dipilih, sangat ditentukan oleh permasalahan yang sedang dihadapi. Contoh 6.5: Gambarkan kurva permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan: QP + P = 0 Persamaan ini dapat dirubah menjadi (Q + )(P - 0) = 0, dan merupakan hiperbola dengan pusat (-, 0) dengan asimtot sumbu Q dan garis Q = -. Perpotongannya dengan sumbu P terjadi bila Q = 0 dan P = 10. P QP + P = 0 (-, 0) 0 Q Contoh 6.6: Gambarkan kurva permintaan QP 10P 1Q = 0 untuk P < 10 dan 1 Q < 8. 3 Kurva permintaan dibawa ke bentuk umum hiperbola: QP 10P 1Q = 0 QP 10P 1Q + 10 = 0
11 ESPA411/MODUL P(Q 10) 1(Q 10) = 0 (Q 10)(P 1) = 0 Titik pusat hiperbola (10, 1) dengan asimtot Q = 10, P = 1. Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu Q bila P = 0 dan Q = Perpotongan kurva permintaan dengan sumbu P bila Q = 0 dan P = (10,1) 10 QP 10P 1Q = Kurva penawaran dapat ditunjukkan oleh parabola. Parabola yang digunakan sumbunya dapat sejajar dengan sumbu horisontal atau sumbu vertikal. Bagian kurva yang digunakan untuk kurva penawaran adalah bagian kurva yang menaik dan terletak pada kuadran pertama., seperti terlihat pada gambar di bawah ini
12 6.1 Matematika Ekonomi 1 P P 0 Q 0 Q Gambar 6.4 Grafik Kurva Penawaran dari Parabola Contoh 6.7: Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan: Q + Q + 1 P = 4 Persamaan di atas dapat ditulis menjadi: (Q + 1) = 4(P - 0) Titik Vertex (-1,0) P Q + Q + 1 y= 4 0 Q
13 ESPA411/MODUL Contoh 6.8: Gambarkan kurva penawaran yang ditunjukkan oleh persamaan: 4x y y 5= 0 Persamaan dibawa ke bentuk normal: 4x = y + y (x + 1) = (y + 1) Titik vertex (-1, -1) dan p = 1 4 P 4x y y 5= 0 (-1, -1) Q Kurva permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga dan jumlah keseimbangan. Harga dan jumlah keseimbangan merupakan titik potong kurva penawaran dan permintaan yang nilainya dapat ditentukan secara grafis dengan melukiskan kedua kurva secara seksama. Penentuan harga dan jumlah keseimbangan secara analisis belum tentu di dapat dengan mudah karena mungkin akan menyangkut pencarian akar persamaan derajat tiga atau empat yang teori penyelesaiannya tidak akan dibicarakan di sini. Menghitung titik potong kurva permintaan dan penawaran dapat dilakukan dengan mudah jika kemudian hanya timbul persamaan derajat dua. Persamaan ini timbul karena:
14 6.14 Matematika Ekonomi 1 * Salah satu merupakan fungsi linear dan yang lain adalah fungsi derajat dua; * Harga (P) merupakan fungsi derajat dua dari jumlah yang berbentuk parabola atau hiperbola, baik untuk fungsi penawaran maupun untuk fungsi permintaan. * Jumlah barang baik yang diminta maupun yang ditawarkan merupakan fungsi kuadrat dari harga. Contoh 6.9: Hitunglah jumlah dan harga keseimbangan dari kurva penawaran dan kurva permintaan berikut: Q s = P + P Q d = -P + 16 Keseimbangan tercapai jika Q s = Q d Jadi: P + P - = -P + 16 P + 3P - 18 = 0 (P - 3)(P + 6) = 0 P 1 = -6 (tidak dipakai) P = 3 Untuk P = 3, maka Q = -(3) + 16 = 10 Jadi harga keseimbangan = P = 3 Jumlah keseimbangan = Q = 10.
15 ESPA411/MODUL P 8 Q = -P Q = P + P Q - Contoh 6.10: Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan permintaan berikut: Q s = P + p Q d = -P + 10 Keseimbangan tercapai apabila Q s = Q d, atau: P + P = -P + 10 P + P 1 = 0 P + P 6 = 0 (P + 3)(P ) = 0 P 1 = -3 (tidak dipakai) P = Untuk P =, maka Q = 6.
16 6.16 Matematika Ekonomi 1 Jadi harga keseimbangan = P = Jumlah keseimbangan = Q = 6 P 8 Q = -P Q = P + P Q - Contoh 6.11 Berapakah harga dan jumlah keseimbangan dari fungsi penawaran dan permintaan berikut: P = 5Q s + 3P = -Q d Q d + 6 Q d = Q s, maka 6P = 15Q + 6 = -Q 4Q + 5 Q + 19Q 46 = 0 Q + 3Q 4Q 46 = 0 Q(Q + 3) (Q + 3) = 0 (Q + 3)(Q ) = 0 Q 1 = (tidak dipakai) Q = Untuk Q =, maka P = 1 (5() + ) = 6
17 ESPA411/MODUL Jadi harga keseimbangan = P = 6 Jumlah keseimbangan = Q =. (-1,9) P P = 5Q + (,6) 3P = -Q Q Q Bila konsumen membeli barang sebesar Q satuan pada tingkat harga P, maka produsen akan menerima uang sebanyak Q.P yaitu jumlah yang dibeli dikalikan harganya atau dengan simbol: TR = Q. P TR adalah simbol untuk penerimaan total (total revenue). Untuk fungsi permintaan yang menurun dan linear, harga (P) tidak tetap, sehingga kurva TR = Q.P merupakan fungsi yang tidak linear. Misalkan, ada fungsi permintaan yang ditunjukkan oleh persamaan P = a - bq di mana a dan b > 0, maka kurva penerimaannya adalah: TR = a Q b Q Ini merupakan persamaan parabola yang terbuka ke bawah dan memotong sumbu horisontal Q di titik Q = 0 dan Q = a/b. Titik puncak terjadi di: a Q = b dengan koordinat ( a a, b 4b ).
18 6.18 Matematika Ekonomi 1 Grafik dari fungsi permintaan dan fungsi penerimaan dapat dilihat pada gambar berikut ini: P TR ( a b a 4b, ) 0 Q 0 Q a a b b Gambar 6.5 Grafik fungsi permintaan Contoh 6.1: Bila diketahui fungsi permintaan P = 0 - Q, gambarkan kurva penerimaannya. Penerimaan = Q. P TR = 0Q - Q Titik potong TR dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 0 dengan titik puncak (10,100). TR (10, 100) Q
19 ESPA411/MODUL LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Permintaan: Q + P = 10 Penawaran: P 4Q = 4 ) Permintaan: Q + P = 9 Penawaran: Q + 5Q P = -1 3) Permintaan: Q = 64 8P P Penawaran: Q = 10P + 5P 4) Permintaan: PQ + 1P + 6Q = 97 Penawaran: P Q = 6 Dapatkan fungsi penerimaan dan gambar grafiknya bila diketahui fungsi permintaannya. 5) Permintaan: P + Q = 5 6) Permintaan : Q + P = 10 Petunjuk Jawaban Latihan 1) Q + P = 10 atau 4Q + P = 0 P 4Q = 4-4Q + P = 4 + P + P = 4 atau P + P 4 = 0 (P + 6)(P 4) = 0 P1 = -6 (tidak dipakai) P = 4 Untuk P = 4, maka Q = 3 Jadi harga keseimbangan = P = 4 Jumlah keseimbangan = Q = 3
20 6.0 Matematika Ekonomi 1 P (3,4) P 4Q = 4 Q + P = 10 Q ) Q + P = 9 atau P = 9 Q Q + 5Q P = -1 atau P = Q + 5Q + 1 Jadi P = 9 Q = Q + 5Q + 1 atau 3Q + 5Q 8 = 0 3Q + 8Q 3Q 8 = 0 Q(3Q + 8) (3Q + 8) = 0 (3Q + 8)(Q 1) = 0 Q1 = Q = 1 Untuk Q = 1, maka P = 7 8 (tidak dipakai) 3 Jadi harga keseimbangan = P = 7
21 ESPA411/MODUL Jumlah harga keseimbangan = Q = 1 P (0,9) Q + 5Q P = -1 (1,7) Q + P = 7 Q 3) Q = 10P + 5P Q = 64 8P P Q = 10P + 5P = 64 8P P 7P + 18P 64 = 0 7P + 3P 14P 64 = 0 P(7P + 3) (7P 3) = 0 (7P + 3)(P ) = 0 3 P 1 = (tidak dipakai) 7 P = Untuk P =, maka Q = 40
22 6. Matematika Ekonomi 1 Jadi harga keseimbangan = P = Jumlah harga keseimbangan = Q = 40. Q Q = 64 8P P Q = 10P + 5P 0 40 Q 4) PQ + 1P + 6Q = 97 atau PQ + 1P + 6Q + 7 = 169 P(Q + 1) + 6(Q + 1) = 169 (P + 6)(Q + 1) = 169 Penawaran: P Q = 6 atau P = 6 + Q Substitusikan penawaran ke dalam permintaan, diperoleh: (6 + Q + 6)(Q + 1) = 169 (Q + 1)(Q + 1) = 169
23 ESPA411/MODUL P P Q = 6 PQ + 1P + 6Q = 97 Q 5) Permintaan P + Q = 5 atau P = 5 Q Penerimaan = TR = P.Q TR = 5Q Q Perpotongan dengan sumbu Q pada Q = 0 dan Q = 1 1 (1, 6 ) ; dan puncak
24 6.4 Matematika Ekonomi 1 Rp TR = 5Q Q P + Q = 5 0 Q 1 6) Permintaan Q + P = 10 atau P = 5 Q Penerimaan TR = P.Q 1 = 5Q - Q Perpotongan dengan sumbu Q terjadi pada Q = 0 dan Q = 10. Titik puncak (5, 1 1 ). Rp TR = 5Q - 1 Q Q + P = Q
25 ESPA411/MODUL RANGKUMAN Selain berbentuk fungsi linear, fungsi permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non-linear. Bentuk non-linear dari fungsi permintaan dapat berupa potongan parabola dan potongan hiperbola. Adapun bentuk non-linear dari fungsi penawaran adalah potongan parabola. Fungsi permintaan dan penawaran bersama-sama akan membentuk harga dan jumlah keseimbangan yang merupakan titik potong kedua kurva di kuadran pertama. Persamaan permintaan yang linear memberikan fungsi penerimaan (total revenue) yang non-linear. Fungsi penerimaan ini merupakan parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu harga (P) dan terbuka ke bawah. TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Diketahui pasangan persamaan: a. Q = 16 P b. 4Q = 4P + P Tentukan fungsi permintaan dan fungsi penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan A. Fungsi penawaran : 4Q = 4P + P Fungsi permintaan : Q = 16 P Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4) B. Fungsi penawaran : 4Q = 4P + P Fungsi permintaan : Q = 16 P Harga dan jumlah keseimbangan (9, 5) C. Fungsi penawaran : Q = 16 P Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P Harga dan jumlah keseimbangan (8, 4) D. Fungsi penawaran : Q = 16 P Fungsi permintaan : 4Q = 4P + P Harga dan jumlah keseimbangan (5, 9)
26 6.6 Matematika Ekonomi 1 ) Diketahui pasangan persamaan: Q Q a. P = b. P = 30 Q 4 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan Q Q A. Fungsi penawaran = P = Fungsi permintaan = P = 30 Q 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((5, 61), (5, 99)) B. Fungsi penawaran = P = 30 Q 4 Q Q Fungsi permintaan = P = Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77)) Q Q C. Fungsi penawaran = P = Fungsi permintaan = P = 30 Q 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 91), (5, 77)) Q Q D. Fungsi permintaan = P = Fungsi penawaran = P = 30 Q 4 Harga dan jumlah keseimbangan ((6, 99), (5, 7)) 3) Diketahui pasangan persamaan: a. Q = 3 4P P b. P = Q Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan
27 ESPA411/MODUL Q A. Fungsi penawaran = P = Fungsi permintaan = Q = 3 4P P Harga dan jumlah keseimbangan = (0, ) Q B. Fungsi penawaran = P = Fungsi permintaan = Q = 3 4P P Harga dan jumlah keseimbangan = (0, ) C. Fungsi penawaran = Q = 3 4P P Q Fungsi permintaan = P = Harga dan jumlah keseimbangan = (10, ) D. Fungsi penawaran = Q = 3 4P P Q Fungsi permintaan = P = Harga dan jumlah keseimbangan = (, 10) 4) Diketahui pasangan persamaan: a. P = 48 3Q b. P = Q + 4Q + 16 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan A. Fungsi penawaran = P = 48 3Q Fungsi permintaan = P = Q 4Q+ 16 Harga dan jumlah keseimbangan = ((, 31), (37, 15)) B. Fungsi penawaran = P = 48 3Q Fungsi permintaan = P = Q 4Q+ 16 Harga dan jumlah keseimbangan = ((31, 37), (, 15)) C. Fungsi penawaran = P = Fungsi permintaan = P = Q 4Q Q
28 6.8 Matematika Ekonomi 1 Harga dan jumlah keseimbangan = ((, 37), (31, 15)) D. Fungsi penawaran = P = Q 4Q Fungsi permintaan = P = 48 3Q Harga dan jumlah keseimbangan = ((, 15), (37, 31)) 5) Diketahui pasangan persamaan: a. (Q + 16)(P + 1) = 480 b. P = Q + 4 Tentukan fungsi permintaan penawaran serta harga dan jumlah keseimbangan A. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 1) = 480 Fungsi permintaan = Q + 4 Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 1) B. Fungsi penawaran = (Q + 16)(P + 1) = 480 Fungsi permintaan = Q + 4 Harga dan jumlah keseimbangan = (10, 14) C. Fungsi penawaran = Q + 4 Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 1) = 480 Harga dan jumlah keseimbangan = (1, 14) D. Fungsi penawaran = Q + 4 Fungsi permintaan = (Q + 16)(P + 1) = 480 Harga dan jumlah keseimbangan = (4, 1) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal
29 ESPA411/MODUL Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
30 6.30 Matematika Ekonomi 1 S Kegiatan Belajar Kurva Indifference etiap orang tahu persis berapa penghasilannya sebulan. Dalam waktu tersebut ia harus membelanjakan uangnya untuk membeli barang dan jasa yang dibutuhkannya. Kalau dimisalkan hanya ada dua macam barang yang dapat dibelinya, yaitu barang x dan y, maka tempat kedudukan, titik-titik yang koordinatnya menunjukkan kombinasi pembelian kedua macam barang dinamakan kurva indifference. Definisi kurva indifference adalah kurva yang menunjukkan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan barang y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Kurva indifference dapat ditunjukkan oleh fungsi f(x,y) = a, di mana x dan y adalah macam barang yang dikonsumsi dan a adalah menunjukkan tingkat kepuasan. Perhatikan gambar berikut ini: Y A (X 1, Y 1) y 1 y 3 C(X 3, Y 3) = a y 0 x 1 x 3 x B(X, Y ) = a X Gambar 6.6 Kurva Indifference Sumbu horisontal digunakan untuk menunjukkan jumlah barang x yang dikonsumsi dan sumbu vertikal untuk jumlah barang y. Kurva indifference f(x,y) = a, seperti telah disebutkan di atas merupakan tempat kedudukan titik-titik kombinasi jumlah barang x dan y yang dikonsumsi pada tingkat kepuasan tertentu. Seandainya konsumen memilih kombinasi di titik A, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x 1 dan jumlah barang y yang dikonsumsi sebanyak y 1. Bila kombinasi yang dipilih adalah titik B, maka jumlah barang x yang dikonsumsi sebanyak x dan barang y yang
31 ESPA411/MODUL dikonsumsi sebanyak y. Konsumen akan mengkonsumsi di kombinasi A atau kombinasi B tidak menjadi persoalan, karena baginya kepuasan yang diperoleh sama saja yaitu sebesar a. Apabila parameter a besarnya diubah-ubah, maka akan diperoleh himpunan kurva indifference yang satu sama lain tidak saling memotong (Gambar 6.6). Pada umumnya konsumen akan bertambah kepuasannya apabila dengan sejumlah uang yang sama dapat membeli barang x atau y dalam jumlah yang lebih banyak. Oleh sebab itu kombinasi di titik C(x 3,y 3 ) akan memberikan kepuasan yang lebih besar dari titik A (x 1,y 1 ) karena x 3 > x 1, sehingga kedua titik terletak di kurva indifference yang berbeda. Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa kurva indifference merupakan kurva yang menurun, karena untuk menambah jumlah barang x yang dikonsumsi, konsumen harus mengurangi jumlah konsumsinya terhadap barang y agar kepuasan yang diperoleh tetap sama. Suatu hal yang perlu diperhatikan lagi adalah kurva indifference bentuknya cembung terhadap titik origin. Keadaan itu menunjukkan bahwa setiap pengurangan y dengan selisih yang sama yaitu y harus diimbangi oleh pertambahan x sebesar x yang nilainya semakin bertambah, agar tingkat kepuasan yang sama dapat dipertahankan. Ini sesuai dengan hukum substitusi yang menyatakan bahwa suatu barang yang semakin langka, nilai substitusinya semakin besar terhadap barang yang melimpah. Fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Perhatikan gambar berikut ini:
32 6.3 Matematika Ekonomi 1 Y Y 0 X 0 X (a) (-h,-k) (b) Y 0 X y = -k (c) Gambar 6.7 Bentuk-bentuk kurva Indifference Pada gambar (a), kurva indifference ditunjukkan oleh bagian dari lingkaran dengan persamaan: (x - a) + (y - a) = a Bila parameter a diubah, maka titik pusat (a,a) akan bergeser dan jari-jari lingkaran = a juga akan berubah sehingga didapat himpunan lingkaran. Jadi yang digunakan sebagai kurva indifference hanyalah seperempat lingkaran yaitu bagian yang menyinggung sumbu x dan sumbu y. Persamaan dengan bentuk umum seperti ditunjukkan di atas bentuknya dapat diubah menjadi: x - ax + a + y - ay + a = a x + xy + y - ax - ay + a = xy
33 ESPA411/MODUL (x + y) - a(x + y) + a = xy (x + y - a) = xy x + y - a = xy x + y - xy = a Contoh 6.13: Bila kurva indifference seorang konsumen dapat ditunjukkan oleh persamaan x + y - xy = a dan andaikan kepuasan seseorang dapat diukur, maka berapakah jumlah barang y yang harus dikonsumsi pada saat ia mengkonsumsi barang x sebanyak 3 unit agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan? Jawaban: x = 3, a = 15 Jadi 3 + y - 6y = 15 atau y - 1 = 6y y - 4y = 6y y - 30y = 0 y - 4y - 6y = 0 (y - 4)(y - 6) = 0 Jadi y 1 = 6 dan y = 4 Bila tidak ada barang x yang dikonsumsi, maka agar tingkat kepuasannya tetap 15 satuan, jumlah barang y yang dikonsumsi adalah y = 15, oleh sebab itu pada tingkat kepuasan yang sama ia tidak mungkin mengkonsumsi sebanyak 4 unit. Jadi jumlah barang y yang dikonsumsi adalah 6 unit.
34 6.34 Matematika Ekonomi 1 Y X Bagian dari hiperbola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (b) dipakai hiperbola sama sisi dengan titik pusat (-h,-k) yang terletak di kuadran ketiga. Bentuk persamaan hiperbola ini adalah: (x + h)(y + k) = a dengan asimtot x = -h dan y = -k titik potong dengan sumbu x = a/k - h titik potong dengan sumbu y = a/h - k Bagian hiperbola yang digunakan untuk kurva indifference adalah bagian yang berada di kuadran pertama. Bila tingkat kepuasan a diubah-ubah besarnya, maka diperoleh himpunan kurva indifference. Contoh 6.14: Seorang konsumen dalam mengkonsumsi barang x dan y kepuasannya ditunjukkan oleh persamaan: xy + y + 6x = a 6 Tentukan titik pusat hiperbola dan berapakah jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi bila tingkat kepuasannya sebesar 30 satuan?
35 ESPA411/MODUL Jawaban: a = 30 xy + y + 6x + 6 = 30 y(x + 1) + 6(x + 1) = 30 (x + 1) (y + 6) = 30 Titik pusat = (-1,-6) Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila tidak ada barang y yang dikonsumsi (y = 0). Jadi (x + 1)6 = 30, 6x + 6 = 30 6x = 30 6 x = 4 6 = 4 Barang x yang dikonsumsi = 4. Y 0 4 X (-1, -6)
36 6.36 Matematika Ekonomi 1 Parabola juga dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference. Pada gambar (c) puncak parabola terletak pada satu garis lurus y = - k Contoh 6.15: Kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan: x (y+ 1) = a Bila tingkat kepuasannya dapat diukur, berapakah jumlah maksimum barang x dan barang y yang dapat dikonsumsi agar tingkat kepuasannya tetap sebesar 4 satuan. Kurva indifference untuk a = 4. x (y+ 1) = 4 x 4 = (y+ 1) (x 4) = y+ 1 Puncak parabola (4,-1) Jumlah maksimum barang y yang dapat dikonsumsi terjadi bila x = 0, atau (0-4) = y + 1 Jadi y = 15 Jumlah maksimum barang x yang dapat dikonsumsi terjadi bila y = 0, atau (x - 4) = 1 x - 4 = ± 1 Jadi x 1 = 5 x = 3 Sifat kurva indifference adalah menurun dari kiri atas ke kanan bawah dan cembung ke arah origin. Karena x = 5 terletak di bagian yang menaik dari parabola, maka titik tersebut tidak memenuhi dan tidak dipakai. Jadi jumlah maksimum barang x yang dikonsumsi adalah 3 unit.
37 ESPA411/MODUL Y x (4,-1) Seorang konsumen yang menghadapi himpunan kurva indifference selalu berusaha untuk melakukan konsumsi pada titik yang berada di kurva indifference yang paling jauh dari titik origin, karena kepuasan yang di dapat lebih besar atau karena dengan kombinasi tersebut ia dapat mengkonsumsi baik barang x maupun barang y dalam jumlah yang cukup banyak. Akan tetapi kebebasan memilih kurva indifference dibatasi oleh jumlah uang yang dimilikinya. Dengan sejumlah uang tertentu (M) seorang konsumen dapat membelanjakan semuanya untuk membeli barang x saja dan memperoleh sebanyak M/P x bila harga barang x adalah P x atau membelanjakan jumlah uang M tersebut untuk membeli barang y saja dan memperoleh sebanyak M/P y bila harga barang y adalah P y (lihat gambar di bawah). Apabila dengan uang sebanyak M itu akan digunakan untuk membeli barang x dan y, maka kombinasi jumlah barang x dan y yang dapat dibeli ditunjukkan oleh garis lurus yang menghubungkan titik M/P x dan M/P y. Garis ini disebut dengan garis anggaran atau budget line. Tingkat kepuasan yang maksimum dicapai bila konsumen membelanjakan uangnya sebanyak M untuk membeli y 1 barang y dan x 1 barang x, yaitu pada posisi persinggungan antara garis anggaran dengan kurva indifference.
38 6.38 Matematika Ekonomi 1 M Py y 1 I 3 I 0 x 1 M Px X I 1 Gambar 6.8 Posisi Tingkat Kepuasan Maksimum Posisi ini menunjukkan posisi kepuasan yang maksimum atau posisi equilibrium konsumen dengan kendala M, karena I adalah kurva indifference yang tertinggi yang dapat dicapai oleh garis anggaran tersebut. Jadi dengan kurva indifference dan garis anggaran dapat ditunjukkan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen yang memiliki sejumlah uang tertentu agar kepuasannya maksimum. Contoh 6.16: Himpunan kurva indifference seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan xy = a. Bila persamaan garis anggaran yang dihadapi oleh konsumen adalah x + 5y = 100, maka tentukan kombinasi jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi olehnya! Jawaban: Persamaan indifference: xy = a Persamaan garis anggaran: x + 5y = 100. Langkah pertama adalah memotongkan garis anggaran dengan persamaan indifference dengan cara menyelesaikan kedua persamaan secara serentak yaitu:
39 ESPA411/MODUL x + 5y = 100 5y = 100 x y = 100 x = 1 (100 x) 5 5 y = 0 - x 5 Kemudian substitusikan ke dalam persamaan indifference yaitu: xy = a xy = x(0 - x 5 ) = a = 0x - x 5 x - x 5 = a - 0x + a = 0 0 a x+ = x 50x+ a= 0 Agar persamaan mempunyai akar kembar yaitu titik singgung garis anggaran dengan kurva indifference, harus dipenuhi syarat: Untuk x = 5, maka 50-4( 5 a) = a = 0 a = 50 Jadi x - 50x = 0 x - 50x + 65 = 0 (x - 5) = 0 x = 5 y = 1 (100-50) 5
40 6.40 Matematika Ekonomi 1 y = y = 10 Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan barang y sebanyak 10 unit. y x LATIHAN Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) Bila himpunan kurva indifference diketahui (x + )(y + 1) = a dan harga barang x adalah Rp 4,00 dan barang y Rp 6,00 per unit, sedangkan jumlah uang yang dimiliki Rp130,00. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi. ) Gambarkan himpunan kurva indifference dengan persamaan: (x + )(y + 1) = a untuk berbagai nilai a. 3) Bila himpunan kurva indifference diketahui 4x xy+ 6y =a dan persamaan garis anggaran adalah x + y = 7, maka tentukan jumlah barang x dan barang y yang dibeli konsumen.
41 ESPA411/MODUL ) Seorang konsumen mempunyai kurva indiference yang ditunjukkan oleh persamaan xy = a, persamaan garis anggaran yang dihadapi adalah 5y + 6x = 60. Tentukan jumlah barang x dan y yang dikonsumsi. 5) Gambarkan keadaan keseimbangan pada soal nomor 4 di atas. Petunjuk Jawaban Latihan 1) Kurva indifference: (x + )(y + 1) = a Persamaan garis anggaran: P x x + P y y = M Untuk P x = 4, P y = 6 dan M = 130, persamaan garis anggarannya: 4x + 6y = 130 6y = 130 4x y = x 3 Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference: (x + )(1 3-3 x + 1) = a (x + )(- 3 x + 3 ) = a Kedua ruas dikalikan 3: (x + )(-x + 68) = 3a -x + 64x = 3a x 64x + 3a 136 = 0 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 64 4()(3a 136) = a = 0 4a = 5184 a = 16 Jadi x 64x + 3(16) 136 = 0 atau x 64x + 51 = 0
42 6.4 Matematika Ekonomi 1 x 3x + 56 = 0 (x 16) = 0 x = 16 Untuk x = 16, maka y = 11. Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 16 unit dan jumlah barang y yang dikonsumsi 11 unit. ) Persamaan (x + )(y + 1) = a merupakan persamaan hiperbola dengan pusat (-, -1) dan asimtot x = - dan y = -1. Titik potong dengan sumbu x terjadi pada y = 0 dan x = a ; dan titik potong dengan sumbu y terjadi pada x = 0 dan y = a - 1. x = - y a = 1 a = 10 a = 8 x a = 4 a = 6 (-, -1) y = -1 3) Kurva indifference : 4x xy + 6y = a Garis anggaran : x + y = 7 atau y = 7 x Disubstitusikan ke persamaan indifference: 4x x(7 x) + 6(7 x) = a 4x 144x + x + 6( x + x ) = a
43 ESPA411/MODUL x 144x x + 6x = a 1x 1008x = a Kedua ruas dibagi 1, maka: x 84x a = 0 1 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 84 4(59-1 a a 3 = 0 = a 3 = 0 1 a = a = 9936 Jadi x 84x (9936) = 0 x 84x = 0 x 84x = 0 (x 4) = 0 x = 4 Untuk x = 4, maka y = 7 4 = 30 Jadi jumlah barang x yang dikonsumi adalah 4 unit dan barang y yang dikonsumsi sebanyak 30 unit. 4) Kurva indifference: xy = a Garis anggaran : 5y + 6x = 60 atau 5y = 60 6x
44 6.44 Matematika Ekonomi 1 y = x Disubstitusikan ke dalam persamaan indifference: x(1-6 5 x) = a atau 1x x = a 6 5 x 1x + a = 0 dikalikan 6 5 menjadi: x 10x + 5 a = 0 6 Agar supaya persamaan mempunyai akar kembar, maka: 100 4( 5 6 )a = 0 Jadi a = = 30 x 10x + 5 = 0 (x 5) = 0 x = 5 xy = 30 untuk x = 5, maka y = 6. Jadi jumlah barang x yang dikonsumsi 5 unit dan jumlah barang y adalah 6 unit.
45 ESPA411/MODUL ) y 1 6 5y + 6x = 60 xy = x RANGKUMAN Kurva Indifference adalah kurva tempat kedudukan titik-titik kombinasi dua barang yang dikonsumsi pada tingkat kepuasaan tertentu. Kumpulan dari kurva-kurva indifference disebut dengan himpunan kurva indifference. Sifat-sifat kurva indifference yang penting adalah: a. merupakan kurva yang menurun; b. cembung terhadap titik origin; c. tidak saling berpotongan; d. semakin jauh kurva dari titik origin berarti kepuasan yang diperoleh semakin tinggi. Fungsi-fungsi yang dapat dipakai untuk menunjukkan kurva indifference adalah lingkaran, hiperbola dan parabola. Dalam melakukan konsumsi, konsumen dibatasi kebebasan memilih kombinasi yang diinginkan oleh jumlah uang yang dimiliki. Garis anggaran menunjukkan kombinasi barang yang dapat dibeli dengan sejumlah uang tertentu. Kepuasan maksimum dalam mengkonsumsi barang akan tercapai pada saat kurva indifference menyinggung garis anggaran. Kombinasi jumlah barang yang dikonsumsi ditunjukkan oleh koordinat titik singgung.
46 6.46 Matematika Ekonomi 1 TES FORMATIF Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan: 5x + 6y xy dan garis anggarannnya x + y = 4. A. x = 9, y = 6 B. x = 6, y = 9 C. x = 5, y = 10 D. x = 6, y = 7. Bila harga barang x dan y sama yaitu Rp1,00 dan jumlah uang yang dimiliki Rp8,00. Tentukan berapa jumlah barang x dan y yang harus dibelinya, bila fungsi indifferencenya x + y xy= a A. x = 5, y = 3 B. x = 3, y = 5 C. x = 5, y = 6 D. x = 6, y = 3 3) Tentukan jumlah barang x dan y yang harus dibeli oleh konsumen jika garis anggarannya adalah x + y= 1dan kurva indifferencenya ditunjukkan oleh persamaan A. x = 7,5, y = 3 B. x = 7,5, y = 5 C. y = 8,5, y = 4 D. y = 8,5, y = 3 3x + 4y xy = a. 4) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan xy = a dan harga barang x = 15, harga barang y = 5 dan pendapatan konsumen adalah 150. Tentukan jumlah barang x dan y yang akan dikonsumsi. A. x = 5, y = 15 B. x = 10, y = 15 C. x = 5, y = 10 D. x = 10, y = 10 5) Bila kurva indifference ditunjukkan oleh persamaan x y = a dan P x = 4, P y = 5 dan M = 10, maka tentukan jumlah x dan y yang harus dibeli agar kepuasan yang diperoleh maksimum.
47 ESPA411/MODUL A. x = 0, y = 10 B. x = 10, y = 8 C. x = 0, y = 8 D. x = 0, y = 8 Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar. Tingkat penguasaan = Jumlah Jawaban yang Benar 100% Jumlah Soal Arti tingkat penguasaan: % = baik sekali 80-89% = baik 70-79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar, terutama bagian yang belum dikuasai.
48 6.48 Matematika Ekonomi 1 Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) A ) C 3) B 4) C 5) D Tes Formatif 1) B ) A 3) C 4) A 5) D
49 ESPA411/MODUL Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner, (1996). Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul, (1996). Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos, (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited, Jacques, Ian, Mathematics for Economics and Business, (1995). Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Pindyck, Robert S and Daniel L Rubinfeld, (1998). Microeconomics, Fourth Edition, Prentice Hall International Inc. Prakin, Michael and Robin Bade, (1995). Modern Macroeconomics, Prentice Hall Canada Inc Scarborough Ontaro. Silberberg, Eugene and Wing Suen, (001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Kembali ke Daftar Isi
Fungsi Non-Linear. Modul 5 PENDAHULUAN
Modul 5 Fungsi Non-Linear F PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel
Lebih terperinciPenggunaan Fungsi dalam Ekonomi
Modul 4 Penggunaan Fungsi dalam Ekonomi M PENDAHULUAN Drs. Wahyu Widayat, M.Ec atematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika,
Lebih terperinciPenggunaan Turunan dalam Ekonomi
Modul 8 Penggunaan Turunan dalam Ekonomi Drs. Wahyu Widayat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi konsep turunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mendapatkan ongkos marjinal, pendapatan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Non Linear Fungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi
Lebih terperinciHimpunan dan Sistem Bilangan
Modul 1 Himpunan dan Sistem Bilangan Dr. Wahyu Widayat H PENDAHULUAN impunan adalah bagian dari Matematika yang bahannya pernah Anda pelajari. Materi tersebut akan dibahas sehingga Anda menjadi lebih memahami
Lebih terperinciF u n g s i. Modul 3 PENDAHULUAN
Modul 3 F u n g s i Drs. Wahu Widaat, M.Ec D PENDAHULUAN alam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan
Lebih terperinciModul Matematika 2012
Modul Matematika MINGGU V Pokok Bahasan : Fungsi Non Linier Sub Pokok Bahasan :. Pendahuluan. Fungsi kuadrat 3. Fungsi pangkat tiga. Fungsi Rasional 5. Lingkaran 6. Ellips Tujuan Instruksional Umum : Agar
Lebih terperinciMatematika Ekonomi KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA GRAFIK FUNGSI RASIONAL BERUPA HIPERBOLA
Fungsi Non Linier Diskripsi materi: -Harga ekstrim pada fungsi kuadrat 1 Fungsi non linier FUNGSI LINIER DAPT BERUPA FUNGSI KUADRAT DAN FUNGSI RASIONAL (FUNGSI PECAH) GRAFIK FUNGSI KUADRAT BERUPA PARABOLA
Lebih terperinciFungsi Linear dan Fungsi Kuadrat
Modul 1 Fungsi Linear dan Fungsi Kuadrat Drs. Susiswo, M.Si. K PENDAHULUAN ompetensi umum yang diharapkan, setelah mempelajari modul ini, adalah Anda dapat memahami konsep tentang persamaan linear dan
Lebih terperinciBilangan Real. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Bilangan Real S PENDAHULUAN Drs. Soemoenar emesta pembicaraan Kalkulus adalah himpunan bilangan real. Jadi jika akan belajar kalkulus harus paham terlebih dahulu tentang bilangan real. Bagaimanakah
Lebih terperinciMatematik Ekonom Fungsi nonlinear
1 FUNGSI Fungsi adalah hubungan antara 2 buah variabel atau lebih, dimana masing-masing dari dua variabel atau lebih tersebut saling pengaruh mempengaruhi. Variabel merupakan suatu besaran yang sifatnya
Lebih terperinciMATERI PRASYARAT. ke y= f(x) =ax2 + bx +c
1 MATERI PRASYARAT A. Fungsi Kuadrat Bentuk umum : y= f(x) = ax 2 + bx +c dengan a 0. Langkah-langkah dalam menggambar grafik fungsi kuadrat y= f(x) = ax 2 + bx +c 1. Tentukan titik potong dengan sumbu
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
NAMA: KELAS: PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut yang dipotong oleh sebuah bidang datar. RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Macam-macam Irisan Kerucut: 1. Parabola 2.
Lebih terperinciLINGKARAN. Lingkaran. pusat lingkaran diskriminan posisi titik posisi garis garis kutub gradien. sejajar tegak lurus persamaan lingkaran
LINGKARAN Persamaan Persamaan garis singgung lingkaran Persamaan lingkaran berpusat di (0, 0) dan (a, b) Kedudukan titik dan garis terhadap lingkaran Merumuskan persamaan garis singgung yang melalui suatu
Lebih terperinciRINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA)
RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) Matematika15.wordpress.com NAMA: KELAS: RINGKASAN IRISAN KERUCUT (PARABOLA, ELIPS, DAN HIPERBOLA) PENGERTIAN IRISAN KERUCUT Bangun Ruang Kerucut
Lebih terperinciI. PETUNJUK: Untuk soal nomor 1 sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!
I. PETUNJUK: Untuk soal nomor sampai dengan nomor, pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!. Persamaan ( p + ) x ( p + ) x + ( p ) = 0, p, merupakan persamaan kuadrat dalam x untuk nilai p... p c.
Lebih terperinciMETODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT. Nurul Saila1
ISSN 2354-6948 METODE ELIMINASI DAN SUBSTITUSI DALAM MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN KUARDRATIK IRISAN KERUCUT Nurul Saila1 1 Staf Pengajar, Universitas Panca Marga, Probolinggo nurul.saila@upm.ac.id1 (diterima:
Lebih terperinci6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI
6 FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT 5.1. Fungsi Linear Pada Bab 5 telah dijelaskan bahwa fungsi linear merupakan fungsi yang variabel bebasnya paling tinggi berpangkat satu. Bentuk umum fungsi linear adalah
Lebih terperinciLBM Bina Mahunika Tahun 2013 MATEMATIKA EKONOMI ESPA4122
MATEMATIKA EKONOMI ESPA4122 PILIHLAH SALAH SATU JAWABAN YANG PALING TEPAT! 1. Seandainya himpunan Semesta S = {a,b,c,d,e}, A = {a,b,e}, B = {a,c,d} dan C = {b,e} maka... 2. Pada soal diatas maka adalah...
Lebih terperinciMateri Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier
Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi
Lebih terperinciDosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Website : HUBUNGAN NONLINEAR
Dosen Pengampu: Prof. Dr. H. Almasdi Syahza, SE., MP. Email : asyahza@yahoo.co.id Website : http://almasdi.unri,ac,id HUBUNGAN NONLINEAR a. Fungsi Kuadrat b. Fungsi Kubik c. Penerapan Ekonomi Permintaan,
Lebih terperinciFUNGSI. Riri Irawati, M.Kom 3 sks
FUNGSI Riri Irawati, M.Kom 3 sks Agenda 1. Sistem Koordinat Kartesius. Garis Lurus 3. Grafik persamaan Tujuan Agar mahasiswa dapat : Menggunakan sistem koordinat untuk menentukan titik-titik dan kurva-kurva.
Lebih terperinci5 F U N G S I. 1 Matematika Ekonomi
5 F U N G S I Pemahaman tentang konsep fungsi sangat penting dalam mempelajari ilmu ekonomi, mengingat kajian ekonomi banyak bekerja dengan fungsi. Fungsi dalam matematika menyatakan suatu hubungan formal
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI FUNGSI DAN
MATEMATIKA EKONOMI BAB IV FUNGSI DAN KURVA NONLINIER By Bambang Suprayitno 1 FUNGSI NONLINIER DENGAN SATU VARIABEL INDEPENDENT Fungsi nonlinier adalah fungsi yang dibentuk dari persamaan yang membentuk
Lebih terperinciSistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier
Materi W4a Sistem PERSAMAAN dan PERTIDAKSAMAAN linier Kelas X, Semester 1 A. Sistem Persamaan Linier dengan Dua Variabel www.yudarwi.com A. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel Bentuk umum : ax
Lebih terperinciTEORI PERILAKU KONSUMEN
TEORI PERILAKU KONSUMEN Teori Konsumsi adalah teori yang mempelajari bagaimana manusia / konsumen itu memuaskan kebutuhannya dengan pembelian / penggunaan barang dan jasa. Perilaku konsumen adalah bagaimana
Lebih terperinciSistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus
Modul 1 Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis Lurus Drs. Sukirman, M.Pd. D alam Modul Pertama ini, kita akan membahas tentang Sistem Koordinat Kartesian Tegak Lurus dan Persamaan Garis
Lebih terperinciTelkom University Alamanda
Telkom University Alamanda 2 Tujuan Mahasiswa diharapkan mampu: Memahami fungsi non-linear Menerapkan fungsi non-linear dalam ilmu ekonomi 3 Hubungan Non-Linear Ada 4 macam bentuk fungsi non-linear yang
Lebih terperinciPermintaan Agregat dalam Perekonomian Tertutup: Perilaku Pasar Barang dan Pasar Uang
Modul 1 Permintaan Agregat dalam Perekonomian Tertutup: Perilaku Pasar Barang dan Pasar Uang Arief Ramayandi, S.E., MecDev., Ph.D. Ari Tjahjawandita, S.E., M.Si. M PENDAHULUAN odul ini akan menjelaskan
Lebih terperinciRelasi, Fungsi, dan Transformasi
Modul 1 Relasi, Fungsi, dan Transformasi Drs. Ame Rasmedi S. Dr. Darhim, M.Si. M PENDAHULUAN odul ini merupakan modul pertama pada mata kuliah Geometri Transformasi. Modul ini akan membahas pengertian
Lebih terperinciIntegral Tak Tentu. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Integral Tak Tentu M PENDAHULUAN Drs. Hidayat Sardi, M.Si odul ini akan membahas operasi balikan dari penurunan (pendiferensialan) yang disebut anti turunan (antipendiferensialan). Dengan mengikuti
Lebih terperinciTeori Perilaku Konsumen Ordinal Utility
Modul ke: Teori Perilaku Konsumen Ordinal Utility Fakultas FAK. EKONOMI & BISNIS Cecep W Program Studi S-1 Manajemen www.mercubuana.ac.id TEORI UTILITAS ORDINAL Kurva Indiferens Garis Anggaran Keseimbangan
Lebih terperinciPENERAPAN EKONOMI FUNGSI NON LINIER
PENERAPAN EKONOMI FUNGSI NON LINIER Pertemuan 3 LOGO Farah Alfanur Fungsi Penerimaan Fungsi Biaya Fungsi Penawaran Fungsi Permintaan 2 PERMINTAAN, PENAWARAN DAN KESEIMBANGAN PASAR Permintaan dan penawaran
Lebih terperinciKelas XI MIA Peminatan
Kelas Disusun : Markus Yuniarto, S.Si Tahun Pelajaran 017 018 Peta Konsep Glosarium Istilah Keterangan Lingkaran Himpunan titik-titik (pada bidang datar) yang memiliki jarak tetap terhadap suatu titik
Lebih terperinciModul Statistika Kelas XII SMKN 1 Stabat. Lingkaran. Elips
IR Lingkaran Elips 1 Smk n 1 stabat IRISAN KERUCUT Disusun Oleh : Dian Septiana 07144110049 Dalam PPL-T Unimed SMK N 1 Stabat SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 STABAT LANGKAT 010 KATA PENGANTAR Puji syukur
Lebih terperinciPERILAKU KONSUMEN DENGAN PENDEKATAN ORDINAL
PERILAKU KONSUMEN DENGAN PENDEKATAN ORDINAL PERILAKU KONSUMEN DENGAN PENDEKATAN KURVA INDIFEREN / ORDINAL Pendekatan ini mempunyai asumsi : Rationality ; konsumen diasumsikan rasional artinya ia memaksimalkan
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan Linear
MATERI POKOK Persamaan dan Pertidaksamaan Linear MATERI BAHASAN : A. Persamaan Linear B. Pertidaksamaan Linear Modul.MTK X 0 Kalimat terbuka adalah kalimat matematika yang belum dapat ditentukan nilai
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Fungsi Dalam ilmu ekonomi, kita selalu berhadapan dengan variabel-variabel ekonomi seperti harga, pendapatan nasional, tingkat bunga, dan lainlain. Hubungan kait-mengkait
Lebih terperinciBAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0. a < 0 0 x 0 x
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax 2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax 2 + bx + c. Sifat matematis dari persamaan kuadrat
Lebih terperinciQx TUx MUx
PERILAKU KONSUMEN PENDEKATAN PERILAKU KONSUMEN Ada 3 Pendekatan untuk mempelajari Tingkah Laku Konsumen : 1. Pendekatan Cardinal ( Marginal Utility ) 2. Pendekatan Ordinal ( Indefference Curve ) 3. Pendekatan
Lebih terperincifungsi Dan Grafik fungsi
fungsi Dan Grafik fungsi Suatu fungsi adalah pemadanan dua himpunan tidak kosong dengan pasangan terurut (x, y) dimana tidak terdapat elemen kedua yang berbeda. Fungsi (pemetaan) himpunan A ke himpunan
Lebih terperinciBAB IV TEORI PERILAKU KONSUMEN
BAB IV TEORI PERILAKU KONSUMEN 4.1. Pendahuluan Konsumen adalah setiap pemakai atau pengguna barang atau jasa baik untuk kepentingan diri sendiri dan atau kepentingan orang lain. Namun secara sederhana
Lebih terperinciA. Sistem Persamaan Linier dengan dua Variabel
Jurnal Materi Umum Peta Konsep Peta Konsep Daftar Hadir MateriA SISTEM PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LINIER Kelas X, Semester 1 Sistem Persamaan Linier Dua Variabel Tiga Variabel Sistem Pertidaksamaan linier
Lebih terperinciModul 4. Teori Perilaku Konsumen
Modul 4. Teori Perilaku Konsumen Deskripsi Modul Teori perilaku konsumen pada dasarnya mempelajari mengapa para konsumen berperilaku seperti yang tercantum dalam hukum permintaan. Oleh karena itu teori
Lebih terperinciβ α α β SOAL MATEMATIKA UNTUK SMA istiyanto.com Mari Berbagi Ilmu Dengan Yang Lain A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat
A. Persamaan Kuadrat dan Fungsi Kuadrat 1. Salah satu akar persamaan kuadrat ( a 1) x + (3a 1) x 3a = 0 adalah 1, maka akar lainnya adalah.... Nilai m yang memenuhi agar persamaan kuadrat ( m + 1) x +
Lebih terperinciPERSAMAAN HIPERBOLA KEGIATAN BELAJAR 14
1 KEGIATAN BELAJAR 14 PERSAMAAN HIPERBOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 14 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan Persamaan Hiperbola 2. Melukis Persamaan Hiperbola Sebelumnya anda telah
Lebih terperinciMACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS Bagian 3 Pertemuan 4, 5 dan 6. MATEMATIKA BISNIS Tonaas Marentek, M.Si
MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS Bagian 3 Pertemuan 4, 5 dan 6 MATEMATIKA BISNIS Tonaas Marentek, M.Si MACAM-MACAM FUNGSI DALAM EKONOMI DAN BISNIS 1. FUNGSI 2. FUNGSI LINIER 3. SISTEM PERSAMAAN
Lebih terperinciPersamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian
Modul 1 Persamaan Diferensial: Pengertian, Asal Mula dan Penyelesaian Drs. Sardjono, S.U. M PENDAHULUAN odul 1 ini berisi uraian tentang persamaan diferensial, yang mencakup pengertian-pengertian dalam
Lebih terperinciPERILAKU KONSUMEN. A. Pengertian Konsumen dan Perilaku Konsumen
PERILAKU KONSUMEN A. Pengertian Konsumen dan Perilaku Konsumen Konsumen adalah setiap orang pemakai barang dan/atau jasa yang tersedia dalam masyarakat, baik bagi kepentingan diri sendiri, keluarga, orang
Lebih terperinciKURVA DAN PENCOCOKAN KURVA. Matematika Industri 1 TIP FTP UB
KURVA DAN PENCOCOKAN KURVA TIP FTP UB Pokok Bahasan Pendahuluan Kurva-kurva standar Asimtot Penggambaran kurva secara sistematis, jika persamaan kurvanya diketahui Pencocokan kurva Metode kuadrat terkecil
Lebih terperinciModul ke: Perilaku Konsumen. Fakultas EKONOMI. Triwahyono SE.MM. Program Studi Manajemen.
Modul ke: Perilaku Konsumen Fakultas EKONOMI Triwahyono SE.MM. Program Studi Manajemen www.mercubuana.ac.id Perilaku Konsumen Teori perilaku konsumen mencoba menerangkan perilaku konsumen dalam membelanjakan
Lebih terperinciIV. TEORI PERILAKU KONSUMEN
Kardono-nuhfil1 IV. TEORI PERILAKU KONSUMEN Teori perilaku konsumen pada dasarnya mempelajari mengapa para konsumen berperilaku seperti yang tercantum dalam hukum permintaan. Oleh karena itu teori perilaku
Lebih terperinciBAB LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN PENDAHULUAN
PENDAHULUAN BAB 1 LINEAR PROGRAMMING : METODE GRAFIK PENDAHULUAN inear programming adalah suatu teknis matematika yang dirancang untuk membantu manajer dalam merencanakan dan membuat keputusan dalam mengalokasikan
Lebih terperinciLingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak
4 Lingkaran 4.1. Persamaan Lingkaran Bentuk Baku. Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada bidang yang berjarak tetap dari suatu titik tetap. Titik tetap dari lingkaran disebut pusat lingkaran,
Lebih terperinciPermintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar
Permintaan, Penawaran dan Keseimbangan Pasar Selain berbentuk fungsi linier, permintaan dan penawaran dapat pula berbentuk fungsi non linier. Fungsi permintaan dan fungsi penawaran yang kuadratik dapat
Lebih terperinciDosen Pengampu : Nurmaliati S.Pd, M.Pd. Disusun Oleh : - Siti Maisaroh - Erina - Amelia Kusuma Putri - Ganda Satria. - Prodi Matematika
Dosen Pengampu : Nurmaliati S.Pd, M.Pd Disusun Oleh : - Siti Maisaroh - Erina - Amelia Kusuma Putri - Ganda Satria - Prodi Matematika A Fungsi dan kurva permintaan A B C garis lurus parabola Hiperbola
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6 B. -2 C. -4 Kunci : E Penyelesaian : D. -6 E.
1. Akar-akar persamaan 2x² + px - q² = 0 adalah p dan q, p - q = 6. Nilai pq =... A. 6-2 -4 Kunci : E -6-8 2. Himpunan penyelesaian sistem persamaan Nilai 6x 0.y 0 =... A. 1 Kunci : C 6 36 3. Absis titik
Lebih terperinciMAT. 10. Irisan Kerucut
MAT. 0. Irisan Kerucut i Kode MAT.0 Irisan Kerucut BAGIAN PROYEK PENGEMBANGAN KURIKULUM DIREKTORAT PENDIDIKAN MENENGAH KEJURUAN DIREKTORAT JENDERAL PENDIDIKAN DASAR DAN MENENGAH DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL
Lebih terperinciPERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT
Materi W2e PERSAMAAN DAN FUNGSI KUADRAT Kelas X, Semester 1 E. Grafik Fungsi Kuadrat www.yudarwi.com E. Grafik Fungsi Kuadrat Grafik fungsi kuadrat f(x) = ax 2 + bx + c dapat dilukis dengan langkah-langkah
Lebih terperinciD. 90 meter E. 95 meter
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 5 dan -2 adalah... A. x² + 7x + 10 = 0 B. x² - 7x + 10 = 0 C. x² + 3x + 10 = 0 Kunci : E Rumus : (x - x 1 ) (x - x 2 ) = 0 dimana x 1 = 5, dan x 2 = -2 (x - 5) (x
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA
1 KEGIATAN BELAJAR 11 PERSAMAAN GARIS SINGGUNG PARABOLA Setelah mempelajari kegiatan belajar 11 ini, mahasiswa diharapkan mampu Menentukan Persamaan Garis Singgung Parabola, Titik dan Garis Polar Pada
Lebih terperinciFUNGSI. Berdasarkan hubungan antara variabel bebas dan terikat, fungsi dibedakan dua: fungsi eksplisit dan fungsi implisit.
FUNGSI Fungsi merupakan hubungan antara dua variabel atau lebih. Variabel dibedakan :. Variabel bebas yaitu variabel yang besarannya dpt ditentukan sembarang, mis:,, 6, 0 dll.. Variabel terikat yaitu variabel
Lebih terperinciBAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS
BAB XI PERSAMAAN GARIS LURUS A. Pengertian Pesamaan Garis Lurus Persamaan garis lurus adalah suatu fungsi yang apabila digambarkan ke dalam bidang Cartesius akan berbentuk garis lurus. Garis lurus ini
Lebih terperinciA. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT
A. MENYELESAIKAN PERSAMAAN KUADRAT STANDAR KOMPETENSI Memecahkan masalah yang berkaitan dengan fungsi, persamaan dan fungsi kuadrat serta pertidaksamaan kuadrat KOMPETENSI DASAR Menggunakan sifat dan aturan
Lebih terperinciSILABUS MATA KULIAH. Standar Kompetensi Mahasiswa dapat memahami konsep-konsep matematika dan penerapannya dalam suatu industri.
Program Studi : Teknik Industri Kode Mata Kuliah : TKI 215 Nama Mata Kuliah : Matematika Terapan Jumlah SKS : 2 Semester : IV Mata Kuliah Pra Syarat : TKI-206 Matriks dan Vektor SILABUS MATA KULIAH Deskripsi
Lebih terperinciMODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA
1 MODUL 4 LINGKARAN DAN BOLA Sumber: www.google.co.id Gambar 6. 6 Benda berbentuk lingkaran dan bola Dalam kehidupan sehari-hari kita banyak menjumpai benda-benda yang berbentuk bola maupun lingkaran.
Lebih terperincimatematika PEMINATAN Kelas X SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT K13 A. Pertidaksamaan Linear B. Daerah Pertidaksamaan Linear
K13 Kelas matematika PEMINATAN SISTEM PERTIDAKSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi pertidaksamaan
Lebih terperinciIII. FUNGSI POLINOMIAL
III. FUNGSI POLINOMIAL 3. Pendahuluan A. Tujuan Setelah mempelajari bagian ini diharapkan mahasiswa dapat:. menuliskan bentuk umum fungsi polinomial;. menghitung nilai fungsi polinomial; 3. menuliskan
Lebih terperinciMATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS. Nuryanto.ST.,MT
MATEMATIKA EKONOMI DAN BISNIS Penggunaan Fungsi dalam Ekonomi Matematika adalah suatu alat untuk menyederhanakan penyajian dan pemahaman suatu masalah. Dengan menggunakan bahasa matematika, penyajian suatu
Lebih terperinciParabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada
Parabola 6.1. Persamaan Parabola Bentuk Baku Parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik P(x, y) pada bidang sedemikian hingga titik itu berjarak sama dari suatu titik tertentu yang disebut
Lebih terperinciPERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT
LA - WB (Lembar Aktivitas Warga Belajar) PERSAMAAN, FUNGSI DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT Oleh: Hj. ITA YULIANA, S.Pd, M.Pd MATEMATIKA PAKET C TINGKAT V DERAJAT MAHIR 1 SETARA KELAS X Created By Ita Yuliana
Lebih terperinciPersamaan dan Pertidaksamaan
I TU URI HANDAY AN TW DIKLAT GURU PENGEMBANG MATEMATIKA SMK JENJANG DASAR TAHUN 009 Persamaan dan Pertidaksamaan GY A Y O M AT E M A T AK A R Markaban, M.Si. DEPARTEMEN PENDIDIKAN NASIONAL DIREKTORAT JENDERAL
Lebih terperinciPengantar Ekonomi Mikro PENDEKATAN PENDEKATAN DALAM PERILAKU KONSUMEN
Modul ke: Pengantar Ekonomi Mikro PENDEKATAN PENDEKATAN DALAM PERILAKU KONSUMEN Fakultas FEB MANAJEMEN Irwan Mangara Harahap, SE, MSi. Program Studi Manajemen PENDEKATAN INDIFFERENCE CURVE Perilaku konsumen
Lebih terperinci2.1 Soal Matematika Dasar UM UGM c. 1 d d. 3a + b. e. 3a + b. e. b + a b a
Soal - Soal UM UGM. Soal Matematika Dasar UM UGM 00. Jika x = 3 maka + 3 log 4 x =... a. b. c. d. e.. Jika x+y log = a dan x y log 8 = b dengan 0 < y < x maka 4 log (x y ) =... a. a + 3b ab b. a + b ab
Lebih terperinciMODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS
1 MODUL 1 SISTEM KOORDINAT KARTESIUS Dalam matematika, sistem koordinat kartesius digunakan untuk menentukan tiap titik dalam bidang dengan menggunakan dua bilangan yang biasa disebut koordinat x (absis)
Lebih terperinciModel Optimisasi dan Pemrograman Linear
Modul Model Optimisasi dan Pemrograman Linear Prof. Dr. Djati Kerami Dra. Denny Riama Silaban, M.Kom. S PENDAHULUAN ebelum membuat rancangan penyelesaian masalah dalam bentuk riset operasional, kita harus
Lebih terperinciAnalisis Matematika Kurva Isoprofit Model Stackelberg dalam Pasar Duopoli Mathematical Analysis Isoprofit Curve of Stackelberg Model in Duopoly Market
Prosiding Matematika ISSN: 2460-6464 Analisis Matematika Kurva Isoprofit Model Stackelberg dalam Pasar Duopoli Mathematical Analysis Isoprofit Curve of Stackelberg Model in Duopoly Market 1 Nurul Affifah
Lebih terperinciFungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
Lebih terperinciA. PERSAMAAN GARIS LURUS
A. PERSAMAAN GARIS LURUS Persamaan garis lurus adalah hubungan nilai x dan nilai y yang terletak pada garis lurus serta dapat di tulis px + qy = r dengan p, q, r bilangan real dan p, q 0. Persamaan dalam
Lebih terperinciPENDAHULUAN. Gambar potongan kerucut berbentuk lingkaran, ellips, parabola dan hiperbola
1 PENDAHULUAN A. Deskripsi Dalam modul ini kita akan mempelajari lengkungan yang dihasilkan dari potongan kerucut dengan bidang datar. Jika suatu kerucut dipotong oleh sebuah bidang, maka garis potong
Lebih terperinciK13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan
K13 Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan Persiapan UAS 1 Doc. Name: K13AR11MATPMT01UAS Version : 015-11 halaman 1 01. Sukubanyak f() = 3 + + 3- dapat ditulis sebagai. f() = [( + ) - 3] + f() = [( -
Lebih terperinciAPLIKASI FUNGSI LINIER DALAM BIDANG EKONOMI FUNGSI PERMINTAAN & PENAWARAN. Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag.
APLIKASI FUNGSI LINIER DALAM BIDANG EKONOMI FUNGSI PERMINTAAN & PENAWARAN Oleh : Agus Arwani, SE, M.Ag. FUNGSI PERMINTAAN Q dx,t = ƒ (P x,t, P y,t, Y t, P e X,t+1,S t ) Dimana Q dx,t = Jumlah produk X
Lebih terperinciBAB 1 PERSAMAAN. a) 2x + 3 = 9 a) 5 = b) x 2 9 = 0 b) = 12 c) x = 0 c) 2 adalah bilangan prima genap d) 3x 2 = 3x + 5
BAB PERSAMAAN Sifat Sifat Persamaan Persamaan adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan hubungan sama dengan. Sedangkan kesamaan adalah kalimat matematika tertutup yang menyatakan hubungan sama
Lebih terperinciPERSAMAAN GARIS BAHAN BELAJAR MANDIRI 4
BAHAN BELAJAR MANDIRI 4 PERSAMAAN GARIS PENDAHULUAN Secara umum bahan belajar mandiri ini menjelaskan tentang konsep garis, dan persamaan garis lurus yang dinyatakan ke dalam bentuk implisit maupun bentuk
Lebih terperinciBab 1. Irisan Kerucut
Tahun Ajaran 01 01-013/Genap Bab 1. Irisan Kerucut e=0 e 1 A. Lingkaran Persamaan Lingkaran yang berpusat di titik (0,0) Pada segitiga siku-siku, siku, menurut dalil phytagoras berlaku : c =
Lebih terperinciPersamaan Parabola KEGIATAN BELAJAR 10
1 KEGIATAN BELAJAR 10 Persamaan Parabola Setelah mempelajari kegiatan belajar 10 ini, mahasiswa diharapkan mampu: 1. Menentukan persamaan Parabola 2. Melukis Persamaan Parabola Anda tentu sangat mengenal
Lebih terperinciBAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT
BAB II PERSAMAAN KUADRAT DAN FUNGSI KUADRAT 1. Menentukan koefisien persamaan kuadrat 2. Jenis-jenis akar persamaan kuadrat 3. Menyusun persamaan kuadrat yang akarnya diketahui 4. Fungsi kuadrat dan grafiknya
Lebih terperinciMAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT
MAKALAH FUNGSI KUADRAT GRAFIK FUNGSI,&SISTEM PERSAMAAN KUADRAT Kelompok 3 : 1.Suci rachmawati (ekonomi akuntansi) 2.Fitri rachmad (ekonomi akuntansi) 3.Elif (ekonomi akuntansi) 4.Dewi shanty (ekonomi management)
Lebih terperinciMADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 2012
MODUL MATEMATIKA PERSIAPAN UJIAN NASIONAL 0 TAHUN AJARAN 0/0 MATERI PERSAMAAN KUADRAT DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT UNTUK KALANGAN MA AL-MU AWANAH MADRASAH ALIYAH AL-MU AWANAH BEKASI SELATAN 0 Jalan RH. Umar
Lebih terperinci1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 2 3x + 1 = 0 adalah
1. Akar-akar persamaan kuadrat 5x 3x + 1 0 adalah A. imajiner B. kompleks C. nyata, rasional dan sama D. nyata dan rasional E. nyata, rasional dan berlainan. NOTE : D > 0, memiliki akar-akar riil dan berbeda
Lebih terperinciMIKROEKONOMI RESUME TEORI KESEIMBANGAN KONSUMEN
MIKROEKONOMI RESUME TEORI KESEIMBANGAN KONSUMEN Dibuat oleh: Wahyuli Ambarwati Wulandari 7211410094 Akuntansi S1, 2010 UNIVERSITAS NEGERI SEMARANG SEMARANG 2012 A. PENDEKATAN PERILAKU KONSUMEN Pendekatan
Lebih terperinciTEORI KEPUASAN KONSUMEN FEB Manajemen S-1
TEORI KEPUASAN Modul ke: 06 Teori Fakultas FEB KONSUMEN kepuasan konsumen mencoba menjelaskan bagaimana konsumen dengan anggaran yang terbatas mencoba memaksimalkan kepuasannya. Ada dua pendekatan dalam
Lebih terperinciyang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
Lebih terperinciWardaya College. Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer. Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 2017/2018
Tes Simulasi Ujian Nasional SMA Berbasis Komputer Mata Pelajaran Matematika Tahun Ajaran 07/08 -. Jika diketahui x = 8, y = 5 dan z = 8, maka nilai dari x y z adalah.... (a) 0 (b) 00 (c) 500 (d) 750 (e)
Lebih terperinciLingkaran. A. Persamaan Lingkaran B. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Bab Sumber: www.panebiancod.com Setelah mempelajari bab ini, Anda harus mampu merumuskan persamaan lingkaran dan menggunakannya dalam pemecahan masalah; menentukan persamaan garis singgung pada lingkaran
Lebih terperinciA. DEFINISI DAN BENTUK UMUM SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT
K-13 Kelas X matematika PEMINATAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR KUADRAT TUJUAN PEMBELAJARAN Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut. 1. Memahami definisi dan bentuk umum sistem
Lebih terperinciKELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA. BY : Drs. Abd. Salam, MM
KELAS XI PROGRAM KEAHLIAN : BISNIS DAN MANAJEMEN & PARIWISATA SMK NEGERI 1 SURABAYA BAHAN AJAR FUNGSI LINIER & KUADRAT SMK NEGERI 1 SURABAYA Halaman 1 BAB FUNGSI A. FUNGSI DAN RELASI Topik penting yang
Lebih terperinciPersamaan Garis singgung Melalui titik (x 1, y 1 ) diluar lingkaran. Pusat Lingkaran (a, b) Persamaan Garis singgung. Jari Jari r.
PERSAMAAN LINGKARAN Pusat Lingkaran (0, 0) Melalui titik (x, y ) pada lingkaran Jika diketahui gradient m xx y mx r yy r m x y r Persamaan Garis singgung Melalui titik (x, y ) diluar lingkaran Jari Jari
Lebih terperinciK13 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika
K1 Revisi Antiremed Kelas 11 Matematika Peminatan - Persiapan PTS Semester Genap Halaman 1 01. Grafik berikut ini yang menunjukkan grafik dari parabola x 2 = -12y adalah... (Catatan: Setiap kotak pada
Lebih terperinciMATERI 3 FUNGSI NON LINIER
MATERI 3 FUNGSI NON LINIER Sub Materi : 1. Penggal dan lereng garis lurus 2. Pembentukan persamaan linier 3. Hubungan dua garis lurus 4. Pencarian akar-akar persamaan linier 5. Penerapan ekonomi Pertemuan
Lebih terperinci