Modul Pembelajaran Matematika 12A Semester 1

Transkripsi

1 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Integrl Stnr Kompetensi:. Menggunkn konsep integrl lm pemehn mslh Kompetensi Dsr:. Memhmi konsep integrl tk tentu n integrl tentu. Menghitung integrl tk tentu n integrl tentu ri fungsi ljr n fungsi trigonometri ng seerhn. Menggunkn integrl untuk menghitung lus erh i wh kurv n volum en putr. Integrl Tk Tentu Integrl segi Anti Turunn F() F () F() + F () F() -7 F ()... F() + (konstnt) F () Ji fungsi F() + (konstnt) inmkn fungsi Anti Turunn ri F () Contoh lin: ) F () mempuni nti turunn F() +, kren jik F() + iturunkn (iiferensisikn) kn menghsilkn F () ) Anti turunn ri F () lh F() Selnjutn istilh Anti Turunn inmkn Integrl Tk Tentu Notsi n Rumus-rumus integrl Tk Tentu Lmng integrl tk tentu lh Integrl tk tentu ri fungsi F(), pt itulis: F() + (konstnt) Contoh erikutn: + + Rumus-rumus integrl tk tentu fungsi ljr: k k + n n+ + n + + Agus Suin, S.P

2 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester k.f() k F() F ( ) + G( ) F() + F ( ) G( ) F() - { } { } G() G() Integrl fungsi khusus: Fungsi logritm nturl, Fungsi eksponen, e e + Fungsi Trigonometri, sin -os + os sin + ln + Contoh Penelesin: ) (-) - + ) (-4 ) ) ( + os ) ( - + os ) - + sin + Sol Ltihn: Tentuknlh hsil ri pengintegrln fungsi erikut: ) (-) ) + 4 ) os sin + os + sin + 4 ingt, lh turunn os ri tn Contoh Penggunn Integrl Tk Tentu Tentukn fungsi f() jik ikethui turunn pertm fungsi itu f () n f()! Penelesin: F() f () ( ) F() F() Persmn fungsi ng iperoleh lh F() - + Agus Suin, S.P

3 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Kurv fungsi f() i serng titik (,) memiliki persmn grien. Jik kurv mellui titik A(,) tentuknlh persmn kurv fungsi terseut! Penelesin: Persmn grien gris p kurv ientik engn fungsi turunn pertm, mk Y (4-) - + Mellui titik A(,) rtin f() F() Persmn kurv, - 4 Seuh prtikel ergerk engn lju v m/et p st t etik memenuhi persmn v(t) 8t-. P st t etik posisi en lh s meter. Tentuknlh posisi en (s) segi fungsi wktu (lm t)! Penelesin: S(t) (8t-)t 4t -t + t s() 4 + s() s(t) 4t -t + P sol i ts, jik itnkn erp juh posisi prtikel p t etik, mk nili ng imksu sm engn s() 97 meter.. Integrl Tentu Teorem Dsr Klkulus n Integrl Tentu Jik fungsi f() kontinu p selng [, ] n F() merupkn integrl tk tentu ri fungsi f(), mk Teorem Dsr Klkulus pt intkn segi: f [ F ( )] F ( ) F ( ) ( ) Notsi i ts selnjutn menji rumus untuk Integrl Tentu. Sift-sift Integrl Tentu: () f ( ) () f ( ) f ( ) (). f ( ) k k f ( ) (4) { ( ) ± g( ) } f ( ) ± f g( ) Agus Suin, S.P

4 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester () ) + f ( ) f f ( ) ( untuk << (). Jik f()> p [ ]. Jik f()< p [ ] Contoh Penelesin:, mk f ( ) >, mk f ( ) < ) 4 ] () -() ( ( + ) ) ) () ] +. Penggunn Integrl Tentu Perhitungn Lus Derh Perhtikn gmr erikut! () + - () () + Yf() Lus f ( ) Contoh Penelesin : ) 4 Agus Suin, S.P 4

5 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester ) Lus ( 4 ) 4 [ ] (4() () ) (4() () ) ( 8 8 ) (4 48 ( ) ( ) ) + Lus ( ) [ ] (() () ) () 9 ) ( Perhitungn Volum Ben Putr Derh irsir, iputr mengelilingi Sumu X se + juh o, iperoleh ngun rung engn volum V π Sol n Contoh: ) P gmr i ts, + + Mislkn ts kiri n knn erh ng iputr msing-msing (Sumu Y) n V π ( + ) Agus Suin, S.P

6 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester + π π (() () + () π ( { } π ) 9π stun volum ) Vomum en putr ng ihsilkn ri erh erikut ng iputr mengelilingi sumu X o Y v π [ ] π π { } { 4 } π π stun volum SOAL LATIHAN: Pilihlh jwn ng pling tept!. SIPENMARU 98 lh A. + B. C. D. E.. SIPENMARU A. + B. + C. + D. + E. +. EBTANAS 99 Dierikn f '( ) 8 8 n f ( ) 9. Jik f '( ) lh turunn ri ) ( ) f ( mk f... A. 4 8 B C D Agus Suin, S.P

7 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester E EBTANAS 998 Grien gris singgung kurv p setip titik (,) intkn oleh +. Kurv mellui titik (,-), mk persmn kurv lh. A. + B. + + C. + + D. + E EBTANAS 99 Lus erh ng irsir p gmr i wh ini lh stun lus. Y A. B. 4 C. 8 D. E.. EBTANAS 998 Lus erh ng itsi kurv 4, Sumu X n gris lh A. X B. C. 7 D. E Nili ( 8) -, untuk. A. B. C. D. E UMPTN 99 Jik ( ) +, f ( ), f n f ( ), mk +... A. B. 4 C. D. - E EBTANAS Volum en putr ng terji jik erh ng itsi oleh prol n prol 8 iputr mengelilingi sumu X seesr lh stun volum 49 A. 9 B. 4 C. 9 D. 4 E. Agus Suin, S.P 7

8 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester 9. Derh D terletk i kurn pertm ng itsi oleh prol, prol 4, fn gris 4. Volum enputr ng terji il D iputr terhp Sumu Y sejuh o lh. A. π B. 4 π C. π D. 8 π E. π 8 B. π stun volume 77 C. π stun volume 4 D. π stun volume E. π stun volume. UJIAN NASIONAL 7 Derh ng itsi oleh kurv 4,,, n sumu X iputr mengelilingi sumu X sejuh o, mk volum en ng terji lh. A. 4 π stun volum B. π stun volum C. 8 π stun volum D. π stun volum E. π stun. UJIAN NASIONAL 8 Nili ng memenuhi ( + ) 4 A. - B. - C. D. E. lh. 4. UJIAN NASIONAL 8 Jik erh irsir p gmr iputr mengelilingi sumu X sejuh o mk volume en putr ng terji lh... A. π stun volume Agus Suin, S.P 8

9 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester 4. Integrl Lnjutn ) Integrl Fungsi Trigonometri Ingt peniferensiln fungsi terigonometri, ) Jik f() sin, mk f () os ) Jik f() os, mk f () -sin f '( ) os sin ) Jik f() tn, mk f '( ) se ingt: tn os f '( ) + tn f '( ) sin os 4) Jik f() ot, mk f '( ) s ingt: ot sin f '( ) ( + ot ) Jik f() se, mk f () se tn (ingt: se ) os ) Jik f() s, mk f () -s ot (ingt: s ) sin Dengn mengingt integrl segi nti iferensil, mk pt intkn : (vii) os sin + (viii) sin os + (i) se tn + () s ot + (i) se tn se + (ii) s ot s + Contoh: ) (os + se s ot ) sin + tn + s + ) (se tn s ) se + ot + Sol ltihn: Tentukn penelesin ri integrl entuk trigonometri erikut!. (se 7 os ). ( 4s ot + π ) sin. ( tn + 4sin + ) ) Integrl engn Sustitusi Seerhn Pnng entuk integrl erikut: n n + srt : n Dengn menggnti vrile integrsin, iperoleh entuk n+ + Agus Suin, S.P 9

10 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester ng ientik, n k k. u u u n + srt : n n+ + Mislkn u f(), mk entuk integrl terseut pt intkn : n k{ f ( )} ( f ( )) srt : n k n { f ( )} + n+ + Agr muh ifhmi, pt iliht ri ontoh pliksi rumus segi erikut: Contoh 8 Tentukn hsil ri ( )! Penelesin u Mislkn u - u 8 8 ( ) ( ) u u Contoh Selesiknlh 8 u ( ) + 9 (8 ) (4 + ) Penelesin u Mislkn u u ( 8 ) (8 ) u u u (4 + ) u! u + + (4 ) + + ( + ) ( + ) Agus Suin, S.P

11 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester TIPS: Jik p gin integrn (fungsi ng kn iintegrlkn) terpt gin fungsi (ftor) ng merupkn turunn/iferensil ri fungsi linn, mk integrn terseut pt iselesikn engn r sustitusi. Ntkn gin fungsi ng pling kompleks segi u, tentukn erivtive u (u). Lnjutkn! Contoh 8 p ( ) ; entuk lh turunn ri u ( ) Bgimn integrl fungsi trigonometri engn r sustitusi? P prinsipn sm, itu engn memnng gin fungsi ng turunnn ientik engn gin fungsi linn. Contoh Selesikn integrl fungsi erikut!. sin os sin. os se. (tn ) 7. sin os Penelesin:. mislkn u sin u os sin os u u u + sin +. mislkn u os u sin u sin sin os u u u u u + + u. mislkn u tn - u se se (tn ) Agus Suin, S.P

12 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester u u u u u + u + tn sin os sin os os 7 sin os ( sin ) (ingt, os sin ) 7 9 (sin os sin os ) 8 sin sin + 8 Cttn: kit is memuktikn keenrn hsil integrl ini engn r meniferensilknn. Sol Ltihn: Dengn mensustitusi gin fungsin, selesiknlh sol-sol erikut!. ( 4)( + ) ( + 9). ( + ). ( ( ) 7. os sin se e. (tn ) TIPS: Crilh gin fungsi ng jik iiferensilkn hsiln ientik engn gin lin integrn, mislkn segi u() ) Integrl Prsil Ingt kemli peniferensiln fungsi F() u().v() F u v v( ) + u( ) F v( ) u + u( ) v Selnjutn u() itulis u n v() itulis v, iperoleh: F v.u + u.v F v. u + u. v F v. u + uv u.v v. u + uv Dri entuk terseut, iperoleh rumus integrl prsil () u u. v v. u. v ; tu u. v u. v v. u () Contoh Tentukn hsil ri. os! Agus Suin, S.P

13 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Penelesin Mislkn u n v os Mk pt itentukn u u (iiferensilkn) v os v sin (iintegrlkn) u. v u. v v. u.os.sin sin. sin sin sin - (-os ) +.sin + os + Contoh Selesiknlh engn integrl prsil ( + ) 4! Penelesin Mislkn u u v (+) 4 v ( + ) + ) ( 4. ( + ) - ( + )... ( + ) - ( + ). A proses pengintegrln kemli menggunkn rumus integrl prsil, untuk penelesin gin khir penelesin, Mislkn u u ; v (+) v ( + ) ( + ). ( + ) - ( + ) 7 ( + ) ( )( + ) + 7 Mk hsil khir iperoleh: + ) ( 4 7. ( + ) - ( + ) + ( + ) + TIPS: Integrn ng pt iselesikn engn r prsil pt iliht ri entuk fungsin ng teriri ri perklin u fungsi, engn stu gin pt iiferensilkn smpi nol, sengkn stu gin lin pt iintegrlkn (engn r is). Agus Suin, S.P

14 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester TIPS: Untuk meneerhnkn proseur, is io r erikut: Untuk menelesikn ( ) igunkn tle erikut: u v (+) 4 - ( + ) + ( + ) 7 ( + ) Mk: ( + ) 4 7. ( + ) - ( + ) + ( + ) + Keterngn: Tn pnh( ) mewkili perklin sesui rh pnh. SOAL LATIHAN : ) Urin Selesiknlh sol-sol erikut engn menggunkn integrl ser prsil!. 4 sin. os 4. ( + )( ). ( ) e. os(4 π ) TIPS: Pstikn hw integrn erentuk u().v(), n u() tu v() pt iturunkn smpi nol, sengkn linn is iintegrlkn. ) Sol Pilihn gn Pilihlh jwn ng pling tept. EBTANAS 99 ( + )os... A. ( + )sin + os + 4 B. - ( + )sin os + 4 C. ( + )sin + 4os + D. - ( + )sin 4os + E. ( + )sin 4 os + 4. EBTANAS Hsil ri. + 8 A Agus Suin, S.P 4

15 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester B C D E EBTANAS 997 π (os + 4sin )... π A. - B. -+ C. -+ D. + E EBTANAS 988 sin os lh. A. sin + B. os + C. - sin + D. - os + 4 E. sin +. EBTANAS Hsil +... A. + + B. + + C. + + D. ( + ) + + E. ( + ) + +. EBTANAS 988 π sin... A. π B. π C. π D. π E. F. 7. EBTANAS 99 ( + ) ( )... A. ( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) E. ( ) EBTANAS... A. + B. + C. + D. + 8 E UJIAN NASIONAL 8 Hsil A C B C C C D C E C 4 Agus Suin, S.P

16 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. UJIAN NASIONAL 8 Hsil 4sin.os... A. os8 os + C B. os8 os + C 4 C. os8 + os + C 4 D. os8 os + C E. os8 + os + C 4 Agus Suin, S.P

17 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Progrm Liner Stnr Kompetensi:. Menelesikn mslh progrm liner Kompetensi Dsr:. Menelesikn sistem pertiksmn liner u vriel. Mernng moel mtemtik ri mslh progrm liner. Menelesikn moel mtemtik ri mslh progrm liner n penfsirnn. Fungsi Liner n Grfikn. Bentuk Umum + Grfik erentuk gris lurus engn grien (m) Grien gris iseut jug koefisien rh. Jik gris mementuk suut α terhp sumu X, mk + Grien gris/kurv m tn α. Y + X Contoh: Y Persmn gris ng itunjukkn gmr lh + X Berlku ser umum, untuk semu n ilngn Rel. Persmn gris ng mempuni grien m, mellui titik (p,q): q m( p) Persmn gris eng mellui titik A( ) n titik B( ):,, Agus Suin, S.P 7

18 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Titik potong grfik fungsi liner + engn sumu-sumu koorint :. Grfik Pertiksmn Liner - Memotong sumu X p (, ) engn - Memotong Sumu Y p (, ) engn +! Pnng pertiksmn Mislkn ikethui grfik + segimn gmr () mk grfik/erh ng itunjukkn oleh pertiksmn + itunjukkn oleh gmr (). Y + Gmr () Y Derh penelesin lh ng irsir. Ditentukn engn serng titik uji, misln engn + mensustitusikn titik O(,) p pertiksmn Gmr () Contoh lin : Y Derh irsir 4 mempuni pertiksmn: 4 tu - 4 Agus Suin, S.P 8

19 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Sistem Pertiksmn Liner Sitem pertiksmn liner lh gungn u tu leih pertiksmn liner. Derh penelesin (iseut erh fesile) merupkn irisn ri erh-erh pertiksmn ng. Contoh : Tentukn erh pertiksmn ng memenuhi sistem pertiksmn: + + Penelesin: Menggmr grfik persmn msing-msing, Diperoleh titik-titik potong engn sumu koorint: - gris + mempuni titik-titik potong: (,4) n (,); - gris + 7 memotong titik (,) n (,) Derh keu grfik pertiksmn irsir, mk persekutun ri erh rsir lh penelesinn. Y Derh fesile + (penelesin) + Contoh : Gmr erh ng memenuhi sistem pertiksmn: Dengn urutn lngkh ng sm seperti p ontoh (i ts) iperoleh erh penelesin ng memenuhi empt kli rsirn segimn p gmr i wh ini. Agus Suin, S.P 9

20 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Y X. Moel Mtemtik lm Progrm Liner Merupkn peminhn ri permslhn lm hs sehri-hri ke lm hs mtemtik Teriri ri u tu leih pertiksmn liner, erentuk : + + : + tn mewkili tn tu Terpt (u) vriel/peuh, isn menggunkn vriel n Derh penelesin tu erh himpunn jw tu erh fesile terletk p kurn pertm, memenuhi nili n tk negtif. Memut fungsi oektif erentuk f ( ) + +, ng merupkn fungsi mksimum tu fungsi minimim. Contoh Iu kn memut pempek untuk kelurg, ng teriri ri u mm pempek, jenis I n jenis II. Pempek jenis I memerlukn grm sgu n grm ikn, sengkn pempek jenis II memutuhkn grm sgu n grm ikn.bhn ng suh isipkn Iu lh, kg sgu n kg ikn, n Iu ingin memut pempek senk-nkn. Bgimn moel mtemtik ri permslhn terseut? Penelesin: Mislkn nkn pempek jenis I ng iut lh, n pempek jenis II lh. Permslhn pt iseerhnkn lm entuk tel t segi erikut: JENIS PEMPEK BANYAK PEMPEK KEBUTUHAN SAGU (g) KEBUTUHAN IKAN (g) I II PERSEDIAAN Agus Suin, S.P

21 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Bhn ng igunkn tik oleh leih ri persein ng, sehingg ipki lmng Sistem pertiksmn ng iperoleh: Bnkn pempek tik negtif sehingg, Moel mtemtik lengkp untuk permslhn ng menji: Contoh Lus rel prkir lh 7 m. Lus rt-rt moil sen n us msing-msing 4 m n m. Mksimum jumlh kenrn ng pt iprkir lh kenrn engn i prkir msing-msing Rp., per jm n Rp., per jm. Dinggp lm jm tik kenrn ng pergi tu tng. Bgimn moel mtemtik ri permslhn terseut? Penelesin: JENIS KENDARAAN BANYAKNYA (m ) KEBUTUHAN AREA (m ) sen 4 us. AREA YANG TERSEDIA 7 Sistem pertiksmn liner ng iperoleh: Fungsi Oektif tu fungsi optimum: z f (, ) + Contoh Dri permslhn p Contoh i ts mislkn kn itentukn erh penelesin, titik-titik ektstrem (titik verteks), n nili mksimum (penptn mksimum) iperoleh engn urutn penelesin s: Agus Suin, S.P

22 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester 44/ (4,) 44 Titik-titik ekstrem ri gmr iperoleh : O(,), A(,), B(4,) Dn C(,44/) Nili mksimum itentukn engn sustitusi nili ekstrem, iperoleh: f (,) f (,). f (4,). f (,44 ) 7. Ji nilimksimumn lh Rp..,- SOAL-SOAL LATIHAN:. UMPTN Rokok A ng hrgn Rp.., ijul engn hrg RP., per ungkus, sengkn rokok B ng hrg elin Rp.., ijul engn hrgrp..7, per ungkus. Seorng pegng rokok ng mempuni mol Rp.., n kiosn pt menmpung ungkus, kn menptkn keuntungn mksimum jik i memeli... A. ungkus rokok A n ungkus rokok B. B. ungkus rokok A n ungkus rokok B. C. ungkus rokok A n ungkus rokok B D. ungkus rokok A sj E. ungkus rokok B sj.. UJIAN NASIONAL Setip hri seorng iu ihruskn mkn u jenis tlet. Tlet jenis pertm mengnung 4 unit vitmin A n unit vitmin B, sengkn jenis keu mengnung unit vitmin A n unit vitmin B. Dlm sutu hri iu terseut memerlukn miniml unit vitmin A n 4 unit vitmin B. Jik hrg tlet jenis pertm Rp, per uh n tlet jenis keu Rp 8, per uh, mk pengelurn minimum untuk pemelin tlet per hri lh... A. Rp.., B. Rp.., C. Rp..4, D. Rp.., E. Rp..4,. UJIAN NASIONAL Perishn ts n septu menpt psokn 8 unsur P n unsur K setip minggu untuk prouksin. Setip ts memerlukn unsur P n unsur K, n septu memerlukn unsur P n unsur K. L untuk setip ts lh Rp. 8., n setip septu lh Rp.,. Keuntungnmksimum perushn ng iperoleh lh,,,, A. Rp., B. Rp. 8., C. 9., D. Rp. 84., E. Rp 7.,. EBTANAS 999 Nili mksimum ri f (, ) + ng memenuhi sstem pertiksmn : Agus Suin, S.P

23 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester A. 4 B. C. D. E. lh....ujian NASIONAL Jik (,) terletk p erh ng itsi oleh,, n +, + lh... mk nili teresr ri A., B. 4 C. 4, D. E., lh... A. B. C. D. 49 E UJIAN NASIONAL 8 Tnh selus. kn ingun toko untuk tipe. Untuk toko tipe A iperlukn tnh selus n tipe B iperlukn 7. Jumlh toko ng ingun pling nk unit. Keuntungn tip tipe A wwr Rp 7.., n tip tipe B seesr Rp 4..,. Keuntungn mksimum ng iperoleh ri penjuln toko terseut lh... A. Rp 7.., B. Rp 7.., C. Rp 7.., D. Rp 7.., E. Rp 8.., 7. SPMB Nili mksimum ri z + ng memenuhi,, + 8 4, n Agus Suin, S.P

24 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Mtriks Stnr Kompetensi:. Menggunkn konsep mtriks, vektor, n trnsformsi lm pemehn mslh Kompetensi Dsr:. Menggunkn sift-sift n opersi mtriks untuk menunjukkn hw sutu mtriks persegi merupkn invers ri mtriks persegi lin. Menentukn eterminn n invers mtriks. Menggunkn eterminn n invers lm penelesin sistem persmn liner u vriel.4 Menggunkn sift-sift n opersi ljr vektor lm pemehn mslh. Menggunkn sift-sift n opersi perklin sklr u vektor lm pemehn mslh.. Menggunkn trnsformsi geometri ng pt intkn engn mtriks lm pemehn mslh.7 Menentukn komposisi ri eerp trnsformsi geometri esert mtriks trnsformsin. Pengertin, Notsi, n Oro Pengertin Mtriks lh susunn ojek-ojek (elemen, unsur) lm entuk persegi pnjng, ng teriri ri ris n kolom. Notsi Nm mtriks lm huruf pitl n nggot/elemen/unsur mtriks itsi tn kurung siku tu kurung esr. Oro mtriks Oro mtriks mentkn nkn ris n kolom ri seuh mtriks. Pnng mtriks A erikut: A... m... m... m n n n... mn Mtriks A mempuni oro (m X n), isn A (mxn) mentkn unsur mtriks ng terletk p ris ke- n kolom ke-. mentkn unsur mtriks p ris ke- n kolom ke-n n mentkn unsur mtriks p ris ke-m nkolom ke- m Dn seterusn sehingg mn mentkn unsur mtriks p ris ke-m n kolom ke-n. Agus Suin, S.P 4

25 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Contoh: Berikut ini lh ontoh-ontoh mtriks erikut oron msing-msing: A C 4 Oro A ( X ) ; B Oro C 4 ) t 7 Oro B ( X ) ( X ; D 7 Oro D ( X ) Contoh: Dikethui mtriks A m 8 7 Dri mtriks A ( 4 X ) terseut pt itentukn hsil, misln:. + + ( ) 4 + () + () ( ) ( ) 4.. Beerp Mtriks Khusus () Mtriks persegi, mempuni nk ris n kolom ng sm. A 4 ; B ; st () Mtriks ris, mempuni tept stu ris. ; st C [ ]; D [ ] () Mtriks Kolom, mempuni tept stu kolom. E ; F ; st (4) Mtriks Nol, itu mtriks persegi ng seluruh nggotn nol. G ; H ; st. Agus Suin, S.P

26 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester () Mtriks igonl, itu mtriks persegi ng nggotn nol keuli p igonl utmn. J ; K ; st () Mtriks stun tu mtriks ientits, itu mtriks persegi ng unsur igonl utmn, sengkn nggot linn nol. Contoh mtriks stun: I ; I ; st ) Opersi Aljr p Mtriks Perklin mtriks engn ilngn Rel Mislkn ikethui k ilngn rel (sklr) n f g mtriks A e h i f g k kf kg mk, k A k e h k ke kh i k k ki Sift-sift: Mislkn A n B mtriks, sengkn k n l slr, (i) k. A A. k (ii) ( k ± l) A k. A ± l. B Contoh: 4 mk 4 4 A ; A 9 A A ( ) A A 9 Dikethui A (i) (ii) Penjumlhn n Pengurngn p Mtriks Mislkn ikethui mtriks-mtriks: A A ± B ± ± n B ± ± mk: Agus Suin, S.P

27 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Cttn:Du mtriks pt ijumlhkn jik oron sm. Contoh: Dikthui A A + B A B 4, B, C Mtriks A n C tu mtriks B n C tik pt ijumlhkn kren erlinn oro. Perklin Du Mtriks Mtriks A pt iklikn engn mtriks B jik n hn jik nk kolom p mtriks A sm engn nk ris p mtriks B. A (mxn) X (nxt ) 4 7 B mempuni hsil kli. Sm A (mxn) X C (mxp) Oro mtriks hsil (mxn) tik hsil kli tik sm Mislkn ikethui k l ( X B ( X ) e f m n p q k + m + p l + n + q k + em + fp l + en + fq k + l k + le k + lf m + n m + ne m + nf p + q p + q p + q A ) A X B B X A ( X ) ( X ) Cttn: Perklin mtriks ersift sositif tetpi ersift tik komuttif Contoh: Tentukn hsil kli ri mtriks A 4 n B! Agus Suin, S.P 7

28 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Penelesin: A X B 4 () + 4( ) () + 4() () + ( )( ) () + ( )() Contoh: Jik ikethui Penelesin: 4 4, mk tentuknlh nili + + +! ) Invers Mtriks Pengertin n Notsi Invers ri mtriks A itulis A, itu sutu mtriks ng memenuhi huungn: A. A A. A I, engn I mtriks stun Mtriks A iktkn sling invers engn mtriks B, jik n hn jik erlku: A. B B. A I, engn I mtriks stun Contoh: Mtriks A (Buktikn!) n B lh sling invers kren A.B B.A I Determinn Mtriks Oro (X) Determinn mtriks A ) ( X isn itulis et.a tu A itentukn: Det.A A Agus Suin, S.P 8

29 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Contoh: A B C 7 et A + et B - et C Mtriks B iseut mtriks singulr, mempuni eterminn nol. Invers Mtriks Oro (X) Invers ri mtriks A itentukn: Bentuk Contoh: Dikethui A 4 Tentuknlh invers ri mtriks A! iseut jug engn joint A. Penelesin: Dri mtriks A iperoleh et A. Invers mtriks A itentukn, A ( j. A) et. A 4 Contoh: Buktikn hw mtriks A 7 n mtriks B Penelesin: Jik A n B sling invers, mk AB BA I (Ientits) AB et.a A 7 sling invers! Agus Suin, S.P 9

30 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Penggunn Invers mtriks o Penelesin persmn mtriks Pnng AB C AB.B C.B A C.B.ingt B.B I (ientits) Contoh: Tentuknlh mtriks X jik ikethui, X. 4 o Penelesin: Misl A n C Diperoleh persmn mtriks X.A C. Mk X C.A A X Penelesin Sistem Persmn Liner Sistem persmn liner u vrile erentuk: Mislkn A pt iut menji persmn mtriks erentuk: B AB C A.AB A.C B A.C A 7 n C B. 7 4 Agus Suin, S.P

31 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Mtriks Oro (X). Determinn mtriks oro (X) Pnng mtriks A ) ( X e f g h i Determinn mtriks engn Meto Srrus Dri mtriks e f g h i intkn lm entuk: e f g h i e f et A ei + h + gf Determinn mtriks engn Meto Minor (kofktor) e f g h i e f h i - f g i + ei fh i + fg + h eg ei + h + gf eg fh i Contoh: Mislkn igunkn Meto Srrus; Determinn mtriks A e lh ()(9)+4(8)()+7()()-()(7)-(8)()-9()(4) (keetuln, singulr) g h eg fh i Agus Suin, S.P

32 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Minor, Kofktor, Ajoint n Invers Mtriks Oro (X) Dri mtriks A e f g h i Minor-minor mtriks A itentukn ntr lin: M ; M ; M M ; M ; M M ; Kofktor ri mtriks A msing-msing lh: + K ( ) M + K ( ) M + K ( ) M. M ; M M ; ; n seterusn, menggunkn rumus: i+ j K ij ( ) M ij Mtriks kofktor ri mtriks A, K Kof ( A) K K T [ Kof ( ) ] K K K K K K Ajoint ri mtriks A lh [ M Aj(A) M M K K K K K K M M M K K K Kof ) Invers mtriks A memenuhi rumus: ] T M M M M M M ( sehingg iperoleh: M M M M M M A Aj( A) et. A Agus Suin, S.P

33 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Agus Suin, S.P Contoh: Dikethui mtriks 4 9 A, mk untuk menri invers mtriks terseut ilkukn lngkhlngkh segi erikut: Determinn A, (misln igunkn Cr Srrus): Det.A Kofktor A, engn elemen msing-msing: (A) Kof sehingg iperoleh Ajoint mtriks A (A) Aj Invers mtriks A itentukn: ) ( et. A Aj A A Ltihn: Dengn lngkh-lngkh segimn ontoh i ts, tentuknlh inver ri mtriks-mtriks erikut: 4 B ; 4 7 C ; D SOAL LATIHAN: Pilihlh jwn Ang pling tept!. EBTANAS 99 Dikethui mtriks A n 4 B. X lh mtriks ujursngkr roe. Jik B XA mk X lh mtriks. A. D. B. E. C.

34 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. EBTANAS 99 4 A I. Mtri ( A ki ) Dikethui mtriks nili k. A. - tu B. - tu C. tu D. tu 4 E. tu. EBTANAS 997 Dikethui mtriks A T k.et. A et. A memenuhi eterminn) lh. A. B. 4 C. 4 7 D E EBTANAS 998 n lh singulr,. Nili k ng (et Dikethui mtriks A ; B ; n C 8 k 4 7 k ng memenuhi A B C ( C mtriks C) lh. A. B. C. D. - E. -. EBTANAS 999 Dikethui mtriks A ; B ; n C k + k ng memenuhi A + B C ( C mtriks C) lh. A. -. Nili invers. Nili invers B. C. D. E.. EBTANAS Dikethui p + A. B. C. p q q ( ) ( ) ( + ). Bentuk intkn lm n lh. D. ( ) E. ( + ) 7. UN Dikethui persmn mtriks. P P A. B. C. D. E. s mtriks P lh UN Inver + Dikethui mtriks A ; B 4 7 T n C. Apil B A C ; C T trnspose mtriks C, mk nili.... A. B. C. D. E. Agus Suin, S.P 4

35 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Agus Suin, S.P. Determinn Mtriks untuk Penelesin Sistem Persmn Liner Mtriks Oro (Oro (X) Pnng sstem persmn liner lm persmn mtriks erikut : + + r q p lm persmn mtriks menji r q p Mislkn A q p, mk pt itentukn msing-msing: (i) q p D p q (ii) r q q r D (iii) p r r p D Mk nili n msing-msing pt itentukn: Mtriks Oro Dri sstem persmn liner z z z iperoleh persmn mtriks z mk eterminn mtriks msing-msing itentukn D ; D ; D ; D z Nili,, n z msing-msing itentukn: Contoh : Nili n ng memenuhi sstem persmn erikut, menggunkn eterminn mtriks, iperoleh segi erikut: D D D D D D D D z z D D

36 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester 9 9 D ; D 7 ; D 9 D D Contoh : Untuk persmn mtriks D D D D z D n D z itentukn misng-msing: Mk iperoleh msing-msing nili: ; ; n z Sol Ltihn: Tentukn pilihn ng pling tept!. UN Jik,, ) memenuhi sstem persmn: ( z + + z z z 8 mk nili lh. A. B. C. 4 D. E. 8. EBTANAS Himpunn penelesin sstem persmn : Nili... A. B. C. D. E. - lh, ) ( Agus Suin, S.P

37 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester 4. Vektor. Definisi Q A B P Dri titik A itrik gris menuju titik B iperoleh rus gris errh AB, iseut vektor AB. Vektor AB memiliki keuukn stun ke knn (rh positif) n stun ke ts, itulis AB. Vektor PQ, 9 stun ke kiri n stun ke ts, 9 mk PQ Vektor lh seuh esrn ng mempuni ukurn/pnjng n rh.. Pnjng Vektor Mislkn ikethui vektor AB P gmr pt itentukn, mk pnjng vektor AB +. AB PQ ( 9) Beerp Vektor Khusus P ing koorint, tergmr segi erikut: A, ) ( j i Vektor Atu lm kominsi liner intkn: i j OA pt itulis (, ) + Vektor vektor i n j iseut vektor sis, kren terletk p sis tu sumu koorint, sengkn vektor OA tu vektor ng ertitik sl (titik tngkp) inmkn vektor posisi. Agus Suin, S.P 7

38 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester u Jik itentukn vektor lin, seut misln vektor u terletk p vektor n pnjngn (stu) stun, u mk vektor u inmkn vektor stun. Vektor stun serh vektor lh u, sengkn vektor stun serh vektor lh u n seterusn.. Opersi Geometrik p Vektor ) Penjumlhn + Moel penjumlhn i ts menggunkn meto poligon. Jik igunkn meto jjr genjng kn iperoleh gmrn segi erikut: + ) Pengurngn + ( ) Mislkn ikethui titik A (, ) n B (, ) mk vektor AB iwkili oleh nili komponen, sengkn vektor BA iwkili oleh nili komponen. Tentu AB BA, hkn AB A, ) ( BA erlwnn. B (, ) Dri gmr iperoleh hw, AB AO + OB OA + OB OB OA. Agus Suin, S.P 8

39 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Agus Suin, S.P 9 Pnjng vektor ) ( ) ( AB AB + Pnjng vektor BA ) ( ) ( BA + ) ( ) ( + Dlm hl ini BA AB, ng memeknn hnlh rh vektor msing-msing (erlwnn) e. Opersi Aljr p vektor ) Penjumlhn n Pengurngn Mislkn ikthui vektor-vektor n mk penjumlhn n pengurngn ilkukn: Contoh: Mislkn ikethui n mk iperoleh: ) ( 4 ) ( ) Lwn vektor Lwn ri vektor lh vektor lh seuh vektor ng pnjngn sm tetpi rhn erlwnn, sehingg ) ( + ) Perklin ilngn sklr engn vektor Pnng l k, ilngn sklr (rel) n vektor, mk itentukn:. k k k k Berlku sift-sift perklin segi erikut: k k k ± ± ) ( ( ) l k l k ± ± Contoh: Dikethui vektor n mk pt itentukn intrn: ± ± ± ±

40 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester ( + ) 7 4 ( ) ( ) 7 4) Perklin sklr u vektor Dri vektor-vektor n engn pnjng vektor n pnjng vektor. Mementuk suut ntr keu vektor terseut itu (, ) Perklin sklr vektor p itentukn:..osα Bil imil α i j n i j mk perklin sklr pt intkn : +. ( i + j).( i + j + i. i + i. + j. i + j. j. +. Cttn: o ) Perhtikn hw i n j sling tegk lurus, kren msing-msing terletk p sumu koorint, sehingg nili kosinus suutn nol, mk perklin sklrn jug menghsilkn nol. o Vektor i engn i tu vektor j engn j psti mementuk suut nol sehingg nili kosinusn lh, mk perklin sklrn menghsilkn ilngn. f. Vektor i R Z A (,, z) Y X Titik A,, ) p Sistem Koorint Rung tu iseut jug R. ( z OA...(ingt vektor sis) z Vektor posisi (,, z ) i + j + z k Agus Suin, S.P 4

41 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester z Pnjng vektor OA OA + + Opersi geometrik n opersi ljr p vektor i R erlku segimn opersi p R, emikin pul siftsift opersin. g. Pemgin Rus Gris Titik C memgi AB (intr) engn perningn AC : CB m : n A (,, z) m C (,, z) n B,, ) ( z O Koorint titik C itentukn engn rumus: mb + na m(,, z ) + n(,, z) C(,, z) m + n m + n Jik titik C terletk p perpnjngn AB, mk nili perningn intkn AC : CB m : ( n) Rumus pemgin rus gris ituliskn segi erikut: mb na m(,, z ) n(,, z) C(,, z) m n m n emikin jug jik titik C p perpnjngn BA, iperoleh: mb + na m(,, z ) + n(,, z) C(,, z) m + n m + n Contoh: Dikethui rus gris AB engn A(,,-) n B(,-4,8). Mislkn titik C, D n E segris engn AB, msingmsing memiliki perningn: AC : CB :, kemuin AD : DB : ( ), n selnjutn AE : EB ( ) : 8. Tentuknlh koorint titik A, B n C! Penelesin: Untuk koorint titik C, itentukn segi erikut: mb + na (, 4,8) + (,, ) C(,, z) m + n + (,,4) + (4,, 4) C(,, z) (4,,) C(,, z) C(,, z) (8,,4) Agus Suin, S.P 4

42 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Untuk koorint titik D, igunkn r serup: B A (, 4,8) (,, ) D(,, z) (7, 4,48) (,, ) (7,, D(,, z) (4,,) Untuk koorint titik E, igunkn rumus B + 8A (, 4,8) + 8(,, ) E(,, z) (,, 4) + (,8, ) E(,, z) (,, 4) E(,, z) E(,, z) ( 4,4, 8) h. Suut Antr Du Vektor Pnng perklin sklr vektor p vektor. osα osα osα Contoh: z z Dikethui vektor-vektor (,, ) Dn vektor (,,8 ) Tentukn suut ntr keu vektor terseut! Penelesin : os α.. () + () + ( )(8) + 8 osα α 9 i. Proeksi Vektor p Vektor Lin Vektor n mementuk suut α. Vektor iproeksikn p vektor, iperoleh hsil proeksin seuh vektor ru serh engn vektor ing proeksi, seutlh vektor Mislkn pnjng vektor lh n pnjng vektor hsil proeksi lh mk itemukn α Agus Suin, S.P 4

43 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester osα.osα Kren os α. mk iperoleh... α inmkn proeksi sklr ortogonl Mislkn vektor stun p vektor lh vektor u n vektor //, mk komponen vektor itentukn.. u..... inmkn proeksi vektor ortogonl p SOAL-SOAL APLIKASI Pilihlh jwn ng pling tept ri pilihn ng tersei!. ABCDEF lh segienm erturn erppust i O. Jik AB n BC msing-msing intkn oleh vektor n v, mk CD sm engn.... u + v. u v. v u. u v e. v u. Blok ABCDEFGH mempuni pnjng 4 m, ler m, n tinggi m. Nili AC + AG e.. Perhtin gmr! B S T D A P segiempt ABCD, S n T msing-msing titik tengh AC n BD. Jik u ST mk AB + AD + CB + CD pt intkn segi.... u 4. u C. u e. 4 u.u 4. Dikethui i j, i + 4 j n r 7i 8 j. Jik r k + m, mk k + m e. Agus Suin, S.P 4

44 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Dikethui ; ; Nili ri ( ) e. 8. Dierikn segienm ABCDEF. Jik AB u AF v, mk AB + AC + AD + AE + AF..... u + v. 4 u + 4 v. u + v e. u + v n 7. Dikethui persegi pnjng OABC engn pnjng OA n AB. Jik OA u n OB v, mk u. v e. 8. Dikethui titik-titik A (,, ) B(4,, 7); C(,,). Kosinus suut ntr AB n AC lh e. 9. Dikethui vektor n vektor. Suut ntr n lh 4 Nili lh tu. - tu 7. tu. tu -7 e. tu -. Besr suut ntr vektor i + j 4k n vektor 8i 4 j + k lh.... o. o. 9 o. o e. o. Agr keu vektor 4 n 7 segris, hruslh nili e.. Dikethui : ; sm pnjng. Keu vektor itu kn Agus Suin, S.P 44

45 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester () memut suut lnip () memut suut tumpul () erimpit (4) sling tegk lurus Perntn ng enr lh.... (), () n (). () n (). () n (4). (4) sj e. Semun enr. Jik suut ntr n sm engn o engn n mk.( + ) e. k 4. Vektor p k tegk lurus vektor k q untuk nili k sm engn: () () - () (4) - Yng enr lh.... (), (), n (). () n (). () n (4). (4) sj e. Semun enr. Vektor iproeksikn p vektor menghsilkn vektor e.. Jik A (,, ), B(,, ) n P(,, z) p AB sehingg AP : PB : mk OP e. 74. Jik ikethui vektor i + j k iproeksikn p vektor i + j k menghsilkn vektor p mk p e. 7. Koorint titik ert ABC jik ikethui msingmsing A(,,), B(,, ) n C(,,) lh.... (-,,). (-,,). (-,,). (-,,) e. (-,,) 8. Pnjng proeksi vektor p vektor sm engn. Jik suut ntr keu vektor lh lnip, mk vektor.... ( 4) tu ( ). ( 4) tu ( ) Agus Suin, S.P 4

46 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. ( 4) tu ( ). ( ) tu ( ) e. ( ) tu ( ) Agus Suin, S.P 4

47 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Trnsformsi Geometri. Definisi Trnsformsi T i ing tr lh sutu pemetn titik / ojek i ing ng sm. Pemetni titik P(, ) oleh trnsformsit sehingg menji P' ( ', ' ) isn itulis: Atu pt jug itulis Trnsformsi ini inmkn Trnsformsi Geometri, selnjutn igunkn istilh trnsformsi. Jenis Trnsformsi Geometri: Trnslsi (Pergesern) Refleksi (Penerminn) Rotsi (Perputrn) Diltsi (Perklin Bngun) ) Trnslsi Trnslsi (pergesern) lh peminhn sutu ojek sepnjng gris lurus engn rh n jrk tertentu. Trnslsi T kn memetkn titik P(, ) sehingg iperoleh P' ( ', ' ) engn ' + n ' +, sehingg P '(, + ) Ditulis:- Contoh: +.. Tentukn ngn titik P(,4) ng ipinhkn oleh trnslsi Jw T! T memetkn titik P (,4), mk ngnn lh P '( +,4 + ) P' (4,7). B(, itrnslsikn oleh T menji B '(4, ). Tentukn komponen trnslsi T!. Titik ) Jw: ' ' Komponen trnslsi T 9 4 Q(, itrnslsikn oleh T menghsilkn ngn Q'(4,).. Titik ) Jw: T : (, ) ( ', P (, ) T P '( ', ' ) T : P(, ) P'( +, + ) ' ) Koorint titik sl? Agus Suin, S.P 47

48 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Koorint titik sl Q (,) 4. Trnslsi T memetkn gris g : 4 + +, mk persmn gris ngn ri g lh... Jw: ' + ' + '......() ' + ' 8 ' () g': 4( ' ) + ( ' + 8) + Persmn gris Selnjutn g': 4' + ' g': 4' + ' + 9 ' n ' msing-msing ukup itulis tu, sehingg iperoleh... g': ) Refleksi Refleksi (penerminn) lh seuh trnsformsi ng meminhkn setip titik p ing engn menggunkn sift ngn ermin ri titik-titik ngkn ipinhkn itu. Refleksi p Sumu-sumu Koorint P Y P 4 P X Hsil-hsil Refleksi p Sumu Koorint: Refleksi terhp Sumu X M X : P(, ) P (, ) P'(, ) Refleksi terhp Sumu Y M Y : P(, ) P (, ) P'(, ) Refkelsi terhp titik O(,) P(, ) P (, ) P'(, ) M O : P P P Refleksi terhp gris M : P(, ) P4 ( 4, 4 ) P'(, ) Refleksi terhp gris M P(, ) P (, ) P'(, ) : Agus Suin, S.P 48

49 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Refleksi p Gris Sejjr Sumu Koorint Y P 7 ( n k) m ( n k) k P P M M ( m ) ( m ) : P(, ) P (, ) P' (m, ) P(, ) P (, ) P' (,k ) m k : X Contoh: Dikethui titik P(,) irefleksikn terhp msing msing Sumu X, Sumu Y, Pust Koorint, gris, n gris -. Bngn ng iperoleh msing-msing: M X : P(,) P'(, ) M : P(,) P' (,) M Y : P(,) P'(,) M : P(,) '(, ) P M O : P(,) P' (, ) Biskh An menemukn ngn titik P(,) il irefleksikn terhp gris 4 tu terhp gris -? ) Rotsi Rotsi (perputrn p ing koorint, itentukn oleh titik pust rotsi, esr suut n rh perputrn. Rotsi rh positif iefinisikn erlwnn rh engn rh putrn jrum jm, n selikn. Y ' P α P ' X Contoh: Tentukn ngn titik P(,4) jik irefleksikn i. Titik O(,), sejuh o. Titik T(,), sejuh 9 o Bngn hsil Rotsi seesr suut α : Berpust i O (,) : P(, ) P' ( ', ') R( O, α ) ' osα sinα ' sinα + osα Berpust i T (, ) : P(, ) P' ( ', ') R( T, α ) ' ( )osα ( )sinα ' ( )sinα + ( )osα Agus Suin, S.P 49

50 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Jw:. Pust rotsi i O (,), sejuh R ( O,) : P(,4) P'( ', ' ) o ' os 4sin o ' sin + 4os. Pust rotsi i T (, ) R ( T,9) : P(,4) P' ( ', ') ' ( )os9 ' ( )sin 9 o o o o o ( ) 4( ) ( + 4( ) + o 9 sejuh (4 )sin 9 + (4 )os9 o o 4() () 4() + () 4 Biskh An menggunkn rumus ng sm jik suut putrn serh putrn jrum jm (ke rh negtif)? 4) Diltsi Diltsi seuh ojek itu proses perklin usurn ojek terseut, tetpi tik menguh entukn. Bngn hsil seuh iltsi itentukn oleh ntr lin : pust iltsi n fktor skln. Y Diltsi erpust i O(,), ftor skl k ' P(,) P (, ) Diltsi erpust i T (, ) engn ftor skl k: X D( O, k ) : P(, ) P'( ', ') '( k, k) ' k ' k ' Y T P(,) P (, ) D( T, k ) : P(, ) P'( ', ') ' k( ) ' k( ) ' X Contoh: Tentuknlh ngn ABC O(,) engn ftor skl! engn A(,); B(,); C(,) oleh seuh iltsi ng erpust i Jw: () () () () () () A' B' C' A' (,); B' (,)' C' (9,8) 9 8 Agus Suin, S.P

51 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. Mtriks Trnsformsi Refleksi terhp Sumu X Refleksi terhop Sumu Y Refleksi terhp Pust Koorint Refleksi terhp gris Refleksi terhp gris Rotsi Rotsi Rotsi o 9 o 9 Rotsi o 8 Rotsi sejuh α o 7 Diltsi engn ftor skl k osα sinα sin ε osα k k. Komposisi Trnsformsi P P P T T T ( ) ( T ot )( ) T ( ) Mislkn T mentrnsformsikn titik P menji P, kemuin T mentrnsformsikn titik P menji P. Seuh komposisi trnsformsi ng mentrnsformsikn titik P menji titik P lh trnsformsi ) T o. ( T Ditulis : ( T T P P T T o )( Atu is jug itulis P P P ) Agus Suin, S.P

52 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Untuk komposisi trnsformsi ng menggunkn mtriks T ilnjutkn engn T, lmng o p ( T o T) intkn segi lmng perklin u mtriks. Contoh: Titik A( 4, ) itnsformsikn erturut-turut oleh mtriks M kemuin ngnn itrnsformsikn oleh mtriks N. Tentuknlh ngn titik A! Jw: Mislkn mtriks T lh mtriks trnsformsi penggnti ri komposisi keu mtriks M n N, mk T N o M T A( 4, Bngn titik ) itentukn segi erikut: ' ' Contoh : Titik P(, ) irefleksikn terhp Sumu X, kemuin ilnjutkn oleh rotsi 9 o erpust i titik O(,). Jw: Koorint ngnn? Mtriks penerminn p sumu X, M n mtriks rotsi 9 o, R9 penggnti keu trnsformsin T ' Koorint ngn hál P '(,) ' mk mtriks SOAL-SOAL APLIKASI Pilihn jln ng pling tept!. Gris g engn persmn itrnslsikn oleh mk hsil 4 trnsformsin lh e.. Trnslsi ng meminhkn titik A(, ) ke titik A' (,) lh... T. Agus Suin, S.P

53 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. T. T 4. T 4 e. T 4. Bngn gris l ng mellui titik (,) ergrien kren trnslsi T ilnjutkn trnslsi T e. lh. Persmn ngn ri lingkrn ( + ) + ( ) 4 oleh pererminn terhp gris lh e Jik titik T (, ) irotsikn engn pust O n suut putr 9 o, mk koorint ngnn lh.... (, ). (, ). (, ). (,) e (,). Rus gris AB engn A(, ) n B(, ) iiltsikn oleh D [(,);4] menghsilkn rusgris A ' B'. Jrk A 'keb' lh.... stun. 4 stun. 9 stun. stun e, 4 stun. Sutu ngun jik ikenkn iltsi engn fktor skl, mk ngun itu.... iperesr u kli lipt n rh tetp. iperesr u kli lipt n rh erlwnn. tetp n erlwnn rh. ergeser stu n rh tetp. e. ergeser stun n rh erlwnn.. Bngn gris + setelh irefleksikn terhp gris e. + + o 7. Mtriks ng ersesui engn rotsi erpust i titik O(,) kemuin ilnjutkn engn rotsi o erpust i titikng sm lh e. 8. Persmn ngn + oleh trnsformsi ng ersesuin engn mtriks gris lh ilnjutkn engn penerminn terhp Agus Suin, S.P

54 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester e T T. Pet ri gris Dikethui mtriks trnsformsi n kren trnsformsi T ilnjutkn engn trnsformsi T lh e Persmn pet gris kren refleksi terhp gris ilnjutkn oleh trnsformsi ng ersesuin engn mtriks lh e.. Bngn gris + pil ierminkn terhp gris, ilnjutkn o engn rotsi seesr 9 erpust i O(,) lh e Pet ri P(, ) oleh penerminn terhp gris ilnjutkn rotsi sejuh o [ O ] R, 8 lh P (4, ). P(, lh... ( 4, Koorint ). ). (,). (,). (,) e. (,4). Bngn kurv oleh iltsi pust O engn fktor skl, ilnjutkn penerminn terhp sumu Y lh e. 4. Dikethui T n T lh trnsformsi-trnsformsi ng ersesuin engn mtriks: M n M Koorint ngn ng intkn engn komposisi lh... trnsformsi ( T o T )( 7, ). (,9). (,). (,). ( 9, ) e. ( 9,) T memetkn titik P(,4) ke titik P '(,). Bngn segitig ABC engn A (,4), B (7,4), n C (7,) oleh trnslsi. Trnslsi T mempuni lus... stun lus e.. T lh trnsformsi rotsi pust i O(,) engn o suut putr 9. T lh trnsformsi refleksi terhp gris. Jik koorint pet titik A oleh trnsformsi titik A lh... T o lh ( ' 8, ) T, mk koorint Agus Suin, S.P 4

55 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester. (, 8). (,8). (,8). ( 8,) e. (,8) 7. Persmn gris irotsikn o + 9 erpust i O (,). Persmn ngn grisn lh e. + 8 Persmn pet prol ( + ) ( ) oleh penerminn terhp sumu X ilnjutkn rotsi terhp pust O n suut putr π rin lh.... ( ) ( + ). ) ( ) (. ( ) ( ). ( + ) ( ) e. + ) ( ) (. Vektor iputr mengelilingi pust koorint o O sejuh 9 lm rh erlwnn engn perputrn rh jrum jm. Hsiln ierminkn terhp sumu X, menghsilkn A., mk A..... e.. Jik 9. T lh trnsformsi ng ersesuin engn mtriks ng ersesuin engn mtriks n T lh trnsformsi 4 T o Bngn A( m, n) oleh trnsformsi lh (9,7). Nili m + n sm engn e. 8 T. Agus Suin, S.P

56 Moul Pemeljrn Mtemtik A Semester Agus Suin, S.P