MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL
KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT ang telah melimpahkan rahmatna sehingga kami dapat menelesaikan Modul Mata Kuliah Matematika II ini. Modul ini merupakan bagian dari media bahan ajar ang dimaksudkan untuk meningkatkan pemahaman mahasiswa terhadap materi perkuliahan ang disampaikan khususna mata kuliah Matematika II. Modul ini disusun dalam sembilan bab. Bab I memperkenalkan ungsi dari beberapa peubah. Bab II membahas derivai parsial. Deret Talor dan Mclaurin dibahas pada bab III. Selanjutna nilai ekstrim ungsi dijelaskan pada bab IV. Bab V membahas integral rangkap dan Bab VI mengulas integral rangkap. Pada bab VII dibahas tentang persamaan dierensial dan bab VIII membahas deret tak hingga. Bab terakhir aitu Bab IX membahas tentang transormasi Laplace. Kami menadari bahwa dalam penusunan modul ini masih terdapat banak kekurangan. Oleh karena itu kritik dan saran ang membangun sangat kami harapkan untuk bahan penempurnaan di masa mendatang. Semoga modul ini dapat memberikan manaat kepada siapapun ang berminat untuk memperdalam Matematika II khususna dalam bidang teknik sipil. Hormat kami Penusun
BAB I FUNGSI DARI BEBERAPA PEUBAH. Jenis Fungsi Peubah Fungsi dengan Peubah Merupakan jenis ungsi dengan buah peubah. = + Fungsi tersebut mempunai buah peubah aitu Fungsi dengan Peubah Merupakan jenis ungsi dengan buah peubah. = + Fungsi tersebut mempunai buah peubah aitu dan Fungsi dengan Peubah Merupakan jenis ungsi dengan buah peubah. = + + Fungsi tersebut mempunai buah peubah aitu dan Fungsi dengan Peubah Banak Merupakan jenis ungsi dengan lebih dari peubah sejumlah n-peubah. = + + +... + n Fungsi tersebut mempunai n buah peubah aitu sampai dengan n Catatan: Fungsi ang bisa digambarkan dalam koordinat Cartesian adalah ungsi dengan dan peubah karena hana terdapat sumbu dalam koordinat ruang kartesian. Dalam mata kuliah Matematika II ini hana akan dibahas tentang ungsi peubah.. Domain Fungsi Peubah Tinjaulah ungsi di bawah: a = + b g = /
Domain dari ungsi adalah seluruh titik pada bidang koordinat. Sedangkan domain dari ungsi g adalah semua titik pada kuadran I dan III bidang karena nilai bilangan dalam akar tidak boleh negati agar tidak menghasilkan bilangan imajiner. Nilai ang menghasilkan bilangan akar positi adalah kuadran I + dan + dan III - dan -. Tentukan domain ungsi = 5 Domain dari ungsi tersebut adalah himpunan semua titik ang memenuhi 5 atau + 5. Karena + = 5 adalah persamaan lingkaran maka domain na adalah semua titik ang terletak pada dan didalam lingkaran dengan jari-jari 5.. Graik Fungsi Peubah Gambarkan graik ungsi = 5. Dari subbab sebelumna telah dijelaskan bahwa domain dari ungsi = 5 adalah semua titik ang terletak pada dan didalam lingkaran dengan jari-jari 5. Maka penggambaran graikna adalah: = 5 = + = lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang = = 5 + = 5 lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang = = 5 + = 5 lingkaran dengan jari-jari 5 pada bidang = 5 = + = lingkaran dengan jari-jari 4 pada bidang = 4 5 = 4 + = 9 lingkaran dengan jari-jari pada bidang Nilai dari tidak boleh negati karena hasil dari ruas kanan akan selalu positi.
Soal latihan: Tentukan domain dan gambarkan graik ungsi peubah = 49.
BAB II DERIVATIF PARSIAL. Pengertian Derivati Parsial Bila adalah ungsi dari dan dinotasikan sebagai maka turunan dari ungsi tersebut dinotasikan sebagai = d/d Bila adalah ungsi dari dan variabel maka turunan pertama dari ungsi dapat dicari untuk masing-masing atau keseluruhan dari variabel tersebut. Masing-masing turunan tersebut dinamakan turunan parsial. lim lim Catatan: Jika ungsi diturunkan terhadap maka dianggap konstanta Jika ungsi diturunkan terhadap maka dianggap konstanta 4 4 4 4. Derivati Parsial Tingkat Tinggi Merupakan derivati parsial dengan pangkat lebih dari satu
Tentukan semua turunan parsial orde dari persamaan w = 5 4 4 4 5 5 dan 5 5 w w w w w w Soal latihan: Tentukan semua turunan parsial orde dari persamaan: a w = 5 4 + b w = 7 7 + + c w = e cos d w = cos + sin
BAB III DERET TAYLOR DAN MCLAURIN. Deret Talor Bentuk: a ' a a! '' a a! ''' a a!... n a a n! n Tentukan deret Talor orde dari = ln pada a = dan gunakan untuk memperkirakan nilai ln 9 dan ln 5. Bandingkan hasilna dengan nilai eksak. = ln = / = -/ = = = - Maka = + - ½- = -/ + / ln 9 = -/9 + 9 / = -5 ln 5 = -/5 + 5 / = 75 Hasil eksak: ln 9 = -/9 + 9 / = -54 ln 5 = -/5 + 5 / = 455 Latihan soal: Carilah polinom Talor orde pada = untuk = + + 5 dan perlihatkan bahwa ia mewakili secara eksak.. Deret Mclaurin Deret Mclaurin biasana digunakan untuk menghitung pendekatan ungsi trigonometri ang radianna kecil. Semakin besar nilai radianna maka kesalahanna juga akan semakin besar. Bentuk dari deret Mclaurin ini sama dengan deret Talor namun nilai a =. '! ''! '''!... n n! n
Cari polinom Mclaurin orde 4 untuk e dan cos. Kemudian gunakan hasilna untuk memperkirakan nilai dari e dan cos. = e = e = e = e iv = e = = = = iv = = cos = -sin = -cos = sin iv = cos = = = - = iv = 4 4 4!! cos 4!!!! e e = 4 cos = 987 Nilai eksak: e = 4 cos = 9999 Soal latihan: Carilah polinom Mclaurin orde 4 untuk = /- dan gunakan untuk memperkirakan nilai.. Deret Talor Fungsi Peubah Deret Talor orde untuk ungsi pada titik ab adalah:!! b b a a b a b a b a b a b a b a b a Carilah deret Talor orde pada titik untuk ungsi = +.
9 k Untuk titi Masukkan ke persamaan deret Talor didapatkan hasil = 4 Latihan soal: Carilah deret Talor orde pada titik untuk ungsi = 5 + + 4.
BAB IV NILAI EKSTRIM FUNGSI Nilai ekstrim dapat diketahui dari kurva turunan pertama Dari persamaan diatas dapat diperoleh nilai Sarat cukup adana nilai ekstrim: XY YY XX Harga = maksimum jika < atau < Harga = minimum jika > atau > Selidiki apakah ungsi = 8 + + + 4 8 8 Titik kritis = + = = + 8 = Dengan proses eliminasi dan substitusi dari persamaan di atas didapatkan nilai titik kritis = Sarat adana ekstrim: ekstrim minimum 8 XY YY XX Nilai minimum :
= 8 + + + 4 = 8 + + + = 8 Soal latihan: Tentukan titik ekstrim macam dan harga ekstrim dari ungsi = - + /4
BAB V INTEGRAL RANGKAP Pandang ungsi = kontinu dalam daerah tertutup D pada bidang o dimana daerah D dibatasi oleh: Kurva = dan kurva = g dimana < g Garis lurus = a AC dan garis lurus = b BD dimana a < b D =g = =a =b Maka untuk mencari luasan daerah D adalah: D dd b a g dd Untuk menelesaikan integral di atas diintegrasikan terlebih dahulu terhadap dengan memandang konstan lalu kemudian hasilna diintegrasikan terhadap dari a ke b. Batas integral ang berupa persamaan harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menelesaikan batas integral ang berupa angka. Persamaan tersebut disebut dengan integral lipat. Selesaikan integral lipat berikut dd
d d d d dd Soal latihan: Selesaikan integral lipat berikut.. dd. dd 5. Perhitungan Luas Daerah dengan Integral Lipat Hitung besarna luasan daerah ang dibatasi oleh integral lipat dua dd /. D = = =/ =
/ dd / d d d / d 7 Latihan soal: Hitung besarna luasan daerah ang dibatasi oleh integral lipat dua dd. 5. Pembalikan Urutan Pengintegralan Batas integral lipat dua bisa dibalik dan akan tetap menghasilkan besar luasan ang sama. Jika pada awal persamaan batas arah sumbu berupa persamaan dan batas arah sumbu berupa angka ang berarti integral arah harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menelesaikan integral arah maka urutan pengintegralan dapat dirubah dengan batas sumbu berupa persamaan dan batas arah sumbu berupa angka ang berarti integral arah harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menelesaikan integral arah. Keduana akan menghasilkan nilai luasan ang sama. Balik urutan pengintegralan dan hitung besarna luasan daerah ang dibatasi oleh integral lipat dua / dd. =/ = = =/ I II III =
/ dd Latihan soal: / d d / / d / / d d d / / d d / d d / d / d / 4 7 Balik urutan pengintegralan dan hitung besarna luasan daerah ang dibatasi oleh integral lipat dua dd. 5. Integral Lipat dalam Koordinat Polar Integral lipat dua dalam koordinat cartesian bisa dirubah menjadi integral dalam koordinat polar dengan melakukan transer batas integral ang dalam koordinat cartesian menjadi batas koordinat polar. Hubungan ang berlaku adalah : = r cos φ = r sin φ Jika suatu daerah integrasi S dibatasi oleh φ = α dan φ = β α <β dan lengkungan r = r φ dan r = r φ dimana r φ < r φ maka bentuk integral lipat dua na adalah: S r rdrd r r r r r rdrd Untuk menelesaikan integral arah φ maka r dianggap konstan dan sebalikna. Jika batas integral tidak ada ang berupa persamaan maka penelesaian dapat dilakukan dari batas mana saja namun bila salah satu batas integral berupa persamaan maka batas tersebut harus diselesaikan terlebih dahulu sebelum menelesaikan batas integral dalam bentuk angka. Dengan merubah ke koordinat polar hitung lingkaran dengan jari-jari dan titik pusat B dd dimana B adalah suatu
= r cos φ dan = r sin φ sin cos sin cos r r r r Batas: α = dan β = π r = dan r = r - du/ -r dr dan dr du maka r Misal;- U d rdr r dd B - / d U d r du r U d Latihan soal: Rubah ke dalam koordinat polar dan hitung dd a a
5.4 Perhitungan Luas Daerah dengan Integral Lipat Koordinat Polar Hitung besarna luasan daerah ang dibatasi oleh persamaan garis r cos φ = dan lingkaran r = dengan pusat. ᵒ α = dan β = π/ r = /cos φ dan r = L / / / cos d rdr d / cos rdr / d r / 4 sec d / cos Latihan soal: Dengan menggunakan koordinat polar hitung luasan ang dibatasi oleh + = + = 4 = dan =. 5.5 Titik Berat Bidang Homogen Koordinat titik berat dari daerah D dengan luas L = dd memenuhi hubungan sebagai berikut: D
L M dimana M = dd D L M Sehingga D dan dd D dd dimana M = D D D dd dd dd Cari koordinat titik berat dari daerah ang dibatasi oleh = dan =. - L 4 d d d 8 d / M 8 d d 4 d d /
M d d d 4 4 d 47 D D D D dd dd dd dd / / 47 8 / Latihan soal: Cari koordinat titik berat dari daerah ang dibatasi oleh = - dan garis =. 5. Momen Inersia Bidang Datar Homogen Momen inersia daerah D terhadap sumbu : I = dd D Momen inersia daerah D terhadap sumbu : I = dd D Momen inersia terhadap titik I = D dd = I + I Cari momen inersia I dan I dari daerah ang dibatasi oleh garis = dan =.
= = Batas: = dan = = dan = I d d d d / 8 I d d 4 d d / Catatan: Urutan batas integral bisa dirubah menjadi persamaan = dan akan menghasilkan nilai momen inersia ang sama Latihan soal: Cari momen inersia I I dan I dari daerah ang dibatasi oleh garis = = dan =.
BAB VI INTEGRAL RANGKAP R dv merupakan bentuk integral rangkap tiga aitu suatu ungsi ang terdiri dari variabel bebas dalam daerah tertutup R ang terdiri dari titik-titik dimana ungsina bernilai tunggal dan kontinu. Tunggal artina hana mempunai buah penelesaian dan kontinu artina merupakan perluasan dari gagasan integral tunggal dan rangkap. Bentuk integral rangkap untuk perhitungan volume dalam koordinat kartesian adalah: dv b a Batas integral ang berupa persamaan dengan variabel terbanak diselesaikan terlebih dahulu baru kemudian menelesaikan batas integral dengan variabel ang lebih sedikit dan terakhir menelesaikan integral dengan batas angka. Selesaikan persamaan integral lipat tiga ddd 75 5 5 5 5 d d dd dd dd d ddd Latihan soal: Selesaikan persamaan integral lipat tiga ddd 4
. Volume Benda Volume benda dapat dihitung menggunakan integral lipat tiga sebagai berikut. Volume benda dalam koordinat cartesius = ddd R Volume benda dalam koordinat tabung = R rdrd d Volume benda dalam koordinat bola= r sin drdd R Cari volume benda ang dibatasi oleh tabung + = 4 bidang o garis = dan bidang o ang terletak pada oktan pertama. 4 Misal: U ddd 4 - - - 4 du 4 4 4 U / ddd U du du d d / d du d d d 4 / 8 / Latihan soal: Cari volume dari daerah V ang dibatasi oleh tabung parabolis = 4 dan bidang-bidang = = = =.
. Koordinat Titik Berat Benda Koordinat titik berat benda dapat dinatakan dalam integral lipat tiga sebagai berikut: M M dv dv M M dv dv M M dv dv
BAB VII PERSAMAAN DIFERENSIAL 7. Persamaan Dierensial Orde Penelesaian persamaan dierensial orde dapat dilakukan menggunakan metode: Integral langsung Pemisahan variabel Substitusi =v Menggunakan aktor integral dll Metode Integral Langsung d Selesaikan persamaan dierensial 5 d d d Latihan soal: 5 d 5d 5d 5 c d Selesaikan persamaan dierensial 5 4 d Metode Pemisahan Variabel Selesaikan persamaan dierensial d d Latihan soal: d d d d d c d d d
Selesaikan persamaan dierensial d d Metode Substitusi =v Digunakan bila persamaan dierensial tidak bisa diselesaikan menggunakan metode integrasi langsung dan pemisahan variabel. Substitusikan =v dengan v merupakan ungsi dari kemudian dierensiasikan terhadap. Selesaikan persamaan dierensial ln v v ln ln A A v v A d d d d dv v v d d d v v d d dv v dv v v v d d dv d dv d v v ln v ln c dv d v Latihan soal: Selesaikan persamaan dierensial d d Metode Faktor Integral
Digunakan untuk menelesaikan bentuk persamaan d P Q dimana P dan Q adalah d ungsi dari atau konstanta. Untuk menelesaikan bentuk persamaan tersebut kalikan kedua ruasna dengan aktor integrasi ang bentukna adalah Pd e. Selesaikan persamaan dierensial d d 5 e P 5 dan Q e d 5 e d d 5 5 d 5 5 5 e e e e 5 e e d d d 5 7 5 7 e e e d e d d 5 7 5 7 e d e d e e c e 7 7 Pd 5 sehingga aktor integrasinaadalah e ce 5 5 Latihan soal: Selesaikan persamaan dierensial d e 4 d 7. Persamaan Dierensial Orde d d Bentuk a b c d d Penelesaian dari persamaan integral dengan bentuk di atas tergantung pada bentuk akar persamaan karakteristikna. Kedua akar riil dan berbeda =Ae m + Be m d d Selesaikan persamaan dierensial 5 d d
d d 5 m 5m d d m m Ae Be m dan m Kedua akar riil dan sama =e m A+ B d d Selesaikan persamaan dierensial 9 d d d d 9 m m 9 d d m m e A B m dan m Kedua akarna kompleks m = a j = e a Acos β + Bsin β d Selesaikan persamaan dierensial 7 d d 7 d a = b = c = 7 m b b 4ac a j a = β = 7 =e a Acos β + Bsin β = Acos 7 + Bsin 7 7 Latihan soal:
d d Selesaikan persamaan dierensial 4 d d d d Bentuk a b c d d Penelesaian dari bentuk persamaan dierensial di atas terdiri dari penelesaian ungsi komplementer dan integral khusus. Penelesaian ungsi komplementer aitu dengan menganggap ruas kanan sama d d dengan nol sehingga penelesaianna sama dengan bentuk a b c d d aitu sesuai dengan bentuk akar persamaan karakteristikna Penelesaian integral khusus aitu menggunakan bentuk umum dari ruas kanan. = C + D + E = Ce a = C cos a + D sin a Sehingga penelesaian totalna = ungsi komplementer + integral khusus. Ruas kanan berupa ungsi polinom berderajat Selesaikan persamaan dierensial d d d d d d d d Penelesaian ungsi komplementer: Ruas kiri:m m = m-m+5 = m = dan m = -5 = Ae + Be -5 Penelesaian integral khusus: Bentuk ruas kanan adalah ungsi polinom berderajat = C + D + E d/d = C + D
d /d = C C - C+D C + D + E = C C D C D E = C + -C D + C D E = -C = C = -/ -C D = D = /45 C D E = E = -/5 Sehingga penelesaian totalna adalah: = Ae + Be -5 / + /45 /5 Soal latihan: Selesaikan persamaan dierensial d d d d. Ruas kanan berupa ungsi eksponensial Selesaikan persamaan dierensial d d 5 4 49 4e d d d d 5 4 49 4e d d Penelesaian ungsi komplementer: Ruas kiri:m + 4m + 49 = m+7m+7 = m = -7 = e -7 A+ B Penelesaian integral khusus: Bentuk ruas kanan adalah ungsi eksponensial = Ce 5 d/d = 5Ce 5 d /d = 5Ce 5 [5 Ce 5 + 7 Ce 5 + 49 Ce 5 = 4 e 5 ] /e 5 5C + 7C + 49C = 4 44C = 4 C = /
= e 5 / Sehingga penelesaian totalna adalah: = e -7 A+ B + e 5 /. Ruas kanan berupa ungsi trigonometri Selesaikan persamaan dierensial d d sin d d d d sin d d Penelesaian ungsi komplementer: Ruas kiri:m + m + = m j = a = - dan β = = e - A cos + B sin Penelesaian integral khusus: Bentuk ruas kanan adalah ungsi trigonometri = C cos + D sin d/d = -C sin + D cos d /d = -4C cos 4D sin Substitusi: -4C cos 4D sin + -C sin + D cos + C cos + D sin = sin C + D cos + D C sin = sin C + D =...a D C =...b Substitusi persamaan a dan b menghasilkan C = -/5 dan D = /5 = /5 sin cos Sehingga penelesaian totalna adalah: = e - A cos + B sin + /5 sin cos
BAB VIII DERET TAK HINGGA Deinisi: Jumlah suku dari barisan tak hingga ang dinatakan dengan: s s s s... n s n Dimana setiap deret dihubungkan dengan jumlah bagian dari barisan. S S S S s s s s s s s s s... n s n Jika lim s n = s hingga maka disebut deret konvergen dan s adalah jumlahna Jika lim s n tidak ada maka disebut deret divergen atau jika s n semakin besar atau kecil n tanpa mendekati suatu limit Buktikan jika a > maka Pilih M > misal a = + b a n Jika lim an = ~ n n n n b nb b... nb M! M n m maka secara ringkas terdapat bilangan bulat positi terbesar m dalam b maka barisan ini divergen M b Latihan soal: Selidiki kekonvergenan deret berikut:... 4 8
BAB IX TRANSFORMASI LAPLACE Transormasi Laplace adalah suatu metode operasional ang dapat digunakan secara mudah untuk menelesaikan persamaan dierensial linier. Dengan menggunakan transormasi Laplace dapat diubah beberapa ungsi umum seperti ungsi sinusoida ungsi sinusoida teredam dan ungsi eksponensial menjadi ungsi-ungsi aljabar variabel kompleks s. Bila persamaan aljabar dalam _ dipecahkan maka penelesaian dari persamaan dierensial transormasi Laplace balik dari variabel tidak bebas dapat diperoleh dengan menggunakan tabel transormasi Laplace. Suatu kelebihan metode transormasi Lapalace adalah bahwa metode ini memungkinkan penggunaan teknik grais untuk meramal kinerja sistem tanpa menelesaikan persamaan dierensial sistem. Kelebihan lain metode transormasi Laplace adalah diperolehna secara serentak baik komponen transien maupun komponen keadaan tunak. Secara sederhana prosedur dasar pemecahan menggunakan metode transormasi Laplace adalah: Persamaan dierensial ang berada dalam kawasan waktu t ditransormasikan ke kawasan rekuensi s dengan transormasi Laplace. Untuk mempermudah proses transormasi dapat digunakan tabel transormasi laplace. Persamaan ang diperoleh dalam kawasan s tersebut adalah persamaan aljabar dari variabel s ang merupakan operator Laplace. Penelesaian ang diperoleh kemudian ditransormasi-balikkan ke dalam kawasan waktu. Hasil transormasi balik ini menghasilkan penelesaian persamaan dalam kawasan waktu. Secara umum Transormasi Laplace digunakan mentransormasikan sinal atau sistem dari kawasan waktu ke kawasan-s. L t F s t e Fungsi Fs adalah transormasi Laplace dari t ang adalah suatu rekuensi s s = s+ jw L disebut operator Laplace st dt
Tentukan transormasi Laplace dari ungsi t = e -at. Latihan soal: Hitunglah transormasi Laplace dari t = At