BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI

Transkripsi

1 BAB II FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI. Funsi. Graik Funsi. Barisan dan Deret.4 Irisan Kerucut. Funsi Dalam berbaai aplikasi, korespondensi/hubunan antara dua himpunan serin terjadi. Sebaai contoh, volume bola denan jari-jari r diberikan oleh relasi V 4 π r. Contoh an lain, tempat kedudukan titik-titik, an jarakna satuan dari titik pankal O adalah +. Ada hal pentin an bisa dipetik dari contoh di atas. Misalkan X menatakan himpunan semua absis lebih dari atau sama denan dan kuran dari atau sama denan, sedankan Y himpunan ordinat lebih dari atau sama denan dan kuran dari atau sama denan. Maka elemen-elemen pada X berkorespondensi denan satu atau lebih elemen pada Y. Selanjutna, korespondensi + disebut relasi dari X ke Y. Secara umum, apabila A dan B masin-masin himpunan an tidak koson maka relasi dari A ke B dideinisikan sebaai himpunan tak koson R A B. A a a a B b b b b 4 Gambar.. Relasi dari himpunan A ke B

2 Jika R adalah relasi dari A ke B dan A berelasi R denan B maka ditulis: a, b R atau arb atau b R a Apabila diperhatikan secara seksama, ternata dua contoh di atas mempunai perbedaan an mendasar. Pada contoh an pertama setiap r > 0 menentukan tepat satu V > 0. Sementara pada contoh an ke dua, setiap [,] berelasi denan beberapa dalam hal ini dua nilai [,] an berbeda. Relasi seperti pada contoh pertama disebut unsi. Deinisi.. Diketahui R relasi dari A ke B. Apabila setiap A berelasi R denan tepat satu B maka R disebut unsi dari A ke B. Jadi, relasi R dari A ke B disebut unsi jika untuk setiap A terdapat tepat satu B sehina b Ra. Sebaai contoh, misalkan X {,} dan Y {,6}. Himpunan {,,,} merupakan unsi dari X ke Y, karena setiap anota X berelasi denan tepat satu anota Y. Demikian pula, himpunan {,6,,} merupakan unsi dari X ke Y. Sementara himpunan {,,,6,, } bukan merupakan unsi dari X ke Y, karena ada anota X, aitu, an menentukan lebih dari satu nilai di Y. Funsi dinatakan denan huru-huru:,, h, F, H, dst. Selanjutna, apabila merupakan unsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan: : A B Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah deinisi atau daerah asal, sedankan himpunan B dinamakan kodomain atau daerah kawan unsi. Domain unsi ditulis denan notasi D, dan apabila tidak disebutkan maka disepakati bahwa domain unsi adalah himpunan terbesar di dalam R sehina terdeinisikan atau ada. Jadi: D { R : ada terdeinisikan} Himpunan semua anota B an mempunai kawan di A dinamakan rane atau daerah hasil unsi, ditulis R atau Im Perhatikan Gambar... 4

3 A B R Gambar.. Jika pada unsi : A B, sebaran elemen A mempunai kawan B, maka dikatakan merupakan baanan oleh atau merupakan nilai unsi di dan ditulis. A B Gambar.. unsi dari himpunan A ke B. Selanjutna, dan masin-masin dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas. Sedankan disebut rumus unsi. Contoh.. Tentukan domainna. a. b. c. + ln Penelesaian: a. Suatu hasil bai akan memiliki arti apabila penebut tidak nol. Oleh karena itu, D R : terdeinisikan R + { R : + 0} { } b. Karena akar suatu bilanan ada hana apabila bilanan tersebut tak neati, maka: 5

4 D R : ada R : 0 { R : < 0 atau > },0],. c. Suatu jumlahan memiliki arti apabila masin-masin sukuna terdeinsikan. Sehina: D R R : + ln + 5 : ada ada dan ln 6 ada { R : dan 6 > 0} { R : 5 dan < atau > } { R : 5 dan < } atau { R : 5 dan > }, 5 5,,. Contoh.. Jika +, maka tentukan: a. b. + c. d. + Penelesaian: a.. +. b c d Funsi Surjekti, Funsi Injekti, dan Funsi Bijekti Berikut diberikan beberapa unsi an memenuhi sarat-sarat tertentu. Diberikan unsi : A B. i. Apabila setiap anota himpunan B mempunai kawan anota himpunan A, maka disebut unsi surjekti atau unsi pada onto unction. 6

5 A a a a a 4 B b b b Gambar..4 unsi surjekti dari himpunan A ke himpunan B ii. Apabila setiap anota himpunan B mempunai an kawan di A, kawanna tunal, maka disebut unsi injekti atau unsi - into unction. A a a a B b b b b 4 b 5 Gambar..5 Funsi injekti dari A ke B iii. Jika setiap anota himpunan B mempunai tepat satu kawan di A maka disebut unsi bijekti atau korespodensi -. Mudah dipahami bahwa korespondensi - adalah unsi surjekti sekalius injekti. A B a a a a 4 b b b b 4 Gambar..6 Korespondensi. 7

6 .. Operasi Pada Funsi Diberikan skalar real α dan unsi-unsi dan. Jumlahan +, selisih, hasil kali skalar α, hasil kali., dan hasil bai masin-masin dideinisikan sebaai berikut: + + α α.., asalkan 0 D Domain masin-masin unsi di atas adalah irisan domain dan domain, kecuali untuk { D D : 0}., Contoh..4 Jika dan masin-masin: maka tentukan: Penelesaian: + 5 +,,., dan beserta domainna Karena D [, dan D R { 5}, maka +,,., dan masin-masin mempunai domain: [,... Funsi Invers Diberikan unsi : X Y. Kebalikan invers unsi adalah relasi dari Y ke X. Pada umumna, invers suatu unsi belum tentu merupakan unsi. Sebaai contoh, perhatikan Gambar..7 di bawah ini. 8

7 A B Gambar..7 Apabila : X Y merupakan korespondensi, maka mudah ditunjukkan bahwa invers jua merupakan unsi. Funsi ini disebut unsi invers, ditulis denan notasi. Perhatikan Gambar..8 berikut. X Y Gambar..8 Jadi: denan D R dan R D Contoh..5 Tentukan jika diketahui. + 9

8 0 Penelesaian: Jadi,. Contoh..6 Tentukan inversna jika diketahui: > + < 0 jika 0 jika 0 jika Penelesaian: i. Untuk 0 <, 0 >. Sehina: 0 > ii. Untuk 0, 0. Sehina, diperoleh: 0. iii.untuk 0 >, 0 + < + atau: < Selanjutna, dari i, ii, dan iii diperoleh:

9 jika > 0 0 jika. jika <..4 Funsi Komposisi Perhatikan unsi +. Apabila dideinisikan u u dan u + maka denan substitusi diperoleh u +, aitu rumus unsi an pertama disebutkan. Proses demikian ini disebut komposisi. Secara umum dapat diterankan sebaai berikut. Diketahui dan sebaran dua unsi. Ambil sebaran D. Apabila D maka dapat dikerjakan pada dan diperoleh unsi baru h. Ini disebut unsi komposisi dari dan, ditulis. Deinisi..7 Funsi komposisi dari dan, ditulis, dideinisikan sebaai:, denan domain D { D : D }. z Gambar..9 Funsi komposisi

10 Contoh..7 Jika dan maka tentukan unsi-unsi berikut beserta domainna. a. b. c. d. Penelesaian: a., denan domain R D. b., denan domain R D. c. 4, denan domain R D. d., denan domain R D. Contoh..8 Jika dan maka tentukan unsi-unsi berikut ini beserta domainna. a. b. Penelesaian: a. 4 4, denan domain: { } { } { } : 0 : : : D D D R R R. b., denan domain: { } { } : : R D D D. Contoh..9 Tentukan jika diketahui: < + 0 jika 0 jika > jika jika

11 Penelesaian: + i. Untuk >, + > > 0. Sehina: + + ii.untuk,.. Karena, maka dapat dibedakan menjadi 0 dan < 0. Selanjutna, a. 0 apabila 0 atau. Hal ini berakibat, untuk, + + b. < 0 apabila < 0 atau <. Jadi, untuk < diperoleh: Dari i dan ii, diperoleh: + jika > jika jika <. Graik Funsi Diberikan unsi. Himpunan {, :, } D disebut raik unsi... Graik Funsi Dalam Sistem Koordinat Kartesius Dalam sistem koordinat kartesius unsi dapat dibai menjadi: a. Funsi Aljabar b. Funsi Transenden Funsi disebut unsi aljabar jika dapat dinatakan sebaai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bai, pankat, ataupun akar unsi-unsi suku banak. Sebaai contoh, unsi denan rumus:

12 + + merupakan unsi aljabar. Funsi an bukan unsi aljabar disebut unsi transenden. Beberapa contoh unsi transenden adalah unsi trionometri, unsi loaritma, dsb. Funsi Aljabar Funsi Aljabar meliputi :. Funsi rasional : a. Funsi bulat unsi suku banak b. Funsi pecah.. Funsi irasional. Funsi Suku Banak Funsi suku banak berderajat n mempunai persamaan P n a 0 + a a n n denan n bilanan bulat tak neati, a,..., a n bilanan-bilanan real dan a n 0. a. Funsi konstan: c. Graik unsi ini berupa aris lurus sejajar sumbu X. Y a 0 a 0 0 X Gambar.. 4

13 b. Funsi linear: m + n Graik unsi ini berupa aris lurus denan radien m dan melalui titik 0, n. + 0 Gambar.. c. Funsi kuadrat: a + b + c, a 0. Graik unsi kuadrat berupa parabola. Diskriminan: kuadrat ini dapat diambarkan sebaai berikut: D b 4ac. Secara umum, raik unsi 5

14 D>0 a>0 D>0 a<0 a b D0 a<0 D0 a>0 c d D<0 a<0 D<0 a>0 e Gambar.. Perhatikan pula ambar berikut ini. 6

15 Y ¼ X 4 4 Gambar..4 0 d. Funsi kubik: a + a + a + a, a 0. Y X Gambar..5 7

16 Funsi Pecah Funsi an dapat dinatakan sebaai hasil bai dua unsi suku banak n a0 + a an m b0 + b bm disebut unsi pecah. Graik beberapa unsi pecah sederhana, seperti: dan diperlihatkan dalam ambar berikut. / Gambar..6 Funsi Irasional Beberapa contoh unsi irasional beserta raikna diperlihatkan pada ambar berikut ini. 8

17 a a a a a a a a a b c Gambar..7 Funsi Transenden Funsi transenden meliputi: Funsi Trionometri, Funsi Siklometri, Funsi Eksponen, dan Funsi Loaritma. a. Funsi trionometri Ditinjau titik sebaran P, pada bidan koordinat seperti terlihat dalam ambar berikut ini. 9

18 P, r Q Gambar..8 Apabila r menatakan jarak titik P ke O dan θ menatakan besar sudut antara OP denan sumbu X arah berlawanan denan jarum jam, maka berturut-turut dideinisikan sebaai berikut: sin θ /r tan θ / sec θ r/ cos θ /r cot θ / csc θ r/ Dari deinisi mudah ditunjukkan hubunan-hubunan berikut: tan θ sinθ cosθ, cosθ cosθ sinθ sec θ cosθ, cscθ sinθ dan: sin θ + cos θ + tan θ sec θ + cos θ csc θ Berbeda halna denan eometri an biasana besar sudut diukur dalam derajat, maka dalam kalkulus besar sudut dinatakan dalam radian. Besar sudut satu radian sama denan besar sudut pusat jurin linkaran OPQ an panjan busurna sama denan jari-jari linkaran perhatikan Gambar

19 Q r O r P Gambar..9 Besar sudut POQ radian Oleh karena itu, π radian 60 o atau 80 radian derajat. π Selanjutna, dapat dibentuk unsi-unsi trionometri. Beberapa raik unsi trionometri dapat diambarkan sebaai berikut lihat Gambar..0 dan Gambar..: Gambar..0 a Graik sin Gambar..0 b Graik cos Untuk π π, raik sin dan cos berpotonan di π/4 dan 5π/4. 4

20 Gambar.. a Graik tan Gambar.. b Graik cot Gambar.. c Graik sec Gambar.. d Graik csc b. Funsi Siklometri Untuk domain tertentu invers unsi trionometri jua merupakan unsi. Invers unsi trionometri dikenal denan nama unsi siklometri. Invers unsi sinus ditulis denan sin atau arcsin dan dideinisikan sebaai berikut: 4