BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)

Transkripsi

1 BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan diferensialna. Dalam bab ini persamaan diferensial ang diberikan dibatasi pada persamaan diferensial tingkat satu khususna sampai pada persamaan diferensial eksak. TIK : Setelah mengikuti pokok bahasan ini, mahasiswa diharapkan dapat menelesaikan persamaan diferensial ang diberikan. 8.. Pengertian Persamaan Diferensial Secara matematis, ersamaan diferensial (PD) adalah persamaan ang memuat hasil bagi diferensial atau didalamna terdapat turunan-turunan. Secara fisis, persamaan diferensial adalah persamaan ang menatakan hubungan antara turunan (derivatif) dari satu variabel tak bebas terhadap satu/lebih variabel bebas. Banak permasalahan dalam berbagai bidang teknik, fisika maupun bidang bidang kehaatan ang dapat dimodelkan ke dalam bentuk persamaan diferensial. Berikut diberikan beberapa contoh fenomena di alam ang dapat dimodelkan dalam bentuk persamaan diferensial. Fenomena Persamaan Diferensial Peluruhan zat radioaktif Hukum Newton tentang gerak Model logistik menurut Verhulst Laju perubahan tekanan uap suatu zat Model aunan (bandul) sederhana dm km, dengan m = massa zat, t = waktu, dan k adalah dt konstanta pembanding d s F m, dengan F gaa, m massa benda, dt s jarak, dan t = waktu. dp a bpp, dengan P besar populasi, t waktu, dt dan a, b konstanta. dp P k, dengan P tekanan uap dan T suhu. dt T d g sin 0, dengan sudut perpindahan bandul, dt l g konstanta gravitasi, dan l panjang tali bandul Berdasarkan banakna variabel bebas, persamaan diferensial dapat dibedakan menjadi dua macam, aitu:. Persamaan Diferensial Biasa, aitu persamaan diferensial ang mengandung hana satu variabel bebas d Contoh :. k d. sin 50

2 .. Persamaan diferensial parsial, aitu persamaan diferensial ang mengandung lebih dari satu variabel bebas. Contoh :. z z z. z 0. Beberapa istilah penting dalam PD : Tingkat (Orde) suatu PD adalah tingkat turunan tertinggi ang muncul dalam PD tersebut. Derajat (degree) suatu PD adalah pangkat dari turunan orde tertinggi jika PD tersebut ditulis sebagai polinomial dalam turunan. Contoh : d. k PD tingkat derajat d. sin PD tingkat derajat. ( ) PD tingkat derajat 4. PD tingkat derajat Suatu persamaan ang tidak lagi memuat turunan dan memenuhi suatu persamaan diferensial disebut penelesaian atau selesaian persamaan diferensial. Contoh : Persamaan C merupakan selesaian dari PD: sebab dan sehingga ( ). Penelesaian suatu persamaan diferensial dibedakan menjadi aitu : a. Penelesaian Umum Persamaan Diferensial (PUPD) adalah selesaian PD ang masih memuat konstanta penting (konstanta sebarang). b. Penelesaian Partikulir/Khusus Persamaan Diferensial (PPPD/PKPD) adalah selesaian PD ang diperoleh dari PUPD dengan mengganti konstanta penting dengan konstanta ang memenuhi sarat awal atau sarat batas ang diberikan. Contoh : d d d PD 0 ditulis 0 d d d Jika kedua ruas diintegralkan, diperoleh d sehingga d 0d. d d d d 0 d sehingga d C. d Persamaan terakhir diubah bentuk menjadi d Cd. Dengan mengintegralkan kembali kedua ruas diperoleh PUPD : C C, dengan C dan C konstanta sebarang. Jika diberikan sarat awal dan sarat batas pada PD tersebut misalna untuk 0 dan 4 untuk, maka diperoleh C = dan C =, sehingga PPPD : = +. 5

3 Jenis PD ang akan dibahas di sini adalah PD tingkat satu derajat satu ang meliputi PD terpisah, PD tak terpisah tetapi dapat dipisahkan, PD homogen, serta PD eksak. 8.. PD Terpisah : Bentuk umum : f() d + g() d = 0. Cara menelesaikan adalah dengan mengintegralkan kedua ruas terhadap variabel ang muncul dalam diferensialna masing-masing. Contoh: Selesaikan PD. d + (+)d = 0. e e d + 0 e d Penelesaian :. d + (+)d = 0 d ( )d 0d ( ) C atau ( ) C. e e d + 0 e d e d d e + e e d( e ) C e e + ln (e + ) = C 0d 8.. PD ang Dapat Dipisahkan Bentuk umum : f ( ).g( )d p( ).q( ) d 0 PD di atas bukan PD terpisah, tetapi dapat dipisahkan dengan cara membagi kedua ruas persamaan dengan g ( ).p( ) sehingga diperoleh PD terpisah. Contoh : Selesaikan :. ( )d ( ) d 0. 4 d d d Penelesaian :. ( )d ( ) d 0 d d 0 d d 0 5

4 ( )( ) ( )( ) d d 0 [ ]d [ ] d 0 [ ]d 0 [ ] d ( ) ln ( ) ln C. 4 d d d ( 4 )d d 0 ( 4 )d d 0 d d 0 ( 4 ) A B ( 4 ) 4 A(4 ) + B = = 0 4A = A = 4 = 4 4B = B = 4 A B ( 4 ) 4 d d 0 ( 4 ) ln + 4 d = d 4 = C ln + 4 ln 4 ln 4 = C 8.5. PD Homogen PD: M(,) d + N(,) d = 0 disebut PD homogen, jika M(,) dan N(,) masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat sama. f(,) disebut fungsi homogen derajat n, jika f(, ) = n f(,) Contoh: Tentukan apakah fungsi di bawah ini homogen.. f(,) = 4. f(,) = + sin cos Penelesaian. f(,) = 4 5

5 f(,) = () 4 () () = = = 4 ( 4 - ) Jadi f(,) merupakan fungsi homogen derajat 4.. Sebagai latihan Penelesaian PD homogen adalah dengan substitusi : = v, sehingga akan menjadi PD terpisah dalam variabel v dan. Contoh : Selesaikan PD ( + ) d + d = 0 Penelesaian : ( + ) d d = 0 M(,) = +, N(,) = masing-masing merupakan fungsi homogen berderajat, jadi PD di atas merupakan PD homogen. Substitusi = v d = v.d +.dv, maka PD menjadi ( + v ) d + v (v d + dv) = 0 ( + v ) d + v d + 4 v dv = 0 ( + v ) d + v d + v dv = 0 ( + 4v ) d + v dv = 0 Kedua ruas dibagi dengan ( + 4v ). sehingga menjadi d v 4v d 4 dv 0 d( 4v ln ln 4v ln( 4v 4 ) C ) C ln[ 4( ) ] C PD Eksak M N PD berbentuk M(,) d + N(,) d = 0 disebut PD Eksak, jika. Penelesaian PD eksak: Misalkan penelesaianna berbentuk : F(,) = C (C=konstanta) Jika diambil turunan totalna, maka F F df = d + d = 0 F F Berdasarkan bentuk umum PD eksak, maka diperoleh M = dan N =. F Misalkan d = M d 54

6 F(,) = Md + (), dengan () adalah fungsi sebarang ang akan dicari dengan cara menamakan turunan F(,) terhadap dengan N(,), aitu F Contoh : = ( Md ) + () = N(,) Carilah SUPD dari PD :. (4 ) d + ( 4 ) d = 0. ( + ) d + ( + ) d = 0 Penelesaian :. (4 ) d + ( 4 ) d = 0 M(,) = 4 M N(,) = 4 N Karena PD di atas adalah PD eksak. Penelesaian berbentuk F(,) = C Misalkan F = M(,) = 4 4 F(,) = ( 4 ) d ( ) 4 F N(,) = 4 ' ( ) F = N(,), maka diperoleh () = 0, sehingga () = C. 4 Jadi penelesaianna adalah C C atau 4 C dengan C = C -C.. ( + ) d + ( + ) d = 0 M(,) = M + N N(,) = + PD di atas adalah PD eksak. Penelesaian berbentuk F(,) = C F Misalkan = N(,) = + F(,) = ( )d ( ) 55

7 Karena F ' ( ), sedangkan M(,) = + F = M(,), maka diperoleh () =, sehingga () = Jadi penelesaianna PD eksak di atas adalah = C. Soal Latihan Untuk soal no. -6, selesaikan PD di bawah ini. d 4 d ( ). ( + ) d d = 0. ( + ) d + ( + ) d = 0 4. ( + e ) d + e ( ) d = 0 5. ( e + 4 ) d + ( e 6. ( + + ) d + d = 0 )d = 0 7. Diketahui banakna obat berkurang dengan laju tetap. Jika banakna obat semula adalah 00 ml dan setelah 4 jam obat ang tersisa 90 ml, maka tentukan saat obat habis terserap (untuk kasus ini kinetika obat dikatakan mengikuti reaksi orde ke nol). 8. Diketahui banakna obat berkurang dengan laju sebanding dengan banakna obat ang tersisa. Jika banakna obat semula adalah 00 ml dan diketahui waktu paruh obat adalah 4 jam, tentukan: a. waktu obat tinggal 0 ml b. pernahkah obat habis terserap? 56

8 57