3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi"

Harjanti Pranata
6 tahun lalu
Tontonan:

1 . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina, semakin rumit pula masalah ang dihadapi. Untuk itu berikut ini diberikan suatu rangkaian rumus-rumus menghitung it di suatu titik dengan cara sederhana. Kita mulai dengan teorema berikut: (bukti teorema diserahkan kepada pembaca). Teorema.. (Ketunggalan it fungsi) Jika f ( ) L dan f ( ) M maka L = M a a Teorema.. (i) Jika m dan n konstanta, maka ( m n) ma n (ii) Teorema akibat: a a a a (iii) Teorema akibat, jika m suatu konstanta maka m m (iv) a a (v) a, a a (vi), a a a Teorema.. (Operasi pada it fungsi) Misalkan f dan g adalah fungsi-fungsi ang terdefinisi pada selang buka I ang memuat a kecuali mungkin pada a sendiri dan misalkan it f dan g di a ada, jika f ( ) M dan g( ) N, maka: a (i) (ii) a ( f ( ) g( )) a a ( f ( ) g( )) a a a f ( ) g( ) M N a f ( ) g( ) M N a (iii) ( f ( ) g( )) f ( ) g( ) MN a a a f ( ) f ( ) a M (iv), asalkan g( ) a g( ) g( ) N a (v) a n n f ( ) n f ( ) M, dengan n bilangan positif dan f ( ) > a a a (vi) Teorema akibat ( kf ( )) k f ( ) km k = konstanta. a a Teorema.. Misalkan P n () dan P m () adalah polinom-polinom (suku banak) dengan: P n () = c n n + c n- n- + c n- n- + + c + c dan P m () = c m m + c m- m- + c m- m- + + c + c c n, c n-, c n-, c dan c m, c m-, c m-, c adalah konstanta ang merupakan kosefisien-koefisien polinom, maka

2 Limit Fungsi dan Kontinuitas (i) P ( ) P ( a) a n n ; a Pn ( ) Pn ( a) (ii) ; Pm ( a) a P ( ) P ( a) m m Teorema : Limit nilai mutlak fungsi : jika suatu fungsi mempunai it disuatu titik, maka nilai mutlak fungsina mempunai it dititik itu, tetapi kebalikanna tidak berlaku. Sifat-sifat : jika f ( ) L maka f ( ) L a Contoh 6: Hitung it fungsi berikut:.. a. ( ) 5 sin. sin Penelesaian:. (.. ).. = (-)(-)(-) = ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5. ( ) sin sin. sin sin sin sin Contoh 7: Hitung it fungsi berikut dengan menggunakan rumus-rumus it: a. a. a

3 Penelesaian: a a. ; a a a a ( a)( a a ) a ( a a ) ( a a. a a ) a. 5 6 ( )( ) ( ) ( ). ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ). ( ) 5. ( ) ( ) ( ). Limit Kiri dan Limit Kanan (Limit Sepihak) Sebelum kita membahas konsep Limit kiri dan it kanan, perhatikan dengan seksama fungsi f beserta grafik pada contoh berikut : Contoh : f ( ),, fungsi f ini terdefenisi pada semua bilangan real kecuali di = jadi D f = R {}. Sebagaimana halna pada contoh maka pada contoh ini kita amati perilaku fungsi f() = disekitar =. Bilamana cukup dekat ke, maka f() tidak mendekati suatu nilai tertentu, sehingga kita katakan f ( ) tidak ada. Akan tetapi, bilamana mendekati dari arah kanan (dari arah nilai-nilai ang besar dari ), maka f() akan mendekati. dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi mempunai it kanan di dengan nilai it kanan, ditulis f ( ) Demikian juga bilamana mendekati dari arah kiri (dari arah nilai-nilai ang lebih kecil ), maka f() akan mendekati bilangan -. Dalam hal ini kita katakan bahwa fungsi f mempunai it kiri di dengan nilai it kirina -, ditulis f ( ) Dari kenataan ini kita defenisikan it kanan dan it kiri sebagai berikut : - - Gambar grafik f() = 5

4 Limit Fungsi dan Kontinuitas Definisi..: (Definisi Limit Kanan) Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (a,b), maka it kanan f dititik a ditulis sebagai: f ( ) L atau ( f() L bila a + ) a jika > terdapat bilangan > sedemikian sehingga < - a < f() - L < perhatikan bahwa < a < mengakibatkan > a ang berarti terletak disebelah kanan a Definisi..: (Definisi Limit Kiri) Misalkan f sebuah fungsi paling sedikit terdefinisi pada selang terbuka (c,a), maka it kiri f dititik a ditulis sebagai: f ( ) L atau ( f() L bila a - ) a jika > terdapat bilangan > sedemikian sehingga < a < f() - L < perhatikan bahwa < a < mengakibatkan < a ang berarti terletak disebelah kiri a Perhatikan gambar dibawah ini ang memperlihatkan situasi geometri untuk it kanan dan it kiri f() f L L f() f Bandingkan kedua defenisi ini dengan defenisi it fungsi f di a. f ( ) L jika >, > sehingga a Gambar Limit Kanan fungsi f di a a b c a Gambar Limit Kiri fungsi f di a < a < f() L < Bila a +, maka > a. Akibatna a >, sehingga a = a, ang bila digantikan pada defenisi it akan menghasilkan defenisi it kanan. Demikian juga bila a -, maka < a. Akibatna a <, sehingga a = a, ang bila digantikan pada defenisi it akan menghasilkan defenisi it kiri. Catatan : 6

5 . Semua sifat-sifat it fungsi disuatu titik berlaku juga untuk it sepihak bilamana a diganti a + atau a -.. Jika f ( ) atau f ( ) tidak ada, maka f ( ) juga tidak ada. a a a. Jika fungsi f terdefenisi pada selang terbuka (c,d) maka f ( ) ditulis f ( ), dan f ( ) c c ditulis f ( ) d d Berdasarkan catatan nomor, maka dapat dipahami bahwa : karena f terdefinisi pada D f = [, ) ang berarti f terdefenisi pada interval buka (,), sehingga menurut catatan no. : f ( ) ditulis f ( ) = hubungan antara it fungsi disatu titik dengan it kiri dan it kananna dititik itu diberikan dalam teorema berikut : Teorema...a f ( ) a a f ( ) a f ( ) L Catatan : Teorema ini menatakan bahwa it kiri dan it kanan fungsi f di a dapat dihitung dengan cara menghitung it fungsina di a, asalkan it fungsi tersebut ada. Teorema...b Jika f ( ) L dan f ( ) L dengan L L a f ( ) tidak ada. a a maka Contoh. a. Diberikan fungsi f ( ) ; ; Tunjukkan bahwa f ( ) tidak ada, dan gambar grafikna. Penelesaian: f() = ; ; Untuk menghitung it kiri dari f digunakan persamaan f ( ) ; = = - Gambar 6 7

6 Limit Fungsi dan Kontinuitas (domain dari f di sebelah kiri dari ). Sebalikna untuk menghitung it kanan dari f digunakan persamaan f ( ) ;. Sehingga f ( ) sedangkan f ( ) karena it kiri tidak sama dengan it kanan maka disimpulkan bahwa f ( ) tidak ada. Contoh : Diberikan fungsi f() = ; ; ; a. Gambar grafik f b. Tentukan f ( ), jika ada c. Tentukan f ( ), jika ada f() Penelesaian: a. Grafik fungsi f diatur oleh persamaan aitu : - = +, pada selang [,+) = -, pada selang [-,) = +,, pada selang (-,-) sehingga grafik f merupakan gabungan dari tiga kurva diatas (gambar 7) - - Gambar 7 b. Dengan menggunakan definisi it, dapat ditunjukkan bahwa pada titik a = - maka: Limit kiri : f ( ) ( ) ( ) dan Limit kanan : f ( ) ( ) ( ) karena it kiri sama dengan it kanan maka disimpulkan bahwa f ( ) c. Pada titik a =, maka Limit kiri : f ( ) ( ) dan Limit kanan : f ( ) ( ) karena it kiri tidak sama dengan it kanan maka disimpulkan bahwa f ( ) tidak ada. Contoh : 8

7 Diberikan fungsi f ang terdefinisi pada selang (-,9] dan grafikna menerupai kata (gambar 8) sebagai berikut: Gambar Perhatikan bahwa grafik fungsi f adalah sebuah lengkungan ang tidak terputus pada selang (-,) ; [,) ; [,6); (6,9]. Dari grafik di atas mudah diketahui bahwa : f ( ) 7 f ( ) 5 f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) 5 Perhatikan bahwa, dititik = -, hana ada it kanan dan f(-) tidak terdefinisi sedangkan dititik = 9, hana ada it kiri dan f(9)= 5 ( terdefinisi) Dan dititik =, f ( ) f ( ) sehingga f ( ) tidak ada demikian juga dititik =, f ( ) f ( ) sehingga f ( ) tidak ada Dan dititik =6, f ( ) f ( ) sehingga 6 6 f ( ) 6 dan f(6) = 8 Catatan: Nilai fungsi disuatu titik tidak mempengaruhi penentuan it di titik tersebut.. Limit Tak Hingga Dan Limit Di Tak Hingga... LIMIT TAK HINGGA Definisi...: Misalkan f suatu fungsi ang terdefinisi pada selang terbuka ang memuat a, kecuali mungkin pada a sendiri, maka: 9

8 Limit Fungsi dan Kontinuitas (i) (ii) Limit f() dikatakan membesar tanpa batas (+) bilamana mendekati a, ditulis sebagai: f ( ) a jika M >, > sedemikian sehingga a f ( ) M Limit f() dikatakan mengecil tanpa batas (-) bilamana mendekati a, ditulis sebagai: f ( ) a jika M>, > sedemikian sehingga a f ( ) M Sebagai illustrasi perhatikan contoh-contoh berikut: Contoh : Selidiki perilaku fungsi f() = disekitar ; ( ) Perhatikan nilai-nilai fungsi f bilamana dibuat dekat ke ; ( ) Tabel... f()? - Dari tabel... terlihat bahwa : Nilai f() akan semakin membesar tanpa batas, bilaman semakin dekat ke dari arah kanan, dalam hal ini dikatakan f ( ) Nilai f() akan semakin mengecil tanpa batas, bilaman semakin dekat ke dari arah kiri, dalam hal ini dikatakan f ( ) Jadi it kanan f() dan it kiri f() pada = dikatakan tidak ada. Catatan : Lambang - dan + bukan bilangan. - Terlihat bahwa tidak ada bilangan tertentu ang bisa didekati f() manakala dibuat mendekati. Jadi tidak ada f() =, < Gambar 9 f() =, >

9 Contoh : Tentukan it fungsi beikut (jika ada) pada, kemudian gambar grafikna. a. ; b. ( ) f() =, < Penelesaian: a. f() = ; ; Daerah asal f adalah semua bilangan riil kecuali = f() =, > Gambar atau (-,) (,+). Dan range f adalah (,+) atau > grafik f akan membesar tanpa batas bilamana mendekati, dari sebelah kiri maupun dari sebelah kanan, sehingga dikatakan: f ( ) f ( ) Meskipun dalam hal ini it kiri dan it kananna sama-sama menuju, akan tetapi bukan suatu bilangan, maka dikatakan: ; (membesar tanpa batas atau tidak ada.) b. g() = Perhatikan bahwa nilai f() akan mengecil tanpa batas bilamana semakin dekat ke nol, baik dari kiri maupun dari kanan, maka kita katakan ( ) (tidak ada) - - f() =, < f() =, > Gambar

dokumen-dokumen yang mirip

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi

3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi . Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,