BAB II PERSAMAAN TINGKAT SATU DERAJAT SATU
|
|
|
- Erlin Hartono
- 7 tahun lalu
- Tontonan:
Transkripsi
1 BAB II PERSAAA TIGKAT SATU DERAJAT SATU Standar Kompetensi Setelah mempelajari pokok bahasan ini diharapkan mahasiswa dapat memahami ara-ara menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan dapat mengaplikasikanna dalam menentukan selesaian khusus masalah nilai awal dengan sarat awal. Kompetensi Dasar. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial ang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah dan selesaian khusus masalah nilai awal.. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal.. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak homogen dan selesaian khusus masalah nilai awal. 5. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal. 6. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial tidak eksak dan selesaian khusus masalah nilai awal. 7. ahasiswa dapat menentukan selesaian umum persamaan diferensial berbentuk f d g d 0 dan selesaian khusus masalah nilai awal. 8. ahasiswa dapat menentukan traektori orthogonal dan traektori isogonal suatu persamaan keluarga kurva. Persamaan tingkat tingkat satu derajat satu ang dijelaskan pada bab II buku ini membahas: persamasaan diferensial variable terpisah persamaan Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
2 diferensial ang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. persamaan diferensial homogen persamaan diferensial tidak homogen 5 persamaan diferensial ekskak 6 persamaan diferensial tidak eksak 7 persamaan diferensial bentuk umum f d g d 0 dan 8 traektori. Sebagaimana telah dijelaskan pada bab I persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan diferensial ang didalamna memuat turunan tertinggi aitu turunan tingkat satu ang dilambangkan dengan d. Seara d umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ditulis dalam bentuk: d d 0 Bentuk di atas dapat disederhanakan menjadi: d d d d d... bentuk eksplisit d d 0... bentuk implisit d diferensial Bentuk umum ang disebutkan di atas mengakibatkan jenis persamaan tingkat satu derajat satu terdiri atas beberapa jenis. Untuk lebih memudahkan dalam menentukan primitif atau selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dilakukan pengelompokan menjadi beberapa jenis. Persamaan diferensial variabel terpisah. Persamaan ang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah. Persamaan diferensial homogen. Persamanaan diferensial tidak homogen. Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
3 5 Persamaan diferensial eksak. 6 Persamaan diferensial tidak eksak. 7 Persamaan diferensial ang berbentuk f d g d 0 Persamaan-persamaan diferensial tersebut di atas masing-masing mempunai karakteristik dan iri-iri ang berbeda-beda. Prinsip utama dalam menentukan selesaian umum persamaan diferensial tingkat satu derajat satu adalah mengelompokkan masing-masing koefisien diferensial dengan diferensial ang sejenis atau sedapat mungkin menjadikan sejenis masing-masing koefisien diferensialna. Khusus untuk persamaan diferensial ang tidak dapat dipisahkan variabelna maka ara lain tabel teorema akan sangat membantu. Berikut ini disajikan ara menentukan selesaian persamaan diferensial tingkat satu derajat satu.. Persamaan Diferensial Variabel Terpisah Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ang mempunai bentuk umum d d 0 dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial variable terpisah separable jika f dan g. Atau dengan kata lain adalah fungsi saja dan adalah fungsi saja. Sehingga bentuk umumna d d 0 ditulis dalam bentuk f d g d 0 Perhatikan ontoh berikut ini.. d d 0 d 0 d d d d. d d d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6
4 d d d d 0 d d. ' d d. d sin d 0 5. d d d d 0 Karena tanda diferensial persamaan di atas d dan d berpasangan dengan variable ang sejenis aitu berpasangan dengan d dan berpasangan dengan d sehingga untuk menentukan selesaian umum persamaan tersebut ukup dengan mengintegralkan masing masing bagian. Perhatikan beberapa ontoh berikut ini.. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial d d 0 Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh: d d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7
5 Persamaan disebut primitif atau persamaan keluarga kurva atau selesaian umum persamaan diferensial d d 0.. Tentukan selesaian persamaan diferenesial d Jawab d 0 Persamaan di atas dapat diubah menjadi d d 0 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh: d d 0 Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial d d 0 Jawab asing-masing bagian dari persamaan diintegralkan diperoleh: Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 8
6 d d Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah. Tentukan selesaian umum persamaan: sin d d 0 dengan = Jawab Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh: sin d d os Karena = maka diperoleh os Diperoleh = sehingga selesaian khusus persamaan diferensial sin d d 0 adalah os 5. Tentukan selesaian umum persamaan d d 0 Jawab Persamaan d d 0 dapat diubah menjadi d d 0 Selanjutna dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 9
7 d d ln ln ln ln ln ln ln Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah Latihan soal Tentukan selesaian persamaan diferensial di bawah ini.. d d 0. os d e d 0. d ot d 0. d se d 5. ' 6. d d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 0
8 7. d d 0 dengan 8. d d 0 dengan 0 9. ' dengan 0 0. d os dengan d 0. ' e dengan 0. ' dengan 0. ' dengan d. dengan 0 d 5. ' dengan 0 0 Catatan Yang perlu diingat bahwa persamaan diferensial dengan variable terpisah memiliki iri spesifik aitu koefisien diferensial berupa variable sejenis berkumpul dengan diferensialna dengan kata lain dapat dinatakan dalam bentuk sederhana f d g d 0. Persamaan ang Direduksi ke Persamaan Variabel Terpisah Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dapat dikategorikan sebagai persamaan diferensial ang dapat direduksi menjadi persamaan diferensial variable terpisah jika bentuk umum d d 0 dapat dinatakan dalam bentuk: f g d f g d 0 f g d f g d d G d 0 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
9 Selanjutna bentuk disebut faktor integrasi. Selesaian umum f g persamaan diferensial ang dapat direduksi menjadi persamaan variable terpisah dapat ditentukan dengan ara mengintegralkan masing-masing bagian setelah variable ang sejenis dikelompokkan dengan diferensialna. Perhatikan beberapa ontoh berikut ini.. Tentukan selesaian persamaan diferensial d d 0 Jawab Persamaan di atas direduksi menjadi d d 0 d d d d d d d ln ln ln ln ln e e Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah e. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial d d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
10 Jawab Persamaan di atas dapat direduksi menjadi: d d d d 0 d d 0 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian persamaan diperoleh d d d d d d ln ln ln ln ln ln ln e e Sehingga selesaian umum persamaan diferensial di atas adalah e. Tentukan selesaian persamaan diferensial d d dengan 0 Jawab Persamaan di atas setelah direduksi diperoleh: d 0 d d 0 d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
11 Dengan mengintegralkan masing-masing bagian diperoleh d d d d d d ln ln 0 0 ln e 0 Karena 0 maka 0 e. Diperleh sehingga diperoleh selesaian khusus persamaan e Sebagai latihan bagi pembaa tentukan selesaian persamaan diferensial dan selesaian khusus masalah nilai awal berikut ini:. d ot d 0. os d e sin d 0. d d 0. d d 0 d 5. d 7. os ' e sin 8. d d se 9. ' 0. ' sin d. 8 e dengan 0 d d. dengan 0 d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo
12 d d. tan dengan 0. d d os dengan 0 d 5. sin dengan d. Persamaan Diferensial Homogen Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu ang berbentuk d d 0 disebut persamaan diferensial homogen jika dan fungsi homogen berderajat sama. Definisi:. disebut fungsi homogen jika G atau H. ungsi disebut fungsi homogen berderajat-n jika memenuhi sarat n t t t Contoh:. adalah fungsi homogen karena H. adalah fungsi homogen karena atau Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
13 . bukan fungsi komogen karena tidak dapat dinatakan dalam bentuk G atau H. fungsi homogen karena dapat dinatakan dalam G atau H 5. sin bukan fungsi homogen. 6. bukan fungsi homogen. 7. fungsi homogen berderajat karena: t t t t t t t t t t fungsi homogen berderajat 0 fungsi homogen berderajat 0 karena t t t t t t 0 t 0 0. Dengan ara ang sama adalah fungsi homogen berderajat dan G adalah fungsi homogen berderajat. n. sin bukan fungsi homogen karena t t t Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6
14 Jika d d 0 adalah persamaan diferensial homogen maka selesaian umumna dapat ditentukan dengan ara menatakan dalam bentuk atau demikian pula dapat dinatakan dalam bentuk atau. Dengan kata lain dan dibagi dengan koefisien diferensial d dan d ang berpangkat tertinggi. Setelah dilakukan pembagian pada dan selanjutna gunakan transformasi transformasi diperoleh v u atau u. Atau dapat menggunakan v atau v. Jika ang digunakan transformasi u maka d du ud. Sebalikna jika ang digunakan transformasi maka d dv vd.. Akhirna d atau d tetapi bukan keduana disubstitusikan dalam persamaan diferensial semula d d 0 sehingga diperoleh persamaan baru d d 0atau d d 0 Dengan memilih transformasi d d 0 d dv vd 0 v d v dv vd v v v d v dv 0 d v dv v v v 0 d dv vd maka Jika ang dipilih transformasi d du ud maka Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7
15 d d 0 du ud d 0 u du ud u d 0 u u u d 0 u du d u du u u u 0 Bentuk terakhir persamaan ang diperoleh adalah persamaan diferensial ang dapat direduksi ke persamaan variabel terpisah. Setelah variabel ang sejenis berkumpul dengan diferensialna dan dengan mengintgralkan masing-masing bagian akan didapat selesaian umum persamaan diferensial homogen ang diberikan. Contoh. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial Jawab d d 0 Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen karena dan adalah persamaan homogen ang berderajat dua. Selanjutna persamaan dibagi d d diperoleh persamaan Gunakan transformasi u atau u dan d ud du lalu subtitusikan ke persamaan semula u d vd 0 u d u ud du 0 u u d u du 0 u d u du 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 8
16 d udu 0 u Gunakan integral untuk masing-masing bagian sehingga: d udu u d udu u ln ln u ln ln u ln ln u ln u Sehingga selesaian umum persamaan diferensial d d 0 adalah. Tentukan selesaian persamaan diferensial d d 0 dengan Jawab Persamaan di atas di bagi dengan Transformasi d d 0 s atau s sehingga d sd ds Dengan mensubstitusikan ke persamaan asal diperoleh s s d sd ds 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 9
17 s d ds 0 d ds = 0 s d ds s ln karena s ln s maka Karena maka ln sehingga selesaian khusus persamaan di atas adalah ln ln. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial homogen berikut Jawab d d 0 Persamaan dibagi dengan Diperoleh 0 d d isal A A dan didapat d Ad da Selanjutna substitusikan d dalam persamaan semula didapat persamaan baru A d A Ad da 0 A d A da 0 A A da d 0 A da A d 6A da A 0 d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 50
18 ln A ln ln A ln ln ln ln. Berdasarkan uraian di atas selesaian umum persamaan d d 0 adalah. Tentukan selesaian umum persamaan d 0 dengan d Persamaan di atas adalah persamaan diferensial homogen karena dan adalah fungsi homogen berderajat sama aitu satu. d 0 d d d 0 d d 0 Dengan transformasi u dan d ud du u d ud du 0 u u d du 0 d du 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
19 d du ln u ln u e u e Karena maka didapat sehingga selesaianna e. dinamakan selesaian khusus integral khusus aitu e Latihan soal. Selidiki apakah fungsi berikut homogen jika homomogen tentukan derajatna. a. f b. f e. f d. f sin os e. f f. f g. f os h. i. f f Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
20 j. k. f f sin os 5 9. Tentukan selesaian persamaan diferensial homogen berikut ini. a. d d d b. d d. d d. d d d 0 e. d d tan f. 5 d d 0 dengan g. d d 0 dengan 0 0 h. ' dengan i. ' dengan d t j. dengan 0 0 dt t. d d 0 dengan. Tunjukkan bahwa persamaan diferensial d d 0 adalah persamaan diferensial homogen berderajat satu jika dan hana jika dan fungsi homogen berderajat-. 5. Tentukan semua selesaian dari persamaan Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
21 d d untuk 0 6. Tentukan semua selesaian dari persamaan d d 6 untuk 0. Persamaan dan Linear tetapi Tidak Homogen Persamaan diferensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan diferensial linear tidak homogen jika dan dalam d d 0 adalah fungsi linear. Sehingga bentuk umum semula dapat diubah menjadi a b d p q r d 0 Contoh:. d d 0. d d d 7 d 0. d d 0 Berdasarkan ontoh di atas maka persamaan diferensial tidak homogen dengan dan fungsi linear dapat dikelompokkan menjadi jenis aitu: a b a Bentuk parameter sehingga diperoleh p q r a p b q r Contoh d d 0 b Bentuk Sehingga a p b tetapi q a p b q r Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 5
22 Contoh d d 0 d d 0 Bentuk selain a dan b di atas. 7 7 d 7 d 0 7 d d 0 Karena bentukna berbeda-beda maka selesaian umum persamaan diferensial linear tidak homogen harus menesuaikan dengan bentukna. a b a. Bentuk p q r Karena a p b q r maka diperoleh a p b q r Sehingga persamaan semula a b d p q r d 0 p q r d p q r d 0 p q r d p q r d 0 d d 0 d d persamaan linear Contoh. Tentukan selesaian persamaan diferensial d 8 d 0 Jawab Karena a p b q r maka diperoleh p a q b r Sehingga persamaan semula d 8 d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 55
23 d d 0 d d 0 d d adalah primitif ang diminta. Tentukan selesaian persamaan 6 d d 0 Jawab a b Karena maka diperoleh p q r a a b q r Sehingga persamaan semula 6 d d 0 d d 0 d d 0 d d Primitif persamaan di atas adalah b. Bentuk a p Persamaan bentuk transformasi b tetapi. q r a b p q dapat diselesaikan dengan ara menggunakan a b u atau p q v. Berdasarkan transformasi tersebut dengan mendiferensialkan masing-masing variabel sehingga diperoleh: d a d b d u ad bd du Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 56
24 ad du bd du bd d atau a ad bd du bd du ad du ad d b Dengan ara ang sama jika ang digunakan transformasi bentuk p q v diperoleh dv pd dv pd d atau d q p Pilih d atau d akan tetapi tidak keduana dan substitusikan ke persamaan diferensial semula. a b d p q r d 0 u d u r d 0 du bd u u r d 0 a Atau du ad u d u r 0 b Persamaan di atas adalah persamaan ang dapat direduksi ke persamaan diferensial dengan variable terpisah separable. Contoh:. Tentukan selesaian persamaan diferensial d d 0 dengan 0 0 Jawab Dari persamaan d d 0 diperoleh a b p q dan r sehingga diperoleh =. Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 57
25 Selanjutna gunakan transformasi u atau v Jika transformasi ang digunakan u d u d 0. u maka diperoleh Selanjutna bentuk transformasi u didiferensialkan d d du dan diperoleh d du d atau d du d. Cara I u d u d 0. u du d u d 0 u du u u d 0 u du u d 0 direduksi menjadi PD Separable diperoleh: u d du 0 u u u d du d du du u u ln u ln ln u ln u e Karena 0 = 0 maka selesaian khusus persamaan ln d d 0 adalah e Cara II u d u du d 0 u u d u du 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 58
26 u d u du 0 u d u du 0 u d du 0 u u u d du d du du u u ln u ln ln e Karena 0 0 maka didapat ln sehingga selesaian khusus persamaan diferensial di atas adalah e ln. Tentukan selesaian persamaan d d 0 Jawab Transformasikan u sehingga d d du dan diperoleh: du d du d atau d d akibatna persamaan d d 0 dapat dinatakan dalam bentuk u d u d 0 Pilih d atau d lalu substitusikan ke dalam persamaan dan diperoleh du d u u d 0 u du d u d u du u u d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 59
27 u du d 0 5u u 5u du d u du du d u 6 ln 5u ln Bentuk ang ketiga adalah selesaian bentuk selain persamaan dan. Dalam menentukan selesaianna gunakan transformasi a b u dan p q r v diperoleh Selanjutna diferensial kan kedua bentuk transformasi di atas sehingga d a d b d d u dan d p d q d r d v ad bd du dan pd qd dv Eleminasikan d dan d pada hasil differesial ang diperoleh seara berurutan aitu: ad bd du pd qd dv selanjutna kalikan persamaan pertama dengan p dan kalikan persamaan kedua dengan a maka diperoleh: apd pbd pdu apd aqd adv pb aq d pdu adv d pdu adv bp aq Dengan ara ang sama diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 60
28 qdu bdv d aq bp Substisusikan d dan d dalam persamaan semula aitu: a b d p q r d 0 qdu bdv pdu adv u v 0 aq bp bp aq Persamaan di atas menjadi persamaan baru dengan tanda diferensial du dan dv dan termasuk dalam persamaan diferensial homogen. Primitifna dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial homogen. Contoh. Tentukan selesaian umum persamaan 7 7 d 7 d 0 Jawab Transformasikan u 7 7 dan v 7 Dengan mendiferensialkan masing-masing bagian diperoleh: du d 7d dan dv 7d d Elimasikan d dan d berurutan diperoleh: d 7d du 7d d dv atau 9d d du 9d d 7dv didapat 0d du 7dv 7dv du d 0 Dengan ara ang sama diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6
29 dv 7du d 0 Substitusikan d dan d kepersaman semula sehingga diperoleh 7 7 d 7 d 0 dv 7du 7dv du u v u dv 7du 0v7dv du 0 u 7v dv 7u v du 0 persamaan diferensial homogen Bagi persamaan dengan v diperoleh u u 7dv 7 du 0 v v u Transformasikan t atau u vt sehingga du vdt tdv v Persamaan di atas adalah persamaan diferensial ang dapat direduksi ke persamaan variable terpisah. dt 7 dv 7t vdt tdv 0 t 7 7t dv 7t dt v 7 7t dv v t dv 7t dt 0 0 7t dt 7 7t ln v ln t t ln 7 t 0 7 Dengan mensubstitusi v 7 dan t diperoleh selesaian 7 7 umum persamaan 7 7 d 7 d 0. Tentukan selesaian umum persamaan d d 0 Jawab. Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6
30 Transformasikan u dan v du d d dan dv d d Selanjutna dieliminasi d dan d berturut dan diperoleh: dv du d dan du dv d 6 Substitusikan d dan d ke persamaan semula dan diperoleh d d 0 du dv dv du u v 0 6 u du dv 6v dv du 0 u 6v du u 6v dv 0 v v 6 du 6 dv 0 u u Transformasikan v p v up sehingga dv udp pdu u Substitusikan kepersamaan di atas diperoleh 6 p du 6 p9udp pdu 0 6 p p 6 p du 6 p dp u 0 p 6 p du 6 p udp 0 0 du u ln u 6 p dp 6 p p 6 p dp 6 p p 8 8 ln ln 6 p ln p ln ln 6 ln 5 5 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6
31 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 6. Persamaan Diferensial Eksak PDE Persamaan diferensial 0 d d disebut persamaan diferensial eksak jika dan hana jika memenuhi sarat: Contoh. 0 d d adalah persamaan diferensial eksak karena sehingga. 0 sin os d d adalah persamaan diferensial eksak karena os os os sin Sehingga. - d d = 0 bukan persamaan diferensial eksak sehingga Karena maka persamaan di atas bukan persamaan diferensial eksak.
32 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 65 Dengan ara ang sama persamaan dibawah ini adalah persamaan tidak eksak karena.. 0 d d...persamaan diferensial homogen. 0 d a d... persamaan diferensial ang dapat direduksi ke persamaan diferensial variabel terpisah.. 0 d d..persamaan diferensial tidak homogen Persamaan diferensial eksak mempunai selesaian umum enurut definisi diferensial total untuk diperoleh: d d 0 d d Berdasarkan bentuk 0 d d dan 0 d d maka diperoleh dan Berdasarkan kesamaan di atas maka untuk menentukan selesaian persamaan diferensial eksak ang berbentuk dapat dilakukan dengan dua ara. Cara I dan Dari kesamaan di atas diperoleh
33 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 66 d = G d G d G d ' d G ' d d d G Substitusikan G dalam G d ang merupakan selesaian umum persamaan diferensial Cara II dan Dari kesamaan di atas diperoleh H d d ' H d d H ' d H d
34 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 67 Substitusikan H ke persamaan semula H Contoh. Tentukan selesaian persamaan diferensial eksak berikut ini: 0 5 d d Jawab dan 5 berarti persamaan di atas adalah eksak. Selesaian PD di atas adalah. Untuk mendapatkan dapat digunakan kesamaan dan. 5 d 5 5 f 5 f ' f ' f f Sehingga primitif persamaan adalah 5. 0 sin os d d
35 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 68 Jawab os os os sin Berarti persamaan di atas adalah persamaan diferensial eksak. Sehingga selesaianna dapat dinatakan dalam bentuk =. Untuk mendapatkan = digunakan kesamaan dan d os os sin G G sin sin sin G sin ' sin 0 ' G G Diperoleh selesaian umum persamaan sin sin Soal-soal A. Selidiki apakah persamaan di bawah ini eksak atau tidak. 0 d d. 0 d d d d. 0 d d
36 5. os os ' tan sin sin 6. 5 d d 0 7. d d d 8. 0 d d 9. d d d d B. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial eksak berikut ini:. d d 0. d d 0. 0 d d. d d 0 5. ln d d 0 6. os sin d os d 0 7. os d sin d 0 8. ln d d 0 dan 5 d 9. sin dan 0 d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 69
37 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo os dan d e d e.6 Persamaan Diferensial Tidak Eksak PDTE 0 d d adalah persamaan diferensial tingkat satu derajat satu disebut persamaan diferensial tidak eksak jika dan hana jika: Persamaan diferenisal tidak eksak dapat diselesaikan dan ditentukan primitifna dengan ara menari faktor integral dari persamaan tersebut. Setelah ditentukan faktor integralna maka persamaan diferensial tidak eksak tersebut menjadi persamaan diferensial eksak. aktor integral persamaan diferensial tidak eksak dinatakan dengan. Setelah diketahui faktor integralna maka persamaan tidak eksak ditulis dalam bentuk: 0 d d 0 d d satu derajat satu tingkat diferensial persamaan d d 0 Dengan dan Sehingga diperoleh persamaan ang merupakan persamaan diferensial tingkat satu berupa persamaan diferensial eksak ang memenuhi sifat dengan dan
38 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7 Persamaan baru tersebut dinamakan persamaan diferensial eksak sehingga selesaianna dapat ditentukan dengan menggunakan metode persamaan diferensial eksak. Bagaimana menentukan faktor integral persamaan tidak eksak? Karena 0 d d persamaan eksak maka: dalam hal ini dapat kita tinjau dari beberapa kasus: a. isal aitu fungsi bervariabel saja maka 0 dan d d sehingga.0 d d d d Jika suatu fungsi dari atau f maka dari d d didapat
39 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7 d f d atau f d d d f d d f ln d f e adalah faktor integral ang diari b. isal aitu fungsi bervariabel saja maka 0 dan d d = d d sehingga...0 d d Jika suatu fungsi dari atau g maka dari d d didapat g d atau q d d d g d d g ln d g e adalah faktor integral ang diari
40 . Jika d d 0 adalah persamaan diferensial homogen dengan d d 0 maka faktor integral d. Jika d d 0 dapat ditulis d d 0 dengan f g maka G e. Seringkali faktor integral dapat diperoleh dengan pemeriksaan hal ini akan tampak setelah pengelompokkan kembali suku-suku persamaanna. Dengan mengenal kelompok suku-suku tertentu merupakan suatu bagian dalam persamaan diferensial eksak. Contoh. Tentukan selesaian umum persamaan diferensial berikut dengan terlebih dahulu menentukan faktor integrasina. d d 0 Jawab Sehingga persamaan di atas tidak eksak karena Selanjutna diari sebagai faktor integrasi Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7
41 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 7 Karena f aka e e d f ln. Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak aitu 0} { d d 0} { d d Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian 0 d d aitu 0 6. Tentukan selesaian umum persamaan 0 d e d e Jawab 6 8 e e Sehingga persamaan di atas tidak eksak. Selanjutna diari sebagai faktor integrasi Karena g aka e d g Diperoleh persamaan baru dan merupakan persamaan diferensial eksak aitu 0 d e d e Dengan menggunakan metode persamaan eksak diperoleh selesaian persamaan 0 d e d e adalah
42 e Latihan A. Tentukan faktor integral persamaan berikut: d d 0 d d 0 d d e d d d d 0 5 d d 0 B. Berdasarkan faktor integrasi ang diperoleh tentukan selesaian persamaan: d d 0 d d 0 d d 0 0 d d 0 5 d e sin d 0 C. Buktikan bahwa jika g adalah fungsi saja maka faktor integrasi untuk d d 0 adalah f e g d.7 Persamaan Berbentuk f d g d 0 Persamaan f d g d 0 juga disebut persamaan diferensial tingkat satu derajat satu karena bentukna d d 0 Selesaianna dapat ditentukan dengan menggunakan transformasi z sehingga z. Dengan menurunkan masing-masing variable diperoleh Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 75
43 dz zd d. dz zd Substitusikan bentuk d ke persamaan semula d d 0 z z dz zd d 0 Dengan ara penederhanaan diperoleh persamaan baru ang bentuk umumna adalah z d z dz 0 dan persamaan bentuk tersebut merupakan persamaan ang dapat dipisahkan variabel-variabelna. Contoh.. Tentukan selesaian umum persamaan Jawab d d d 0 d 0 d d 0 Transformasikan z dz zd diperoleh d. Sehingga persamaan semula menjadi z dz zd z d z z 0 d z z d z z z d dz z dz z dengan menurunkan masing-masing variable dz 0 dz 0 dz z 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 76
44 d dz z dz z dz z ln z ln z z Dengan mensubstitusikan = z diperoleh selesaian persamaan ln. Sebagai latihan bagi pembaa tentukan selesaikan persamaan di bawah ini dengan menggunakan ara seperti ontoh di atas. Sebagai latihan tentukan selesaian umum persamaan d d 0 d d 0 d d 0 dengan = 0 d d 0 dengan 0 = 0 5 d d 0.8 Traektori Suatu kurva ang memotong setiap persamaan keluarga kurva atau dari sebalikna dengan sudut tetap disebut traektori dari persamaan diferensial ang diketahui. Jika besar sudut o 90 maka disebut traektori ortogonal sedangkan jika besar sudut o 90 maka disebut traektori isogonal. a. Traektori Isogonal ' tan Integral kurva dari persamaan f 0 ' tan adalah traektori isogonal dengan sudut tetap dari persamaan diferensial f ' 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 77
45 b. Traektori Ortogonal Jika = 90 º maka traektorina disebut traektori ortogonal Integral kurva dari persamaan diferensial f 0 adalah traektori orthogonal dari ' persamaan f ' 0 Jika dinatakan dalam koordinat polar integral kurva dari persamaan dr diferensial f r r 0 adalah traektori ortogonal dari integral kurva d dr f r 0 d Jika suatu persamaan hendak ditentukan traektorina maka beberapa langkah ang ditempuh adalah.. Tentukan persamaan diferensial dari persamaan keluarga kurva ang diketahui. Jika persamaan ang diketahui masih terdapat parameter maka parameter harus dieliminir terlebih dahulu.. Tentukan persamaan diferensial dari traektorina. d d a. Bila traektorina ortogonal dilakukan penggantian dengan - d d pada persamaan diferensial na. b. Bila traektori isogonal dengan sudut tetap maka lakukan d penggantian dengan d d d tan pada persamaan diferensial na. d tan d d. Bila traektori = 5º maka lakukan penggantian dengan d d d pada persamaan diferensial na. d d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 78
46 d. Bila traektorina dalam koordinat polar maka lakukan penggantian dr dengan d dr r. d. Selesaikan persamaan diferensial baru tersebut dengan metode ang sesuai sehingga diperoleh persamaan traektori ang diminta. Contoh. Tentukan traektori ortogonal persamaan keluarga kurva Jawab dengan real Persamaan diferensial dari persamaan d d d d d 0 d 0 d adalah d d Untuk mendapatkan traektori ortogonal adalah mengganti dengan - d d sehingga d 0 d d 0 d d d 0 d d 0 d d ln ln ln ln Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 79
47 ln. Sebagai latihan bagi pembaa Tentukan traektori ortogonal dari persamaan keluarga kurva e 6 r os 7 8 Tentukan traektori isogonal dengan sudut tetap = 5º dari persamaan keluarga kurva a. b..9 Soal-soal A. Dengan menggunakan metode ang sesuai tentukan selesaian umum persamaan diferensial di bawah ini.. '. '. d d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 80
48 . ' 5. d d 0 6. sin os d os d 0 7. ' 8. d d 0 9. ' 0. d d 0 B. Tentukan selesaian masalah nilai awal. ' tan dengan 0. d os dengan 0 d. d d 0 dengan 6. d d 0 dengan 5. 0 d d C. Tentukan dan A sedemikian sehingga persamaan berikut eksak.. d d 0. 0 d d. d A d 0. A 0 d d 5. A 0 d d Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 8
49 D. Tentukan faktor integrasi dan selesaian persamaan di bawan ini. d d d. d d 0. d d 0. d d d 5. d d ln d 0 6. d d 0 7. d d 0 8. d d 0 Persamaan Diferensial:Dwi Purnomo 8
BAB 1 PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDER SATU
BAB PERSAAA DIFERESIAL ORDER SATU PEDAHULUA Persamaan Diferensial adalah salah satu cabang ilmu matematika ang banak digunakan dalam memahami permasalahan-permasalahan di bidang fisika dan teknik Persamaan
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I. Nurdinintya Athari
PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE I Nurdininta Athari Definisi PERSAMAAN DIFERENSIAL Persamaan diferensial adalah suatu persamaan ang memuat satu atau lebih turunan fungsi ang tidak diketahui. Jika persamaan
dy = f(x,y) = p(x) q(y), dx dy = p(x) dx,
5. Persamaan Diferensian Dengan Variabel Terpisah Persamaan diferensial berbentuk y = f(), dengan f suatu fungsi kontinu pada suatu interval real, dapat dicari penyelesaiannya dengan cara mengintegralkan
Adalah : hubungan antara variabel bebas x, variabel
Adalah : hubungan antara variabel bebas, variabel Bentuk Umum : bebas dan turunanna. d d F(,,, n d,..., ) n Persamaan differensial (PD) menatakan hubungan dinamik, maksudna hubungan tersebut memuat besaran
Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde-1 dengan Metode Analitis Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH
Solusi Analitis Persamaan-persamaan Diferensial Orde- dengan Metode Analitis.. Persamaan Diferensial dengan konfigurasi VARIABEL TERPISAH a. Bentuk Umum: f ( ) g( ), f dan g fungsi sembarang. b. Metode
Persamaan Diferensial Orde Satu
Modul Persamaan Diferensial Orde Satu P PENDAHULUAN Prof. SM. Nababan, Ph. ersamaan Diferensial (PD) adalah salah satu cabang matematika ang banak digunakan untuk menjelaskan masalah-masalah fisis. Masalahmasalah
DIKTAT. Persamaan Diferensial
Diktat Persamaan Diferensial; Dwi Lestari, M.S. 3 DIKTAT Persamaan Diferensial Disusun oleh: Dwi Lestari, M.S email: dwilestari@un.a.id JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN
! " #" # $# % " "& " # ' ( ) #
! "#"# $#%""&"#'# "*# *" " " #,#" " "# * # ""- # # "! " #" # $#%""&"# '# #" &# '&$'# # "'/0& " # #'"# ## # # #"""--* # #* #"* "'# #* 0 # # ***0" #""# ** #""# " #,#"##' ##' #*"#"#"'#"" #"#" ## # # "*###
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
BAB VIII PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) Banak masalah dalam kehidupan sehari-hari ang dapat dimodelkan dalam persamaan diferensial. Untuk menelesaikan masalah tersebut kita perlu menelesaikan pula persamaan
Nurdinintya Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2
Nurdininta Athari PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE 2 2 PDB ORDE II Bentuk umum : + p() + g() = r() p(), g() disebut koefisien jika r() = 0, maka Persamaan Differensial diatas disebut homogen, sebalikna disebut
MODUL MATEMATIKA II. Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI
MODUL MATEMATIKA II Oleh: Dr. Eng. LILYA SUSANTI DEPARTEMEN RISET TEKNOLOGI DAN PENDIDIKAN TINGGI UNIVERSITAS BRAWIJAYA FAKULTAS TEKNIK JURUSAN TEKNIK SIPIL KATA PENGANTAR Puji sukur kehadirat Allah SWT
BAB 2 LANDASAN TEORI
6 BAB LANDASAN TEORI Pada bab ini akan dibahas beberapa konsep dasar ang akan digunakan sebagai landasan berpikir seperti beberapa teorema dan definisi ang berkaitan dengan penelitian ini. Dengan begitu
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4.0. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
Kuliah PD. Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu.
Kuliah PD Pertemuan ke-1: Motivasi: 1. Mekanika A. Hukum Newton ke-: Gaya yang bekerj a pada suatu massa sama dengan laju perubahan momentum terhadap waktu. Misalkan F: gaya, m: massa benda, a: percepatan,
4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba
4.1 Konsep Turunan. lim. m PQ Turunan di satu titik. Pendahuluan ( dua masalah dalam satu tema )
4. TURUNAN 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Singgung Kemiringan tali busur PQ adala : m PQ Jika, maka tali busur PQ akan beruba menjadi garis ggung
yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan. yang sejajar dengan garis yang diberikan tersebut.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
KALKULUS I MUG1A4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM (PPDU) TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN
KALKULUS I MUGA4 PROGRAM PERKULIAHAN DASAR DAN UMUM PPDU TELKOM UNIVERSITY IV. TURUNAN Turunan di satu titik Pendahuluan dua masalah dalam satu tema KONSEP TURUNAN a. Garis Singgung Kemiringan tali busur
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial. -Irma Wulandari-
MATEMATIKA 3 Turunan Parsial -Irma Wulandari- Pengertian Turunan Parsial T = (,) Rata-rata perubahan suhu pelat T per satuan panjang dalam arah sumbu, sejauh, untuk koordinat tetap ; (, ) (, ) Rata-rata
Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui.
1 Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan fungsi yang tidak diketahui. Jika persamaan diferensial memiliki satu peubah tak bebas maka disebut Persamaan Diferensial
PENERAPAN DIFERENSIAL BAGIAN I
ENEAAN DIFEENSIAL BAGIAN I ersamaan garis lurus ersamaan dasar suatu garis lurus adalah m Dengan m = kemiringan (slope) = d, d perpotongan dengan sumbu- riil. erhatikan bahwa jika skala dan identik, d
Sudaryatno Sudirham. Integral dan Persamaan Diferensial
Sudaratno Sudirham Integral dan Persamaan Diferensial Bahan Kuliah Terbuka dalam format pdf tersedia di www.buku-e.lipi.go.id dalam format pps beranimasi tersedia di www.ee-cafe.org Bahasan akan mencakup
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I
BAB I PERSAMAAN DIFERENSIAL LINIER ORDE I. Pengertian PD, Orde (tingkat), & Derajat (Pangkat) Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatifderivatif (turunan) sekurang-kurangnya derivatif
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 205. Analisis Penampang. Pertemuan 4, 5, 6
Mata Kuliah : Mekanika Bahan Kode : TSP 05 SKS : SKS nalisis Penampang Pertemuan 4, 5, 6 TU : Mahasiswa dapat menghitung properti dasar penampang, seperti luas, momen statis, momen inersia TK : Mahasiswa
Fungsi Dua Peubah atau Lebih. Pertemuan 9. Contoh. Gambar. 14-Feb-17. Pada gambar di atas P(x 1. ,y 1. ) adalah sebarang titik pada oktan I, dengan
1-eb-17 ungsi Dua Peubah atau Lebih Pertemuan 9 Turunan Parsial ungsi dua peubah atau lebih dapat ditulis dalam bentuk eksplisit atau implisit. Jika fungsi dua peubah dinatakan dalam bentuk eksplisit maka
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu fungsi (dasar). Sebagai
yang tak terdefinisikan dalam arti keberadaannya tidak perlu didefinisikan.
3 Gariis Lurus Dalam geometri aksiomatik/euclide konsep garis merupakan salah satu unsur ang tak terdefinisikan dalam arti keberadaanna tidak perlu didefinisikan. Karakteristik suatu garis diberikan pada
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD)
PERSAMAAN DIFERENSIAL (PD) A. PENGERTIAN Persamaan yang mengandung variabel dan beberapa fungsi turunan terhadap variabel tersebut. CONTOH : + 5 5 0 disebut PD orde I + 6 + 7 0 disebut PD orde II B. PEMBENTUKAN
Unit 2 KONSEP DASAR ALJABAR. Clara Ika Sari Pendahuluan
Unit KONSEP DASAR ALJABAR Clara Ika Sari Pendahuluan P ada unit ini kita akan mempelajari beberapa konsep dasar dalam aljabar seperti persamaan dan pertidaksamaan ang berbentuk linear dan kuadrat, serta
Matematika Teknik I. Prasyarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks
Kode Mata Kuliah : TE 318 SKS : 3 Matematika Teknik I Prasarat : Kalkulus I, Kalkulus II, Aljabar Vektor & Kompleks Tujuan : Mahasiswa memahami permasalahan teknik dalam bentuk PD atau integral, serta
MATEMATIKA TEKNIK 1 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS
MATEMATIKA TEKNIK 3 SKS TEKNIK ELEKTRO UDINUS BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu bilangan
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL
Pertemuan 1 dan 2 KONSEP DASAR PERSAMAAN DIFERENSIAL A. PENGERTIAN PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam pelajaran kalkulus, kita telah berkenalan dan mengkaji berbagai macam metode untuk mendiferensialkan suatu
I. PENDAHULUAN 1.1 Apa Termodinamika itu Termofisika adalah ilmu pengetahuan yang mencakup semua cabang ilmu pengetahuan yang mempelajari dan
I. PENDHULUN. pa Termodinamika itu Termofisika adalah ilmu pengetahuan ang mencakup semua cabang ilmu pengetahuan ang mempelajari dan menjelaskan sikap at di bawah pengaruh kalor dan perubahan-perubahan
perpindahan, kita peroleh persamaan differensial berikut :
1.1 Pengertian Persamaan Differensial Banyak sekali masalah terapan (dalam ilmu teknik, ilmu fisika, biologi, kimia, sosial, dan lain-lain), yang telah dirumuskan dengan model matematika dalam bentuk persamaan
BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi
BAB: TEKNIK PENGINTEGRALAN Topik: Metode Substitusi Kompetensi yang diukur adalah kemampuan mahasiswa menghitung integral fungsi dengan metode substitusi.. UAS Kalkulus Semester Pendek no. b (kriteria:
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 9 Turunan Fungsi-Fungsi (1 (Fungsi Mononom, Fungsi Polinom 9.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila
Pada integral diatas, dalam mencari penyelesaiannya, pertama diintegralkan terlebih dahulu terhadap x kemudian diintegralkan lagi terhadap y.
PENDAHULUAN Pada bagian ini akan dibahas perluasan integral tertentu ke bentuk integral lipat dua dari fungsi dua peubah Akan dibahas bentukbentuk integral lipat dalam koordinat kartesius koordinat kutub
BAB I PENGERTIAN DASAR
BAB I PENGERTIAN DASAR Kompetensi Dasar: Menjelaskan pengertian dan klasifikasi dari persamaan diferensial serta beberapa hal yang terkait. Indikator: a. Menjelaskankan pengertian persamaan diferensial.
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n
TURUNAN DALAM RUANG DIMENSI-n A. Fungsi Dua Variabel atau Lebih Dalam subbab ini, fungsi dua variabel atau lebih dikaji dari tiga sudut pandang: secara verbal (melalui uraian dalam kata-kata) secara aljabar
PERSAMAAN GARIS LURUS
PERSAMAAN GARIS LURUS ( PERSAMAAN LINEAR ) Indikator :. Siswa dapat contoh persamaan garis lurus dalam berbagai bentuk dan variabel.. Siswa dapat menusun tabel pasangan dan menggambar grafik pada koordinat
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan
Aturan dasar pengintegralan Integral fungsi rasional Integral parsial Integral trigonometri Substitusi yang merasionalkan Strategi pengintegralan Kemampuan yang diinginkan: kejelian melihat bentuk soal
PTE 4109, Agribisnis UB
MATEMATIKA EKONOMI PTE 4109, Agribisnis UB 1 Materi ang dipelajari Pengertian dan Unsur- unsur Fungsi Jenis- jenis fungsi Penggambaran fungsi Linear Penggambaran fungsi non linear -Penggal -Simetri - Perpanjangan
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
PERSAMAAN DIFERENSIAL I PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Persamaan Diferensial Biasa 1. PDB Tingkat Satu (PDB) 1.1. Persamaan diferensial 1.2. Metode pemisahan peubah dan PD koefisien fungsi homogen 1.3. Persamaan
MATEMATIKA BISNIS BAB 2 FUNGSI LINIER
MATEMATIKA BISNIS BAB FUNGSI LINIER Hikmah Agustin, S.P.,MM DEFINISI FUNGSI Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainna. Unsur-unsur pembentukan fungsi : 1. Variabel Variabel
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nxn ke dalam hasil
BAB V DIAGONALISASI DAN DEKOMPOSISI MATRIKS. Diagonalisasi Sub bab ini membahas tentang faktorisasi matriks A berorde nn ke dalam hasil kali berbentuk PDP, di mana D adalah matriks diagonal. Jika diperoleh
Bab 2. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub
Bab. Persamaan Parametrik dan Sistim Koordinat Kutub Persamaan Parametrik Kurva-kurva ang berada dalam bidang datar dapat representasikan dalam bentuk persamaan parametrik. Dalam persamaan ini, setiap
Fungsi Peubah Banyak. Modul 1 PENDAHULUAN
Modul 1 Fungsi Peubah Banak Prof. Dr. Bambang Soedijono PENDAHULUAN D alam modul ini dibahas masalah Fungsi Peubah Banak. Dengan sendirina para pengguna modul ini dituntut telah menguasai pengertian mengenai
3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
TURUNAN. Ide awal turunan: Garis singgung. Kemiringan garis singgung di titik P: lim. Definisi
TURUNAN Ide awal turunan: Garis singgung Tali busur c +, f c + Garis singgung c, f c c P h c+h f c + f c Kemiringan garis singgung di titik P: f c + f c lim Definisi Turunan fungsi f adalah fungsi lain
INTEGRAL TAK TENTU (subtitusi parsial) Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ
INTEGRAL TAK TENTU subtitusi parsial Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ agustina.mipa@unej.ac.id DEFINISI Untuk ungsi yang terdeinisi pada selang terbuka I, dpt ditentukan ungsi
Diferensial dan Integral
Open Course Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratno Sudirham Pengantar Setelah kita mempelajari fungsi dan grafik, ang merupakan bagian pertama dari kalkulus, berikut ini kita akan membahas bagian kedua
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN
TEKNIK-TEKNIK PENGINTEGRALAN 1. Teknik Subtitusi Teorema : Misal g fungsi yang terdiferensialkan dan F suatu anti turunan dari f, jika u = g() maka f(g())g () d = f(u) du = F(u) + c = F(g()) + c sin. 1.
BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx +
BAB 1 Konsep Dasar 1 BAB 2 PDB Linier Order Satu 2.1 PDB Linier Order Satu Homogen PDB order satu dapat dinyatakan dalam atau dalam bentuk derivatif = f(x y) dx M(x y)dx + N(x y) = 0 (2.1) 2.1.1 PDB Eksak
Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat
JURNAL PENDIDIKAN MATEMATIKA VOLUME NOMOR JANUARI 0 Melukis Grafik Irisan Kerucut Tanpa Transformasi Sumbu-sumbu Koordinat La Arapu (Lektor pada Program Pendidikan Matematika FKIP Universitas Haluoleo)
Hendra Gunawan. 23 April 2014
MA1201 MATEMATIKA 2A Hendra Gunawan Semester II, 2013/2014 23 April 2014 Kuliah ang Lalu 13.11 Integral Lipat Dua atas Persegi Panjang 13.2 Integral Berulang 13.3 33Integral Lipat Dua atas Daerah Bukan
3.2 Teorema-Teorema Limit Fungsi
. Teorema-Teorema Limit Fungsi Menghitung it fungsi di suatu titik dengan menggunakan definisi dan pembuktian seperti ang telah diuraikan di atas adalah pekerjaan rumit. Semakin rumit bentuk fungsina,
4. TURUNAN. MA1114 Kalkulus I 1
4. TURUNAN MA4 Kalkulus I 4. Konsep Turunan 4.. Turunan di satu titik Pendauluan dua masala dalam satu tema a. Garis Sinun Kemirinan tali busur PQ adala : m PQ Jika à, maka tali busur PQ akan beruba menjadi
Persamaan Diferensial
Orde Satu Jurusan Matematika FMIPA-Unud Senin, 18 Desember 2017 Orde Satu Daftar Isi 1 Pendahuluan 2 Orde Satu Apakah Itu? Solusi Pemisahan Variabel Masalah Gerak 3 4 Orde Satu Pendahuluan Dalam subbab
panjang yang berukuran x i dan y i. Ambil sebuah titik pada sub persegi d
INTEGAL ANGKAP. Integral angkap Dua. Volume dan Pusat Massa. Integral angkap Tiga.4 Koordinat Tabung dan Koordinat Bola.. Intergral angkap Dua Misal diberikan daerah di bidang XOY ang berbentuk persegi
INTEGRAL RANGKAP DUA. diberikan daerah di bidang XOY yang berbentuk persegi panjang, {( )
Matematika asar Misal INTEGAL ANGKAP UA diberikan daerah di bidang XO yang berbentuk persegi panjang, {( ) } =, y a b, y d dan fungsi dua peubah z = f (,y ) >. Maka untuk menghitung volume benda ruang
PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN
Drs. Karso Modul 9 PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN DENGAN HARGA MUTLAK PENDAHULUAN Modul ang sekarang Anda pelajri ini adalah modul ang kesembilan dari mata kuliah Matematika Sekolah Dasar Lanjut. Adapun
Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaca modul mahasiswa memahami kegunaan Energi Spesifik.
Tujuan Pembelajaran Umum Setelah membaa modul mahasiswa memahami kegunaan Energi Spesifik. Tujuan Pembelajaran Khusus Setelah membaa modul dan menelesailkan ontoh soal, mahasiswa mampu menjelaskan penggunaan
Darpublic Nopember 2013
Darpublic Nopember 1 www.darpublic.com 1. Turunan Fungsi Polinom 1.1. Pengertian Dasar Kita telah melihat bahwa apabila koordinat dua titik ang terletak pada suatu garis lurus diketahui, misalna [ 1, 1
Pecahan Parsial (Partial Fractions)
oki neswan (fmipa-itb) Pecahan Parsial (Partial Fractions) Diberikan fungsi rasional f (x) p(x) q(x) f (x) r(x) : Jika deg p deg q; maka r (x) ^p (x) q(x) ; dengan deg r < deg q: p (x) q (x) r (x) ^p (x)
Suatu persamaan diferensial biasa orde n adalah persamaan bentuk :
PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA PERSAMAAN DIFERENSIAL Suatu persamaan iferensial biasa ore n aalah persamaan bentuk : F n, ', '', ''',......, 0 Yang menatakan hubungan antara, fungsi () an turunanna ', '',
PENDAHULUAN KALKULUS
. BILANGAN REAL PENDAHULUAN KALKULUS Ada beberapa jenis bilangan ang telah kita kenal ketika di bangku sekolah. Bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan asli, bulat, cacah, rasional, irrasional. Tahu
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Diferensiasi. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Diferensiasi ii Darpublic BAB Turunan Fungsi-Fungsi () (Fungsi Perkalian Fungsi, Fungsi Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit).1. Fungsi Yang Merupakan
Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK
Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tujuan penulisan ini untuk mengkaji tentang pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat pada
Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika. F (x) = f(x) dx dan f (x) dinamakan integran.
4 INTEGRAL Definisi 4. Fungsi F disebut anti turunan (integral tak tentu) dari fungsi f pada himpunan D jika untuk setiap D. F () f() Fungsi integral tak tentu f dinotasikan dengan f ( ) d dan f () dinamakan
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS
ANALISA VARIABEL KOMPLEKS Oleh: BUDI NURACHMAN, IR BAB I BILANGAN KOMPLEKS Dengan memiliki sistem bilangan real R saja kita tidak dapat menelesaikan persamaan +=0. Jadi disamping bilangan real kita perlu
11. Turunan Perkalian Fungsi, Pangkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit
Darpublic Nopember 01.darpublic.com 11. Turunan erkalian Fungsi, angkat Dari Fungsi, Fungsi Rasional, Fungsi Implisit 11.1. Fungsi Yang Merupakan erkalian Dua Fungsi Misalkan kita memiliki dua fungsi,
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO. Mohamad Sidiq
MATEMATIKA TEKNIK 2 S1-TEKNIK ELEKTRO REFERENSI E-BOOK REFERENSI ONLINE SOS Mathematics http://www.sosmath.com/diffeq/diffeq.html Wolfram Research Math World http://mathworld.wolfram.com/ordinarydifferentialequation.h
TINJAUAN MATA KULIAH... Kegiatan Belajar 2: PD Variabel Terpisah dan PD Homogen Latihan Rangkuman Tes Formatif
iii Daftar Isi TINJAUAN MATA KULIAH... xiii MODUL 1: PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE SATU 1.1 Pengertian PD Orde Satu dan Solusinya... 1.2 Latihan... 1.7 Rangkuman... 1.9 Tes Formatif 1..... 1.10 PD Variabel
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA(PDB) ORDE SATU PDB orde satu dapat dinyatakan dalam: atau dalam bentuk: = f(x, y) M(x, y) + N(x, y) = 0 Penyelesaian PDB orde satu dengan integrasi secara langsung Jika
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral i Darpublic Hak cipta pada penulis, 010 SUDIRHAM, SUDARYATNO Fungsi dan Grafik, Diferensial dan Integral Oleh: Sudaratmo Sudirham
Bagian 2 Turunan Parsial
Bagian Turunan Parsial Bagian Turunan Parsial mempelajari bagaimana teknik dierensiasi diterapkan untuk ungsi dengan dua variabel atau lebih. Teknik dierensiasi ini tidak hana akan diterapkan untuk ungsi-ungsi
a. Integral Lipat Dua atas Daerah Persegi Panjang
a. Integral Lipat ua atas aerah Persegi Panjang Misalan z = f(,) terdefinisi pada merupaan suatu persegi panjang tertutup, aitu : = {(, ) : a b, c d} b a z c d (,) Z=f(,). Bentu partisi [a,b] dan [c,d]
PEMBAHASAN KISI-KISI SOAL UAS KALKULUS PEUBAH BANYAK (TA 2015/2016)
PEMBAHAAN KII-KII OAL UA KALKULU PEUBAH BANYAK (TA 5/6) Arini oesatyo Putri DEEMBER 3, 5 UNIVERITA ILAM NEGERI UNAN GUNUNG DJATI BANDUNG Pembahasan oal Kisi-Kisi UA Kalkulus Peubah Banyak Tahun Ajaran
Persamaan Diferensial Biasa: Suatu Pengantar
Persamaan Diferensial Biasa: Suatu Pengantar ini ditujukan kepada mahasiswa yang baru berkenalan dengan persamaan diferensial. Buku ini membahas mulai dari materi-materi yang mendasar tentang persamaan
2 Akar Persamaan NonLinear
2 Akar Persamaan NonLinear Beberapa metoda untuk mencari akar ang telah dikenal adalah dengan memfaktorkan atau dengan cara Horner Sebagai contoh, untuk mencari akar dari persamaan 2 6 = 0 ruas kiri difaktorkan
1. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik
Darpublic Oktober 3 www.darpublic.com. Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka dikatakan bahwa besaran tersebut merupakan
Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK
Bab 9 DEFLEKSI ELASTIS BALOK Tinjauan Instruksional Khusus: Mahasiswa diharapkan mampu memahami konsep dasar defleksi (lendutan) pada balok, memahami metode-metode penentuan defleksi dan dapat menerapkan
Pemodelan Teknik Kimia Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.)
Pemodelan Teknik Kimia - 206 Bebarapa Contoh Aplikasi Persamaan Diferensial (oleh: Prof. Dr. Ir. Setijo Bismo, DEA.) Contoh #: Kepedulian terhadap Iklan Suatu produk sereal baru (diberi nama Oat Puff )
Persamaan Diferensial Biasa
Persamaan Diferensial Biasa Pendahuluan, Persamaan Diferensial Orde-1 Toni Bakhtiar Departemen Matematika IPB September 2012 Toni Bakhtiar (m@thipb) PDB September 2012 1 / 37 Pendahuluan Konsep Dasar Beberapa
BAB I. SISTEM KOORDINAT, NOTASI & FUNGSI
BAB I. SISTEM KRDINAT, NTASI & FUNGSI (Pertemuan ke 1 & 2) PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini akan dijelaskan tentang bilangan riil, sistem koordinat Cartesius, notasi-notasi ang sering digunakan
Respect, Professionalism, & Entrepreneurship. Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV Turunan. Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7
Mata Kuliah : Kalkulus Kode : CIV - 101 SKS : 3 SKS Turunan Pertemuan 3, 4, 5, 6, 7 Kemampuan Akhir ang Diharapkan Mahasiswa mampu : - menjelaskan arti turunan ungsi - mencari turunan ungsi - menggunakan
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0. a < 0 0 x 0 x
BAB VI FUNGSI KUADRAT (PARABOLA) Secara umum, persamaan kuadrat dituliskan sebagai ax 2 + bx + c = 0 atau dalam bentuk fungsi dituliskan sebagai f(x) = ax 2 + bx + c. Sifat matematis dari persamaan kuadrat
digunakan untuk menyelesaikan integral seperti 3
Bab Teknik Pengintegralan BAB TEKNIK PENGINTEGRALAN Rumus-rumus dasar integral tak tertentu yang diberikan pada bab hanya dapat digunakan untuk mengevaluasi integral dari fungsi sederhana dan tidak dapat
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA
FUNGSI TRIGONOMETRI, FUNGSI EKSPONENSIAL, dan FUNGSI LOGARITMA Makalah ini disusun untuk memenuhi tugas Mata Kuliah Kalkulus 1 Dosen Pengampu : Muhammad Istiqlal, M.Pd Disusun Oleh : 1. Sufi Anisa (23070160086)
Jurusan Matematika FMIPA-IPB
Jurusan Matematika FMIPA-IPB Ujian Kedua Semester Pendek T.A 4/5 KALKULUS/KALKULUS Jum at, Agustus 4 (Waktu : jam) SETIAP SOAL BERNILAI. Tentukan (a) + (b) p 4 + 5. Periksa apakah Teorema Nilai Rata-rata
MA1201 KALKULUS 2A Do maths and you see the world
Catatan Kuliah MA20 KALKULUS 2A Do maths and you see the world disusun oleh Khreshna I.A. Syuhada, MSc. PhD. Kelompok Keilmuan STATISTIKA - FMIPA Institut Teknologi Bandung 203 Catatan kuliah ini ditulis
Sudaryatno Sudirham. Studi Mandiri. Fungsi dan Grafik. Darpublic
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik ii Darpublic BAB 1 Pengertian Tentang Fungsi dan Grafik 1.1. Fungsi Apabila suatu besaran memiliki nilai ang tergantung dari nilai besaran lain, maka
Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral
Sudaratno Sudirham Studi Mandiri Fungsi dan Grafik Diferensial dan Integral ii Darpublic BAB 5 Bangun Geometris 5.1. Persamaan Kurva Persamaan suatu kurva secara umum dapat kita tuliskan sebagai F (, )
ALJABAR. Buktikan bahwa ruas pertama dari persamaanm kuadrat
Mengenang Jejak Sebagian Kecil Bangsa Indonesia Yang Pernah Mengikuti Ujian Sekolah Pada Masa Silam UJIAN PENGHABISAN SEKOLAH MENENGAH TINGKAT ATAS TAHUN 9. HBS (Hogere Burger School) NI, 9 ALJABAR Buktikan
Bab 4. Sistem Persamaan Linier dan Variabel. Standar Kompetensi
Bab 4 Sistem Persamaan Linier dan Variabel Standar Kompetensi Memahami sistem persamaan linear dua variabel, dan menggunakanna dalam pemecahan masalah Kompetensi Dasar.1 Menelesaikan sistem persamaan linear
Ilustrasi Permukaan ruang dalam bentuk fungsi eksplisit dan implisit.
Koko Martono FMIPA - ITB 77 Fungsi dua peubah, permukaan ruang, dan kurva ketinggian Fungsi dua peubah mempunai aturan = f (,) dengan daerah asal dan daerah nilai D f = {(,) : f (,) } dan R f = { : = f
Hendra Gunawan. 16 Oktober 2013
MA1101 MATEMATIKA 1A Hendra Gunawan Semester I, 2013/2014 16 Oktober 2013 Latihan (Kuliah yang Lalu) 1. Diketahui g(x) = x 3 /3, x є [ 2,2]. Hitung nilai rata rata g pada [ 2,2] dan tentukan c є ( 2,2)
matematika K-13 PERSAMAAN GARIS LURUS K e l a s
K- matematika K e l a s XI PERSAMAAN GARIS LURUS Tujuan Pembelajaran Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.. Memahami pengertian garis, garis pada koordinat Cartesius,
TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 2016/2017
A. Pengantar Persamaan Diferensial TUGAS MANDIRI KULIAH PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Tahun Ajaran 016/017 1. Tentukan hasil turunan dari fungsi sebagai berikut: a. f() = c e b. f() = c cos k + c sin k c.
Modul ke: MATEMATIKA 1 DERIVATIF PARSIAL. Fakultas TEKNIK IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T. Program Studi TEKNIK ELEKTRO
Modul ke: MATEMATIKA 1 DERIVATIF PARSIAL Fakultas TEKNIK IMELDA ULI VISTALINA SIMANJUNTAK,S.T.,M.T. Program Studi TEKNIK ELEKTRO Derivatif Parsial 1. Derivatif fungsi dua perubah. Derivatif parsial tingkat