BAB I PRA KALKULUS. Nol. Gambar 1.1

Transkripsi

1 BAB I PRA KALKULUS. Sistem bilangan ril.. Bilangan ril Sistem bilangan ril adalah himpunan bilangan ril dan operasi aljabar aitu operasi penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian. Biasana bilangan ril dinatakan dengan lambang R. Operasi aljabar sering dinatakan dengan operasi penjumlahan dan perkalian saja. Hal ini disebabkan operasi pengurangan dapat digantikan dengan operasi penjumlahan, sedangkan operasi pembagian dapat digantikan dengan operasi perkalian. Sebagai contoh jika a dan b adalah unsur bilangan ril, maka a - b dapat ditulis dalam bentuk a + (-b). Sedangkan a b dapat ditulis dalam bentuk a. b. Bilangan Ril (R) Rasional (Q) Irrasional (I) Bulat (J) Pecahan Desimal berulang Desimal terbatas Negatif Cacah (W) Nol Asli (N) Gambar. Gambar. adalah jenis-jenis bilangan ril. Untuk mendapatkan pengertian ang lebih jelas mengenai jenis - jenis bilangan ini, berikut diberikan rincian - rincianna Himpunan bilangan asli (N) N = {,,,. } Himpunan bilangan cacah (W) W = {,,,, } Himpunan bilangan bulat (J) J = {, -, -, -,,,,, } Himpunan bilangan rasional (Q) Himpunan bilangan radional adalah himpunan bilangan ang mempunai bentuk p/q atau bilangan ang dapat ditulis dalam bentuk p/q, dimana p dan q adalah anggota bilangan bulat dan q ¹ ìp ü Q = í p dan q Î J,q ¹ ý îq þ

2 Contoh. Buktikan bahwa bilangan-bilangan, (,7) dan (,5858 ) adalah bilanganbilangan rasional! Bukti : a) Bilangan dapat ditulis dalam bentuk p/q aitu : / atau 6/ dan seterusna. b) Bilangan,7 dapat ditulis dalam bentuk : 7/ c) Bilangan,5858 dapat ditulis dalam bentuk p/q dengan cara : =,5858 = 58,5858 = = 56 = 99 Jadi bilangan-bilangan, (,7) dan (,5858 ) adalah bilangan-bilangan rasional... Garis bilangan ril Garis bilangan ril adalah tempat kedudukan titik-titik, dimana setiap titik menunjukkan satu bilangan ril tertentu ang tersusun secara terurut. Untuk menggambarkan garis bilangan ril,perhatikan Gambar.. Pertama - - -,5,5 Gambar. Garis bilangan ril gambarkan garis horizontal dan tentukan titik nol. Selanjutna kita tentukan titik-titik tempat kedudukan bilangan ril positif bulat disebelah kanan titik nol dengan ketentuan jarak antara titik dan, titik dan atau dan -, - dan - dan seterusna adalah sama. Tempat kedudukan bilangan ril lainna disesuaikan dengan posisi bilangan-bilangan bulat... Hukum-hukum bilangan ril Operasi penjumlahan dan perkalian bilangan ril mematuhi hukum-hukum seperti ang disebutkan berikut ini : Jika a dan b adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : ( i ) a + b hukum penjumlahan ( ii ) a. b hukum perkalian ( iii ) a + b = b + a hukum komutatif penjumlahan ( iv) a. b = b.a hukum komutatif perkalian Jika a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril maka berlaku : ( v ) ( a + b ) + c = a + ( b + c ) hukum asosiatif penjumlahan ( vi ) ( ab ) c = a ( bc) hukum asosiatif perkalian ( vii ) a ( b + c ) = ab + ac hukum distributif ( viii ) a + = + a = a hukum penjumlahan nol ( i ) a. =. a = a hukum perkalian satu ( ) a. =. a = hukum perkalian nol ( i ) a + ( - a ) = -a + a hukum invers penjumlahan ( ii ) a. ( /a ) =, a ¹ hukum invers perkalian

3 Soal-soal Diketahui : -, /, 7,, -,, (,), /9, 6, (,55 ),, (,979 ) Dari bilangan tersebut diatas, tentukan bilangan-bilangan a) bulat, b) cacah, c) rasional, d) irasional, e) ril positif, f) ril negatif dan g) asli serta gambarkan masingmasing garis bilanganna!. Bilangan kompleks Bilangan kompleks adalah bilangan ang terdiri dari unsur bilangan ril dan imajiner. Bentuk umum bilangan kompleks adalah z = a + ib. Komponen a disebut bagian ril dan ditulis Re(z) dan b adalah bagian imajiner dan ditulis Im(z). Bilangan a dan b adalah bilangan-bilangan ril sedangkan i adalah bilangan imajiner ang besarna adalah. Karena i =, maka : i =. = - i = i. i = - i i = i. i = ; dan seterusna. Dari keterangan diatas didapat : = ( )( ) = i ; dan seterusna... Sifat-sifat bilangan kompleks Misal z = + i dan z = + i, maka berlaku : a) z = z Û = dan = sifat kesamaan b) z + z = ( + ) + i( + ) sifat penjumlahan c) z - z = ( - ) + i( - ) sifat pengurangan d) z. z = ( - ) + i( + ) sifat perkalian.. Konjugat Bila terdapat suatu bilangan kompleks z = + i, maka konjugat bilangan kompleks tersebut adalah z = i. Jika bilangan kompleks berbentuk z = i, maka konjugatna adalah z = + i. Bila kita bandingkan kedua bilangan kompleks diatas dengan konjugatna maka perbedaanna terletak pada komponen imajinerna. Jika komponen imajiner pada suatu bilanga kompleks adalah +i maka komponen imajiner pada konjugatna adalah i. Jika komponen imajiner pada bilangan kompleks adalah i, maka komponen imajiner pada konjugatna adalah +i. Sedangkan komponen ril baik pada bilangan kompleks maupun pada konjugatna adalah sama. Selain ditulis dalam bentuk z, konjugat suatu bilangan kompleks juga sering ditulis dalam bentuk z *... Perkalian bilangan kompleks dengan konjugatna Perkalian antara bilangan kompleks dengan konjugatna dapat dijelaskan sebagai berikut : Jika terdapat suatu bilangan kompleks z = + i maka konjugatna adalah z = i. Jadi perkalian bilangan kompleks dengan konjugatna adalah : zz = ( + i)( i) = - i + i - i = + Dari hasil perkalian diatas kita dapat menimpulkan bahwa perkalian bilangan kompleks dengan konjugatna menghasilkan bilangan ril.

4 .. Pembagian dua buah bilangan kompleks Untuk melakukan operasi pembagian dua buah bilangan kompleks pertamatama kita kalikan pembilang dan penebutna (dalam hal ini z dan z ) dengan konjugat z. Sehingga didapat : z z = z z z z Jadi : = z z ( ( = i ) i ) ( ( i i Contoh. Diketahui : z = i dan z = i ) ) = + i i i Tentukan : a) z +z b) z -z c) z.z d) z /z e) z f) z. z Penelesaian : Dari soal didapat bahwa : 5 ; 7 ; ; z z z ( ) i( ) ( 5 ) i(7 ( )) 8 9 a) z ( ) i( ) ( 5 ) i(7 ( )) 5i b) i c) z. z = ( - ) + i( + ) = ((-5)() (7)(-))+i((-5)(-)+()(7)) = (-5 + ) + i ( + ) = - + i z d) = + i z = = ( 5)() (7)( ) ()(7) ( 5)( ) i ( ) ( ) i e) z. = (-5 + 7i)( + i) = -5 -i + i + i = -9 + i z f) z. z = (-5-7i) ( - i) = -5 +i - i + i = -9 - i Soal-soal. Selesaikan soal-soal berikut : a) ( + 5i) + ( 7i) d) (- - i) (-5-8i) g) ( i)(5 + i) 5 b) ( i) + (- + i) e) ( i ) - ( i ) h) ( i )( i ) / ( / )i c) (- 6 + i) (6-5i) f) (5 + i)(7 + i) i) /5 ( /7)i. Jika z = -7 -i dan z = + 5i Tentukan : a) z z b) z z. Pertaksamaan Pertaksamaan adalah salah satu bentuk pernataan matematika ang mengandung satu peubah atau lebih ang dihubungkan oleh tanda-tanda <, >, atau ³. Ditinjau dari jumlah dan pangkat peubah maka pertaksamaan dapat dibagi menjadi pertaksamaan linier dengan satu peubah, pertaksamaan linier dengan peubah banak

5 dan pertaksamaan kuadrat. Jika terdapat suatu himpunan bilangan ril ang unsurunsurna dapat menggantikan peubah dari pertaksamaan maka himpunan bilangan tersebut disebut himpunan pengganti. Jika sebagian dari unsur himpunan pengganti menebabkan pertaksamaan menjadi suatu pernataan ang benar maka himpunan tersebut disebut himpunan jawab. Jika himpunan jawab dimisalkan A dan himpunan pengganti dimisalkan B maka A Ì B. Jika A = B maka pertaksamaan dinamakan ketaksamaan. Contoh. Dari pertaksamaan / > Himpunan pengganti atau B adalah Himpunan jawab atau A adalah Î R Î R ¹, ¹. Jadi A Ì B Contoh. Dari pertaksamaan / > Himpunan pengganti atau B adalah { çîr, ¹ } Himpunan jawab atau A adalah { çîr, ¹ }. Karena A = B, maka / > disebut ketaksamaan... Sifat-sifat pertaksamaan ( i ) Jika a > b dan b > c, maka a > c ( ii ) Jika a > b, maka a + c > b + c ( iii ) Jika a > b, maka a - c > b c ( iv) Jika a > b dan c adalah bilangan positif, maka ac > bc ( v ) Jika a > b dan c adalah bilangan negatif, maka ac < bc Dengan mengganti tanda > pada sifat-sifat diatas dengan tanda <, maka akan didapat sifat-sifat ang analog sebagai berikut : ( vi ) Jika a < b dan b < c, maka a < c ( vii ) Jika a < b, maka a + c < b + c ( viii ) Jika a < b, maka a - c < b c ( i) Jika a < b dan c adalah bilangan positif, maka ac < bc ( ) Jika a < b dan c adalah bilangan negatif, maka ac > bc Sifat-sifat pertaksamaan lainna : ( i ) ac > jika a > dan c > atau jika a < dan c < ( ii ) ac < jika a < dan c > atau jika a > dan c < ( iii ) a/c > jika a > dan c > atau jika a < dan c < ( iv ) a/c < jika a < dan c > atau jika a > dan c < ( v ) Jika a > b, maka a < -b ( vi ) Jika /a < /b, maka a > b ( vii) Jika a < b < c, maka b > a dan b < c (bentuk komposit).. Selang ( interval ) Selang adalah himpunan bagian dari bilangan ril ang mempunai sifat relasi tertentu. Jika batas-batasna merupakan bilangan ril maka dinamakan selang hingga. Jika bukan bilangan ril maka dinamakan selang tak hingga ( ). Lambang menatakan membesar tanpa batas dan lambang - menatakan mengecil tanpa batas. Contoh dari bermacam-macam selang dapat dilihat pada tabel berikut ini. 5

6 Notasi Definisi Grafik Keterangan (a,b) a b [a,b] a b [a,b) a b (a,b] a b ( a, ) a [ a, ) ³ a (,b) b (,b] b a b ( ) Selang terbuka a b [ ] Selang tertutup a b [ ) a b ( ] a ( a [ Selang setengah terbuka Selang setengah terbuka Selang terbuka Selang tertutup b ) Selang terbuka b ] Selang tertutup (, ) R Selang terbuka.. Pertaksamaan linier satu peubah Pertaksamaan linier satu peubah adalah pernataan matematika ang memuat satu peubah ang mempunai pangkat satu dan dihubungkan dengan tandatanda <, >, atau ³. Bentuk umum dari pertaksamaan linier satu peubah adalah :a + b (?), dimana a dan b adalah konstan, sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda-tanda <, >, atau ³. Contoh.5 Selesaikan pertaksamaan < -5 Penelesaian : < -5 semua ruas dikurang < < - /7 ( 7 ) < /7 ( - ) semua ruas dikalikan /7 < - Jadi himpunan penelesaianna adalah : - ) selang terbuka - Gambar. Contoh.6 Tentukan himpunan penelesaian dari pertaksamaan + < + 9 Penelesaian : + < ( + )< + 9 ( + ) semua ruas dikurang (+) < 8 6

7 / () < / ( 8 ) semua ruas dikalikan / < Himpunan penelesaianna adalah : ) selang terbuka Gambar. Untuk kesederhanaan, penelesaian pertaksamaan linier satu peubah dapat diselesaikan dengan cara mengelompokkan peubah pada salah satu ruas dan mengelompokkan konstan pada ruas lainna. Ingat, setiap memindahkan suku pada ruas ang berbeda tandana akan berubah! Contoh.7 Tentukan himpunan penelesaian dari pertaksamaan - ³ Penelesaian : - ³ ³ 8 + Pidahkan 5 keruas kiri dan - keruas kanan Kelompokkan peubah pada ruas kiri dan kelompokkan konstan pada ruas kanan. - ³ 6 (-/)(-) ()(-/) Jika mengalikan setiap ruas dengan bilangan negatif maka tanda pertaksamaan harus dibalik. Lihat sifat pertaksamaan (v). -5 Himpunan penelesaianna adalah : 5 ] selang terbuka -5 Gambar.5 Contoh.8 Tentukan himpunan penelesaian dari pertaksamaan < 5 < Penelesaian : < 5 < < 5 < Kalikan semua ruas dengan 5 ()(5)< (5) 5 < (5)( ) < < 5 Dapat dipecah menjadi dua bagian, aitu > dan < -5. (perhatikan sifat pertaksamaan vii). Setelah dipecah menjadi dua pertaksamaan, selesaikan satu persatu. > < -5 < >9 < -8 > / Jadi himpunan penelesaianna adalah : -8 atau ) ( -8 / selang terbuka Gambar.6 7

8 Soal-soal Selesaikan pertaksamaan : (8 ) > ³ ³ < Nilai mutlak Nilai mutlak dari dinatakan dengan dan didefinisikan sebagai : ì jika í î jika ³ Teorema-teorema Jika a dan b adalah bilangan ril, maka : ( i ) a Û a a ( ii ) a Û a atau < -a ( iii ) a Û a a ( iv ) ³ a Û ³ a atau -a ( v ) a Û a atau = -a ( vi ) ab a b. Bukti : ab (ab) a b a b a b (terbukti) a a ( vii ),b ¹. Bukti : b b ( viii ) a b a b (ketaksamaan segitiga) a b éaù a a a ê b ú (terbukti) ë û b b b Bukti : a b a ab b a a b b a b a b a b a b a b Telah diketahui bahwa : a b a b Jadi ( i ) a b a b a b a b (terbukti).. Jadi a b a b (terbukti) Bukti: a b a ( b) a b a b ( ) a b a b Bukti : a a b b a b b Jika setiap suku dikurangi dengan b, maka a b a b (terbukti) Contoh.9 Selesaikan pertaksamaan 5, gambarkan garis bilangan dan selangna Penelesaian : (lihat teorema iii ) Dengan memperhatikan sifat pertaksamaan vii halaman 6, maka kita dapatkan dua buah pertaksamaan, aitu : 5 ³ dan 5. Selanjutna kita selesaikan satu persatu persamaan tersebut. - 5 ³ - ³ 5 9 Jadi himpunan penelesaian pertakasamaan adalah : 9 8

9 [ ] 9 selang tertutup Gambar.7 Contoh. Selesaikan pertaksamaan 7, gambarkan garis bilangan dan selangna Penelesaian : 7 - > 7 > (lihat teorema iii ) Dengan memperhatikan sifat pertaksamaan vii halaman 6, maka kita dapatkan dua buah pertaksamaan, aitu : 7 dan 7. Selanjutna kita selesaikan satu persatu persamaan tersebut. 7 7 Jadi himpunan penelesaian pertakasamaan adalah : atau ) ( selang terbuka Gambar.8 Soal-soal Selesaikan pertaksamaan : ³ Pertaksamaan linier dua peubah Bentuk umum pertaksamaan linier dua peubah adalah : a + b + c (?) ; konstanta-konstanta a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a ¹. Tanda (?) adalah salah satu dari tanda <, >, atau ³. Untuk membantu mahasiswa dalam menggambarkan grafik pertaksamaan linier dua peubah, berikut diberikan prosedurna.. Ganti tanda pertaksamaan dengan tanda sama dengan dan selanjutna gambarkan grafik persamaan linier ang dimaksud. Setelah digambar kita akan melihat bahwa grafik persamaan linier adalah garis ang membagi bidang menjadi dua bagian.. Jika pada pertaksamaan menggunakan tanda atau ³ berarti garis tersebut termasuk pada grafik ang akan digambarkan. Selanjutna garis tersebut digambarkan secara penuh. Jika pertaksamaan menggunakan tanda < atau > berarti garis tersebut tidak termasuk pada grafik ang akan digambarkan. Selanjutna garis tersebut digambarkan putus-putus.. Pilih salah satu titik koordinat pada masing-masing bidang dan kemudian substitusikan pada pertaksamaan. Jika substitusi tersebut menghasilkan pernataan ang benar berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang ang dimaksud. Sebalikna jika substitusi menghasilkan pernataan ang salah maka bidang tempat kedudukan titik tersebut bukan 9

10 bidang ang dimaksud. Untuk keseragaman bidang ang memenuhi pertaksamaan diarsir. Akan menjadi lebih sederhana jika kita memilih titik koordinat (,) asalkan titik koordinat tersebut tidak dilalui oleh garis. Contoh. Gambarkan grafik pertaksamaan ³ 8 Penelesaian : Langkah. Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan - = 8 Langkah. Gambarkan grafikna. Gambar.9. Memilih titik koordinat. Pilih satu titik koordinat aitu (,) dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternata substitusi ini menghasilkan pernataan ang salah. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut bukan bidang ang dicari. Sehingga bidang disebelahna merupakan bidang ang dicari. Selanjutna bidang tersebut diarsir. Gambar. Contoh. Gambarkan grafik pertaksamaan 5 + < 6 Penelesaian : Langkah. Ganti tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan 5 + = 6 Langkah. Gambarkan grafikna.

11 Gambar. Langkah Memilih titik koordinat. Pilih satu titik koordinat aitu (,) dan substitusikan ke pertaksamaan. Ternata substitusi ini menghasilkan pernataan ang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik koordinat tersebut merupakan bidang ang dicari. Sehingga bidang disebelahna bukan bidang ang dicari. Selanjutna arsir ang dicari tersebut. Gambar. Soal-soal Gambarkan grafik dari pertaksamaan-pertaksamaan berikut!. + <. + > ³ Sistem pertaksamaan linier Dalam penerapanna sering terdapat lebih dari satu pertaksamaan ang harus diselesaikan secara serentak. Pertaksamaan-pertaksamaan tersebut dinamakan sistem pertaksamaan linier. Dalam pembahasan sistem per- taksamaan linier kita hana akan membahas sistem pertaksamaan linier ang mempunai tidak lebih dari peubah. Langkah-langkah penelesaian sistem pertaksamaan linier.. Ganti semua tanda pertaksamaan menjadi tanda sama dengan.. Gambarkan grafikna.. Periksa salah satu titik koordinat pada bidang. Jika menghasilkan pernataan ang benar, berarti bidang tersebut adalah bidang ang dicari. Contoh. Gambarkan grafik sistem pertaksamaan + < 5 dan ³ Penelesaian : Langkah. + = 5 - = -

12 Langkah. Gambar. Langkah. Periksa koordinat (,). Setelah dilakukan substitusi harga = dan = kedalam sistem pertaksamaan ternata menghasilkan pernataan ang benar. Berarti bidang tempat kedudukan titik tersebut adalah bidang ang dicari. Selanjutna bidang tersebut diarsir. Gambar. Contoh. (penerapan sistem pertaksamaan linier) Sebuah pabrik kendaraan bermotor akan memproduksi dua jenis kendaraan aitu jenis diesel dan bensin. Biaa pembuatan jenis kendaraan diesel adalah Rp. juta/kendaraan, sedangkan untuk jenis kendaraan bensin adalah Rp. 8 juta /kendaraan. Jika pabrik tersebut mempunai kemampuan produksi kendaraan setiap bulan dan dan untuk pembuatan kedua jenis kendaraan tersebut tidak lebih dari Rp milar / bulan, tentukan bentuk pertaksamaan dari persoalan diatas dan gambarkan grafikna. Penelesaian: Diesel (juta rupiah) Bensin (juta rupiah) Nilai batas (juta rupiah) Biaa Rp..., Rp. 8.., Rp. milar Jumlah juta. + 8 juta.. juta atau : ³ ; ³

13 Gambar.5 Soal-soal Gambarkan grafik dari pertaksamaan linier berikut : ì ì 8 ì 9 ì ³ ï ï. í. í. í ³. í 6 î 6 î ï î ³ ï î ³ dan ³ 5. Sebuah industri komputer akan memproduksi sekurang-kurangna buah komputer ang terdiri dari dua jenis aitu jenis PC dan Laptop. Diperkirakan biaa untuk memproduksi sebuah PC adalah Rp..., sedangkan untuk memproduksi Laptop adalah Rp. 6..,. Jika dana ang tersedia untuk memproduksi kedua jenis komputer tersebut adalah Rp. milar rupiah tentukan sistem pertaksamaan linier dari persoalan diatas dan gambarkan grafikna!...7 Pertaksamaan kuadrat Bentuk umum dari pertaksamaan kuadrat adalah : a + b + c (?), dimana a, b dan c adalah bilangan-bilangan ril dan a ¹ Sedangkan (?) adalah salah satu dari tanda <, >,, atau ³. Penelesaian dari pertaksamaan adalah menentukan harga-harga peubah ang memenuhi pertaksamaan. Contoh.5 Selesaikan pertaksamaan > Penelesaian : Lakukan pemaktoran terhadap pertaksamaan : > ( )( ) > Titik-titik kritis adalah dan Grafik pertaksamaan : : : ( )( ) : ) ( Gambar.6

14 Dari gambar diatas didapat bahwa daerah ang memenuhi pertaksamaan adalah < atau >. Contoh.6 Tentukan himpunan penelesaian dari pertaksamaan : ( ) Penelesaian : ( ) ( )( ) 8 8 ³ ( )( ) ³ Titik-titik kritis adalah -, dan Grafik pertaksamaan : 8 ³ ( ) ( 9) ³ : : : ( )( ) : (- ) [ ) [ - Gambar.7 Himpunan penelesaianna adalah : - atau ³ Soal-soal Selesaikan pertaksamaan berikut dan tentukan selangna!. ( + )( ) > ( - )( + 5) < 6. >5 6. ( + 6) ³ ( 7) 8. + ³. Koordinat Kartesius Dalam kehidupan sehari-hari kita sering membuat hubungan antara satu besaran dan besaran lainna. Contohna adalah untuk membeli sejumlah barang kita harus mengeluarkan sejumlah uang, pengukuran temperatur pada suatu tabung berhubungan dengan tekanan didalamna dan masih banak contoh lainna lagi. Contoh-contoh diatas adalah hubungan dua besaran ang akan menghasilkan pasangan terurut bilangan ril. Jika pasangan terurut bilangan tersebut disimbolkan dengan (untuk bilangan pertama) dan (untuk bilangan kedua) maka kita dapat menuliskan pasangan bilangan terurut dengan (,). Setiap pasangan terurut bilangan ril disebut titik dan dinatakan dengan R. Sedangkan himpunan pasangan terurut bilangan ril disebut bidang bilangan dan disimbolkan dengan R. Bidang bilangan dpt. Digambarkan dengan bantuan koordinat Kartesius. Untuk menggambarkan koordinat

15 sumbu sumbu Gambar.8 Koordinat Kartesius kartesius pertama-tama kita gambarkan dua buah garis ang saling tegak lurus, seperti pada Gambar.8. Garis tegak lurus adalah sumbu atau ordinat, sedangkan garis horizontal disebut sumbu atau absis. Titik potong kedua garis tsb. adalah titik asal (origin) dan dilambangkan dengan. Sumbu ang berada disebelah kanan titik asal menunjukkan arah positif sedangkan disebelah kiri adalah arah negatif. Sumbu ang berada diatas titik asal adalah arah positif sedangkan ang berada dibawahna adalah arah negatif. Pasangan kedua sumbu dan adalah koordinat Kartesius. Jika suatu pasangan terurut bilangan ril (, ) menunjukkan titik A (ditulis A (, )), maka (, ) disebut koordinat titik A.Sebagai contoh bila harga = dan harga = -, maka titik A dapat ditentukan seperti ang ditunjukkan pada Gambar.9. A(,-) Gambar.9 Titik koordinat Kuadran-kuadran Bila kita perhatikan koornat Kartesius maka akan terlihat empat buah bidang. Bidangbidang tersebut disebut kuadran-kuadran ang terdiri dari kuadran I, II, III dan IV. Pembagian dari kuadran-kuadran tersebut dapat dilihat padda Gambar. dibawah ini. kuadran II kuadran I ( -, + ) ( +, + ) kuadran III kuadran IV ( -, - ) ( +, - ) Gambar. Kuadran-kuadran pada koordinat Kartesius Soal-soal Diketahui koordinat-koordinat :. (, ). ( -5, -6) 5. ( -, 7 ). (, -5 ). ( -, 6 ) 6. ( -,) 5

16 .5 Pertambahan dan jarak Jika sebuah partikel bergerak dari suatu titik P (, ) ke titik P (, ) maka dikatakan bahwa koordinat partikel tersebut mengalami pertambahan sebesar dan. Sebagai contoh, bila suatu partikel bergerak dari titik A(,- ) ke B(-,) B(-,) A(,-) Gambar. Gerak partikel dari titik A ke B (lihat Gambar.) maka pertambahanna adalah : = - = - = -5 = - = (-) = Dari contoh diatas dapat disimpulkan bahwa pertambahan pada suatu koordinat adalah perubahan netto, aitu : ì í î titik akhir titik akhir titik awal titik awal (. ).5. Jarak antara dua titik Apabila sumbu-sumbu koordinat menggunakan satuan pengukuran ang sama maka jarak antara dua buah titik pada suatu bidang tertentu dapat ditrntukan dengan menggunakan kombinasi antara pertambahan-pertambahan koordinat dan teorema Pthagoras, seperti ang ditunjukkan Gambar. berikut. h P (, ) P (, ) Gambar. Jarak dua titik 6

17 = - = - = -5 = - = (-) = Dari teorema Pthagoras didapat : Jarak P P = d(p P ) = h = (. ) Contoh.7 Tentukan jarak dari pasangan koordinat berikut : a) P = (-,) dan P = (,) b) P = (-,-) dan P = (5,) Penelesaian : a) = - = (-) = 6 ; = - = = - Jarak P P = d(p P )= h = = (6) ( ) b) = - = 5 (-) = 7 ; = - = (-) = Jarak P P = d(p P ) = h = = (7) () Titik tengah Jika terdapat sebuah garis L (lihat Gambar.) ang mempunai titik pangkal P (, ), titik ujung P (, ) dan titik tangah M(,), maka koordinat titik tengah garis tersebut dapat ditentukan sebagai berikut : P (, ) M(,) l P (, ) Gambar. Titik tengah garis d(p,m) = d(m, P ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) 7

18 Dari persamaan diatas didapat : + = + = ì Jadi koordinat titik tengah garis adalah M(,)= í, î ü ý þ (.) Soal-soal Diketahui koordinat-koordinat :. (,) dan (,5). (5,) dan (,). (-,-) dan (,). (-,) dan (,-) Tentukan jarak masing-masing koordinat dan titik tengahna!.6 Kemiringan garis Kemiringan didefinisikan sebagai ukuran laju perubahan koordinat dari titik-titik ang terletak pada suatu garis.misal dua buah titik aitu P (, ) dan P (, ) terletak pada suatu garis l, seperti ang ditunjukkan pada Gambar. berikut ini. P (, ) P (, ) Gambar. Titik tengah garis Dari persamaan. didapat = dan =. Dengan mengacu pada definisi, maka kemiringan garis atau koeffisien arah (sering disimbolkan dengan lambang m) adalah : m = (. ) Contoh.9 Tentukan kemiringan atau koeffisien arah garis ang melalui titik (,5) dan (6,). Penelesaian : 5 m = = 6.7 Dua garis sejajar Dua buah garis dikatakan sejajar bila kedua garis tersebut tidak mempunai titik potong untuk sembarang koordinat (,). Misal pada garis l terdapat titik-titik 8

19 P (, ) dan P (, ) serta pada garis l terdapat titik-titik P ' ( ', ' ) dan P ' ( ', ' ) dengan kondisi ' dan ' (lihat Gambar.5). Berdasarkan definisi, kita dapat menimpulkan bahwa jarak antara titik P dan P sama dengan jarak P dan P. Jarak P dan P = d( P,P ) = ' ) (' ) ( ( * ) Karena ' maka d( P,P ) = ( ' ) ' ( ** ) Jarak P dan P = d( P,P ) = ' ) (' ) ( ( # ) Karena =, maka d( P,P ) = ( ' ) ' ( ## ) Karena jarak P dan P sama dengan jarak P dan P maka persamaan (**) sama dengan persamaan (##) atau dapat ditulis sebagai : ' ' atau ' ' ' ' P (, ) P (, ) P (, ) P (, ) Gambar.5 Dua garis sejajar Dari Gambar.5 diketahui bahwa : Kemiringan garis l adalah m = Kemiringan garis l adalah m = ' ' ; ' ' ' Karena : dan ', maka m = =m Jadi dapat dibuktikan bahwa dua garis dikatakan sejajar jika mempunai kemiringan atau koeffisien arah ang sama dan ditulis dalam bentuk : ' ' m = m (.5) 9

20 Contoh. Buktikan bahwa garis l ang melalui titik-titik (,6) dan (,-) sejajar dengan garis l ang melalui titik (,) dan (,). Penelesaian : 6 Kemiringan garis l adalah m = Kemiringan garis l adalah m = Karena m = m, maka garis l sejajar dengan garis l..8 Dua garis tegak lurus Hubungan antara kemiringan dua buah garis ang saling tegak lurus dapat ditentukan dengan bantuan Gambar.6 berikut ini. l l P (, ) P (X, ) P (X, ) P (, ) Gambar.6 Dua garis tegak lurus Kemiringan garis l adalah : m = Kemiringan garis l adalah : m = {d(p,p )} = {d(p,p )} + {d(p,p )} = ( - ) +( ) {d(p,p )} = {d(p,p )} + {d(p,p )} = ( - ) +( ) {d(p,p )} = {d(p,p )} + {d(p,p )} = {d(p,p )+d(p,p )} Jadi : ( - ) +( - ) +( - ) +( - ) ={( - ) +( - )} = = -

21 ( - )- ( - )+( - ) = ( - ) +( - ) = ( - )( - ) = -( - )( - ) Karena : ( = ) Maka : = ( = m ) m atau m m = - (.6) Contoh. Buktikan bahwa garis l ang melalui titik-titik (,-) dan (5,) tegak lurus terhadap garis l ang melalui titik-titik (,) dan (,-)! Penelesaian : Kemiringan garis l adalah : m = ( ) 5 Kemiringan garis l adalah : m = Karena : m.m = -, maka garis l saling tegak lurus dengan garis l. Soal-soal :. Tentukan kemiringan garis ang melalui titik-titik : a) P (,) dan P (,5) c) P (-,-) dan P (,-) b) P (-,) dan P (,) d) P (,) dan P (,-5). Tentukan apakah garis-garis l dan l berikut ini sejajar, tegak lurus atau tidak keduana! a) Garis l ang melalui titik-titik (,) dan (,) dan garis l ang melalui titik-titik (,) dan (,-). b) Garis l ang melalui titik-titik (,) dan (,) dan garis l ang melalui titik-titik (,-8) dan (,-). c) Garis l ang melalui titik-titik (,) dan (,) dan garis l ang melalui titik-titik (,-) dan (-,).