-LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

Transkripsi

1 -LIMIT- -KONTINUITAS- -BARISAN- Agustina Pradjaningsih, M.Si. Jurusan Matematika FMIPA UNEJ

2 Konsep Limit Fungsi mendasari pembentukan kalkulus dierensial dan integral. Konsep ini dikenal sebagai suatu proses tak hingga yang merupakan ciri khas dari kalkulus.

3 Diberikan ungsi Nilai tak tertentu, tetapi untuk, akan mendekati nilai dan untuk = adalah 6, maka 6 I L U S T R A S I

4 Deinisi : LIMIT Misalkan ungsi yang terdeinisi pada setiap bilangan dalam suatu interval terbuka memuat a, kecuali mungkin di bilangan a sendiri. Limit untuk mendekati a adalah L ditulis : a L Jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan positip >, selalu ada > shg a δ L ε

5 Limit SEPIHAK L a nilai pada interval yang memuat a tetapi tidak di a sendiri. a dilihat dari dua arah kanan dari a >a kiri dari a <a

6 LIMIT KANAN Jika adalah ungsi yang terdeinisi pada interval terbuka a,c, maka it untuk mendekati a dari kanan adalah L, LIMIT KIRI Jika adalah ungsi yang terdeinisi pada interval terbuka d,a, maka it untuk mendekati a dari kiri adalah L, : a L a L

7 KETUNGGALAN Limit a ada & a L jika dan hanya jika a ada a ada dan a a Jika tidak berlaku it tidak ada.

8 Tentukan it ungsi berikut di titik mendekati jika jika jika p p Contoh Jawab p ada karena p p p

9 Tentukan it ungsi berikut di titik mendekati jika jika jika h h Contoh Jawab h tidak ada karena h h h

10 Diberikan ungsi yang dideinisikan Cari it untuk mendekati jika jika Contoh Jawab

11 . Jika k konstanta dan Siat-siat : LIMIT :,maka ; jika M g L a a dengan d. c. b. a. M M L g g M L g g M L g g kl k k a a a a a a a a a a a

12 Siat-siat : LIMIT. Jika n bilangan bulat positip dan jika L,maka : a a. b. a a n n a L n n L, dengan L, jika n genap a n n. Jika m, b, dan k konstanta, maka a m b ma b; k k; a a a

13 y y y y Contoh

14 y y y y

15 Limit TAK HINGGA. L, jika dan hanya jika untuk > selalu ada bilangan A> sehingga untuk >Adipenuhi L ε. L, jika dan hanya jika untuk > selalu ada bilangan A> sehingga untuk <-A dipenuhi L ε

16 d. c. b. sin a. Contoh 5

17 Limit SEMU Jika untuk a ternyata maka dikatakan mempunyai it semu termasuk tidak ada itnya, ditulis atau a a

18 Contoh 6 a. b. c. d.

19 b. a.

20 d. c.

21 K O N T I N U I T A S Diberikan ungsi dan dipertimbangkan tiga kejadian. ungsi tak terdeinisi pada = [ tidak ada]. dideinisikan = sehingga ungsi terdeinisi untuk semua tetapi tidak ada. dideinisikan =5 maka ungsi terdeinisi untuk semua.

22 y 5 Graik tiga kejadian y 5 y 5 ada tidak ada ada tetapi 5 dan ada

23 Deinisi : KONTINU ungsi dikatakan kontinu di =a jika dan hanya jika : i a ii a iii a terdeinisi ada a Jika salah satu dari ketiga syarat ini tak dipenuhi di a maka ungsi dikatakan diskontinu di a

24 Contoh 7 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab ii iii p i p ada jika jika jika p p Fungsi p kontinu di = ada

25

26 Contoh 8 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab ii jika h jika jika i h ada h tidak ada Fungsi h diskontinu di =

27

28 Contoh 9 Selidiki kekontinuan ungsi berikut di titik = Jawab i ada ii iii jika jika Jadi ungsi kontinu di = ada

29

30 Siat-siat : FUNGSI KONTINU Jika dan g ungsi-ungsi yang kontinu di =a, maka. g kontinu di a. g kontinu di a. g kontinu di a. g kontinu di a, asal g a

31 Barisan adalah ungsi yang domain-nya N himpunan bilangan asli. Misal : maka Deinisi : BARISAN n dengan n N n n ; ; ; n n disebut suku-suku barisan, sedang graik barisan diatas adalah,;, ;, ; ; n, 9 n

32 Sebuah barisan {a n } dikatakan mempunyai it L jika dan hanya jika untuk sebarang bilangan >, selalu ada M> shg untuk n>m dipenuhi LIMIT barisan a L ε n Dan ditulis a n n L L ada barisan konvergen L tidak ada barisan divergen.

33 CONTOH.... n n n n n n n n n n - n n n it semu tidak ada tak ada it

34 BILANGAN ALAM e Bilangan alam e adalah salah satu contoh bilangan yang diperoleh dari it barisan tak hingga yaitu : Begitu juga e e e n y y n y n p p! dengan,788,y real