Modul Matematika 2012

Transkripsi

1 Minggu X Modul Matematika 01 Pokok Bahasan : Konsep Dasar Teori Diferensial Sub Pokok Bahasan : 1. Pendahuluan. Kuosien Difference 3. Diferensiasi 4. Kaidah-kaidah Diferensial 5. Jenis-jenis Diferensial Tujuan Instruksional Umum : Agar mahasiswa dapat memahami konsep dasar teori diferensial Tujuan Instruksional Khusus : Agar mahasiswa mampu menjelaskan dan dapat menelesaikan masalah ang terkait dengan : 1. Diferensial. Kaidah-kaidah diferensial 3. Jenis-jenis diferensial Jumlah Pertemuan : 1 (satu) Surari Purnama 1

2 Modul Matematika 01 KONSEP DASAR TEORI DIFERENSIAL 1. PENDAHULUAN Yang dimaksud dengan Teori Diferensial aitu teori ang membahas mengenai adana perubahan variabel terikat akibat perubahan variabel bebasna, dimana perubahan variabel bebas tersebut tergolong perubahan ang sangat kecil.. KUOSIEN DIFERENCE Misalkan ada fungsi = f () dimana merupakan variabel terikatna dan adalah variabel bebasna. Penggambaran pada grafik : Gambar : Y Y = f F 0 X Surari Purnama

3 Modul Matematika 01 Variabel bebas bergerak (misalkan bergerak ke kanan di sepanjang sumbu datar) sebanak Δ mengakibatkan dicapai titik ang baru aitu + Δ. Perubahan variabel bebas tersebut mempengaruhi variabel terikatna () sehingga berpindah tempat dari f () menjadi f ( + Δ). Besarna perubahan itu disebut beda atau difference. Penggambaranna : Y Y = f () f ( + Δ) Δ f( +Δ) f () ) f () 0 + Δ X Perbandingan antara perubahan (Δ) terhadap perubahan (Δ) disebut kuosien difference dan hitung : f ( ) ( ) Kuosien Difference = Penggambaranna : Y Y = f f ( + Δ f X 0 + Δ Surari Purnama 3

4 Modul Matematika 01 Contoh : 1. Diberikan fungsi sebagai berikut = Carilah beda / difference na serta kuosien difference na! Jawab : Beda / difference : Δ = f ( + Δ)-f () Kuosien Difference : = ( + Δ)- = + Δ- = Δ Artina setiap penambahan sebanak 1 satuan akan menebabkan penambahan sebanak satuan, sebalikna setiap pengurangan sebanak 1 satuan akan menebabkan pengurangan sebanak satuan.. Diberikan fungsi sebagai berikut = 3 Carilah beda / difference na serta kuosien difference na! Jawab : Beda / difference : Δ = f ( + Δ)-f () Kuosien Difference : = { ( + Δ)-3} {-3} = + Δ = Δ Artina setiap penambahan sebanak 1 satuan akan menebabkan penambahan sebanak satuan, sebalikna setiap pengurangan sebanak 1 satuan akan menebabkan pengurangan sebanak satuan. Surari Purnama 4

5 Modul Matematika Diberikan fungsi sebagai berikut = Carilah beda / difference na serta kuosien difference na! Jawab : Beda / difference : Δ = f ( + Δ)-f () = { ( + Δ) { } = ( + Δ + Δ ) = 4 Δ Δ + a Δ Kuosien Difference : 4 4 Artina setiap penambahan sebanak 1 satuan akan menebabkan penambahan sebanak 4Δ satuan, sebalikna setiap pengurangan sebanak 1 satuan akan menebabkan pengurangan sebanak 4Δ satuan. 4. Diberikan fungsi sebagai berikut = 3 Carilah beda / difference na serta kuosien difference na! Jawab : Beda / difference : Δ = f ( + Δ)-f () = { ( + Δ) 3} { 3} = { ( + Δ + Δ ) 3} { 3} = + 4 Δ + Δ = 4 Δ + Δ Kuosien Difference : Δ 4 4 Artina setiap penambahan sebanak 1 satuan akan menebabkan penambahan sebanak 4 + Δ satuan, sebalikna setiap pengurangan sebanak 1 satuan akan menebabkan pengurangan sebanak 4 + Δ satuan. Surari Purnama 5

6 Modul Matematika DIFFERENSIASI Proses differensiasi aitu proses pengenaan Limit Δ 0 terhadap kuosien difference. Hasil tersebut dinamakan differensial atau turunan. d Limit d 0 Contoh : 1. Diberikan fungsi sebagai berikut : = karena telah diketahui bahwa Kuosien Difference-na Maka d d Limit 0 d d. Diberikan fungsi sebagai berikut : = - 3 karena telah diketahui bahwa Kuosien Difference-na Maka d d Limit 0 d d 3. Diberikan fungsi sebagai berikut : = karena telah diketahui bahwa Kuosien Difference-na 4 Maka d = limit 4 + Δ d Δ 0 d = 4-3 d Surari Purnama 6

7 Modul Matematika Diberikan fungsi sebagai berikut : = - 3 karena telah diketahui bahwa Kuosien Difference-na 4 Maka d = limit 4 + Δ d Δ 0 d = 4 d 5. Diberikan fungsi sebagai berikut : = 3 karena telah diketahui bahwa Kuosien Difference-na 4 3 Maka d = limit 4 + Δ-3 d Δ 0 d = 4-3 d 4. KAIDAH-KAIDAH DIFFERENSIAL a) Differensial konstanta Misalkan = k, dimana k konstanta, Maka d / d = 0 Contoh : =, maka d / d = 0 b) Differensial fungsi pangkat Misalkan = n, n = konstanta dan variabel Maka d / d = n n-1 Contoh : = 7, maka d / d = = 7 6 c) Differensial perkalian konstanta dengan fungsi Misalkan = k n, dimana k dan n konstanta dan variabel Maka d / d = k * n n-1 Contoh : = (13 4, maka d / d = 13 (4 4-1 ) = 5 3 Surari Purnama 7

8 Modul Matematika 01 d) Differensial fungsi berpangkat Misalkan = U n, dimana U = g() dan n konstanta Maka d / d = n U n-1 du/d Contoh : = ( -3) 7, maka d / d = 7 ( -3) 6. (-3) e) Differensial fungsi rantai Misalkan = U + V, dimana U = g () dan V = h () Maka d = du + dv atau d = U + V d d d Contoh : = , maka d = ( ) ( ) = d f) Differensial perkalian fungsi Misalkan = U. V, dimana U = g () dan V = h () Maka d / d = (du/d). V + U. (dv/d) Contoh : = 3 ( -) 5 dengan U = 3, maka du/d = 6 dan V = (-) 5, maka dv/d = 5. ( -) = 5. (-) 4 Sehingga d/d = 6 (-) (5 (-) 4 = 6 (-) + 15 (-) 4 g) Differensial fungsi eksponensial Misalkan = U/V, dimana U = g () V = h () dan V 1 0 Maka : dy d du V V U dv d Contoh : = 5 4 dengan U = 5 4, maka du/d = 10-4 dan V =, maka dv/d = -1 Maka : dy d (10 4)( ) ( (5 ) 4)( 1) Surari Purnama 8

9 Modul Matematika 01 dy d dy d h) Differensial fungsi eksponensial (i) Misalkan = e, maka d/d = e (ii) Misalkan = a, maka d/d = a In a i) Differensial fungsi komposit - eksponensial (iii) Misalkan = e u, dimana U = f (), maka d/d = e u. (du/d) Contoh : = e, dimana U =, dimana d/d = e. = e (iv) Misalkan = a u, dimana U = f (), maka d/d = a u In a (du/d) Contoh = 8, dimana u =, maka d/d = 8 In JENIS-JENIS DIFERENSIAL 1. Diferensial Biasa Yaitu diferensial ang dilakukan terhadap fungsi ang mengandung tepat satu variabel. Fungsina : = f(), dimana jumlahna satu dan merupakan variabel. Turunan pertama : d/d, turunan keduana : d / d Contoh : a) = 8 3 e + 4 Maka turunan pertamana : d/d = e. + 0 = 4 e Turunan keduana : d / (d) = e. = 48 4e b) Fungsi Average Revenue / Pendapatan Rata-rata : AR = 150-6Q : output ang dijual, maka turunan pertamana : dar/dq = Q = 150 1Q Turunan keduana : dar / (dq) = -1 Surari Purnama 9

10 Modul Matematika 01 c) Fungsi Permintaan : Qd = 80 5P, P : harga jual produk Maka turunan pertamana : dqd / dp = -5 Turunan keduana : dqd / (dp) = 0. Diferensial Berantai Yaitu diferensial ang dilakukan terhadap fungsi ang merupakan fungsi dari uatu variabel. Fungsina : = f (), dimana jumlahna satu dan merupakan fungsi (misalkan fungsi dari h); = g (h), dimana h jumlahna satu dan h merupakan variabel. Turunanna : = diturunkan terhadap, ditulis d / d dan = diturunkan terhadap h, ditulis d / dh Untuk mencari turunan terhadap h dapat dilakukan dengan cara mengalihkan kedua turunan tersebut : d / dh = (d/d). (d / dh). Contoh : a. = 3, = 3h, maka d/d = 6. 6h = 6 (3h ). 6h = 108 h 5 b. Fungsi Revenue / Pendapatan ; R = 3Q dimana Q = 0,4 C 3C, C : Capital maka turunan pertamana : dr/dq = 3 dan dq / dc = 0,4 C 3 Untuk mencari turunan R terhadap C diperoleh melalui direfensial berantai : dr/dc = dr/dq. dq/dc = 3. (0,4 C-3) = 1, C - 9 Surari Purnama 10