Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik. Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK

Transkripsi

1 Tinjauan Tentang Fungsi Harmonik Oleh : Atmini Dhoruri Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY ABSTRAK Tujuan penulisan ini untuk mengkaji tentang pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat pada domain D di bidang dan fungsi harmonik konjugat pada domain terhubung sederhana. Suatu fungsi bernilai real U dari dua variabel real dan dikatakan harmonik dalam domain di bidang ang diberikan jika, fungsi tersebut mempunai derivatif parsial pertama dan kedua ang kontinu dan memenuhi persamaan diferensial parsial U ( + U ( =. Dari pembahasan diperoleh sifat bahwa jika fungsi analitik di dalam domain D, maka fungsi u( dan v( harmonik di D. Selanjutna suatu fungsi analitik di dalam domain D, jika dan hana jika v harmonik konjugat dari u. Sifat tersebut berlaku pula jika D adalah domain terhubung sederhana, akni jika u( fungsi harmonik ang terdefinisi pada domain terhubung sederhana D, maka u( selalu mempunai harmonik konjugat v( di D. Kata Kunci: fungsi analitik, fungsi harmonik, harmonik konjugat A. Pendahuluan Matematika merupakan salah satu ilmu ang sangat besar pengaruhna dalam kehidupan manusia. Dalam kehidupan sehari-hari kita tidak lepas dari masalah-masalah ang berhubungan dengan matematika. Salah satu materi dalam matematika ang banak digunakan dalam terapan adalah Analisis kompleks. Dalam analisis kompleks dibahas tentang fungsi kompleks atau transformasi kompleks. Dalam fungsi variable kompleks domain definisina adalah himpunan bilangan komleks dan rangena juga merupakan himpunan bilangan kompleks. Salah satu fungsi ang dibahas dalam fungsi kompleks adalah fungsi harmonik. Fungsi ini banak terapanna di bidang lain, misalna dalam bidang fisika atau mekanika. Sebagai contoh Temperatur T( dalam lempengan tipis ang terletak dalam bidang seringkali merupakan fungsi harmonik. Selain itu fungsi V( ang menatakan potensial elektrostatik adalah fungsi harmonik dalam interior dari ruang berdimensi-tiga ang bebas dari muatan (charges). Dalam makalah ini akan dibahas pengertian fungsi harmonik, fungsi harmonik konjugat dan transformasi fungsi harmonik. Dipresentasikan dalam Seminar Nasional MIPA 6 dengan tema "Penelitian, Pendidikan, dan Penerapan MIPA serta Perananna dalam Peningkatan Keprofesionalan Pendidik dan Tenaga Kependidikan" ang diselenggarakan oleh Fakultas MIPA UNY, Yogakarta pada tanggal 1 Agustus 6

2 B. Pengertian Fungsi Harmonik Suatu fungsi bernilai real U dari dua variabel real dan dikatakan harmonik dalam domain di bidang ang diberikan jika, fungsi tersebut mempunai derivatif parsial pertama dan kedua ang kontinu dan memenuhi persamaan diferensial parsial U ( + U ( =. 1) Persamaan 1) dinamakan persamaan Laplace. Sebagai contoh fungsi U ( = adalah fungsi harmonik dalam setiap domain di bidang. Hal tersebut dapat ditunjukkan sebagai berikut: U ( = U ( = + U ( = U U ( = ( + U ( = + 1 = Jadi U ( = merupakan fungsi harmonik. Kita dapat memvisualisasikan grafik fungsi U ( dan ( dalam ruang dimensi tiga. Grafik dari fungsi U ( = dan fungsi U U ( = dengan domain D = {(,, }, adalah sebagai berikut: M - 1 Seminar Nasional MIPA 6

3 Gambar 1 Gambar Sedangkan grafik fungsi U ( = dengan domain D = {(,, }, adalah sebagai berikut: - - Gambar - Selanjutna grafik dari fungsi U ( = + dan U ( = dengan domain D = {(,, }, adalah sebagai berikut: Gambar Gambar 5-1 M - 1 Seminar Nasional MIPA 6

4 Contoh lain fungsi harmonik adalah fungsi, T (, ) = e sin, fungsi tersebut menatakan temperatur dalam lempengan tipis ang terletak di bidang,. hal tersebut dapat ditunjukkan sebagai berikut: T ( = e cos T ( = e sin T T ( = e ( = e sin sin Jadi T (, ) = e sin adalah fungsi harmonik. Jika diketahui suatu fungsi kompleks, terdapat hubungan ang antara keanalitikan fungsi f(z) dengan sifat harmonik dari fungsi-fungsi u( dan v( seperti ang dinatakan dalam teorema berikut. Teorema 1 : (Brown J.W and Churchill R: 1996) Jika fungsi analitik di dalam domain D, maka fungsi u( dan v( harmonik di D. Bukti : Diasumsikan fungsi f (z) analitik di D. Akan ditunjukkan bahwa u( dan v( harmonik. Karena fungsi f (z) analitik di D maka terdiferensial di D, sehingga u dan u ada dan memenuhi persamaan Cauch-Riemann, akni u =, u = v ) v Jika kedua ruas dari persamaan tersebut di diferensialkan terhadap diperoleh: u = v, u = v ) Sedangkan jika kedua ruas persamaan ) didiferensialkan terhadap, diperoleh: u =, u = v ) v Karena derivatif parsial dari u dan v kontinu, maka u = u dan v = v dari persamaan ) dan ) diperoleh u u = dan v v =. + Jadi fungsi u dan v harmonik di D. + M - 1 Seminar Nasional MIPA 6

5 Sebagai contoh fungsi = e sin ie cos, merupakan fungsi utuh, jadi analitik di seluruh bidang kompleks C, maka menurut Teorema 1 di atas fungsi T (, ) = e sin adalah harmonik, saperti ang telah ditunjukkan di atas. Selanjutna perhatikan fungsi g( ) = z = ( + i = + i dan fungsi = e sin ie cos ang merupakan fungsi utuh, hasilkali fungsi g( z) = e [( )sin + cos ] ie [( cos sin ) juga merupakan fungsi utuh. Akibatna Re[ g( z)] = e [( )sin + cos ] merupakan fungsi harmonik. Jika fungsi-fungsi u dan v harmonik di dalam domain D dan derivatif parsial pertama memenuhi persamaan Chauch-Riemann pada D, maka dikatakan v adalah harmonik konjugat dari u. Teorema : (Brown J.W and Churchill R: 1996) Suatu fungsi analitik di dalam domain D, jika dan hana jika v harmonik konjugat dari u. Bukti: Jika v adalah fungsi harmonik konjugat dari u di D, maka f analitik di D. Sebalikna jika f analitik di D, maka dari Teorema 1 diperoleh bahwa u dan v harmonik di D sehingga persamaan Cauch Riemann dipenuhi. Selanjutna masalah ang muncul adalah jika fungsi v merupakan harmonik konjugat dari u dalam domain ang sama, apakah fungsi u merupakan konjugat sekawan dari v? Berikut ini diberikan contoh bahwa jika fungsi v merupakan harmonik konjugat dari u dalam domain ang sama, maka fungsi u belum tentu merupakan konjugat sekawan dari v? Perhatikan fungsi = z = + i, ang merupakan fungsi utuh, maka v ( = adalah fungsi harmonik konjugat dari u. Akan tetapi fungsi u bukan harmonik konjugat dari v karena fungsi + i( ) tidak analitik dimana-mana. Berikut ini dijelaskan cara menentukan fungsi harmonik konjugat v jika diberikan suatu fungsi harmonik u. Perhatikan fungsi u( = , maka diperoleh M - 15 Seminar Nasional MIPA 6

6 u ( = u ( = + u ( = u u ( = ( + U ( = + = Jadi u( = merupakan fungsi harmonik. Akan ditentukan fungsi v( ang merupakan harmonik konjugat dari u(, sbb: u ( = dan u ( = Dari persamaan u = v, diperoleh: v ( = Jika kedua ruas diintegralkan terhadap, diperoleh: d v = d v = Q( )..5) Selanjutna jika kedua ruas persamaan 5) didiferensialkan terhadap diperoleh: ' v = + + Q ( ) Karena persamaan u = v harus dipenuhi maka + = + + Q ( ) ' Diperoleh Q' ( ) =, sehingga Q ( ) = c, dengan c suatu konstanta. Jadi v ( = c, merupakan harmonik konjugat dari u(. Dengan demikian diperoleh fungsi analitik f(z) ang berkaitan dengan u dan v tersebut adalah f (z) = i( c) f (z) = 5z + z z. Grafik dari fungsi u ( adalah seperti dalam gambar 6, sedangkan grafik v( = seperti gambar 7 berikut: M - 16 Seminar Nasional MIPA 6

7 Gambar 6 Gambar 7 C. Harmonik Konjugat Dalam pembahasan sebelumna telah dijelaskan bahwa jika fungsi analitik di dalam domain D, maka fungsi bernilai real u dan v harmonik dalam domain D. Fungsi v dinamakan harmonik konjugat dari u. Misalkan bahwa u( fungsi harmonik ang terdefinisi pada domain terhubung sederhana D. Akan ditunjukkan bahwa u( selalu mempunai harmonik konjugat v( di D. Untuk menelesaikan masalah ini, kita gunakan sifat ang sangat penting dalam integral garis. Andaikan P( dan Q( mempunai derivatif parsial pertama ang kontinu dalam domain terhubung sederhana D. dari bidang, dan misalkan (, ) dan ( dua titik sebarang di D. Jika integral garis. P ( s, ds + Q( s, dt C P = Q dimana-mana di D, maka dari titik, ) ke titik ( nilaina tidak tergantung dari lintasan C ang diambil ( asalkan lintasan C terletak seluruhna di dalam D. Selanjutna, jika titik (, ) diambil tertentu dan tunggal ( seluruhna di D, maka representasi integral fungsi bernilai F( = ( P( s, ds + Q( s, dt (, ) 6) dari dan ang mempunai derivatif parsial tingkat satu diberikan oleh persamaan F ( = P(, F ( = Q(... 7) M - 17 Seminar Nasional MIPA 6

8 Perhatikan bahwa nilai dari F diganti oleh aditif konstan jika diambil titik ang berbeda (, ). Dari fungsi harmonik u( ang diberikan dan akibat dipenuhina persamaan Laplace u ( + u ( = maka berlaku ( u ) = ( u ) disetiap titk di D. Karena derivatif parsial kedua dari u kontinu di D; dan berarti derivatif parsial pertama dari u dan u adalah kontinu juga di D. Jadi jika (, ) titik tetap di D, maka fungsi ( v ( = ut ( s, ds + us( s, dt 8), ) ( terdefinisi dengan baik untuk semua ( di D. Sehingga menurut persamaan 7) diperoleh v ( = u (, v ( = u ( ang merupakan persamaan Cauch-Riemann. Karena derivatif parsial pertama dari u kontinu, maka dari persamaan 6) diperoleh bahwa derivatif parsial pertama dari v juga kontinu. Sehingga u ( + iv ( fungsi analitik di D dan oleh karena itu v merupakan harmonik konjugat dari u. Fungsi v dalam persamaan 8) tentuna bukan satu-satuna harmonik konjugat dari u. Fungsi v ( + c, dengan c konstan riil, juga merupakan fungsi harmonik konjugat dari u. Berikut ini akan diberikan contoh fungsi harmonik u dan cara menentukan fungsi harmonik konjugat v. Contoh: Diberikan fungsi u ( =. Fungsi u merupakan fungsi harmonik di seluruh bidang kompleks, karena berlaku u ( = u ( = u ( = u ( = u ( + u ( = Menurut persamaan 5) fungsi M - 18 Seminar Nasional MIPA 6

9 ( v ( = sds + tdt (,) adalah fungsi harmonik konjugat dari u(. Dengan mengintegralkan sepanjang lintasan horizontal dari titik (,) ke tikti () dan dilanjutkan integralsepanjang lintasan vertikal dari () ke titik ( diperoleh hasil: ( ) v ( = = ( sds + tdt + sds + (,) ( ) Fungsi analitik f(z) ang berkaitan dengan fungsi harmonik u dan v tersebut adalah i i = ( ) = z. Grafik tiga dimensi dari fungsi u dan v adalah seperti dalam gambar 8 dan 9 berikut. tdt Gambar 8 M - 19 Seminar Nasional MIPA 6

10 5-5 - Gambar 9 - D. Penutup Fungsi harmonik merupakan fungsi ang sangat penting dalam analisis, khususna analisis kompleks. Dalam makalah ini telah dibahas suatu sifat bahwa fungsi kompleks ang analitik pada bidang kompleks bagian realna dan bagian imaginerna merupakan fungsi harmonik akni, jika fungsi analitik di dalam domain D, maka fungsi u( dan v( harmonik di D. Selain itu telah ditunjukkan bahwa suatu fungsi analitik di dalam domain D, jika dan hana jika v harmonik konjugat dari u. Dalam makalah ini telah dibahas pula cara menentukan fungsi harmonik konjugat jika diketahui suatu fungsi harmonik. Hal ang perlu dikaji lebih lanjut misalna tentang transformasi dari fungsi harmonik. Daftar Pustaka Brown J.W & Churchill Ruel Comple Variable and Applications..McGraw- Hill. New York. Conwa J.B Functions of One Compleks Variable. Springer International. New York. Martha L.Abell & James P.Braselton.199. Mathematica B Eample. AP Profesional. New York. R. Sumantri Fungsi Variabel Kompleks. Diktat Kuliah. Yogakarta N.K Kutha Ardana.. Panduan Penggunaan Mathematica. Buku 1. IPB Bogor Tim Pelatihan.. Panduan Penggunaan Mathematica. Buku. IPB Bogor M - 11 Seminar Nasional MIPA 6