Lecture : Mxed Strategy: Graphcal Method A. Metode Campuran dengan Metode Grafk Metode grafk dapat dgunakan untuk menyelesakan kasus permanan dengan matrks pembayaran berukuran n atau n. B. Matrks berukuran n Matrks pembayaran dar permanan berukuran n adalah Peman P Peman P y y y n n x a a a n x = x a a a n dengan x = dan y =, x 0 dan y untuk setap,. yang berkatan dengan strateg murn peman P. Strateg Murn Peman : n Harapan bag Peman P a.x + a.( x ) = (a a ).x + a a.x + a.( x) = (a a).x + a : a n.x + a n.( x ) = (a n a n).x + a n Tabel d atas menunukkan bahwa pembayaran (rata-rata pembayaran) bag peman P bervaras secara lnear dengan x. Peman P harus memlh nla x yang akan memaksmalkan pembayaran (rata-rata pembayaran) mnmumnya (prnsp maxmn). Hal n dapat dlakukan dengan cara menggambarkan gars-gars lurus d atas sebaga fungs dar x. Sumbu horzontal menunukkan varas dar x (0 x ). Sumbu vertkal menunukkan pembayaran (rata-rata pembayaran) Dalam grafk n dcar ttk maxmnnya. Contoh. Akan dcar strateg optmum untuk P dan P dar matrks pembayaran berkut. Peman P y y y Peman P x x = -x - -
Penyelesaan: Permanan n tdak dapat dselesakan dengan strateg murn. Untuk menyelesakan permanan ( ) n, penyelesaan dpandang dar permanan P karena permanan P hanya mempunya strateg. Strateg Optmum P Msal ddefnskan x = probabltas peman memankan strateg ke- x = probabltas peman memankan strateg ke- y = probabltas peman memankan strateg ke-. Maka pembayaran bag peman P yang berkatan dengan strateg murn P adalah Strateg murn P P -x + (-x ) = -6x + x + (- x) = -x + x - (-x) = 6x - Ketga gars lurus fungs dar x tersebut dapat dgambarkan pada grafk Strateg P x =0 x = - - - - Ttk maxmn - - Peman P harus memlh nla x yang akan memaksmalkan pembayaran mnmumnya yatu v = max{mn(-6x +, -x +, 6x - )} x Karena hanya gars () dan () yang melalu ttk maxmn maka v = max{mn(-6x +, 6x - )} x Dar sn nla optmum x adalah ttk potong gars () dengan gars () -6x + = 6x
x = 8 x = x = / x = - x = / Jad strateg campuran (mxed strategy) optmum P adalah x = [/, /]. Nla Permanan Nla permanan yang dperoleh v= -6x + = -6(/) + = atau v= 6x = 6(/) =. Strateg Optmum P Nla yang optmum bag peman pembayaran P dapat dperoleh dar nla pembayaran permanan, yatu: v m n sehngga y (-6x + ) + y (-x + ) + y (6x -) = v y + / y + y = y + y = (y = 0 karena tdak melalu ttk maxmn dmana v > ). Jad strateg kedua peman P tdak dmankan, sehngga matrks pembayarannya menad y a x Peman P y y =-y Peman P x x = -x - - Maka pembayaran bag peman P yang berkatan dengan strateg murn P adalah Strateg murn P P -y + (-y ) = - y y - (-y ) = 8x - Kedua gars lurus fungs dar y tersebut dapat dgambarkan pada grafk
Strateg P y =0 y = - - Ttk mnmax - - - - Karena peman P mengngnkan untuk memnmumkan kekalahan yang maksmum maka peman P harus memlh nla y yang akan memnmumkan pembayaran yang maksmum, yatu: v = mn(y ) { max ( y, 8y - )}. Karena kedua gars () dan () melalu ttk mnmax maka nla optmum y adalah ttk potong kedua gars tersebut, dperoleh y = y = ½. Karena y + y = maka y = y = ½. Jad strateg optmum P adalah y = [/, 0, /], Nla permanan Nla permanan yang dperoleh v = y = = atau v = 8y = 8 =. Kesmpulan Jad strateg optmum P adalah x = [/, /] strateg optmum P adalah y = [/, 0, /], dengan nla permanan v =.
Contoh. Dberkan suatu permanan dengan matrks pembayaran (x) sepert d bawah n. Peman P y y y y Peman P x x = -x 0-0 - Penyelesaan: Permanan n tdak dapat dselesakan dengan strateg murn. Untuk menyelesakan permanan ( ) n, penyelesaan dpandang dar permanan P karena permanan P hanya mempunya strateg. Strateg Optmum P Msal ddefnskan x = probabltas peman memankan strateg ke- x = probabltas peman memankan strateg ke- y = probabltas peman memankan strateg ke-. Maka pembayaran bag peman P yang berkatan dengan strateg murn P adalah Strateg murn P P x x x 7x Keempat gars lurus tu dgambarkan sebaga fungs dar x sebaga berkut:
Peman P harus memlh nla x yang akan memaksmalkan pembayaran mnmumnya yatu v = max{mn(x, x, x, 7x )} x Karena ternyata pada Grafk ada tga buah gars lurus, yatu (), () dan () yang melewat ttk maxmn maka v = max{mn(x, x, x )} x Dar sn nla optmum x merupakan ttk potong antara gars lurus (x ), gars lurus x dan gars lurus ( x ). Secara alabar ttk potong tu dperoleh sebaga berkut: x = x x = x x = x x = atau 6x = atau x = x = x = x = Jad dperoleh x = dan x = x =. Nla Permanan Nla permanan yang dperoleh Jad, nla permanan v =. v = x = = atau v = x = atau v = x = =. Strateg Optmum P Nla yang optmum bag peman pembayaran P dapat dperoleh dar nla pembayaran permanan, yatu: sehngga v m n y (x - ) + y (x ) + y (-x )+ y (7x -) = v (/)y + (/)y + (/)y + (/)y = / y a x
dengan y + y + y + y = y = 0 karena tdak melalu ttk maxmn dmana v >. Dengan demkan dperoleh bahwa: y + y + y = atau y + y + y =. Karena tredapat buah gars lurus yang melewat ttk maxmn maka terdapat buah subgame (permanan bagan) yang berukuran ( ) yang terad, yatu: a. Subgame Pertama : y = 0, y = 0 dan y + y = Peman P Peman P y y = y x x - 0 bag P yang berkatan dengan strateg murn peman P adalah: Strateg murn P P y + y Kedua gars lurus tersebut dgambarkan sebaga fungs dar y sebaga berkut: Strateg P y =0 - y= - Ttk mnmax - - - -
Ternyata bahwa y = 0 yang berart y = dengan v =. Karena v = tdak sama dengan v = maka subgame pertama n tdak dapat dgunakan untuk menentukan strateg optmum Peman P. b. Subgame Kedua : y = 0, y = 0 dan y + y = Peman P Peman P y y = y x 0 x - bag P yang berkatan dengan strateg murn peman P adalah: Strateg murn P P y y + Kedua gars lurus tersebut dgambarkan sebaga fungs dar y sebaga berkut: Strateg P y =0 - y= - - - Ttk mnmax - - Nla optmum y adalah ttk potong antara gars lurus y dan gars lurus y +. Secara alabar ttk potong tersebut adalah: y = y + 6y = atau y =.
Sehngga y = y = dan v =. Karena v = sama dengan v = maka penganblan subgame kedua n dapat dgunakan untuk menentukan strateg optmum bag peman P, yatu: y =, 0,, 0. c. Subgame Ketga : y = 0, y = 0 dan y + y = Peman P Peman P y y = y x 0 x 0 bag P yang berkatan dengan strateg murn peman P adalah: Strateg murn P P y y Kedua gars lurus tersebut dgambarkan sebaga fungs dar y sebaga berkut: Strateg P y =0 y= - - - Ttk mnmax - - - Nla optmum y adalah ttk potong kedua gars lurus tu, yang secara alabar perhtungannya adalah sebaga berkut: y = y y = atau y =.
Sehngga y = y = dan v = maka pengamblan subgame ketga n dapat dgunakan untuk menentukan strateg optmum bag peman P, yatu: y = 0,,, 0. Pertanyaan: Sekarang tmbul pertanyaan, dapatkah peman P menggunakan strateg campuran yang lan selan y dan y sebaga strateg optmumnya? Jawabnya adalah dapat, yatu suatu kombnas konveks λy + ( λ)y dengan 0 λ.. Bukt: λy + ( λ)y = λ, 0,, 0 + ( λ) 0,,, 0 = λ, ( λ), + λ, 0 Karena 0 λ setap komponen adalah postf dan λ + ( λ) + + λ + 0 = maka elas bahwa λy + ( λ)y dengan 0 λ merupakan strateg campuran. Akan dbuktkan bahwa strateg campuran n uga strateg optmum. Peman P Peman P λ ( λ) + λ 0 0 Kekalahan P λ + ( λ) + 0 + 0 = - 0 - λ + + λ + 0 = Kemenangan P v = Ternyata bahwa kemenangan mnmum P sama dengan kekalahan maksmum P maka terbukt bahwa λy + ( λ)y dengan 0 λ merupakan strateg campuran optmum uga. Kesmpulan: Jad solus optmum permanan n adalah: Strateg campuran peman P adalah x =, Strateg campuran optmum peman P adalah λy + ( λ)y dengan 0 λ dan y =, 0,, 0 dan y = 0,,, 0 Nla permanannya v =.
C. Matrks berukuran n Matrks pembayaran dar permanan berukuran n adalah Peman P Peman P x x.. x n.. n y y = y a a a a.... a m a m dengan x = dan y =, x 0 dan y untuk setap,. Matrks pembayaran d atas dapat dubah menad matrks berukuran n. Peman P Peman P x x x n n y b b b n y = y b b b n dengan b = a. Sehngga bas dselesakan sepert pada permanan n d atas.