PENDAHULUAN LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 PENDAHULUAN Latar elakang Masalah pengrman barang hasl produks bag suatu perusahaan kepada para pelanggannya merupakan masalah yang sangat pentng, karena hal tu berkatan dengan kepuasan pelanggan akan pelayanan Untuk memenuh permntaan pelanggan akan suatu produk, suatu perusahaan dharuskan mengrm produk tersebut dengan sebak mungkn D phak lan, perusahaan tentu mengngnkan keuntungan yang besar, karena tu, baya pengrman haruslah semnmum mungkn anyaknya rute pengrman yang mungkn dar pabrk ke pelanggan serta ketersedaan termnal sebaga tempat transt tentu menad masalah yang sangat rumt bag phak manaemen Oleh sebab tu, perusahaan harus dapat menentukan rute dan termnal yang tepat sehngga baya pengrman yang dkeluarkan mnmum Masalah penentuan kombnas termnal dan rute kapal dapat pula dmodelkan sebaga masalah pemrograman blangan bulat campuran/mxed nteger programmng (MIP) MIP adalah masalah optmsas dengan fungs obektf dan kendala yang lnear yang beberapa varabelnya dharuskan nteger dan selannya bsa nteger atau tdak Karya lmah n merupakan penyederhanaan dar permasalahan yang dhadap oleh salah satu suppler pasar pulp terbesar d duna, Sodra Cell A, yang telah dbahas oleh Gunnarsson, H RÖnnqvst, M Carlsson, D (006) dalam urnal yang berudul A combned termnal locaton and shp routng problem Dalam karya lmah n akan dtunukkan solus optmal dar masalah penentuan kombnas termnal dan rute kapal dengan menggunakan bantuan software LINGO 80 uuan uuan penulsan karya lmah n adalah menunukkan peranan MIP (mxed nteger programmng) dalam menentukan kombnas termnal dan rute kapal LANDASAN EORI Untuk memaham masalah penentuan kombnas termnal dan rute kapal serta teknk pemecahan yang dgunakan dalam karya tuls n, dperlukan defns dar beberapa konsep berkut n Fungs Lnear dan Pertdaksamaan Lnear Fungs lnear dan pertdaksamaan lnear merupakan salah satu konsep dasar yang harus dpaham terkat dengan konsep pemrograman lnear Defns (Fungs Lnear) Suatu fungs f x, x,, x ) ( n dalam varabel-varabel x, x,, x n adalah suatu fungs lnear ka dan hanya ka untuk suatu hmpunan konstanta c, c,, c n, f ( x, x,, x ) = c x + c x + + c x n n n (Wnston, 004) Sebaga gambaran, f ( x, x ) = x + 3x merupakan fungs lnear, sementara f ( x, x ) = x x bukan fungs lnear Defns (Pertdaksamaan dan Persamaan Lnear) Untuk sembarang fungs lnear f x, x,, x ) dan sembarang blangan b, ( n pertdaksamaan f ( x, x,, x ) b n dan f ( x, x,, x ) b n adalah pertdaksamaan lnear Msalkan b sembarang blangan, suatu persamaan f ( x, x,, x ) = b n merupakan persamaan lnear (Wnston, 004) Pemrograman Lnear Pemrograman lnear (PL) atau lnear programmng (LP) adalah suatu masalah optmsas yang memenuh ketentuanketentuan sebaga berkut: a) uuan masalah tersebut adalah memaksmumkan atau memnmumkan suatu fungs lnear dar seumlah varabel keputusan Fungs yang akan dmaksmumkan atau dmnmumkan n dsebut fungs obektf b) Nla varabel-varabel keputusannya harus memenuh suatu hmpunan kendala Setap

2 kendala harus berupa persamaan lnear atau pertdaksamaan lnear c) Ada pembatasan tanda untuk setap varabel dalam masalah n Untuk sembarang varabel x, pembatasan tanda menentukan x harus taknegatf ( x 0) atau tdak dbatas tandanya (unrestrcted n sgn) (Wnston, 004) Suatu PL mempunya bentuk standar sepert yang ddefnskan sebaga berkut Defns 3 (entuk Standar PL) Suatu pemrograman lnear ddefnskan mempunya bentuk standar: maks z = c x terhadap Ax = b () x 0 dengan x dan c berupa vektor berukuran n, vektor b berukuran m, sedangkan A berupa matrks berukuran m n yang dsebut uga matrks kendala [Nash & Sofer, 996] Sebaga catatan, yang dmaksud dengan vektor berukuran n adalah vektor yang memlk dmens (ukuran) n Solus Pemrograman Lnear Suatu masalah PL dapat dselesakan dalam berbaga teknk, salah satunya adalah metode smpleks Metode n dapat menghaslkan suatu solus optmal bag masalah PL dan telah dkembangkan oleh Dantzg seak tahun 947, dan dalam perkembangannya merupakan metode yang palng umum dgunakan untuk menyelesakan PL Metode n berupa metode teratf untuk menyelesakan PL berbentuk standar Pada masalah PL (), vektor x yang memenuh kendala Ax = b dsebut solus PL () Msalkan matrks A dnyatakan sebaga A = ( N ), dengan adalah matrks berukuran m m yang elemennya berupa koefsen varabel bass dan N merupakan matrks berukuran m ( n m) yang elemenelemennya berupa koefsen varabel nonbass pada matrks kendala Dalam hal n matrks dsebut matrks bass untuk PL () Msalkan x dnyatakan sebaga vektor x x =, dengan x adalah vektor varabel xn bass dan x N adalah vektor varabel nonbass, maka Ax = b dapat dnyatakan sebaga ( ) x = Ax N x N = x + Nx = b () N Karena matrks adalah matrks taksngular, maka memlk nvers, sehngga dar () x dapat dnyatakan sebaga: - - x = b - Nx (3) N Defns 4 (Solus ass) Solus dar suatu PL dsebut solus bass ka memenuh syarat berkut: solus tersebut memenuh kendala pada PL; kolom-kolom dar matrks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dar solus tersebut adalah bebas lnear (Nash & Sofer, 996) Defns 5 (Solus ass Fsbel) Vektor x dsebut solus bass fsbel ka x merupakan solus bass dan x 0 (Nash & Sofer, 996) Ilustras solus bass dan solus bass fsbel dberkan dalam Contoh Contoh Msalkan dberkan PL (4) berkut: mn z = x x terhadap x + x + x = 3 x + x + x = 7 4 x + x = 5 5 x, x, x3, x4, x5 0, dar PL (4) dperoleh: 0 0 A = 0 0, b = Msalkan dplh ( x x x ) ( x x ) N x = dan x =, (4) maka matrks bassnya adalah 0 0 = Dengan menggunakan matrks bass d atas ddapatkan

3 3 ( ) ( ) x = 0 0, x = b = 7 5 (5) N Solus (5) merupakan solus bass, karena memenuh kendala pada PL (4) dan kolomkolom pada matrks kendala yang berpadanan dengan komponen taknol dar (5), yatu bebas lnear (kolom yang satu bukan merupakan kelpatan dar kolom yang lan) Solus (5) uga merupakan solus bass fsbel, karena nla-nla varabelnya lebh dar atau sama dengan nol Hal yang uga pentng dalam konsep pemrograman lnear untuk model n adalah daerah fsbel dan solus optmal yang ddefnskan sebaga berkut Defns 6 (Daerah Fsbel) Daerah fsbel suatu PL adalah hmpunan semua ttk yang memenuh semua kendala dan pembatasan tanda pada PL tersebut (Wnston, 004) Defns 7 (Solus Optmal) Untuk masalah maksmsas, solus optmal suatu PL adalah suatu ttk dalam daerah fsbel dengan nla fungs obektf terbesar Untuk masalah mnmsas, solus optmal suatu PL adalah suatu ttk dalam daerah fsbel dengan nla fungs obektf terkecl (Wnston, 004) Integer Programmng Integer programmng (IP) atau pemrograman nteger adalah suatu model pemrograman lnear dengan varabel yang dgunakan berupa blangan bulat (nteger) Jka semua varabel harus berupa nteger, maka masalah tersebut dnamakan pure nteger programmng Jka hanya sebagan yang harus berupa nteger, maka dsebut mxed nteger programmng (MIP) IP dengan semua varabelnya harus bernla 0 atau dsebut 0- IP (Garfnkel & Nemhauser, 97) Defns 8 (Pemrograman Lnear Relaksas) Pemrograman lnear relaksas atau serng dsebut PL-relaksas merupakan suatu pemrograman lnear yang dperoleh dar suatu IP dengan menghlangkan kendala nteger atau kendala 0- pada setap varabelnya Untuk masalah maksmsas, nla optmal fungs obektf PL-relaksas lebh besar atau sama dengan nla optmal fungs obektf IP, sedangkan untuk masalah mnmsas, nla optmal fungs obektf PL-relaksas lebh kecl atau sama dengan nla optmal fungs obektf IP (Wnston, 995) Metode ranch-and-ound Pemecahan masalah pemrograman nteger dapat dlakukan dengan metode branch-andbound Prnsp dasar metode n adalah memecah daerah fsbel suatu masalah PLrelaksas dengan membuat subproblemsubproblem Ada dua konsep dasar dalam algortme branch-and-bound Cabang (ranch) Membuat parts daerah solus dar masalah utama (PL-relaksas) dengan membentuk subproblem-subproblem, tuuannya untuk menghapus daerah solus yang tdak fsbel Hal n dcapa dengan menentukan kendala yang pentng untuk menghaslkan solus IP, secara tdak langsung ttk nteger yang tdak fsbel terhapus Dengan kata lan, hasl pengumpulan lengkap dar subproblemsubproblem n menunukkan setap ttk nteger yang fsbel dalam masalah asl Karena sfat parts tersebut, maka prosedur n dnamakan pencabangan (branchng) atas (ound) Msalkan masalah utamanya berupa masalah maksmsas, nla obektf yang optmal untuk setap subproblem dbuat dengan membatas pencabangan dengan batas atas dar nla obektf yang dhubungkan dengan sembarang nla nteger yang fsbel Hal n sangat pentng untuk mengatur dan menempatkan solus optmal Operas pembatasan n dnamakan pembatasan (boundng) (aha, 975) Metode branch-and-bound dawal dar menyelesakan PL-relaksas dar suatu nteger programmng Jka semua nla varabel keputusan solus optmal sudah berupa nteger, maka solus tersebut merupakan solus optmal IP Jka tdak, dlakukan pencabangan dan penambahan batasan pada PL-relaksasnya kemudan dselesakan Wnston (004) menyebutkan bahwa nla fungs obektf optmal untuk IP nla fungs obektf optmal untuk PL-relaksas (masalah maksmsas), sehngga nla fungs obektf optmal PL-relaksas merupakan batas atas bag nla fungs obektf optmal untuk masalah IP Dungkapkan pula oleh Wnston (004) bahwa nla fungs obektf optmal untuk suatu kanddat solus merupakan batas bawah nla fungs obektf optmal untuk masalah IP asalnya Suatu kanddat solus

4 4 dperoleh ka solus dar suatu subproblem sudah memenuh kendala nteger pada masalah IP, artnya fungs obektf dan semua varabelnya sudah bernla nteger erkut n adalah langkah-langkah penyelesaan suatu masalah maksmsas dengan metode branch-and-bound Langkah 0 Ddefnskan z sebaga batas bawah dar nla fungs obektf (solus) IP yang optmal Pada awalnya dtetapkan z = dan = 0 Langkah Subproblem PL ( ) dplh sebaga bagan masalah berkutnya untuk dtelt Subproblem PL dselesakan dan dukur dengan konds ( ) yang sesua a) Jka PL ( ) terukur, batas bawah z = dperbaru ka solus IP yang lebh bak dtemukan Jka tdak, bagan masalah (subproblem) baru dplh dan langkah dulang Jka semua subproblem telah dtelt, maka proses dhentkan b) Jka PL ( ) tdak terukur, proses dlanutkan ke langkah untuk melakukan pencabangan PL ( ) Menurut Wnston (004), suatu subproblem dkatakan terukur (fathomed) ka terdapat stuas sebaga berkut Subproblem tersebut takfsbel, sehngga tdak dapat menghaslkan solus optmal untuk IP Subproblem tersebut menghaslkan suatu solus optmal dengan semua varabelnya bernla nteger Jka solus optmal n mempunya nla fungs obektf yang lebh bak darpada solus fsbel yang dperoleh sebelumnya, maka solus n menad kanddat solus optmal dan nla fungs obektfnya menad batas bawah nla fungs obektf optmal bag masalah IP pada saat tu sa ad subproblem n menghaslkan solus optmal untuk masalah IP 3 Nla fungs obektf optmal untuk subproblem tersebut tdak melebh (untuk masalah maksmsas) batas bawah saat tu, maka subproblem n dapat delmnas Langkah Dplh salah satu varabel optmalnya adalah batasan nteger dalam solus < x yang nla x yang tdak memenuh PL dang [ x ] x < [ x ] + dsngkrkan dengan membuat dua subproblem PL yang berkatan menad dua subproblem yang tdak dapat dpenuh secara bersamaan, yatu dan x x x [ x ] [ ] +, dengan [ x ] ddefnskan sebaga nteger terbesar yang kurang dar atau sama dengan x Kembal ke langkah (aha, 996) Untuk memudahkan pemahaman metode branch-and-bound dberkan contoh sebaga berkut Contoh (Metode ranch-and-ound) Msalkan dberkan pemrograman nteger (IP) berkut max z = x + 3x terhadap x + x 0 (6) 3x + 4x 5 x, x 0; x, x nteger Solus optmal PL-relaksas dar masalah IP (6) adalah x = 5, x = 5, dan z = 75 (lhat pada Lampran ) atas atas nla optmal fungs obektf masalah n adalah z = 75 Daerah fsbel PL-relaksas masalah (6) dtunukkan pada Gambar (daerah yang darsr) sedangkan ttk-ttk merupakan solus fsbel masalah IP (6) Gambar Daerah fsbel untuk PL-relaksas dar IP (6) Langkah berkutnya adalah memarts daerah fsbel PL-relaksas menad dua bagan berdasarkan varabel yang berbentuk pecahan (non-nteger) Msalkan dplh x sebaga dasar pencabangan Jka masalah PL-relaksas dber nama Subproblem, maka pencabangan tersebut menghaslkan subproblem, yatu: Subproblem : Subproblem dtambah kendala x Subproblem 3: Subproblem dtambah kendala x 3 ;

5 5 Hal n dlustraskan secara grafs pada Gambar Gambar Daerah fsbel untuk Subproblem dan Subproblem 3 Setap ttk (solus) fsbel dar IP (6) termuat dalam daerah fsbel Subproblem atau Subproblem 3 Setap subproblem n salng lepas Subproblem dan Subproblem 3 dkatakan dcabangkan oleh x Sekarang dplh subproblem yang belum dselesakan Msalkan dplh Subproblem, kemudan dselesakan Solus optmal untuk Subproblem n adalah x = 567, x =, dan z = 733 (lhat Lampran ) Karena solus optmal yang dhaslkan Subproblem bukan solus nteger, maka dplh pencabangan pada Subproblem atas x, sehngga dperoleh dua subproblem lag, yakn: Subproblem 4: Subproblem dtambah kendala x 5 ; Subproblem 5: Subproblem dtambah kendala x 6 Saat n subproblem yang belum dselesakan adalah Subproblem 3, 4, dan 5 Salah satu subproblem dplh, msalnya dengan aturan LIFO (Last In Frst Out) Dengan adanya aturan n berart dplh Subproblem 4 atau Subproblem 5 Subproblem 4 menghaslkan solus optmal x = 5, x =, dan z = 6 yang berupa nteger (lhat Lampran ) Dperoleh kanddat solus optmal yang baru dar Subproblem 4 Nla z baru merupakan batas bawah baru bag nla optmal IP (6) Karena aturan LIFO, dplh Subproblem 5, yang kemudan menghaslkan solus optmal x = 6, x = 75, z = 75 (lhat Lampran ) Karena x = 75 bukan nteger, maka dlakukan kembal pencabangan atas x, sehngga dperoleh: Subproblem 6: Subproblem 5 dtambah kendala x ; Subproblem 7: Subproblem 5 dtambah kendala x Selanutnya berdasarkan aturan LIFO, dplh Subproblem 6 Subproblem yang dplh menghaslkan solus optmal yang berupa nteger, dengan x =, x = 7, dan z = 7 (lhat Lampran ) Dperoleh kanddat solus optmal yang baru dar Subproblem 6 Karena nla z baru pada Subproblem 6 lebh bak darpada nla z pada Subproblem 4, maka nla z pada Subproblem 6 merupakan batas bawah baru bag nla optmal IP (6) erssa dua buah subproblem yatu, Subproblem 3 dan Subproblem 7 Msalkan dengan aturan LIFO dplh Subproblem 7 Karena Subproblem 7 takfsbel (lhat Lampran ), maka subproblem n tdak dapat menghaslkan solus optmal, yang terssa hanya Subproblem 3 Subproblem 3 menghaslkan solus optmal yang berupa nteger, dengan x = 4, x = 3, dan z = 7 (lhat Lampran ) atas bawah yang dtetapkan dar solus optmal Subproblem 6 dan 3 bernla sama Semua solus optmal dar Subproblem 6 dan 3 telah berupa nteger dan tdak perlu lag dlakukan pencabangan, sehngga terdapat solus optmal dar Subproblem 6 dan 3 Pohon pencabangan yang menunukkan penyelesaan masalah IP (6) secara keseluruhan dtunukkan pada Gambar 3

6 6 Gambar 3 Seluruh pencabangan pada metode ranch-and-ound untuk menentukan solus optmal dar IP (6) Graf Konsep graf yang dgunakan dalam karya lmah n melput defns-defns berkut Defns 9 (Graf) Suatu graf adalah pasangan terurut (V, E), dengan V hmpunan takkosong dan berhngga dan E adalah hmpunan takterurut yang menghubungkan elemen-elemen V, dnotaskan dengan G = (V, E) Elemen V dnamakan smpul (vertex/node) dan elemen E dnamakan ss (edge), dnotaskan dengan {, }, yakn ss yang menghubungkan smpul dengan smpul, dengan, V Graf sepert n dsebut uga graf takberarah Ilustras graf takberarah dapat dlhat pada gambar berkut G Pada Gambar 4 V = {,,3,4,5} dan E = {{, },{,4},{,3},{3,4},{,4},{3,5},{4,5}} Defns 0 (Graf erarah/dgraph) Graf berarah (drected graph/dgraph) adalah pasangan terurut (V, A) dengan V hmpunan takkosong dan berhngga, dan A adalah hmpungan pasangan terurut dar elemen-elemen d V Elemen-elemen dar A dsebut arc (ss berarah) dan dtulskan,, dengan, V sebaga ( ) Ilustras graf berarah dapat dlhat pada gambar berkut G ' : Gambar 5 Graf G ' = ( V, A) Gambar 4 Graf G = (V, E) Pada Gambar 5 d atas V = {,,3,4,5} dan A = {(,4),(,),(4,),(,3),(4,3),(3,5),(5,4)}

7 7 Defns (Walk) Suatu walk pada graf G = (V, E) adalah suatu barsan smpul dan ss dar G dengan bentuk : v, v, v, v, v, v,, v, v, v, { } { } { } 3 n n n atau dtuls dengan rngkas : v, v,, v n atau v, v,, v n Walk tersebut menghubungkan smpul v dengan v n Defns (Path) Path pada suatu graf G adalah suatu walk dengan semua smpulnya berbeda Ilustras walk dan path dberkan sebaga berkut Pada graf G yang terdapat dalam Gambar 4, salah satu contoh walk adalah,, 3,, 4, 5, sedangkan, 4,,3,5 adalah salah satu contoh path Defns 3 (Walk erarah) Walk berarah pada suatu graf berarah G ' = ( V, A) adalah suatu barsan terurut smpul dan ss pada G ' berbentuk v a, v,, a n, v, dengan setap ss 0, n berarah a menghubungkan smpul-smpul v dan v secara berurutan Defns 4 (Path erarah) Path berarah pada graf berarah G ' adalah suatu walk berarah yang semua smpulnya berbeda Ilustras walk dan path berarah dberkan sebaga berkut Pada graf berarah G ' yang terdapat dalam Gambar 5, contoh walk berarah adalah,,3, 5, 4,,3, 5 Contoh path berarah adalah,,3,5, 4, sementara yang bukan path berarah adalah,, 4,3,5, karena tdak ada ss berarah dar smpul ke smpul 4 Defns 5 (Ss erarah Menauh atau Mendekat, Suksesor, dan Predesesor) Msalkan dberkan graf berarah D = ( V, A) Jka a = ( v, v ) A maka ss berarah n dkatakan menauh v dan mendekat v Smpul bag smpul v, dan smpul suksesor bag smpul v v dsebut predesesor v dsebut Ilustrasnya dberkan dalam gambar berkut Gambar 6 Ss berarah menauh atau mendekat, suksesor, dan predesesor Defns 6 (Graf erbobot) Suatu graf G = (V, E) atau graf berarah D = ( V, A) dkatakan berbobot ka terdapat fungs w : E R atau l : A R (dengan R hmpunan blangan real) yang memberkan bobot pada setap elemen E atau A Ilustrasnya dberkan dalam gambar berkut: G: Gambar 7 Graf berbobot G = ( V, A) Msalkan dberkan fungs w : A R untuk graf berbobot G = ( V, A) pada Gambar 7, maka w(, ) = ; w(, 3) = 4; w(, 3) = ; w(, 4) = 4; w(, 5) = ; w(3, 5) = 3; w(5, 4) = 3; w(4, 6) = ; w(5, 6) = erdapat kasus khusus dar graf berbobot, yatu network Untuk memaham konsep network dperlukan defns-defns source dan snk berkut n Defns 7 (Source) Source adalah suatu smpul dengan tdak ada ss berarah yang mendekat smpul tersebut Defns 8 (Snk) Snk adalah suatu smpul sehngga tdak ada ss berarah yang menauh smpul tersebut

8 8 Defns 9 (Network) Network adalah suatu dgraph yang mempunya tepat satu source dan satu snk Ilustras network, source, dan snk dberkan dalam gambar berkut G: Gambar 8 Network, source, dan snk Pada Gambar 8, graf berarah G merupakan suatu network dengan smpul sebaga source dan smpul 6 sebaga snk Pengertan suatu network N menurut Chartrand & Oellermann (993), adalah suatu dgraph D dengan source s, snk t, dan fungs bernla blangan bulat taknegatf c yang ddefnskan d setap ss pada E(D) Dgraph D dkatakan underlyng dgraph dar N dan fungs c dnamakan fungs kapastas dar N Ada kalanya suatu network memlk lebh dar satu source maupun snk, sebagamana yang akan dgunakan dalam karya lmah n Defns 0 (Lngkungan-luar & lngkungandalam) Dalam dgraph D, ddefnskan: Lngkungan luar (out-neghborhood) dar verteks x d D adalah + N ( x) = { y V ( D) ( x, y) E( D)}, Lngkungan dalam (n-neghborhood) dar verteks x d D adalah N ( x) = { y V ( D) ( y, x) E( D)} (Chartrand & Oellermann, 993) Defns (Arus/Flow) Msalkan dberkan network N dengan underlyng dgraph D, source s, snk t, dan fungs kapastas c Arus/flow d N adalah fungs bernla blangan bulat taknegatf f pada E(D) sehngga berlaku 0 f ( a) c( a), (7) untuk setap a E( D), dan f ( x, y) = f ( y, x) (8) + y N ( x) y N ( x) untuk setap x V ( D) { s, t} (Chartrand & Oellermann 993) Network Flow Network flow merupakan suatu kasus dalam PL yang memlk struktur khusus dan menggunakan representas graf entuk umum suatu masalah network flow dkenal dengan masalah network flow baya mnmum (mnmum cost network flow problem) Pada masalah n, fungs obektfnya berupa mnmsas baya yang terkat dengan suatu ss berarah dengan kendala-kendala yang melput kendala konservas flow dan kendala restrks flow Kendala konservas flow merupakan suatu kendala yang menaga kesembangan flow pada suatu smpul, yang menyatakan bahwa banyaknya flow yang masuk ke suatu smpul harus sama dengan banyaknya flow yang keluar dar smpul tersebut Kendala restrks flow merupakan suatu kendala yang membatas banyaknya flow yang dapat melewat suatu ss berarah Msalkan N menyatakan hmpunan smpul dalam suatu network dan A menyatakan hmpunan ss berarah dalam network tersebut Msalkan pula baya pengangkutan (shppng) setap unt flow komodtas pada ss berarah (, ) A dnyatakan sebaga c, unt flow komodtas yang melalu ss berarah (, ) untuk setap (, ) l dan A dnotaskan dengan x, u berturut-turut menyatakan batas bawah dan batas atas flow komodtas yang harus dangkut melalu ss berarah (, ) untuk setap (, ) A, dan b menyatakan supply/demand pada smpul N Varabel b dsebut supply pada smpul ka b > 0 dan smpul dsebut smpul supply Varabel b dsebut demand pada smpul ka b < 0 dan smpul dsebut smpul demand Jka b = 0, smpul dsebut sebaga smpul transshpment Formulas umum suatu masalah network flow dberkan sebaga berkut: mn (, ) A terhadap x x = b, N :(, ) A :(, ) A l x u, (, ) A c x (9) (0) Persamaan (9) menyatakan kendala konservas flow dan pertdaksamaan (0) menyatakan kendala restrks flow (Ahua et al 993)

9 9 Masalah Path erpendek (he Shortest Path Problem) Masalah path terpendek merupakan kasus khusus dalam masalah network flow baya mnmum Ddefnskan panang untuk sembarang path berarah dalam suatu network sebaga umlah baya semua ss berarah dalam path tersebut Dalam masalah n akan dcar suatu path terpendek, yakn path berarah dar suatu smpul asal ke smpul tuuan dengan panang terkecl DESKRIPSI DAN FORMULASI MASALAH Suatu perusahaan yang memproduks pulp harus mengrmkan beberapa produknya pada para pelanggan yang ada d dalam neger maupun dekspor ke luar neger Pengrman dalam neger dapat dlakukan dengan menggunakan truk atau kereta, dan pengrman ke luar neger dapat dlakukan dengan kapal pengangkut (shppng vessels) ke termnaltermnal dan dlanutkan dengan truk atau kereta sampa kepada para pelanggan erdapat dua ens termnal, yatu termnal pelabuhan dan termnal nland ermnal nland adalah suatu termnal berukuran lebh kecl darpada termnal pelabuhan dan terdapat d pessr sunga ermnal nland dapat dcapa dar termnal pelabuhan dengan menggunakan kapal yang berukuran lebh kecl darpada kapal pengangkut, truk, atau kereta Setelah menurunkan semua muatan d termnal pelabuhan, kapal yang telah kosong tersebut dharuskan kembal ke pabrk untuk pengrman produk selanutnya Pengrman produk dar pabrk ke pelanggan membutuhkan baya yang besar, dan besarnya baya tersebut dpengaruh oleh arak yang dtempuh dar pabrk pulp (pulpmll) ke pelanggan, bak dalam neger maupun luar neger Selan tu, terdapat pula baya tetap untuk penggunaan termnal, kereta, truk, dan kapal Setap produk yang masuk ke termnal dkena baya cuka per tonnya Rute pengrman dar pabrk ke termnaltermnal dtunukkan oleh Gambar 9 erdapat dua tpe rute, yatu rute sederhana yang dtunukkan dengan rute-a dan rute gabungan yang dtunukkan dengan rute- Rute-A dmula dar satu pabrk pulp dan menuu satu termnal untuk pembongkaran Sedangkan untuk pemuatan rute- dmula dar satu pabrk pulp dan berkunung ke satu atau beberapa pabrk pulp atau termnal dan berakhr pada satu termnal eberapa contoh rute dtunukkan pada abel Gambar 9 Ilustras lokas pabrk, termnal, dan pelanggan