JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 SUBRUANG MARKED Suryoto Jurusan Matemata, FMIPA-UNDIP Semarang Abstra Msalan suatu ruang vetor berdmens ngga atas lapangan omples C, T operator lner nlpoten pada dan W subruang T- nvarant dar. W dataan mared ja terdapat bass Jordan untu W yang dapat dperluas menjad bass Jordan untu. Dalam tulsan n dtunjuan bawa suatu bass Jordan untu W dapat dperluas menjad bass Jordan untu ja dan anya ja bass tersebut mempunya sfat etetapan dan sfat edalaman. Syarat perlu dan cuup suatu subruang T-nvarant adala mared juga dberan secara geometr dengan memanfaatan Int dan Peta dar T. PENDAHULUAN Msalan suatu ruang vetor berdmens ngga atas lapangan omples C, T operator lner nlpoten pada dan W subruang T-nvarant dar. W dataan nvarant teradap T atau dsngat T-nvarant, ja T(x) W, x W. Suatu ranta (untu T) adala mpunan vetor-vetor ta nol : { x, (T - λi)(x),, (T - λi) - (x) } sedeman ngga (T - λi) (x) =. Dmana λ adala nla egen dar T dan (T - λi) - (x) adala vetor egen dar T yang berpadanan dengan nla egen λ. Bass Jordan untu subruang T-nvarant W adala bass untu W yang merupaan gabungan dar ranta-ranta. Sedangan bass Jordan untu (dsebut juga bass Jordan untu T) adala bass yang berbentu : { x j, (T - λ I) ( x j ),, (T - λ I) dmana x j dan (T - λ I) j ( x j ) =. j ( x j ), =,, t ; j =,, s } Goberg d [ 6 ], memperenalan sala satu elas dar subruang nvarant yang merea namaan subruang mared. Pada umumnya, tda setap subruang nvarant adala mared. Suatu subruang nvarant dataan mared ja terdapat
Subruang Mared (Suryoto) bass Jordan untu subruang tersebut yang dapat dperluas menjad menjad bass Jordan untu ruang vetor eseluruan. Permasalaan yang muncul dsn : blamana bass Jordan untu suatu subruang nvarant dapat dperluas menjad bass Jordan untu ruang vetor eseluruan? Untu mengaj permasalaan n aan dtnjau dar seg etnggan dan edalaman suatu vetor dan sfat sfat yang terat. Karatersas subruang mared juga dberan dalam eluarga subruang d = Ker (T ) Im (T d ). Dalam pembaasan subruang mared n anya aan dtnjau untu asus operator lner T yang nlpoten. Karatersas Bass Jordan yang Dapat Dperluas Untu selanjutnya msalan T :, suatu pemetaan lner nlpoten dengan ndes α. Maa adala satu-satunya nla egen dar T. Untu x, etnggan dar x, dnotasan dengan t (x), adala blangan bulat ta negatf terecl sedeman ngga T (x) =. Untu x, edalaman dar x, notas dp (x), ddefnsan sebaga blangan bulat ta negatf terbesar d sedeman ngga x = T d (y), untu suatu y. Selanjutnya, suatu vetor ta nol x dataan mempunya sfat etetapan ( constancy property = CP ) ja berlau sala satu : T(x) = atau T(x) dan dp (T(x)) = dp (x) +. Sedangan suatu ranta S = { x, T(x),, T - (x) } dataan mempunya CP ja dan anya ja berlau dp (T - (x)) = dp (x) +, =,,. Selanjutnya pandang mpunan bagan ta ampa B dar yang bebas lner dengan B = { x,, x r }. B dataan mempunya sfat edalaman ( dept property = DP ), ja x span (B), x dengan x = α x + + α r x r, berlau : dp (x) = mn { dp (x ) : α, =,, r }. Catat bawa sfat etetapan ( CP ) dan sfat edalaman ( DP ) n tda mengabatan satu teradap yang lan.. Selanjutnya aan dtunjuan bawa sfat etetapan dan sfat edalaman n aan mengaratersas subruang mared. Namun sebelumnya aan dberan terleb daulu beberapa lema berut n : 2
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 Lema Msalan suatu ruang vetor atas lapangan omples C. Ja C bass Jordan untu maa C mempunya CP dan DP. Lema 2 Msalan S = { x, T(x),.., T - (x) } suatu ranta. Maa S masmal ja dan anya ja dp (x) =. Lema 3 Msalan A, B, adala mpunan dar vetor-vetor yang bebas lner dengan A B = dan A, B masng-masng mempunya DP. Msalan juga A B bebas lner. Ja A B tda mempunya DP maa terdapat x span (A) dan y span (B) dengan dp (x) = dp (y) sedeman ngga : Teorema dp (x+y) > dp (x) = dp (y). Msalan W subruang T-nvarant dar dan B bass Jordan untu W. Maa B dapat dperluas menjad bass Jordan untu ja dan anya ja B mempunya CP dan DP. But : ( ) Msalan C bass Jordan untu, perluasan dar B. Maa berdasaran lema, C mempunya CP dan DP. Abatnya, arena B C, maa B juga mempunya CP dan DP. ( ) Msalan W subruang T-nvarant dar dan B = { x, T(x ),, T (x ), =,, t } adala bass Jordan dar W, mempunya CP dan DP. a ) Ja W =, pl C = B bass Jordan untu, perluasan dar B. b ) Ja W. Aan dontrus subruang T-nvarant W` yang memuat sejat W dan bass Jordan B` untu W`, perluasan dar B, yang mempunya CP dan DP. Kasus : Terdapat ranta d B yang tda masmal. Msalan S = { x, T(x ),, T (x ) } ranta d B yang tda masmal, untu suatu {,, t }. Msalan juga dp (x ) = d >. Maa terdapat z dan x = T d (z), dengan dp (z) = dan dperole ranta masmal S` = { z,, T d (z) = x, 3
Subruang Mared (Suryoto) T d+ (x ),, T d + (x ) }. Tuls B` = B S` dan W` = span (B`). Jelas bawa W` subruang T-nvarant dar. Klam : S` mempunya CP. Karena S` suatu ranta maa T j (z), j =,, d +. Aan dtunjuan dp (T j (z)) = j, j =,, d +. Ambl sebarang j {,, d + }. Ja j d, maa T j (z) S. Tuls T j (z) = T j-d+d (z) = T j-d (x ). Karena S mempunya CP, maa dp (T j (z)) = dp (T j-d (x )) = dp (x ) + j d = d + j d = j. Sebalnya ja j < d, dan arena dp (x ) = d dengan x = T d (z), maa d = dp (x ) = dp (T d (z)) = dp (T d-j (T j (z))) dp (T j (z)) + d j. Jad dp (T j (z)) j. Aan tetap dp (T j (z)) j, dengan deman dperole dp (T j (z)) = j. In memperlatan bawa S` mempunya CP. Klam 2 : B` = B S` bebas lner. Andaan B` bergantung lner, maa terdapat ombnas lner : t = d + j l α T ( x ) + α T ( z) =, j dengan α j, α l C, =,, t; ; j =,, d +, yang dpenu ole α j, α l yang tda semuanya nol. Kususnya terdapat r dengan r < d, sedeman ngga α r. Karena r < d, maa r mempunya nla mnmum, msalan s = mn { r : α r, dengan r < d }. Dengan deman, T d s ( t = d + l= j l α T ( x ) + α T ( z)) = atau dperole : j t l= = d s l j l α j d s T ( x ) + α T ( x ) =,, ( ), l+ s l= suatu ombnas lner dar unsur-unsur d B yang dpenu ole α s. Abatnya B bergantung lner, n bertentangan dengan B yang bebas lner. Jad arusla B` bebas lner. l 4
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 Klam 3 : B` mempunya DP. Andaan B` tda mempunya DP. Maa menurut lema 3, terdapat w W dan x span (S` - S) dengan dp (w) = dp (x) dan dp (w + x) > dp (w) = dp (x). Karena x span (S` - S) = span ({ z,, T d- (z) }), tuls x = γ T ( z), dengan γ C, =,, d. Msalan dp (x) = r, dengan r < d, maa d = r x = γ T ( z), dengan γ r. Tuls v = w + x, jelas bawa v span (B`) = W` dan dp (v) > r. Dengan deman dp (T d-r (v)) dp (v) + d r > r + d r = d ( ) d r = Aan tetap T d-r (v) = T d-r (w) + γ T ( x ) W = span (B) dan T d-r (v), maa + r dp (T d-r (v)) = mn { dp (T d-r (w)), dp ( γ T ( x ) ) } = d. d r = In bertentangan dengan ( ), jad arusla B` mempunya DP. Kasus 2 : Setap ranta d B adala ranta masmal. + r Klam : Terdapat v, v W = span (B) dengan t (v) =. Msalan u, u W dengan t (u) =. Maa T (u) = dan T - (u). Ja T - (u) W, pl v = T - (u). Sebalnya ja T - (u) W. Aan dtunjuan bawa terdapat blangan bulat terecl r dengan < r sedeman ngga T r (u) W. Karena, u W dan T - (u) W, pandang mpunan N = { j : T j (u) W, j =,, }. Karena N {,, }, maa N mempunya unsur terecl, msalan r. Dengan deman dp (T r (u)) r > atau dp (T r (u)). T r (u) t W = span (B), tuls T r j (u) = α T ( x ), untu suatu α j C. Karena dp = (T r (u)), maa untu j =, α j =, =,, t dan dperole j d = 5
Subruang Mared (Suryoto) t t T r j (u) = T( α T ( x ) ), = 2, j+ j dmana α T ( x ) W. Jad terdapat z W dan berlau T r (u) = T(z). = 2, j+ Tuls x = z T r- (z). Jelas bawa x W dan x, serta T(x) = T(z T r- (z)) = T(z) T r (u) =. Jad x adala vetor egen dar T (yang berpadanan dengan nla egen ). Dengan deman lam tela terbut. Pl S = { u, T(u),, T - (u) } ranta dengan panjang terbesar dengan v = T - (u) W. Msalan B` = B S. Dengan cara yang serupa sepert pada asus dapat dperlatan bawa B` bebas lner. Karena B S = dan W = span (B), maa B` bass untu W` = W span (S) dan jelas bawa W` adala subruang T- nvarant dar. Lag dengan cara yang serupa sepert pada asus dapat dtunjuan bawa S mempunya CP dan B` mempunya DP. Sengga dengan mengulang prosedur d atas dperole bass Jordan untu, yang merupaan perluasan dar B. Karatersas Subruang Mared Msalan B mpunan bagan ta ampa dar yang bebas lner, ddefnsan : B = { x B : t (x) = } B d = { x B : dp (x) = d } B d = { x B : t (x) =, dp (x) = d }. Selanjutnya untu, d, msalan K = Ker (T ) = { x : t (x) } I d = Im (T d ) = { x : dp (x) d } d = K I d = Ker (T ) Im (T d ). 6
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 Karena d = I d, untu d + α, dengan α = ndes nlpoten dar pemetaan lner T, pada tulsan n anya dteanan pada asus d + α. Dengan pendefnsan d atas dperole barsan subruang : dan dpunya dagram berut n : { } = K K K α = = K n = { } = I n = = I α I α- I = d + d + d d d d = = K K Dar dagram dperole d + + d d, dmana vetor-vetor d ruas anan yang tda berada d ruas r aan memegang peranan pentng d dalam aratersas subruang mared n. Msalan W subruang T-nvarant dar, jelas bawa dpenu W d + + W d W ( d + + d ). ( 2 ) Ja nlus balan dar ( 2 ) juga berlau, al n aan mengaratersas subruang mared, sepert dberan ole teorema berut n : Teorema 2 Msalan W subruang T-nvarant dar. Maa W dataan mared ja dan anya ja W d + + W d = W ( d + + d ),, d, d + α. 7
Subruang Mared (Suryoto) Namun sebelum membutan teorema d atas aan dberan terleb daulu beberapa lema berut n : Lema 4 Msalan B bass Jordan untu, maa berlau d = [B d ] ( d + + d ),, d, d + α. Lema 5 Msalan W subruang T-nvarant dar dan B bass Jordan untu W. Ja B dapat dperluas menjad bass Jordan untu, maa berlau, d, d + α. [B d ] ( d + + d ) = { }, Lema 6 Msalan K, K`, L dan L` adala sub-sub ruang dar, dengan K` K, L` L sedeman ngga = K L = K` L`, maa K` = K dan L` = L. Lema 7 Msalan W subruang T-nvarant dar dan F subruang dar W sedeman ngga W d F (W ( d + + d )), dengan, d, d + α, maa T mengndus suatu somorfsma F ~ d + T(F) dan W d + T(F) (W ( 2 d + + 2 )). Lema 8 Msalan W subruang T-nvarant dar dan B eluarga dar vetor-vetor d yang bebas lner sedeman ngga : W d = [B d ] (W d + + W d ),, d, d + α. Maa W = α α [B d = d = ] dan pada ususnya B bass untu W. 8
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 Lema 9 Msalan x, dengan t (x) = > dan dp (x) = d α -. Maa x mempunya FCP ja dan anya ja x d + + d. Searang aan dbutan teorema 2 d atas. ( ) Msalan W mared dan B bass Jordan untu W yang dapat dperluas menjad bass Jordan untu. Ambl sebarang, d, dengan d + α. Karena W subruang dar maa W d + + W d W ( d + + d ) W d. ( 3 ) Karena B bass Jordan untu W yang dapat dperluas menjad bass Jordan untu, maa menurut lema 5 dperole [B d ] ( d + + d ) = { }, dan abatnya [B d ] (W ( d + + d )) = { }. ( 4 ) Karena [B d ] W d serta mengngat ( 3 ) dan ( 4 ) dperole [B d ] (W ( d + + d )) W d. ( 5 ) Sebalnya, ambl sebarang x W d, dengan x, dengan melat bentu ombnas lner x atas B dperole x = x + x 2 + x 3, dengan x [B d ], x 2 d + dan x 3 d. Karena x 2, x 3 W, maa x 2 + x 3 W ( d + + d ) dan abatnya dperole x [B d ] + ( W ( d + + d )) atau W d [B d ] + ( W ( d + + d )). ( 6 ) Sengga dengan mengngat ( 5 ) dperole : W d = [B d ] (W ( d + + d )). ( 7 ) Jelas bawa [B d ] + ( W d + + W d )) W d. Sebalnya, ambl sebarang x W d, dengan x, maa x = x + x 2 + x 3, dengan x [B d ], 9
Subruang Mared (Suryoto) x 2 d + dan x 3 d. Karena x 2, x 3 W, jad x 2 W d + dan x 3 W d, maa x [B d ] + ( W d + + W d ) atau W d [B d ] + ( W d + + W d ). Dengan deman dperole W d [B d ] + ( W d + + W d ). Klam : [B d ] ( W d + + W d ) = { }. Msalan x = y + z, dengan x [B d ], y W d + dan z W d, dan andaan x. Maa dpunya T - (x) = T - (y + z) = T - (y). Abatnya dp (T - (x)) d +. Aan tetap T - (x) W = span (B), dengan B mempunya DP, jad dp (T - (x)) = d +. In bertentangan dengan asl sebelumnya. Jad arusla x = dan terbut bawa [B d ] ( W d + + W d ) = { }. Dengan deman dperole W d = [B d ] (W d + + W d ). ( 8 ) Sengga dar ( 7 ) dan ( 8) serta dengan mengngat lema 6 dperole W d + + W d = W ( d + + d ). ( ) Untu membutan bawa W mared, cuup apabla dapat dontrus suatu bass Jordan untu W, yang mempunya CP dan DP. Ambl sebarang γ {,, α }. Aan dontrus bass Jordan untu W berturut-turut sebaga berut : W = (W + W γ γ γ ) [B ] γ W γ = (W 2 γ + W γ 2 ) [T(B )] [B γ γ W γ [B ], = (W γ ) [T γ- (B γ )] [T γ-2 (B dan proses n well defned arena lema 7. γ ] γ γ )] [T(B 2 2 )] 2
JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER ol. 4. No., - 22, Aprl 2, ISSN : 4-858 Tuls B* j j γ = T ( Bγ j ), =,, γ -. Maa B* γ bass untu j j j j [ T ( Bγ j )]. Dengan deman [ T ( Bγ j )] = [B* ], dan dperole W γ = (W + γ + W γ ) [B* γ ], =,, γ -. γ Sedangan lema 8 menjamn bawa gabungan B* = B * untu W. α γ γ = = γ adala bass Tnggal dperlatan bawa B* mempunya CP dan DP. Ambl sebarang b B*, maa b B* γ, untu suatu {,, γ - } dan γ {,, α }. Abatnya b W γ. Karena W γ = [B* γ ] (W + γ + W γ ) atau [B* γ ] (W + γ + W γ ) = { } dan mengngat b [B* γ ] serta b, maa dperole b W + γ + W γ. Karena W + γ + W γ = W ( + γ + γ ) dan b W, maa b + γ + γ. Maa berdasaran lema 9, b mempunya FCP atau ranta { b, T(b),, T γ-- (b) } mempunya CP. Dengan deman B* mempunya CP. Selanjutnya dengan menggunaan ndus matemata dan menerapan lema 3 dapat dbutan bawa B* mempunya DP. Dengan deman arena B* bass Jordan untu W mempunya CP dan DP, maa terbut bawa W mared. 2
Subruang Mared (Suryoto) KESIMPULAN Dar pembaasan sebelumnya dapat dsmpulan :. Sala satu cr yang mengaratersas subruang mared adala esstens dar bass Jordan dar subruang yang bersangutan yang mempunya CP dan DP. 2. Karatersas yang lan untu suatu subruang mared W dar adala dpenunya ubungan : W d + + W d = W ( d + + d ),, d, d + α, dmana α adala ndes nlpoten dar pemetaan lner T. DAFTAR PUSTAKA. Arfn, A., Aljabar Lner, Penerbt ITB, Bandung, 995. 2. Bru, R., L. Rodman and H. Sceneder, Extensons of Jordan Bases for Invarant Subspace of a Matrx, Lnear Algebra and Its Applcatons, 99, 5 : 29 225. 3. Burton, D. M., Abstract and Lnear Algebra, Addson-Wesley, Massacusetts, 972. 4. Ferrer, J., F. Puerta and X. Puerta, Geometrc Caracterzaton and Classfcaton of Mared Subspaces, Lnear Algebra and Its Applcatons, 996, 235 : 35 46. 5. Fredberg, S., A. J. Insel and L. E. Spence, Lnear Algebra, Prentce Hall, New Yor, 992. 6. Goberg, I., P. Lancaster and L. Rodman, Invarant Subspaces of Matrces wt Applcatons, Jon Wlley & Sons, New Yor, 986. 7. Jacob, B., Lnear Algebra, W. H. Freeman and Company, New Yor, 99. 8. Roman, S., Advanced Lnear Algebra, Sprnger-erlag, New Yor, 992. 22