KONSTRUKSI RUANG TOPOLOGI LENGKAP

Transkripsi

1 KONSTRUKSI RUANG TOPOLOGI LENGKAP Sely Msdalfah Jsan Matemata FMIPA Unestas Tadlao Absta Hmpnan A mepaan semmet-semmet dpelas tedefns atas hmpnan X yang menghaslan sat eseagaman atas X yang aan membangn sat topolog seagam T nt X. Andaan B mepaan hmpnan semmet-semmet dpelas dan besfat semontn bawah yang tedefns atas X.Unt sat c X yang tetap ddefnsan hmpnan PcB x X : b B b x c. Msalan mepaan topolog seagam bag P cb yang dbangn oleh eseagaman yang dhaslan oleh A B. Ja ang topolog (XT) lengap maa ang P cb topolog ( ) jga lengap. Kata Knc : Topolog seagam semmet semontn ang topolog I. Pendahlan Andaan X sat ang absta dan X = X x X. Hmpnan hmpnan dagonal. Ddefnsan hmpnan s x y : y x s x x : x X dsebt nt setap nt setap st X ddefnsan s t x y : z X x z t dan z y s. s X. Dan Sat elaga Q yang ted da hmpnan-hmpnan bagan da X dsebt sb bass eseagaman ja dan hanya ja : s Q maa s s Q t Q t s 3 s Q t Q t t s Sat elaga S yang ted da hmpnan-hmpnan bagan da X dsebt bass eseagaman bla S adalah sb bass eseagaman yang tettp tehadap opeas san yang behngga yat : 4 s t S maa s t S Bla Q adalah sst elaga hmpnan-hmpnan bagan da X maa yang dlambangan dengan I(Q) adalah elaga semsan behngga da hmpnan-hmpnan dalam Q. Pehatan bahwa bla Q adalah sat sb bass eseagaman maa I(Q) mepaan bass eseagaman. Sat elaga V yang ted da hmpnan-hmpnan bagan da X dsebt eseagaman atas ang X bla V mepaan bass eseagaman dan memenh sfat : 5 s t dengan s V dan s t X maa t V. Bla S adalah sat elaga hmpnan-hmpnan bagan da X maa yang dmasd dengan Q(S) adalah elaga sema hmpnan yang memat hmpnan-hmpnan dalam S. Bla S sat bass eseagaman maa Q(S) mepaan eseagaman atas ang X.

2 JIMT Vol. 7 No. Nopembe 00 : Sat pasangan (XV) dengan X ang absta ta osong dan V adalah sat eseagaman atas X dsebt ang seagam dan nt setap V dan x X hmpnan x y X : x y dsebt setaan da x yang dhaslan oleh oleh.sat hmpnan bagan H da X dsebt ba tehadap eseagaman V ja x H V x H. Mdah dbtan bahwa elaga T yang ted da sema hmpnan ba tehadap sat eseagaman V mepaan sat topolog yang dsebt dengan topolog seagam yang dbangn oleh eseagaman V. II. Teo Pennjang II. Rang Topolog Lengap: Sat hmpnan teaah adalah sat pasangan (D ) dmana D hmpnan ta osong dan adalah sat elas yang ddefnsan pada D sedeman sehngga : D maa w D dan w w 3 D w D sehngga w dan w Sat fngs s yang memetaan hmpnan teaah (D ) e hmpnan X dsebt net. Selanjtanya sat net aan ta lambangan dengan Sn nt setap n D. Sat net Sn dalam sat ang eseagaman (XV) dsebt net Cachy ja V n D Sm Sn nt sema m. n n. Sat ang seagam dataan lengap ja setap net Cachy dalam ang seagam tesebt onegen esat tt dalam ang t tehadap topolog seagam yang dbangnnnya. Sat ang topolog (XT) dataan lengap ja dan hanya ja tedapat sat eseagaman V atas X sedeman sehngga ang seagam (XV) adalah lengap dan T adalah topolog seagam yang dbangn oleh V. Sat pemetaan q: X X ja q memenh sfat-sfat bet : x X maa q x x 0 x y X maa q x y q y x 3 x y z X maa q x y q x z q z y. [0 ] dsebt semmet dpelas yang ddefnsan atas hmpnan Pemetaan n dsebt semsmet hanya ja mempnya nla yang behngga. Ja q adalah sat semmet dpelas yang ddefnsan atas hmpnan X maa q dsebt semontn bawah ja q - [0] mepaan hmpnan ttp dalam topolog haslal da X. Andaan A adalah hmpnan semmet-semmet yang ddefnsan atas X. Unt a A dan 0 ta defnsan : x y X : a x y a a 0. Aan dbtan bahwa elaga sema hmpnan bagan da X mepaan sbbass eseagaman. 3

3 Konsts Rang Topolog Lengap Lemma : Kelaga K a : a A 0 adalah sat sbbass eseagaman atas X. Bt : a A dan 0 sebab a x x 0 x X a a a a Ja K maa x y : y x x y : a y x x y : a y x K a a / a / a / 3 Ja K maa jga beada dalam K Ambl sebaang x y plh z X x z dan z y beada dalam maa a x y a x z a z y / /. Jad. a / a / a / a Keseagaman V=Q(I(K)) yang dpeoleh dengan caa deman t da sbbass eseagaman K d atas dsebt eseagaman yang dhaslan oleh hmpnan semmet A.Keseagaman V n membangn sat topolog seagam T nt hmpnan X dan ang topolog (XT) adalah lengap ja dan hanya ja ang seagam (XV ) jga lengap. Andaan A dan B adalah hmpnan semmet-semmet dpelas yang ddefnsan atas X dan VW mepaan eseagaman atas X yang dhaslan bett-tt oleh A dan B. Msalan P X dan U eseagaman atas P yang dhaslan oleh A B. Aan dbtan lemma bet : Lemma : Bla Sn sat net Cachy dalam ang seagam (PU).maa Sn Bt : Cachy dalam ang seagam (XV) mapn (XW). Msalan Sn sat net Cachy dalam ang seagam (PU) dan a an A dan n 0 sedeman sehngga: dmana a n a x y X : a x y. Andaan P n a jga mepaan net V sebaang maa tedapat a Maa dan U sehngga ada no D sedeman sehngga (SmSn).Abatnya (SmSn) nt sema mn no. Jad Sn mepaan net Cachy dalam ang seagam (XV).Dengan caa yang sama dapat dbtan bahwa Sn jga mepaan net Cachy dalam ang seagam (XW). II. Konsts Rang Topolog Lengap Andaan A mepaan hmpnan semmet-semmet yang ddefnsan atas hmpnan X dan T mepaan topolog seagam nt X yang dbangn oleh eseagaman V yang dhaslan oleh A. Andaan B adalah hmpnan semmet-semmet dpelas yang besfat sem ontn bawah yang ddefnsan atas X dan W adalah eseagaman atas X yang dhaslan oleh B Unt sat c X yang tetap ta defnsan : PcB x X : b B b x c 3

4 JIMT Vol. 7 No. Nopembe 00 : Andaan mepaan topolog seagam nt P c B yang dbangn oleh eseagaman U yang dhaslan oleh A B. Teoema : Ja (XT) mepaan sat ang topolog yang lengap maa nt setap c X dan Bt: setap hmpnan B yang ted da semmet-semmet dpelas yang besfat semontn bawah dan ddefnsan atas X ang PcB Andaan Sn adalah sat net Cachy dalam ang seagam PcB U. jga lengap. Ment lemma. Sn jga net Cachy dalam ang seagam (XV) mapn (XW). Kaena ang seagam (XV) adalah ang seagam yang lengap maa Sn onegen esat tt s X. Pehatan bahwa nt setap a A dan 0 setaan a[s] da tt s mepaan hmpnan ba dalam topolog T. Maa tedapat no D sedeman sehngga Sm a[s]. Abatnya nt sema m no (Sms) a[s]. Kaena Sn mepaan net Cachy dalam ang seagam (XW) maa nt setap b B dan 0 tedapat no D sedeman sehngga (SmSn) b / b 0 / nt sema mn no. Kaena Sn onegen e tt s maa (SmSn) onegen e (Sms) dalam topolog haslal da X. Tetap no (Sms) b 0 / mepaan hmpnan ttp aena b semontn bawah. Maa nt setap m b / b 0 /. Dengan deman (Sms) a b 0. Jad nt setap b B dan 0 tedapat no D sedeman sehngga b (Sms) nt sema m no. Abatnya s P cb Kaena nt setap b B dan 0 bela b s c b s sm b sm c b sm c nt setap m n Ambl sebaang hmpnan ba G sedeman sehngga tt s G. Maa tedapat hmpnan U sedeman sehngga [s] G. Kta defnsan : x y P : a x y a c B P a c B Kaena U maa tedapat aa a (A B) dan blangan-blangan postf sedeman sehngga : nt setap a dan = tedapat n m n. Tetap Sm dan s beada dalam P cb sema m n. a D sedeman sehngga (Sms) sehngga (Sms) Ambl n D sedeman sehngga n n nt setap. Ja m n maa (Sms) nt sema nt setap dan nt nt setap. Jad (Sms) yang beat bahwa Sm [s]abatnya Sm G nt sema m n. Dengan deman tebt bahwa ja ang seagam PcB U. Lengap maa ang topolog PcB lengap. jga 33

5 Konsts Rang Topolog Lengap III. Kesmplan Ja (XT) mepaan sat ang topolog yang lengap maa nt setap c X dan setap hmpnan B yang ted da semmet-semmet dpelas yang besfat semontn bawah dan ddefnsan atas X ang IV. Dafta Pstaa : P cb jga lengap.. Cohen L.W. On Topologcal Completeness. Bll. Ame. Math. Soc 940. Kelley J. L. Geneal Topology. New Yo Spnge-Velag Nemann J.V. On Complete Topologcal Spaces. Tans. Ame. Math. Soc