BAB II LANDASAN TEORI

Transkripsi

1 BAB II LANDASAN ORI. Aljabar Matrs.. Defns Matrs Matrs adalah suatu umpulan anga-anga yang juga serng dsebut elemen-elemen yang dsusun secara teratur menurut bars dan olom sehngga berbentu perseg panjang, dmana panjang dan lebarnya dtunjuan oleh banyanya olom dan bars serta dbatas tanda [ ] atau. Sebuah matrs dnotasan dengan smbol huruf besar sepert A,, atau Z dan sebaganya. Sebuah matrs A yang beruuran m bars dan n olom dapat dtuls sebaga berut : Atau juga dapat dtuls : A = [ ] =,,, m ; j =,,, n Unverstas Sumatera Utara

2 Determnan Matrs Determnan adalah semua hasl peralan elementer yang bertanda dar suatu matrs A dan dnyataan dengan det A. Msalan A = [ ] adalah matrs nxn. Fungs determnan dar A dtuls dengan det A atau A. Secara matematnya dtuls : Dengan merupaan hmpunan S = {,,, n}. eorema Ja A = [ ] adalah matrs nxn yang mengandung sebars blangan nol, maa deta = 0. eorema Ja A adalah matrs segtga nxn, maa deta adalah hasl al elemen elemen pada dagonal utama, yatu eorema Ja A adalah sebarang matrs uadrat, maa. Invers Matrs Msalan A matrs nxn dsebut non sngular nvertble ja terdapat matrs B maa AB = BA = I Matrs B dsebut nvers dar A ja tda terdapat matrs B maa matrs A dsebut sngular non-nvertble. Secara umum nvers matrs A adalah : Unverstas Sumatera Utara

3 Adjont matrs A adalah suatu matrs yang elemen-elemennya terdr dar semua elemen-elemen ofator matrs A, dengan adalah ofator elemen-elemen Sehngga dapat dtuls dalam bentu matrs sebaga berut : dengan : Sfat sfat nvers : a. Ja A adalah matrs non sngular, maa adalah non sngular dan b. Ja A dan B adalah matrs non sngular, maa AB adalah non sngular dan. Regres Lner Berganda Dalam menentuan nla varabel tda bebas Y, perlu dperhatan varabel varabel bebas yang mempengaruhnya terlebh dahulu, dengan deman harus detahu hubungan antara satu varabel tda bebas Dependent Varable dengan beberapa varabel lan yang bebas Independent Varable. Untu meramalan Y, apabla semua varabel bebas detahu, maa dapat dpergunaan model persamaan regres lner berganda sebaga berut: dmana: Y Y = varabel tda bebas,,, = varabel bebas Unverstas Sumatera Utara

4 ,,, = parameter oefsen regres varabel bebas 0 = ntersep yatu tt potong antara regres dengan sumbu tega y bla x= 0 = Jumlah varabel bebas pada observas e- = Banya pengamatan = Varabel esalahan e- Apabla dnyataan dalam bentu matrs Y Y Y 3 Y n 3 n 3 n n 3 n 0 3 n Dengan < n yang berart banya observas harus lebh banya dar pada banya varabel bebas, aan dperoleh:. atau Salah satu metode estmas parameter untu regres lner berganda adalah Ordnary Least Square OLS. Konsep dar metode OLS adalah menasr parameter regres dengan memnmuman jumlah uadrat dar error. ujuan OLS adalah memnmuman jumlah uadrat error yatu: S n = = n Unverstas Sumatera Utara

5 = = n n = y y = y y = y y = y y y y Karena y adalah scalar, maa matrs transpose nya adalah Jad y y S = y.3 y y.4 Untu mengestmas parameter regres maa jumlah uadrat error harus dmnmuman Supranto, 009: 4-4, hal tersebut bsa dperoleh dengan melauan turunan pertama terhadap, dengan aturan penurunan salar berut: Msalan z dan w adalah vetor vetor berordo mx, sehngga y =z w adalah salar, maa, dy w dy, w dy dy, z,dan z dz dz dw dw Sehngga ddapatan hasl turunan jumlah uadrat error sebaga berut: S = 0 y = y = y.5 dan hasl estmas parameter ddapatan dengan menyamaan hasl turunan jumlah uadrat error dengan nol, sehngga pada saat hasl turunan jumlah uadrat error dsamaan dengan nol parameter menjad, dan dperoleh: y 0 y Unverstas Sumatera Utara

6 = y.6 Aan dtunjuan bahwa adalah estmas lner ta bas dar y y dar sn terbut bahwa adalah estmas lner ta bas dar. Dengan mensubttus persamaan. e dalam persamaan.5 ddapat: = y.7 Untu dapat menunjuan bahwa adalah penasr OLS yang palng ba Best stmator dalam art tasran varans parameter Var adalah yang terendah, maa bsa dperlhatan sebaga berut: Unverstas Sumatera Utara

7 ,,,,,, Var Var Var Jelas terlhat bahwa varans adalah anggota dar dagonal utama, sedangan ovaran adalah unsur unsur dluar dagonal utama. Kovarans tersebut bsa dtulsan dalam notas matrs sebaga berut: V.8 Dengan V adalah matrs dagonal. Pada saat varans error bersfat homosedaststas, maa bsa dtuls I V dengan asums tersebut persamaan menjad: I Var Unverstas Sumatera Utara

8 I I.9 Apabla varans error tda detahu, maa harus ddapat tasrannya, dan untu tasran varans error dlauan dengan menasr onstanta varans error sebaga berut: n n.0 dengan varans tasran n dperoleh varans parameter regres sebaga berut: Var. Dalam regres lner berganda, ada beberapa asums yang harus dpenuh agar tahap estmas yang dperoleh benar dan efetf, bla memenuh teorema Gauss Marov sebaga berut Nachrow, 00:3:. Rata rata harapan varabel bernla nol atau =0. da terdapat orelas seral atau autoorelas antar varabel error untu setap observas atau, j =0 ; j. 3. Meml error yang bersfat homosedaststas atau Var. 4. Nla varabel tetap atau nlanya ndependen terhadap factor error atau, =0 5. Model regres dspesfas secara benar, dan 6. da ada hubungan lner olnertas antar varabel varabel bebas. Ada beberapa penympangan asums dalam regres lner berganda, yan:. Multolnertas Unverstas Sumatera Utara

9 Istlah n dcptaan oleh Ragner Frsh, yang berart ada hubungan lner yang sempurna atau esa dantara varabel-varabel bebas dalam model regres. Heterosedaststas Salah satu asums dasar yang harus dpenuh adalah varans error harus onstan Var, ja tda onstan, maa terdapat unsur heterosedaststas. Data cross-secton cenderung memuat unsur heterosedaststas arena pengamatan dlauan pada ndvdu yang berbeda pada saat yang sama. 3. Autoorelas Autoorelas merupaan gangguan pada fungs yang berupa orelas dantara varabel error, n berart tda terpenuhnya asums yang menyataan bahwa nla-nla varabel tda berorelas..3 Heterosedaststas Salah satu asums yang harus dpenuh agar model bersfat BLU Best Lnear Unbased stmator adalah harus terdapat varans yang sama dar setap error-nya atau homosedaststas, secara smbols, =,,,n apabla asums n tda terpenuh maa yang terjad adalah sebalnya, yan heterosedaststas. Heterosedaststas berart varans error berbeda dar suatu observas e observas lannya. Sehngga setap observas mempunya relabltas yang berbeda. Unsur heterosedaststas menyebaban hasl dar t-test dan F-test menyesatan, arena edua uj tersebut menggunaan besaran varans tasran, lebh besarnya varans tasran dbandng varans sebenarnya aan menyebaban standar tasran error juga lebh besar, sehngga nterval epercayaan sangat besar pula. Nachrow, 00: en Mendetes Heterosedaststas Metode pengujan yang bsa dgunaan untu menguj heterosedaststas adalah sebaga berut: Unverstas Sumatera Utara

10 . Melhat scatter plot nla preds dependen ZPRD dengan resdual SRSID Metode n yatu dengan cara melhat graf scatterplot antara standardzed predcted value ZPRD dengan studentzed resdual SRSID. Ada tdanya pola tertentu pada graf scatterplot antara SRSID dan ZPRD dmana sumbu Y adalah Y yang telah dpreds dan sumbu adalah resdual Y preds Y sesungguhnya. Dasar pengamblan eputusan yatu: Ja ada pola tertentu, sepert tt tt yang ada membentu suatu pola tertentu yang teratur bergelombang, melebar emudan menyempt, maa terjad heterosedaststas. Ja tda ada pola yang jelas, sepert tt tt menyebar datas dan dbawah anga 0 pada sumbu Y, maa tda terjad heterosedaststas.. Uj Goldfeld Quandt Adapun langah langah pada metode n adalah sebaga berut: a. Urutan data berdasaran nlanya b. Bag data menjad, satu bagan meml nla yang tngg, bagan lannya meml nla yang rendah, sshan data pada nla tengah c. Lauan regres pada masng masng data d. Buatlah raso RSSResdual Sum Square =error sum f square dar RSS regres edua terhadap regres pertama, sehngga ddapat RSS RSS F htung =. RSS e. Lauan uj F tabel dengan menggunaan derajat ebebasan degree of freedom sebesar n-d-/, dengan: n = banyanya observas d = banyanya data atau nla observas yang hlang =banyanya parameter yang dperraan. Dan bla F htung F tabel, maa ada heterosedaststas dalam hal lan tda ada heterosedaststas. Unverstas Sumatera Utara

11 Pada Uj Goldfeld Quant seandanya tda ada data yang dbuang d=0 tes mash berlau tetap emampuan untu mendetes adanya heterosedaststas aga berurang. 3. Uj Par Untu pengujan heterosedaststas melalu pengujan hpotess dapat dlauan dengan uj par.r.. Par pada tahun 966 mengemuaan eyanan bahwa terdapat suatu hubungan fungsonal antara ragam galat, yang bersfat heterosedaststas dan varabel penjelas,. Par merumusan bentu fungsonal tu sebaga berut: Atau: ln d mana adalah bentu gangguan yang bersfat stoast. Karena pada umumnya tda detahu, par mengunaan sebaga varabel proxy, emudan merumusan model reges sebaga berut: = Berdasaran uj par, ta melauan pengujan hpotess tentang parameter dalam model regresnya, apabla oefsen besfat nyata dalam statst, maa menujuan hetersoedaststas dalam data, sebalnya apabla uj terhadap oefsen bersfat tda nyata secara statst, maa menujuan bahwa asums homosedaststas dar model regres dapat dpenuh. Langah-langah pengujannya adalah sebaga berut: Unverstas Sumatera Utara

12 a. erapan ordnary least square estmaton 0LS untu menasr model: b. Menerapaan OLS untu menasr ln dengan menggunaan ln. 4. Uj Whte Dalam mplementasnya, model n relatve lebh mudah dbandngan dengan uj uj lannya. Perhatan persamaan berut: Y 0 x x Berdasaran regres yang mempunya tga varabel bebas datas, dapat dlauan uj whte dengan beberapa tahapan prosedur, yatu: a. Hasl estmas dar model datas aan menghaslan nla error, yatu : b. Buat persamaan regres: 0 x x 3x 4x 5x x Perhatan model datas, uj n mengasumsan bahwa varan error merupaan fungs yang mempunya hubungan dengan varabel bebas, uadrat masng v masng varabel bebas, dan nteras antar varabel bebas. c. Dengan hpotess: H 0 H : Homosedaststas / tda heterosedaststas : Heterosedaststas. Sampel beruuran n dan oefsen determnas R yang ddapat dar regres aan mengut dstrbus Ch- Square dengan derajat bebas jumlah varabel bebas atau jumlah oefsen formulas Uj Whte adalah sebaga berut : nr ~ d. Krtera uj whte adalah ja nr > nr < tabel, maa terma H 0. regres dluar ntercept. Dengan deman, tabel, maa tola H 0. Sebalnya ja Unverstas Sumatera Utara

13 .4 Metode Weght Least Square WLS Apabla varans error detahu atau dapat dperraan, cara yang palng mudah untu mengatas adanya heterosedaststas adalah dengan metode uadrat terecl terbobot Weghted Least Square yang memberan hasl bersfat BLU. Gujarat, 00: 493. Untu menggambaran metode n, aan dberan model sebaga berut: Y Untu mendapatan tasran varans parameter regres, dasumsan untu sementara bahwa varans error sebenarnya untu setap observas detahu, sehngga transformas persamaan yang dhaslan dar model regres lner berganda adalah: Y 0 ransformas n dlauan dengan membag ba ss r maupun ss anan regres dengan aar varans error. Searang anggaplah v dan v bsa dsebut fator error yang dtransformasan, apabla fator error tersebut bersfat homosedaststas, maa bsa detahu bahwa estmator OLS dar parameterparameter pada persamaan tersebut bersfat BLU. Untu melhat bahwa fator error v homosedaststas bsa dengan cara berut: v Sehngga v v Unverstas Sumatera Utara