Penurunan Syarat Orde Metode Runge-Kutta dengan Deret Butcher

Transkripsi

1 Vol., No., -9, Januar 06 Penurunan Syarat Orde Metode Runge-Kutta dengan Deret Butcer Mutar Abtrak Tulan n membaa aplka deret Butcer dalam penurunan yarat orde metode Runge- Kutta. Penurunan deret Butcer ddaarkan pada deret Taylor dengan menggunakan repreenta poon berakar teradap turunan elementer fung. Dengan menggunakan deret Butcer, komplekta penurunan metode Runge-Kutta dengan menggunakan deret Taylor ba dndar. Penurunan metode Runge-Kutta orde lma dpl ebaga conto aplka. Stem peramaan non-lnear yang terbentuk dar yarat orde deleakan dengan bantuan oftware Maple. Halnya dberkan dua varan metode Runge-Kutta orde lma. Kata Kunc: Deret Taylor, deret Butcer, poon berakar, turunan elementer, pembobot elementer, yarat orde.. Pendauluan Bentuk umum metode Runge-Kutta ekplt dengan langka untuk menyeleakan peramaan dfferenal baa yang berbentuk y' ( x) = f ( x, y), y( x ) = y, () ddefnkan ole 0 0 dmana k = f ( x, y ) dan 0 0 Umumnya c memenu 0 0 y( x + ) = y( x ) + bk () = j j j= k = f( x + c, y + a k ), =,, L,. () - c = a,,,, = L. (4) j j= Suatu metode Runge-Kutta orde p aru memenu yarat orde (order condton) tertentu yang umumnya membentuk tem peramaan non-lnear. Syarat orde n dtentukan berdaarkan ekpan deret Taylor kedua rua peramaan () yang melbatkan peramaan () ebaga fung dar. Sebaga conto, tem peramaaan yang dberkan berkut merupakan yarat orde untuk metode Runge-Kutta orde. Juruan Penddkan Matematka, FKIP, Unverta Dayanul Ikanuddn, Bau-Bau

2 b + b + b = b a + b a + a = b a + b a + a = b a a = 6. Penurunan yarat orde dar metode Runge-Kutta dengan menggunakan ekpan deret Taylor terkadang angat komplek dan kurang efeen karena banyaknya turunan fung yang aru devalua. Untuk mengata maala n, repreenta deret Taylor ke dalam deret Butcer dengan menggunakan poon berakar (rooted tree) memegang peranan pentng dalam anal orde metode Runge-Kutta.. Poon Berakar Hmpunan dar poon (berakar) T ddefnkan ecara rekurf ebaga berkut, (Harer et al, 006): a) Graf t dengan anya atu mpul (debut akar) termuat pada T; b) Jka t, t, K, t m Î T, maka graf yang dtentukan dengan mengubungkan akar-akar dar t, t, K, t m ke ebua mpul baru juga termuat pada T. Opera n dnotakan ole t t t t m = [,, K, ] dan mpul baru terebut merupakan akar dar t. Berkut beberapa defn pentng dar poon berakar yang akan dgunakan dalam pembaaan elanjutnya. Defn. (Rattenburry, 005) Orde dar poon berakar t, rt () ddefnkan ole ìï jka t rt () = ï í = t ï + r( t ) + L + r( t ) jka t = [ t, t, K, t ] ïî m m Sebaga conto, poon berakar d bawa n memlk orde rt = 8. d e f g b c a

3 Defn. (Rattenburry, 005) Kepadatan dar poon berakar t = [ t, t, K, t ] m, g () t ddefnkan ole ìï jka t t g() t = ï í = ï r( t) g( t ) g( t ) L g( t ) jka t = [ t, t, K, t ] ïî m m Sebaga conto, poon berakar 4 memlk kepadatan g ( t) = 4 8 = Defn. (Rattenburry, 005) n n n m Smetr dar poon berakar t = [ t, t, L, t ] m, () t dmana t, t, K, t k emuanya berbeda, ddefnkan ole ìï jka t = t () t = ï í ï m m n! n! L n! ( t ) n ( t ) n L ( t ) n jka t = [ t n, t n, L, t n ] ïî m m m Sebaga conto, metr poon berakar!!! adala ( t) =!!! = 7. Secara rngka, orde, kepadatan dan metr dar poon berakar ampa orde lma dberkan dalam tabel d bawa n. Tabel. Orde, Kepadatan dan Smetr dar Poon Berakar ampa Orde 5. t rt () g () t () t 6 4 6

4 4. Turunan Elementer dan Deret Butcer Anal keakuratan (orde) dar metode Runge-Kutta dlakukan dengan membandngkan ekpan deret Taylor dar olu ekak dengan olu numerknya. Untuk keperluan anal terebut, peratkan peramaan dfferenal autonomou, y' ( x) = f ( y( x)) (5) Ekpan deret Taylor dar olu ekak peramaan (5) dberkan ole y( x + ) = y( x) + y' ( x) + y'' ( x) + y''' ( x) + L!! Dengan menggunakan aturan ranta, dperole atau y( x + ) = y( x) + f ( y( x)) + f' ( y( x))( f ( y( x))) +! ( f'' ( y( x))( f ( y( x)), f ( y( x))) + f' ( y( x))( f' ( y( x))( f ( y( x))))) + L! y( x + ) = y( x) + f + f' f + ( f'' ( f, f) + f' f' f' ) + L (6)!! D n dgunakan nota f, f ' dan f '' untuk menyatakan ecara ngkat f ( y( x )), f' ( y( x )) dan f'' ( y( x )) ecara berturut-turut. Ekpre-ekpre pada peramaan (6) yang muncul pada etap uku dar dnamakan turunan elementer (elementary dfferental). Turunan-turunan elementer terebut elanjutnya akan drepreentakan ecara ederana dengan menggunakan graf poon berakar. Setap f menyatakan ebua mpul, turunan pertama f ' menyatakan ebua mpul dengan atu dan ( n ) turunan ke-n, f menyatakan ebua mpul dengan n bua. Secara formal, turunan elementer F( t)( y ) dnyatakan ole defn berkut. Defn 4. (Turunan Elementer, Harer et al, 006) Untuk uatu poon berakar t Î T, turunan elementer adala ebua pemetaan n n Ft : yang ddefnkan ìï f ( y) jka t F( t)( y) = ï í = t ï ( m ) f ( y)( F( t )( y), F( t )( y), K, F( t )( y)) jka t = [ t, t, K, t ] ïî m m Sebaga conto, turunan elementer dar poon berakar d bawa n adala F( t)( y ) = f'' ( f''' ( f, f, f), f' f'' ( f, ). f f f f f

5 5 Turunan fung ke-n dar yx dar orde tertentu dapat dnyatakan ecara unk ebaga kombna lnear dar turunan-turunan elementer. Hal n dnyatakan ole teorema berkut. Teorema. (Harer et al, 006) Turunan ke-n dar olu ekak peramaan (5) dberkan ole ( n ) y ( x) = a( t) F( t)( y( x)) dmana a () t adala koefeen bulat potf. r () t = n Teorema d ata menyatakan ekpre deret Taylor ke dalam deret formal yang melbatan turunanturunan elementer dar fung yx. Defn 5. (Deret Butcer, Harer et al, 006) Untuk pemetaan a : T È {Ø}, deret formal yang dnyatakan ole at () B a t y x = a y x + F t y x tî T () t debut deret Butcer (deret-b). rt () (, ) (Ø) ( ) 4. Pembobot Elementer Koefen dar ekpan deret Taylor pada metode Runge-Kutta yang dberkan ole peramaan () dan () debut pembobot elementer (elementary wegt) F () t, yang dapat dtentukan dar poon t untuk emua t Î T ampa orde tertentu. Berkut conto menentukan pembobot elementer dar ebua poon berakar dengan tuju mpul. j k Pertama, dengan memula dar akar, etap cabang yang mengara keluar dlabelkan dengan, j, k, L, kecual mpul termnal. Kedua, akar dber nama b dan mpul lan dengan a ** kecual mpul termnal. Subndek pertama pada a menyatakan mpul orangtua (parent) ** edangkan ubndek kedua menyatakan mpul yang bereuaan. Terakr, mpul termnal dber nama c, dmana ubndek pada c menyatakan mpul orangtua. Pembobot elementer * * merupakan jumla dar emua al kal kuantta-kuantta n. Dengan demkan pembobot elementer yang dmakud pada poon berakar d ata adala

6 6 j j k k k j j k k, j, k=, j, k= F () t = ba c c a c c = ba c c a c Defn 5. (Lee, 004) Untuk metode Runge-Kutta dengan langka, pembobot elementer, F () t ddefnkan ole ìï b jka t = t F () t = ï = í ïï b F ( t ) F ( t ) F ( t ) jka t = [ t, t,, t ] ï L K m m ïî = dmana F () t adala pembobot elementer langka ke- dan ddefnkan ole ìï a = c jka t = t j F () t = ï = í ïï a F ( t ) F ( t ) F ( t ) jka t = [ t, t,, t ] ï L K j j j j m m ïî = Pembobot elementer poon berakar ampa orde lma teraj pada Tabel. 5. Syarat Orde Syarat orde metode Runge-Kutta merupakan mpunan peramaan yang dperole dengan membandngkan koefeen ekpan deret Taylor dar olu ekak dengan olu numerknya. Solu ekak n merupakan ekpan deret Taylor rua kanan peramaan () d ektar ttk x, 0 yatu yang dapat dnyatakan ebaga y x y y' x x x O! p! = y( x ) + y ( x ) + O( ) p p+ ( + ) = ( x ) L p k ( k) p+ 0 0 k= k! y( x + ) = y( x ) + F( t)( y( x )) + O( ). (8) r ( t ) p tî T ( t) g( t) menurut Teorema. Selanjutnya, dengan menggunakan deret Butcer, olu numerk d ttk x dapat 0 dtentukan dengan menggunakan pembobot elementer F () t untuk etap poon t Î T, yatu y( x + ) = y( x ) + F ( t)( y( x )) + O( ). (9) r( t ) p tî T () t (7)

7 7 Dengan membandngkan peramaan (8) dan (9), dperole F () t = g() t (0) Hal pentng n, ecara formal dnyatakan ole teorema berkut n. Teorema. (Harer et al, 006) Metode Runge-Kutta memlk orde p jka dan anya jka F () t = g() t untuk r () t p. 6. Metode Runge-Kutta Orde Lma Berdaarkan Teorema dan al-al ebelumnya, yarat orde metode Runge-Kutta orde lma teraj ecara lengkap pada Tabel. Dengan demkan terdapat ebanyak 7 peramaan non-lnear. Untuk menjamn konten penyeleaan tem peramaan terebut, maka banyaknya langka () yang dpl adala 6. Dengan terleb daulu melakukan penyederaan dan dengan bantuan oftware Maple untuk menyeleaan ecara erentak tem peramaan terebut, dperole dua varan dar metode Runge-Kutta ekplt orde lma berkut: y( x + ) = y( x ) + ( 7k + k + k + k + 7k ) k = f x, y 0 0 y + k ) y + k + k ) y - k + k ) y + k + k ) k = f x +, y - k + k + k - k + k

8 8 y( x + ) = y( x ) + ( k + 8k - 64k + 8k + k ) k = f x, y 0 0 y + k ) 0 0 y + k + k ) y + k + k ) y + k + k + k + k ) k = f( x +, y - k + k + k - 4k + ) k Tabel. Pembobot Elementer dar Poon Berakar ampa Orde 5. t rt () F( t)( y ) F () t ( ( ff ' ) = g() t b bc = f'' ( f, bc 4 ( fff '' ) = ba c j j j, = 5 4 f''' ( f, f, bc 6 4 f'' ( f, f' 7 4 f' f'' ( f, 8 4 ( ffff ''' ) 9 5 f (4) ( f, f, f, 0 5 f''' ( f, f, f' 5 f'' ( f, f'' ( f, ) 5 f'' ( f, f' f' = bc a c j j j, = ba c j j j, = ba a c j jk k, j, k = = bc 4 bc a c j j j, = bc a c j j j, = bc a a c j jk k, j, k =

9 9 5 f'' ( f' f, f' 4 5 f' ( f''' ( f, f, ) 5 5 f' f'' ( f, f' 6 5 f' f' f'' ( f, 7 5 ( fffff '''' ) b( a c ) j j = j= ba c j j j, = ba c a c j j jk k, j, k= ba a c j jk k, j, k= ba a a c j jk kl l, j, k= Kempulan Syarat orde uatu metode Runge-Kutta orde tertentu dapat dtentukan dengan anya mencar emua kombna poon berakar ampa orde yang bereuaan. Dengan demkan, komplekta penurunan metode Runge-Kutta yang melbatkan evalua turunan-turunan fung pada ekpan deret Taylor ba dndar. Daftar Putaka [] Harer E., Norett S.P., Wanner G., 987, Solvng Ordnary Dfferental Equaton I, Sprnger. [] Harer E., Lubc C., Wanner G., 006, Geometrc Numercal Integraton, Structure- Preervng Algortm for Ordnary Dfferental Equaton, Sprnger. [] Lee, J.H.J., 004, Numercal metod for ordnary dfferental equaton, MSc Te, Te Unverty of Auckland. [4] Mutar, 00, Solu numerk peramaan dfferenal baa dengan metode Runge-Kutta orde lma, Skrp S, Unverta Haanuddn. [5] Rattenbury, N., 005, Almot Runge-Kutta metod for tff and non-tff problem, PD Te, Te Unverty of Auckland.