HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1

Transkripsi

1 HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBA LINIER HIMPUNAN RENTANGAN Defs (Kombas Ler) Msala V suatu ruag etor atas feld F. w etor d V, da, 1, juga etoretor d V. Vetor w dataa sebaga ombas ler dar etor-etor, 1, ja w dapat dyataa dalam betu d maa r 1, r F., w r r uatu hmpua etor meretag ruag etor ja setap etor dalam ruag etor tersebut dapat dyataa sebaga ombas ler dar beberapa etor dalam hmpua tersebut. Defs (Hmpua Retaga) ubruag yag dretag oleh ta osog, suatu hmpua baga dar V, adalah hmpua dar seluruh ombas ler etor-etor dalam : spa( ) { r r r F, } Ja { 1,, } merupaa hmpua hgga, ta guaa otas,, 1 atau spa 1,,. uatu hmpua etor dalam V dataa meretag V, atau membagu V, ja V spa( ). dsebut hmpua retaga. embarag superset dar hmpua retaga juga merupaa hmpua retaga. emua ruag etor meml hmpua retaga, area V meretag drya sedr. 1

2 BEBA LINIER Defs (bebas ler) Msala V suatu ruag etor. Hmpua etor-etor dalam V dataa bebas ler ja utu sebarag etor yag berbeda s, 1 s dalam, a1s 1 as 0 a 0 utu semua. Dega ata la bebas secara ler ja utu etor 0, ja seluruh oefse dar ombas lerya dar adalah 0., Defs la dar bebas ler adalah dataa bebas ler ja etor 0 dapat dyataa secara u sebaga ombas ler etor-etor dar. Peryataa 0 s 1s 1. 0 as1 bs1 meml dua terpretas D maa a = 1 da b = -1, aa tetap peryataa 1 tda melbata dua etor yag berbeda sehgga tda dapat dataa sebaga bebas ler s1 t1 D maa t 1 s 1 s 1 (asums s1 0 ), Ja bebas ler, maa tda megadug s 1 da s1. Defs (essetally uque) Msala hmpua etor dalam ruag etor V. Vetor ta ol V dataa sebaga ombas ler yag u esesal dar etor-etor dalam ja terdapat satu da haya satu cara utu meyataa sebaga ombas ler a1s 1 as d maa s merupaa etor yag berbeda dalam, da oefse a 0. ecara esplst, 0 merupaa ombas ler yag u esesal dar etoretor dalam ja da ja eta a1s 1 as da bt 11 bmm t d maa s etor-etor yag berbeda dalam, begtu pu t etor-etor yag berbeda dalam, da semua oefse a da b ta ol, maa m = da setelah 2

3 dlaua pegdesa ulag bt, ta dapata a 1,2,..., b da s t utu semua Teorema 1.6 Msala {0} merupaa hmpua etor ta ol dalam V. Maa peryataa berut eale: 1. bebas secara ler 2. setap etor ta ol spa( ) dyataa secara u esesal ombas But: ler dar etor-etor d. 3. tda ada etor dalam yag merupaa ombas ler dar etor-eor (1 2) laya dalam. Msala bebas ler da 0 a1s 1 as bt bmt m d maa s etor-etor yag berbeda dalam, begtu pu t etor-etor yag berbeda dalam, da oefse a da b ta ol. Dega megurag da megelompoa s da t yag sama, 0 ( a b ) s ( a b ) s a s a s b t b t 1 m m Karea bebas ler megabata = m =, a b u, da s u t u utu semua u 1,2,...,. (2 3) Adaa ada s yag dapat dtuls sebaga D maa s 0 s a1s 1 as da berbeda dega s, ambl etor ta ol spa( ) s s s 0 s s ( a s a s ) ( a ) s ( a ) s 1 ehgga tda u esesal. Kotrads dega yag detahu. (3 1) 3

4 Msala tda bebas ler da a1s 1 a s 0 d maa s etor-etor yag berbeda dalam da a ta ol, maa utu > 1, 1 s ( a s a s ) a1 Berart terdapat etor dalam yag merupaa ombas ler dar etor laya dalam. Kotrads dega yag detahu bahwa tda terdapat etor dalam yag dapat dyataa sebaga ombas ler etor laya dalam. Teorema 1.7 Msala hmpua etor dalam V. Maa peryataa berut eale: 1. bebas secara ler da meretag V 2. setap etor ta ol V adalah ombas ler yag u esesal dar etor-etor d 3. hmpua teretag mmal, meretag V tap sebarag proper subset dar tda meretag V 4. hmpua bebas ler masmal, bebas ler tap sebarag proper superset dar tda bebas ler. uatu hmpua etor d V yag memeuh sembarag ods d atas dsebut bass dar V. But: (1 2) telah dbuta pada teorema sebelumya. (1 3) hmpua teretag. Adaa ada etor dalam ' juga meretag V, maa sebarag merupaa ombas ler dar etor-etor dalam. ehgga terdapat etor dalam yag merupaa ombas ler dar etor- etor d, Dega ata la terdapat etor dalam yag merupaa ombas ler dar '. etor-etor la d. Maa tda bebas ler.hal tersebut otrads dega yag detahu bahwa bebas ler. (3 1) 4

5 Adaa tda bebas ler, terdapat etor s merupaa ombas ler dar etor laya dalam, sehgga {s} merupaa subhmpua retaga sejat dar. Kotrads dega yag detahu. (1 4) Adaa bua masmal, maa aa ada etor V sehgga {} bebas ler. Aa tetap area bua dalam retaga, maa otrads dega yag detahu bahwa hmpua retaga. (4 1) Ja tda meretag V, maa terdapat V bua ombas ler dar eotr etor dalam. ehgga {} merupaa superset bebas ler sejat dar, yag merupaa otrads. Teorema 1.8 Hmpua hgga { 1,, } d V merupaa bass utu V ja da haya ja But: Msala { r, r F} ( ) 1 V 1 {,, } d V merupaa bass utu V, artya bebas ler da meretag V. Ja meretag V maa V spa( ) { r r, r F} V { r r, r F} 1) 1 ja bebas ler maa r r 0, 0. r Ambl etor ta ol area bebas ler maa tda dapat dyataa sebaga ombas ler { 1,..., 1, 1,..., }. ehgga etor ta ol bua 5

6 eleme dar. edaga utu 0 1,, 0 0. da 0 dapat dyataa sebaga ombas ler dar { 1,..., 1, 1,..., } 0,, r r r 1 1 r 1 1 r sehgga 0. Oleh area 0 da 1, 0, 1, {0} 2) 1, Dar 1) da 2), ddapat V 1 1 ( ) Detahu V 1, aa dbuta { 1,, } bass utu V Aa dtujua: meretag V da bebas ler But: { r, r F} V 1, berart 1. V, r r d maa sehggga 1 V { r r, r F}. Peryataa d atas meyataa V sebaga umpula semua ombas ler dar,, 1, dega ata la { 1,..., } meretag V. 2. 1, {0} Msala, 1, tda bebas ler maa berdasara teorema 1.6, terdapat etor yag dapat dyataa sebaga ombas ler etor etor { 1,..., 1, 1,..., }, sehgga sebarag dapat dyataa sebaga ombas ler dar { 1,..., 1, 1,..., } r r r r., 1, 6

7 jad ddapat 1, {0}. Kotrads dega yag detahu {0} 1, Ja Karea 1, utu V. {0} maa,, 1 bebas ler. 1, meretag V da bebas ler, maa,,, 1 merupaa bass Cotoh 1.6 Vetor stadar e- dala F adalah etor e yag berla 0 pada semua poss oordat ecual oordat e-, dmaa pada poss e- berla 1. e1 e2 e (1,0,...,0), (0,1,...,0),..., (0,0,...1) Hmpua e,..., 1 e merupaa bass stadar utu F. Defs (hmpua terurut parsal) Hmpua terurut parsal (poset) adalah pasaga ( P, ) d maa P hmpua ta osog da suatu relas ber yag dsebut terurut parsal, dega memeuh sfat berut: 1. (reflesf), utu semua a P 2. (atsmetr) utu semua a, b, c P 3. (trastf) utu semua a, b, c P a a a a b da b a a b b da b c a c Defs Poset yag maa tap pasag elemeya dapat dbadga dsebut hmpua terurut total atau hmpua terurut ler. embarag hmpua baga terurut total dar poset P dsebut cha dalam P. 7

8 Zor s Lemma Ja P adalah suatu hmpua terurut parsal (poset) yag maa tap cha meml batas atas, maa P meml suatu eleme masmal. Teorema 1.9 Msala V ruag ector ta ol. Msala I hmpua bebas ler dalam V da msala hmpua meretag dalam V megadug I. Maa terdapat bass B utu V d maa I B. 1. sembarag ruag etor, ecual ruag etor ol {0}, meml bass. 2. sembarag hmpua bebas ler dalam V dmuat dalam bass. 3. sembarag hmpua retaga dalam V megadug bass. But: Padag A sebaga semua subset bebas ler dar V yag megadug I da dmuat oleh. Hmpua tersebut tda osog, area I C { I K} A. Msala merupaa cha d A, maa gabuga U I juga bebas ler da memeuh K I U. etap cha d A meml batas atas da meurut Zor s lemma, A past meml eleme masmal B, yag bebas ler. Msala B bass utu ruag etor V. Ja utu sembarag s bua ombas ler dar etor-etor d B, maa B {} s bebas ler. Kotrads dega yag detahu, B eleme masmal. ehgga B da juga V B. 8