Prosedur Komputasi untuk Membentuk Selang Kepercayaan Simultan Proporsi Multinomial

Transkripsi

1 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 Prosedur Komputas untu Membentu Selang Kepercayaan Smultan Propors Multnomal S - 11 Bertho Tantular Departemen Statsta FMIPA UNPAD bertho@unpad.ac.d Abstra Selang epercayaan untu propors multnomal basanya dbentu dengan menggunaan pendeatan sampel besar. Pendeatan n mengharusan nla freuens setap sel lebh besar atau sama dengan lma. Sson dan Glaz (1995) memberan metode alternatf untu membentu Selang epercayaan multnomal. Berdasaran Dstrbus Posson terpancung, selang epercayaan smultan propors multnomal untu ategor yang lebh banya dbentu. Suatu algortma omputas dbentu untu menghtung selang epercayaan smultan propors multnomal. Stud smulas dgunaan untu mengmplementasan algortma n. Secara umum hasl smulas menunjuan bahwa metode parametrc bootstrap meml performa yang lebh ba untu uuran sampel ecl. Kata unc: Selang epercayaan smultan, dstrbus multnomal, dstrbus posson terpancung. I. PENDAHULUAN Penasran suatu parameter bas menggunaan penasran tt (pont estmate) atau menggunaan penasran selang (nterval estmate). Penasran nterval serng dsebut sebaga selang epercayaan (nterval confdent). Selang epercayaan meml dua nla yang membatas yatu batas bawah dan batas atas. Penentuan batas-batas selang epercayaan menggunaan nla peluang dar statst penasr parameter ttnya. Peluang yang dgunaan merupaan tngat epercayaan (confdent level) dar selang epercayaan tersebut. Batas bawah selang epercayaan dapat dtentuan menggunaan nla tasran parameter durang bound of error sedangan batas atas selang epercayaan dapat dtentuan menggunaan nla tasran parameter dtambahan bound of error. Untu nla bound of error dperoleh dar peralan statst dengan galat bau penasrnya [8]. Kendala yang terjad umumnya dsebaban oleh sultnya menentuan standard error penasrnya. Untu mengatas hal tersebut dgunaan sutu pendeatan nla standard error, aan tetap pendeatan n dapat dgunaan apabla sampel yang dml beruuran besar. Propors multnomal merupaan propors dar setap ategor multnomal. Penentuan penasr dan standard error dar propors multnomal ddasaran pada metode penasran propors bnomal. Metode n menmbulan masalah dalam penentuan standard error-nya. Sehngga penentuan selang epercayaan untu propors multnomal dbentu dengan menggunaan pendeatan sampel besar. Pendeatan n mengharusan nla freuens setap sel lebh besar atau sama dengan lma. Menurut Sson dan Glaz [2] selang epercayaan multnomal harus dbentu secara smultan. Sson dan Glaz [2] memberan metode alternatf untu membentu Selang epercayaan multnomal. Berdasaran Dstrbus Posson terpancung, Sson dan Glaz [2] mengembangan metode n untu membentu Selang epercayaan smultan propors multnomal untu ategor yang lebh banya. Pendeatan lan yang dusulan oleh Glaz dan Sson [3] adalah dengan membentu selang epercayaan smultan untu propors multnomal menggunaan parametrc bootsrap. Dalam pendeatan n freuens dar setap sel multnomal ddeat dengan dstrubus normal mutvarat. Tentunya pendeatan n memerluan ulangan yang besar. II. METODE PENELITIAN Msalan n = (x 1,, x ) t adalah vetor pengamatan yang bersan freuens dar setap sel dengan n = x x adalah uuran sampel eseluruhan. Dalam hal n x ( = 1,, ) adalah jumlah pengamatan dan p = x / n ( = 1,..., ) adalah propors pengamatan pada sel e- dar tabel x 1. Dengan mengambl asums bahwa uuran sampel total yatu n nlanya tetap, vetor x adalah pengamatan dar dstrbus MS 65

2 ISBN multnom dengan parameter π = (π 1, π 2,, π n ) t dengan π propors populas untu sel e-. Vetor p = (p 1,..., p ) t adalah penasr emungnan masmum ta bas bag π. Varans dar p adalah π (1- π )/n dan umumnya dtasr oleh p (1-p )/n. Matrs Kovarans adalah Σ π ππ'/ n dengan dagonal utama adalah varans dan dtasr oleh S p pp' / n, untu uuran sampel besar S onvergen e Σ. Metode las untu membentu selang epercayaan dar suatu penasr adalah menggunaan peralan statst dengan standard error, hal n berlau secara umum. Metode membentu selang epercayaan multnomal telah dungapan oleh beberapa penuls yatu Wald (1943), dan Wlson (1927) [1]. Pembentuan selang epercayaan multnomal menggunaan metode las mengabatan hasl tasran yang underestmate arena dbentu dar masng-masng propors, yang abatnya batas bawah selang epercayaan cenderung bernla nol atau batas atas selang epercayaan cenderung bernla satu. Quesenberry dan Hurst (1964) dan Goodman(1965) mengungapan suatu cara untu membentu selang epercayaan smultan untu propors multnomal [3]. Selang epercayaan n meml elemahan yatu meml rentang yang terlalu lebar. Sson dan Glaz [2] memperenalan suatu metode alternatf untu menentuan selang epercayaan smultan untu parameter multnomal. Sson dan Glaz [2] menggunaan hubungan antara Dstrbus Posson, Posson terpancung dan multnomal untu membentu selang epercayan propors multnomal. A. Selang Kepercayaan Smultan Multnomal Metode pembentuan selang epercayaan smultan Sson dan Glaz [2] adalah sebaga berut: asumsan bahwa Z ( = 1,..., ) adalah varabel aca Posson yang salng bebas dengan λ = E Z = nπ (1) merupaan rata-rata dan varans dstrbus Posson. Apabla = Z Z b, a ejadan sehngga b < Z < a, maa berdasaran teorema Bayes A adalah suatu set = P A1... A P A1... A Z = n= P Z = n A A 1... = 1 = PZ = n 1 = 1 = 1 n n e n! P b Z n a P W = n (2) dengan W adalah jumlah pengamatan aca dar dstrbus Posson dalam selang [b, a ]. Asumsan X adalah varabel aca yang merupaan s sel dstrbus multnomal maa n! Pb X a, = 1,..., Pb Z n n n e = 1 a PW = n (3) λ = nπ dengan Z, = 1,...,, adalah varabel aca Posson yang salng bebas dengan rata-rata adalah jumlah pengamatan aca dar dstrbus Posson terpancung dalam selang [b, a ] yang meml nla rata-rata yang sama yatu λ = nπ Parameter λ = nπ umumnya tda detahu nlanya sehngga dtasr menggunaan ρ c λˆ = np. Untu suatu nla nteger c berlau persamaan berut c c = P p π p + ; = 1,..., 1 α (4) n n Untu suatu set ejadan A 1,..., A sebuah nla tunggal c dapat memberan nla peluang yang lebh mendeat peluang caupan. Nla c yang dgunaan sama untu semua propors sehngga metode n aan meml hasl yang ba pada nla propors yang salng berdeatan untu seluruh sel. Karena untu setap propors dgunaan bobot yang sama maa lebar selangnya pun aan sama. Sson dan Glaz [2] mengusulan untu menemuan suatu nla nteger sedeman hngga c 1 α ρc +1 ρ smultan dan menggunaan penyesuaan terpolas pada persamaan selang epercayaan W MS 66

3 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 dengan p ( δ = ρ c n π p 1 α) ρc c+ 1 ρc c + n + 2δ n (5) (6) Penyesuaan n dgunaan untu memperba emrngan dstrbus, arena sfat dstrbus multnomal yang cenderung mrng. Suatu pendeatan alternatf adalah dengan menghtung selang yang lebh lebar c 1 p π n n c 1 p + + n n ρ c 1 α ρ c+1 yatu menggunaan c + 1 dbandngan dengan c dengan (7). Ja n relatf besar, nterval n aan menjad lebh onserfatf dar yang dusulan oleh Sson dan Glaz [2] tetap aan djamn meml peluang caupan palng tda sama besar dengan taraf epercayaan yang dtentuan, dengan asums np adalah pendeatan yang ba untu nπ. Metode Sson dan Glaz [2] menghaslan lebar nterval yang cuup sempt dbandngan metode lan, aan tetap meml peluang caupan yang urang ba. Glaz dan Sson [3] membuat pendeatan lan untu membentu selang epercayaan smultan propors multnomal. Pendeatan n menggunaan metode parametrc boostrap. Secara umum prosedur yang dgunaan adalah dengan menggunaan penasr propors multnomal sebaga nput parameter dalam membangtan sampel dar dstrbus multnomal. Mespun metode n merupaan pendeatan numer aan tetap memberan hasl yang lebh ba dar metode sebelumnya [3]. B. Prosedur Komputas Metode pembentuan selang epercayaan multnomal yang telah djelasan pada bagan sebelumnya dsusun prosedur omputas dar mula nput data hngga dperoleh hasl. Nla freuens dar setap sel multnomal menjad nput untu membentu selang epercayaan multnomal dengan batas bawah dan batas atas selang aan menjad outputnya. Berdasaran metode Sson dan Glaz [2] penasran momen dstrbus Posson terpancung menggunaan pengembangan Edgeworth untu menasr peluang caupan bag nla freuens sel pengamatan. Pencaran sederhana menghaslan suatu set selang dengan peluang caupan spesf untu daerah epercayaan bersama. Suatu set data mengena propors multnomal (berupa vetor x 1) dan peluang caupannya (1- α) dtentuan terlebh dahulu. Fungs momen mengambl nla nput dar untu setap sel pengamatan e- dan menggunaan nla nteger c dalam membentu selangnya. Apabla b = λ c < 0, asumsan b = 0 dan gunaan P(Z a) sebaga denomnator, dengan ata lan dgunaan P(Z a) - P(Z b-1). Peluang Posson dhtung berdasaran fungs P(Z z) = posson(λ,z). Fungs "momen" emudan menghtung momen factoral dan menympannya dalam vetor mu, yang d set nol saat tda terdefns. Momen pusat dhtung dar momen factoral dan dsmpan dalam vetor "mom". Fungs "truncpo" awalnya memanggl fungs "momen" untu setap pengamatan e- dan menympan momen pusat. Berbaga varas Pengembangan Edgeworth dhtung dan peluang caupan untu nla husus c dhtung dalam fungs "truncpo". Modul utama membandngan peluang caupan untu c dengan sebelumnya menghtung peluang caupan untu c-1. Algortma memenuh rentang c dar 1 hngga n. Fator ores δ dhtung dan hasl ahrnya dsajan sebaga bagan dar output. Prosedur omputas untu metode Glaz dan Sson [3] yatu menggunaan parametrc boostrap dengan membangtan data dar dstrbus multnomal dengan vector parameter p, banya ategor dan uuran sampel n yang telah dtentuan sebelumnya. Prosedur omputas yang telah djelasan sebelumnya dgunaan dalam metode n untu mencar selang epercayaan dengan ulangan sebanya 1000 al. Stud smulas dgunaan untu melhat performa dar selang epercayaan untu masng-masng metode dan dbandngan dengan metode las. Dalam smulas n menggunaan vector propors yang sama untu setap ategor dan vector propors tda sama. Uuran sampel (n) yang dgunaan dalam smulas sebesar 20 dan 100 dengan banya ategor () 4, 5 dan 10 dan menggunaan sebanya 100 al untu masng-masng ombnas vetor propors, uuran sampel dan banya ategor. MS 67

4 ISBN III. HASIL DAN PEMBAHASAN Pada bagan n aan dsajan hasl smulas prosedur omputas selang epercayaan smultan propors multnomal. Hasl peneltan n ssajan dalam bentu table untu setap ombnas vetor propors, uuran sampel dan banya ategor. Hasl smulas untu 4 ategor dengan propors p=(0.25, 0.25, 0.25, 0.25) dan adalah sebaga berut TABEL 1. BATAS BAWAH DAN BATAS ATAS SELANG PROPORSI MULTINOMIAL 4 KATEGORI UNTUK PROPORSI SAMA BESAR DENGAN N=20,100 n p BB.K BA.K BB.SG BA.SG BB.PB BA.PB Berdasaran Tabel 1 terlhat bahwa untu multnomal 4 ategor dengan propors sama besar, metode las meml selang epercayaan yang sangat lebar dan batas bawahnya (BB.K) bernla nol. Selang epercayaan metode Sson & Glaz (SG) dan metode parametrc bootstrap (PB) meml lebar yang hampr sama untu sampel besar. Sedangan untu sampel ecl, selang epercayaan metode parametrc boostrap meml lebar yang sedt lebh ecl. Selanjutnya djelasan hasl smulas untu 4 ategor dengan propors p=(0.1, , 0.4) dan adalah sebaga berut TABEL 2. BATAS BAWAH DAN BATAS ATAS SELANG PROPORSI MULTINOMIAL 4 KATEGORI UNTUK PROPORSI BERBEDA DENGAN N=20,100 n p BB.K BA.K BB.SG BA.SG BB.PB BA.PB Untu multnomal 4 ategor dengan propors berbeda terlhat pada Tabel 2 bahwa metode las meml selang epercayaan yang sangat lebar dan batas bawahnya (BB.K) bernla nol. Selang epercayaan metode Sson & Glaz (SG) dan metode parametrc bootstrap (PB) meml lebar yang hampr sama untu sampel besar. Sedangan untu sampel ecl, selang epercayaan metode parametrc boostrap meml lebar yang sedt lebh ecl. Dar hasl Tabel 1 dan Tabel 2 dapat dsmpulan bahwa metode las meml lebar selang yang terlalu besar, selan tu metode Sson dan Glaz dan parametrc boostrap meml performa yang hampr sama untu sampel besar, tetap untu sampel ecl metode parametrc boostrap lebh ba. Selanjutnya djelasan hasl smulas untu 5 ategor adalah sebaga berut TABEL 3. BATAS BAWAH DAN BATAS ATAS SELANG PROPORSI MULTINOMIAL 5 KATEGORI DENGAN N=100 p BB.K BA.K BB.SG BA.SG BB.PB BA.PB Untu multnomal 5 ategor dengan propors sama besar terlhat pada Tabel 3 bahwa metode las meml selang epercayaan yang sangat lebar dan batas bawahnya (BB.K) semua bernla nol. Selang MS 68

5 SEMINAR NASIONAL MATEMATIKA DAN PENDIDIKAN MATEMATIKA UNY 2016 epercayaan metode Sson & Glaz (SG) dan metode parametrc bootstrap (PB) meml lebar yang hampr sama untu sampel besar. Berdasaran pada Tabel 3, untu propors yang berbeda juga meml performa yang tda berbeda. Dengan deman dapat dsmpulan bahwa metode las meml lebar selang yang sangat besar, selan tu metode Sson dan Glaz dan parametrc boostrap meml performa yang hampr sama untu sampel besar. Selanjutnya djelasan hasl smulas untu 10 ategor adalah sebaga berut TABEL 4. BATAS BAWAH DAN BATAS ATAS SELANG PROPORSI MULTINOMIAL 10 KATEGORI DENGAN N=100 p BB.ML BA.ML BB.SG BA.SG BB.PB BA.PB Berdasaran Tabel 4 terlhat bahwa untu multnomal 10 ategor dengan propors sama besar terlhat bahwa metode las meml selang epercayaan yang lebh lebar dbandng metode Sson dan Glaz maupun parametrc bootstrap. Selan tu batas bawahnya (BB.K) semua bernla nol. Selang epercayaan metode Sson & Glaz (SG) meml lebar yang hampr sama dengan metode parametrc bootstrap (PB). Aan tetap selang epercayaan parametrc bootstrap sedt bergeser e anan dar selang metode Sson dan Glaz. IV. SIMPULAN DAN SARAN Dar hasl yang dperoleh melalu stud smulas pada bagan sebelumnya dapat dsmpulan bahwa metode las meml selang epercayaan yang sangat lebar dan batas bawahnya (BB.K) cenderung bernla nol. Untu uuran sampel ecl, selang epercayaan metode parametrc bootstrap (PB) meml performa yang lebh ba dar metode Sson & Glaz. Hal n berlau untu propors yang sama besar maupun berbeda. Sementara untu uuran sampel besar edua metode tersebut meml lebar selang epercayaan yang relatf sama. Mespun edua metode meml lebar selang epercayaan yang relatf sama tetap untu ategor yang cuup banya selang epercayaan parametrc bootstrap sedt bergeser e anan dar selang metode Sson dan Glaz. Dalam tulsan n algortma membentu selang epercayaan multnomal dengan metode Sson dan Glaz dan metode parametrc bootstrap hanya melhat pada lebar selang tanpa memperhatan peluang caupan selang epercayaannya. Sehngga untu peneltan selanjutnya dsaranan untu memasuan peluang caupan untu melhat performa dar masng-masng metode. Selan tu pembentuan selang epercayaan smultan untu propors multnomal n dapat dgunaan untu menentuan uuran sampel. Oleh arena tu penentuan uuran sampel untu propors multnomal menjad top yang menar untu dbahas pada peneltan selanjutnya. UCAPAN TERIMA KASIH Ucapan terma ash saya sampaan epada semua pha yang membantu dalam penulsan artel n terutama Pablo J. Vllacorta Iglesas dar Department of Computer Scence and Artfcal Intellgence, Unversty of Granada Spanyol atas pacage R yang dgunaan dalam peneltan n. DAFTAR PUSTAKA [1] Warren L May, and Wllam D. Johnson, Constructng two-sded smultaneous confdence ntervals for multnomal proportons for small counts n a large number of cells, Journal Statstcal Software [2] Chrstna P. Sson and Joseph Glaz, Smultaneous confdent ntervals and sample sze determnaton for multnomal proportons, Journal of Amerca Statstcal Assocaton, Vol 90, No 429, 1995, pp MS 69

6 ISBN [3] Joseph Glaz and Chrstna P. Sson, Smultaneous confdent ntervals for multnomal proportons, Journal of Statstcal Plannng and Inference, Vol 82, 1999, pp [4] Djall ChafaÏ and Dder Concordet, Confdent regons for multnomal parameter wth small sample sze, Preprnt, [5] D. Morales, L. Pardo, and L. Santamar ³a. Bootstrap con dence regons n multnomal samplng. Appl. Math. Comput., 155(2):295{315, [6] H. Wang. Exact con dence coe±cents of smultaneous con dence ntervals for multnomal proportons. J. Multvarate Anal., To appear, [7] Wllam G. Cochran, Samplng Technques 3rd edton. New Yor: John Wley & Sons, Inc, [8] Sharon. L. Lohr, Samplng Desgn and Analyss. Duxbury Press, [9] Bertho Tantular, Sample Sze Determnaton n Multstage Samplng for Estmatng Regresson Coeffcent. Presented Paper on The Internatonal Conference on Appled Statstcs Jurusan Statsta FMIPA UNPAD, [10] Bertho Tantular, Penentuan Uuran Sampel dalam Menasr Koefsen Regres Multlevel menggunaan Power Analyss. Maalah dpresentasan pada Semnar Nasonal Matemata Unverstas Neger Yogyaarta, MS 70