BAB IV GENERATOR BILANGAN RANDOM 4.1. Generator Bilangan Rando dan Fungsi Distribusi Pada siulasi seringkali dibutuhkan bilangan-bilangan yang ewakili keadaan siste yang disiulasikan. Biasanya, kegiatan diulai dengan engupulkan data pengaatan. Naun deikian, data hasil pengaatan tidak dapat dipakai langsung untuk siulasi sebab jika deikian aka siulasi dilakukan terhadap perforansi siste pada saat yang telah dilapaui padahal tujuan studi siulai adalah untuk engkaji keadaan siste pada saat yang akan datang. Maka, biasanya setelah banyak data pengaatan diperoleh, data dianalisis untuk diketahui distribusi statistiknya. Setelah endapat distribusi yang paling cocok sesuai dengan data sapel, hargaharga yang ewakili siste dibangkitkan dengan generator. Rando Nuber Generator adalah suatu algorita yang digunakan untuk enghasilkan urutan-urutan atau sequence dari angka-angka sebagai hasil dari perhitungan dengan koputer yang diketahui distribusinya sehingga angka-angka tersebut uncul secara rando dan digunakan terus enerus. Salah satu generator terpenting yang akan dipakai untuk seua generator bilangan rando lain adalah generator bilangan rando terdistribusi unifor (yang epunyai probabilitas saa untuk suatu daerah harga tertentu). 4.. Generator Bilangan Rando Terdistribusi Unifor Cara pebangkitan bilangan rando ula-ula dipakai adalah secara anual, dengan : Melepar kartu, dadu, bola yang diberi noor. Meutar piringan bernoor Mengabil noor sebarang dari buku telepon, data sensus, dll. Karena sapel yang dibutuhkan seringkali banyak, aka ulai dipikirkan esinesin yang dapat enghasilkan bilangan rando, yang terkenal adalah ERNIE (Electric Rando Nuber Indicator Equient) dan alat eletronik yang dikeluarkan oleh RAND Corp. Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando 18
Munculnya koputer eungkinkan untuk endapatkan sapel, dengan cara : 1. Mula-ula dengan enyipan hasil pebangkitan esin dala tabel, cara ini eakan banyak eori karena siulasi seringkali ebutuhkan data yang bahkan sapai jutaan banyaknya.. Pebangkitan bilangan rando elalui ruus-ruus aritatika, yang akan dibahas selanjutnya. Biasanya setiap kopilator enyertakan generator bilangan rando Kriteria generator bilangan rando dengan ruus aritatika yang baik adalah sbb : Hasil pebangkitannya adalah bilangan-bilangan yang terdistribusi unifor antara 0 1 dan tak ada korelasi satu saa lain (dense/density Probabilitas Distribusi). Perforansinya cepat dan tidak eerlukan banyak eori koputer (efficient). Harus apu ereproduksi sederetan bilangan yang persis saa (unifor), karena dala siulasi dibutuhkan untuk engeksekusi odel yang berbeda-beda dengan data yang saa untuk ebandingkan odel-odel yang ewakili persoalan nyata yang saa. Sapel data yang identik juga dibutuhkan dala tahapan verifikasi dan debugging dari progra koputer yang ewakili odel tersebut. Mapu enghasilkan beberapa strea (deret) yang independent, setiap deret biasanya dipakai untuk ewakili hal yang berbeda, isalnya deret yang satu ewakili waktu antar kedatangan sedangkan yang lain untuk ewakili waktu pelayanan. Generator Bilangan Rando Terdistribusi Unifor : 1. Metoda MID-SQUARE Bilangan rando dengan etoda ini dibangkitkan dengan cara : - abil Z 0 sebuah bilangan yang terdiri dari 4 digit - kuadratkan Z 0, sehingga diperoleh bilangan 8 digit - abil 4 digit ditengah dari hasil kuadrat tsb. - pakai 4 digit tengah tersebut untuk ebangkitkan bilangan berikutnya. Jika tidak diperoleh bilangan 8 digit (karena 4 digit tengah engandung nol diawal), aka buat enjadi 8 digit dengan enabahkan nol di depan. Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando 19
Contoh : I Z Z U 0 718 5158114 1 5811 3376771 0,5811 7677 5893639 0,7677 3. Metoda LCG (Linear Conguential Generator)/Additive RNG Yang ditulis dengan ruus : Z i = (a Z i-1 + c) odulo Diana : a : faktor pengali, nilainya harus lebih besar dari Biasanya dinyatakan dengan syarat : a 100 a 100 c : faktor penjulah, c harus berangka ganjil apabila bernilai pangkat dua. Tidak boleh nilai berkelipatan dari. : odulo, harus bilangan pria atau bilangan tidak terbagikan. Z 0 : nilai awal, harus angka integer, ganjil dan cukup besar. Untuk eulai harus dipunyai Z 0 yang disebut benih, dan terlihat seperti pada contoh bahwa bilangan terbangkit adalah bilangan rando yang sebenarnya berulang, sesuai dengan peilihan faktor pengali dan faktor penjulah. Contoh : = 16, a = 5, c = 3, Z 0 = 7 aka diperoleh 7,6,1,8,11,10,5,1,15,14,9,0,3,,13,4,7,6,1,8,... pada contoh di atas terlihat bahwa setelah 16 bilangan, aka deret berulang. Pengulangan ini tidak dapat dihindarkan, naun diharapkan agar deret yang didapat epunyai periode yang panjang karena untuk siulasi dibutuhkan banyak sekali bilangan. Bilangan-bilangan rando yang dibangkitkan dikatakan epunyai periode penuh, jika periodenya saa dengan (p <= ). Jika c = 0 aka generator disebut ultiplikatif. Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando 0
3. Metoda Multiplikatif ruus : Z i = a * Z i-1 odulo Diana : : erupakan satu angka integer yang cukup besar dan erupakan satu kata (word) dari yang dipakai pada koputer. Contoh : Dala koputer IBM 360/370 siste sebuah kata adalah 3 bits panjangnya, berarti angka integer yang terbesar dala satu kata koputer adalah : 3-1 1 = 31-1 = 147488647, aka nilai harus lebih satu integer, atau : = 3-1 + 1 =.147.488.648 Untuk esin koputer siste 1130/1800 IBM dikenal dengan 16 bits words aka untuk eilih adalah : = 16-1 = 3.768 Untuk icrokoputer dengan 8 bits, aka = 8-1 = 18 a : konstanta ultiplier, harus tepat Peilihan nilai a harus bilangan pria terhadap, a juga harus bilangan ganjil. Peilihan yang terbaik adalah dengan ruus : a = b/ ± 3 yang lebih endekat pada ketepatan. Untuk siste IBM 1130/1800 dengan 16 bits akan diperoleh a = 16/ ± 3 = 59 Untuk icrokoputer dengan 8 bits akan diperoleh a = 8/ ± 3 = 19 Z 0 : Seed, pria terhadap, dapat diabil sebarang bilangan ganjil dan cukup besar. Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando 1
4. Metoda General Congruent ruus : Z i = g( Z i-1, Z i-,...) odulo Diana : g adalah kuadratik : Z i = (a 1 * Z i-1 + a * Z i- + c) od g adalah fungsi linier : Z i = (a 1 * Z i-1 + a * Z i- +... + a n * Z i-n ) od g adalah fungsi Fibonacci : Z i = Z i-1 + * Z i- 4.3. Bilangan Rando Terdistribusi Kontinu dan Tidak Unifor Uunya siulasi ebutuhkan sederetan bilangan rando yang diturunkan dari distribusi yang kontinu dan tidak unifor. Beberapa etoda yang dipakai kebanyakan berdasarkan penggunaan dari sekupulan bilangan rando yang terdistribusi unifor. Metoda yang sering digunakan adalah : 1. Metoda transforasi invers (inverse transforation ethod). Metoda penolakan (rejection ethod) A. Metoda Transforasi Invers Jika diketahui : a. μ (i = 1,,...) adalah bilangan rando terdistribusi unifor antara 0 1 b. F -1 () adalah inverse dari fungsi distribusi kuulatif untuk suatu variabel rando, aka X 1 = F -1 (μ 1 ) adalah sapel rando dari variabel yang epunyai fungsi distribusi kuulatif F() Contoh : Diberikan fungsi kepadatan F() = a (1 ), 0 < < 1 = 0, untuk yang lain Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando
aka : F() = 0 a( a(1 ) ) Harga a = supaya f ( ) d 1 (dari definisi fungsi distribusi kuulatif). Untuk μ = F(), aka cari dari fungsi invers : a( ) 1 (1 ) 1 karena adalah rando antara 0 1 aka deikian juga halnya dengan 1 μ sehingga ruus di atas dapat disederhanakan 1 1 dengan engabil 5 bilangan rando dari generator sebagai input aka outputnya adalah : μ 0,1009 0,683 0,3754 0,3873 0,084 0,7098 0,0901 0,6998 0,180 0,64 Maka output di atas adalah bilangan rando dengan fungsi kepadatan f() diaksud Peodelan &Siulasi : Generator Bil Rando 3