Perbandingan Mean Squared Error (MSE) Metode Prasad-Rao dan Jiang-Lahiri-Wan Pada Pendugaan Area Kecil

Transkripsi

1 Vol. 2, 2017 Perbandingan Mean Squared Error (MSE) Metode Prasad-Rao dan Jiang-Lahiri-Wan Pada Pendugaan Area Kecil Widiarti 1*, Rifa Raha Pertiwi 2, & Agus Sutrisno 3 Jurusan Mateatika, Fakultas Mateatika dan Ilu Pengetahuan Ala Universitas Lapung Jl. Soearti Brojonegoro No.1 Rajabasa, Bandar Lapung E-ail: widiarti08@gail.co Abstrak Metode Epirical Best Linear Unbiased Prediction () erupakan salah satu etode pendugaan area kecil yang digunakan pada data kontinu dengan ensubtitusikan koponen raga yang tidak diketahui ke dala penduga BLUP. Keakuratan penduga salah satunya dapat diperoleh dengan cara engukur Mean Squared Error (MSE). Beberapa etode telah dikebangkan dala pendugaan MSE. Prasad dan Rao (1990) engebangkan penduga bagi MSE dengan enggunakan ekspansi deret aylor. Jiang-Lahiri-Wan (2002) engebangkan penduga bagi MSE dengan enggunakan etode Jackknife. Dala penelitian ini pendugaan MSE bagi dilakukan dengan kedua etode tersebut. Pendugaan MSE dilakukan secara epiris elalui data siulasi yang berdistribusi Noral dengan bantuan software R Hasil penelitian ini enunjukkan bahwa etode pendugaan MSE dengan etode Jiang-Lahiri-Wan relatif lebih baik karena enghasilkan nilai yang lebih kecil dibanding MSE Prasad dan Rao dan besarnya nilai raga pengaruh acak enyebabkan nilai MSE yang dihasilkan seakin besar. Kata kunci: Pendugaan Area Kecil; Epirical Best Linear Unbiased Prediction (); Mean Squared Error (MSE) 1 Pendahuluan Suatu area disebut kecil apabila contoh yang diabil pada area tersebut tidak encukupi untuk elakukan pendugaan langsung dengan hasil yang akurat. Pendekatan klasik untuk enduga paraeter area kecil didasarkan pada aplikasi odel desain penarikan sapel (design-based) yang dikenal sebagai pendugaan langsung (direct estiation). Dala konteks survei, penduga dikatakan langsung apabila pendugaan terhadap paraeter populasi di suatu area hanya didasarkan pada data sapel yang diperoleh dari area tersebut. Pendugaan langsung pada suatu area kecil erupakan penduga tak bias tetapi eiliki raga yang besar karena diperoleh dari ukuran sapel yang kecil [1]. Pendugaan tidak langsung (indirect estiation) erupakan salah satu upaya untuk enekan raga yang besar pada area kecil yaitu dengan eanfaatkan inforasi dari area sekitarnya yang berhubungan dengan paraeter yang diaati. Pendugaan tidak langsung tersebut dikenal sebagai pendugaan area kecil atau lebih dikenal dengan Sall Area Estiation (SAE). Berbagai etode pendugaan area kecil (sall area estiation) telah dikebangkan khususnya enyangkut etode yang berbasis odel (odel-based estiator). Beberapa etode yang tergolong dala etode berbasis odel adalah etode Epirical Bayes (EB), Hierarchical Bayes (HB), danepirical Best Linear Unbiased Prediction (). Metode EB dan HB digunakan untuk data biner atau cacahan sedangkan etode digunakan pada data kontinu. Metode erupakan perluasan dari etode BLUP. Pada etode BLUP diasusikan koponen raga dari pengaruh acak diketahui. Naun dala kenyataannya, koponen raga sulit untuk diketahui Manuscript received 20 Sepeteber 2017, revised 29 Septeber 2017 I - 56 Copyright 2017 F - UHAMKA. - All rights reserved

2 Widiarti, R. R. Pertiwi & A. Sutrisno I - 57 sehingga diperlukan pendugaan terhadap koponen raga elalui data sapel. Metode ensubstitusikan koponen raga yang tidak diketahui ke dala penduga BLUP. Keakuratan penduga dapat diperoleh dengan cara engukur ean squared error-nya. Seakin kecil ean squared error suatu penduga aka penduga seakin akurat. Beberapa etode telah dikebangkan dala pendugaan MSE (θ ). Prasad dan Rao (1990) [2] engebangkan penduga bagi MSE (θ ) dengan enggunakan ekspansi deret aylor. Jiang-Lahiri-Wan (2002) [3] engebangkan penduga bagi MSE (θ ) dengan enggunakan etode jackknife. Jackknife erupakan suatu teknik resapling yang secara khusus digunakan untuk enentukan raga dan bias dugaan. Prinsip etode Jackknife adalah dengan cara enghilangkan satu buah data dan engulanginya sebanyak julah yang ada. Pada penelitian ini penulis tertarik untuk ebandingkan nilai dugaan MSE pada penduga enggunakan etode yang dikebangkan Prasad dan Rao dengan etode yang dikebangkan Jiang-Lahiri-Wan dengan engikutsertakan peubah penyerta. Dala penelitian ini juga akan dikaji apakah ada pengaruh besarnya raga pengaruh acak atau raga area terhadap besarnya MSE. Perbandingan dilakukan secara epiris elalui data siulasi dengan bantuan software R dengan sebaran data berdistribusi noral. 2 Landasan eori Model area kecil erupakan odel dasar dala pendugaan area kecil. Dala pendugaan area kecil terdapatdua jenis odel dasar yang digunakan [1] yaitu : Basic Area Level (ype A) Model Basic Area Level Model atau dapat disebut sebagai odel berbasis area erupakan odel yang didasarkan pada ketersediaan data pendukung yang hanya ada untuk level area tertentu, yaitu x i = (x 1i, x 2i,, x pi ). Paraeter sall area yang ingin diaati adalah θ i. Paraeter sall area ini berhubungan linear dengan x i engikuti odel linear berikut : θ i = x i β + b i v i, i = 1, 2,, (1) dengan v i ~N(0, A) sebagai pengaruh acak yang diasusikan enyebar noral, sedangkan b i erupakan konstanta positif yang diketahui dan β = (β 1,, β p ) adalah vektor koefisien regresi berukuran p 1. Kesipulan engenai θ i dapat diketahui dengan engasusikan bahwa odel penduga langsung y i telah tersedia, yaitu : y i = θ i + e i, i = 1, 2,..., (2) dengan sapling error e i ~ N(0, D i ) dan D i diketahui. Dari kobinasi persaaan (2.1) dan (2.2) didapatkan odel gabungan : y i = x i β + b i v i + e i, i = 1, 2,..., (3) dengan asusi v i dan e i saling bebas. Rao (2003) [1] enyatakan bahwa odel tersebut erupakan bentuk khusus dari odel linear capuran Basic Unit Level (ype A) Model Basic Unit Level Model atau odel berbasis unit erupakan suatu odel diana data pendukung yang tersedia bersesuaian secara individu dengan data respon, isal x ij = (x ij1,, x ijp ) artinya untuk asing-asing anggota populasi j dala asing-asing area kecil i, naun terkadang cukup dengan rata-rata populasi X ı diketahui saja. Model yang digunakan pada penelitian ini adalah odel Fay-Herriot. Model ini diperkenalkan oleh Fay dan Herriot (1979) [4] sebagai odel dasar untuk enaksir pendapatan per kapita pada sall area (dengan populasi yang kurang dari jiwa penduduk) di Aerika Serikat enggunakan odel dua level berikut : Level 1 : y i θ i ~N(θ i, D i ) Level 2 : θ i ~N(x i β, A) Model dua level diatas dapat dituliskan sebagai odel linear capuran : y i = θ i + e i = x i β + v i + e i, i = 1, 2,, (4) Model Fay-Herriot ini erupakan kasus odel area level seperti pada persaaan (3) dengan b i = 1, diana : y i : nilai pendugaan langsung berdasarkan rancangan survei x i : vektor variabel pendukung yang eleeneleennya diketahui β : vektor paraeter berukuran px1 v i : pengaruh acak area kecil dengan asusi v i ~N(0, A) e i : sapling error yang tidak terobservasi dengan asusi e i ~ N(0, D i ) Menurut Rao (2003) [1] penduga BLUP yang terbentuk bagi θ i = x i β + v i adalah : dengan θ i BLUP = x i β + v i = x i β + γ i (y i x i β ) (5) γ i = A A + D i β dapat diperoleh dengan etode generalized least square sehingga diperoleh Copyright 2017 F-UHAMKA. - All rights reserved Seinar Nasional EKNOKA ke - 2, Vol. 2, 2017

3 Widiarti, R. R. Pertiwi & A. Sutrisno I - 58 β = (X V 1 X) 1 X V 1 y 3 diana X = x i, V = D i + A Penduga BLUP pada persaaan (2) asih bergantung pada koponen raga A yang pada prakteknya tidak diketahui nilainya, sehingga harus ditaksir dari data. Dengan ensubstitusi ke A pada persaaan (2) diperoleh penduga bagi θ i = x i β + v i sebagai berikut : dengan dan γ ı = θ i = x i β + γ (y ı i x i β ) (6), untuk i = 1, 2,,. 4 β = 1 x i x i i=1 (D i +A ) x i y i (D i +A ) i=1 (7) Diana γ ı dan β erupakan nilai γ i dan β saat A disubstitusikan dengan nilai dugaannya. Menurut Wan (1999) [5] nilai tersebut dapat diperoleh dengan etode oent yaitu = ax (0, ) Diana Dengan Dan = 1 y p i x i β OLS 2 i=1 D i (1 h i ) (8) h i = x i i=1 x i x i 1 x i β OLS = i=1 x i x i 1 ( x i y i Mean Squared Error i=1 ) Prasad dan Rao (1990) [2] enggunakan ekspansi deret aylor untuk enduga ean squared error sehingga diperoleh sebagai berikut: MSE PR θ i = g1i + g2i + 2g3i (9) Dengan g1i = D i, g2i = 1 g3i = 2 x i x i x i x i, 2D i 2 Seentara Jiang-Lahiri-Wan (2002) [3] enggunakan konsep jackknife untuk engoreksi bias dugaannya sehingga diperoleh sebagai berikut: 5 MSE JLW (θ i ) = g1i 1 u=1 g1i u g1i θ y i ; u θ y i ; 2 u=1 (10) + 1 Diana θ y i ; = θ i = xi β + θ y i ; u = x i β u + 6 g1i = D i +D i g1i u = (y i x i β ) u u + D i (y i x i β u ) u D i u +D i u dan β u erupakan penduga dan β setelah enghapus data area ke-u. Sehingga pada MSE JLW (θ i ) ini, untuk endapatkan nilai θ y i ; u harus dilakukan pendugaan ulang terhadap u dan β u untuk setiap area ke-u yang dihapus sejulah banyaknya area. 3 Metodologi Penelitian Data yang digunakan dala penelitian ini adalah berupa data siulasi dengan bantuan software R dan sebaran data berdistribusi noral. Pada kajian ini penulis enetapkan nilai A dan D i serta banyaknya area berdasarkan penelitian sebelunya diana Jiang, Lahiri dan Wan (2002) [3] dala Rao (2003) [1] enetapkan nilai D i = 1 dan banyaknya area = 30, 60 dan 90. Untuk elihat apakah ada pengaruh besarnya raga pengaruh acak atau raga area terhadap perolehan hasil MSE digunakan tiga nilai A yang berbeda yaitu A = 1, 5 dan 10. Metode pendugaan MSE yang digunakan dala penelitian ini yaitu ean squared error Prasad dan Rao (1990) [2] yang dikebangkan dengan aproksiasi deret aylor serta Jiang-Lahiri-Wan (2002) [3] dengan konsep jackknife. Siulasi pada software R 1. Mebangkitkan peubah acak x i sebagai peubah penyerta bagi variabel respon y i, digunakan epat peubah penyerta sebagai berikut : x 1 ~N(1480, ) x 2 ~N(721.8, ) x 3 ~N(14691, ) x 4 ~N(20.76, 40.69) Copyright 2017 F-UHAMKA. - All rights reserved Seinar Nasional EKNOKA ke - 2, Vol. 2, 2017

4 Widiarti, R. R. Pertiwi & A. Sutrisno I - 59 Nilai tengah dan raga asing asing variabel x tersebut diabil dari nilai tengah dan raga variabel penyerta yang eengaruhi pengeluaran per kapita setiap kecaatan di Kabupaten Brebes tahun 2013 diana pada penelitian sebelunya Ningtyas et al (2015) [6] enggunakan data julah kelahiran penduduk (x 1 ), julah keatian penduduk (x 2 ), julah penduduk yang eiliki kendaraan roda 2 (x 3 ) dan julah sarana kesehatan (puskesas, poliklinik kesehatan desa, balai pengobatan, ruah sakit khusus, ruah bersalin dan ruah sakit uu) (x 4 ). Masing asing dibangkitkan sejulah banyaknya area yaitu 30, 60 dan Mebangkitkan data e i = (e 1, e 2,, e ) sebagai sapling error dengan e i ~N(0,1) 3. Menetapkan nilai β, pada penelitian ini digunakan epat nilai β yaitu , , , yang diperoleh dari penelitian sebelunya oleh Ningtyas et al (2015) [6] enggunakan data pengeluaran per kapita setiap kecaatan di Kabupaten Brebes tahun Mebangkitkan data θ i ~N(x i β, A) sejulah banyaknya area yaitu 30, 60 dan 90 juga untuk asingasing nilai A=1, 5 dan Meperoleh data y i sebagai nilai pendugaan langsung diana y i = θ i + e i 6. Menghitung nilai dugaan raga pengaruh acak () 7. Menghitung nilai dugaan ean squared error Prasad dan Rao (1990) [2] MSE PR (θ i ) dengan ensubstitusikan hasil dugaan raga pengaruh acak () (langkah 6) ke persaaan (9). Keudian enghitung rata-rata MSE Prasad dan Rao untuk setiap area (=30, 60 dan 90) dan raga pengaruh acak yang berbeda (A=1,5 dan 10). 8. Menghitung nilai dugaan ean squared error Jiang- Lahiri-Wan (2002) [3] MSE JLW (θ i ) dengan persaaan (10) dengan langkah sebagai berikut : a. Menghitung β dengan persaaan (7) b. Menghitung θ y i ; = θ i dengan ensubstitusikan hasil dan β pada langkah (6) dan (8.a) ke persaaan (6) c. Menghitung nilai dugaan raga pengaruh acak untuk setiap area ke-u yang dihapus ( u ) d. Menghitung β untuk setiap area ke-u yang dihapus (β u ) e. Menghitung θ y i ; u dengan ensubsstitusikan hasil u dan β u f. Mensubstitusikan hasil, u, θ y i ; dan θ y i ; u ke persaaan (10) sehingga diperoleh hasil dugaan ean squared error Jiang-Lahiri-Wan MSE JLW (θ i ) keudian enghitung rata-rata MSE untuk setiap area (=30, 60 dan 90) dan raga pengaruh acak yang berbeda (A=1, 5 dan 10). 9. Mebandingkan hasil (7) dan (8) 4 Hasil dan Pebahasan Seperti yang telah diuraikan sebelunya, bahwa untuk ebandingkan nilai MSE Prasad dan Rao dengan MSE Jiang-Lahiri-Wan, penulis enggunakan data siulasi yang dibangkitkan dengan software R dengan sebaran data berdistribusi noral. Nilai MSE Prasad dan Rao, diperoleh dengan terlebih dahulu encari nilai dugaan bagi raga pengaruh acak (A ). Seentara MSE Jiang-Lahiri-Wan tergolong lebih ruit, karena setelah didapatkan nilai dugaan bagi raga pengaruh acak () selanjutnya enghitung β dan ensubstitusikan nya ke θ y i ; = θ i. Setelah itu dihitung nilai u dan β u yaitu nilai dan β untuk setiap area ke-u yang dihapus untuk endapatkan nilai θ y i ; u. Hasil tersebut keudian disubstitusikan ke persaaan (10) sehingga diperoleh MSE Jiang-Lahiri-Wan. Setelah diperoleh nilai MSE untuk asing-asing julah area (= 30, 60, dan 90) dan raga pengaruh acak atau raga area (A= 1, 5, dan 10) keudian dihitung rata-rata nilai MSE kedua etode tersebut. Hasil rata-rata MSE tersaji pada abel 1 berikut : abel 1 Rata - rata Perolehan MSE Prasad-Rao dan Jiang-Lahiri-Wan Rata-Rata MSE Area A=1 A=5 A=10 () PR JLW PR JLW PR JLW 30 0, , , , , , , , , , , , , , , , , , Berdasarkan abel 1 terlihat bahwa untuk asing-asing julah area () dan raga pengaruh acak (A), MSE dengan etode Jiang-Lahiri-Wan enghasilkan nilai yang lebih kecil dibandingkan Prasad-Rao. Selain itu terlihat pula bahwa seakin banyak julah area rata-rata nilai MSE yang dihasilkan dari kedua etode tersebut pun relatif seakin kecil. Rata-rata MSE yang diperoleh baik dengan etode Prasad-Rao aupun Jiang-Lahiri-Wan untuk asing-asing nilai raga pengaruh acak atau raga area (A) enghasilkan nilai yang seakin besar. Ini enunjukkan bahwa nilai raga pengaruh acak atau raga area berpengaruh terhadap perolehan MSE, diana seakin besar nilai raga pengaruh acak aka seakin besar pula nilai MSE yang dihasilkan. Copyright 2017 F-UHAMKA. - All rights reserved Seinar Nasional EKNOKA ke - 2, Vol. 2, 2017

5 Widiarti, R. R. Pertiwi & A. Sutrisno I Sipulan dan Saran Berdasarkan uraian sebelunya, aka dapat disipulkan bahwa etode pendugaan ean squared error dengan etode Jiang-Lahiri-Wan lebih baik karena enghasilkan nilai yang lebih kecil dibandingkan MSE Prasad dan Rao. Seakin besar julah area () aka nilai MSE dengan kedua etode relatif seakin kecil. Sebaliknya, seakin besar nilai raga area (A) aka nilai MSE enjadi seakin besar. Kepustakaan [1] Rao, J.N.K Sall Area Estiation. John Willey and Sons, Inc., New York. [2] Prasad, N.G.N., and Rao, J.N.K he Estiation of Mean Squared Errors of Sall Area. Estiators. Journal of the Aerican Statistical Association. 85, [3] Jiang, J., Lahiri, P., and Wan, S A Unified Jackknife Method. Annals of Statistics. 30, [4] Fay, R.E., and Herriot, R.A Estiates of Incoe for Sall Places: an Application of Jaes-Stein Procedure to Cencus Data. Journal of Aerican Statistical Association. 74, [5] Wan, S. M Jackknife Methods in Sall Area Estiation and Related Probles. (Dissertation). University of Nebraska. Lincoln. [6] Ningtyas, R., Rahawati, R., dan Wilandari, Y Penerapan Metode Epirical Best Linear Unbiased Prediction () Pada Model Penduga Area Kecil Dala Pendugaan Pengeluaran Per Kapita Di Kabupaten Brebes. Jurnal Gaussian. 4, Copyright 2017 F-UHAMKA. - All rights reserved Seinar Nasional EKNOKA ke - 2, Vol. 2, 2017