Diberikan sebarang relasi R dari himpunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedemikian sehingga

Transkripsi

1 Departent of Matheatics FMIPA UNS Lecture 3: Relation C A. Universal, Epty, and Equality Relations Diberikan sebarang hipunan A. Maka A A dan erupakan subset dari A A dan berturut-turut disebut relasi seesta (universal relation) dan relasi kosong (epty relation). Jadi, setiap relasi R pada hipunan A, berlaku R A A. Salah satu relasi penting pada hipunan A adalah persaaan (equality), yaitu relasi {( a) a A}. yang dinotasikan dengan =. Relasi ini disebut juga relasi identitas atau relasi diagonal pada A (identity or diagonal relation on A), dan kadang dinotasikan dengan atau. B. Inverse Relation Diberikan sebarang relasi R dari hipunan A ke B. Invers dari R yang dinotasikan dengan R adalah relasi dari B ke A sedeikian sehingga R = {( a) ( b) R}. Jelas jika R sebarang relasi, aka (R ) = R. Selain itu, doain R = range R range R = doain R. Dan jika R suatu relasi pada hipunan A, yaitu R subset dari A A, aka R juga relasa pada hipunan A. Contoh. Jika R = {(, y), (, z), (3, y)}, aka R = {(y, ), (z, ), (y, 3)} C. Representation of Relations Relasi pada R. Diberikan S suatu relasi pada hipunan bilangan real R; yaitu S subset dari R = R R. Karena R dapat direpresentasikan sebagai hipunan titik-titik pada bidang (plane), aka kita juga dapat enggabar S sebagai kupulan titik pada bidang. Representasi dari S seperti ini juga disebut the graph of S. Contoh. Diberikan relasi S yang didefinisikan dala persaaan x + y = 25 atau x + y 25 =, yaitu S beranggotakan seua pasangan berurut (ordered pairs) (x, y ) yang eenuhi persaaan di atas. Graph dari S erupakan lingkaran dengan pusat di titik asal dan jari-jari 5.

2 Departent of Matheatics FMIPA UNS Representasi Relasi pada Hipunan Berhingga (finite set) Diberikan dua hipunan berhingga A dan B. Berikut erupakan epat cara untuk enggabarkan relasi R dari A ke B. (a) Representasi Relasi dengan Tabel Relasi biner dapat direpresentasikan sebagai tabel. Kolo pertaa tabel enyatakan doain, sedangkan kolo kedua enyatakan range. Khusus untuk relasi pada sebuah hipunan biasanya tidak lazi direpresentasikan dengan sebuah tabel. Contoh: Misalkan A = {Air, Budi, Cecep} B = {Logik Siulasi, Database, Autoata}. Misal R adalah relasi yang enyatakan ata kuliah yang diabil oleh ahasiswa pada Seester Ganjil, yaitu: R = {(Air, Siulasi), (Budi, Logika), (Budi, Autoata), (Cecep, Database)} A Air Budi Budi Cecep B Siulasi Logika Autoata Database (b) Representasi Relasi dengan Diagra Panah Pasangan terurut pada relasi dari hipunan A ke hipunan B dapat digabarkan dengan diagra panah. Gabarkan dua buah cakra/lingkaran, lalu tuliskan eleen-eleen A dan B pada asing-asing cakra. Jika ( b) R, gabarkan panah dari a ke b yang enyatakan a berelasi dengan b. Contoh. Relasi R dari A = {,2,3} ke B = {x, y, z}, dengan R = {(, y), (, z), (3, y)} dapat dinyatakan dala diagra panah berikut

3 Departent of Matheatics FMIPA UNS (c) Representasi Relasi dengan Matriks Eleen atriks suatu relasi direpresentasikan dengan bilangan atau. Misal R adalah relasi dari A a, a,..., a } ke B b, b,..., b }. { 2 { 2 n Relasi R dapat dinyatakan dengan atriks M ] a a2 M a b 2 b b n n 2n n [ ij yang dala hal ini, ( ai, b j) R ij, ( ai, bj ) R dengan kata lain, eleen atriks pada posisi (i, j) bernilai jika a dihubungkan dengan b oleh relasi R, dan bernilai jika i keduanya tidak dihubungkan. j Contoh. Diketahui A {,2,3,4 }, B { c}. Relasi R {( 2, a),(3, 4, a)} dapat dinyatakan dala atriks a b c 2 M 3 4 Doain enunjukkan banyaknya baris, dan range enunjukkan banyaknya kolo. (d) Representasi Relasi dengan Graf Berarah Relasi pada sebuah hipunan dapat direpresentasikan secara grafis dengan graf berarah (directed graph atau digraph). Tiap eleen hipunan dinyatakan dengan sebuah titik (sipul atau vertex), dan tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan panah.

4 Departent of Matheatics FMIPA UNS Jika ( b) R, aka sebuah busur dibuat dari sipul a ke sipul b. Sipul a disebut sipul asal (initial vertex) dan sipul b disebut sipul tujuan (terinal vertex). Contoh. Representasi graf dari relasi R = {(,2), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,), (4,3)} Adalah sebagai berikut Pasangan terurut (2,2) dinyatakan dengan busur dari sipul 2 ke dirinya sendiri. Busur seaca ini disebut gelang / kalang (loop). D. Coposition of Relations Diberikan hipunan A, B, dan C. Diberikan R suatu relasi dari A ke B dan S suatu relasi dari B ke C. Maka R dan S akan enghasilkan suatu relasi R S dari A ke C yang didefinisikan sebagai berikut R S = {( c) b B, ( b) R & ( c) S}. Dengan kata lain a(r S)c jika terdapat b B sedeikian sehingga arb dan bsc. Relasi R S disebut koposisi (coposition) dari R dan S. Teorea. Diberikan hipunan A, B, C, dan D. Diberikan R suatu relasi dari A ke B, S suatu relasi dari B ke C, dan T suatu relasi dari C ke D. Maka (R S) T = R (S T). Contoh. Diberikan A = {,2,3,4}, B = { d}, C = {x, y, z} dan R = {(, a), (2, d), (3, a), (3, b), (3, d)}, S = {( x), ( z), ( y), (d, z)}. Perhatikan diagra panah berikut:

5 Departent of Matheatics FMIPA UNS Sehingga diperoleh R S = {(2, z), (3, x), (3, z)}. Koposisi Relasi dan Matrik Relasi koposisi R S juga dapat ditentukan dengan enggunakan atriks. Perhatikan contoh di atas. Misalkan M dan M berturut-turut enyatakan atriks relasi R dan S, yaitu Sehingga diperoleh M = M sebagai berikut Eleen tak nol pada atriks M enyatakan bahwa eleen tersebut direlasikan oleh R S. Jadi, R S = {(2, z), (3, x), (3, z)}. E. Cobination of Relations Karena relasi erupakan hipunan pasangan terurut, aka operasi hipunan seperti irisan, gabungan, selisih, dan selisih sietri antara dua relasi atau lebih juga berlaku. Hasil operasi juga berupa relasi. Contoh. Misalkan A { c} dan B { d}. Diberikan dua relasi dari A ke B: R {( a),( c)} {( a),( d)} Maka diperoleh R {( a)} R {( a),( d)} R {( c)} R {( d)} R R {( )} 2 d Jika relasi R dan R 2 asing-asing dinyatakan dengan atriks M R dan M, aka atriks yang enyatakan gabungan dan irisan relasi tersebut adalah M R M R M M M M R R

6 Departent of Matheatics FMIPA UNS Contoh. Misalkan bahwa relasi R dan 2 R pada hipunan A dinyatakan dengan atriks M R dan M. Maka atriks yang enyatakan 2 R R dan 2 R R adalah R M R M. F. Partitions Definisi. Ditentukan hipunan A. Suatu keluarga hipunan bagian dari A yang tidak kosong, isal P = {A }, disebut partisi dari A jika: () A = A (2) A, A A A A A =. Masing-asing A disebut kelas-kelas ekuivalensi dari A. Contoh: A = {,2,,}, dan A = {,3}, A = {7,8,}, A = {2,5,6}, A = {4,9}. Maka P = {A, A, A, A } erupakan partisi dari A, sebab: () A = A A A A = A (2) A A A A = A A A A = A A A A = A A A A = A A A A = A A A A =

7 Departent of Matheatics FMIPA UNS Hubungan antara Partisi dan Relasi Ekuivalensi Teorea. Suatu relasi ekuivalensi antara anggota-anggota hipunan S engakibatkan adanya penggolongan (partitioning) di dala S. Diberikan R suatu relasi ekuivalensi pada suatu hipunan S. Untuk setiap a S, dinotasikan [a] yang didefinisikan sebagai [a] = {x ( x) R}. [a] disebut sebagai kelas ekuivalensi dari a pada S di bawah relasi R. Koleksi seua kelas-kelas ekuivalensi seperti ini dinotasikan dengan S/R, yaitu S/R = {[a]: a S}, yang disebut sebagai hipunan quotient dari S oleh R. Contoh. Diberikan relasi R pada S = {,2,3,4} sebagai berikut: R = {(,), (2,2), (,3), (3,), (3,3), (4,4)}. Dapat ditunjukkan bahwa R epunyai sifat refleksif, sietris, dan transitif, sehingga R erupakan relasi ekuivalensi. Diperoleh [] = {,3}, [2] = {2}, [3] = {,3}, dan [4] = {4}. Perhatikan bahwa [] = [3] dan S/R = {[], [2], [4]} erupakan partisi dari hipunan S. Contoh 2. Diberikan R suatu relasi pada Z yang didefinisikan: x y (od 5), yaitu x kongruen terhadap y odulo 5. Hal ini berarti bahwa x y dapat habis dibagi 5. Dapat ditunjukkan R erupakan relasi ekuivalensi pada Z. Terdapat tepat 5 kelas ekuivalensi dala hipunan quotient Z/R, yaitu A = {,, 5,,5,, } A = {, 9, 4,,6,, } A = {, 8, 3,2,7,2, } A = {, 7, 2,3,8,3, } A = {, 6,,4,9,4, }. Perhatikan bahwa Z/R = Z = {A, A, A, A, A } erupakan partisi dari hipunan Z.