DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK

Transkripsi

1 0

2 DISTRIBUSI DUA PEUBAH ACAK Dala hal ini akan dibahas aca-aca fungsi peluang atau fungsi densitas ang berkaitan dengan dua peubah acak, aitu distribusi gabungan, distribusi arginal, distribusi bersarat, dan kebebasan stokastik Pada bab sebeluna, kita sudah ebahas penggunaan sebuah peubah acak berdasarkan eksperien Kita bisa juga enggunakan satu peubah acak lagi berdasarkan eksperien ang saa, sehingga akan diperoleh nilai pengaatan dari distribusi gabungan dua peubah acak Selanjutna, nilai pengaatan tersebut dapat digunakan dala pengabilan kesipulan DISTRIBUSI GABUNGAN Pebahasan aca-aca distribusi ang berkaitan dengan dua peubah acak selalu didasarkan pada peubah acak berdiensi dua Definisi 5 : PEUBAH ACAK BERDIMENSI DUA Jika S erupakan ruang sapel dari sebuah eksperien, aka pasangan (,Y) dinaakan peubah acak berdiensi dua, jika dan Y asing-asing enghubungkan sebuah bilangan real dengan setiap anggota S Dala statistika ada dua aca peubah acak berdiensi dua, aitu peubah acak berdiensi dua diskrit dan peubah acak kontinu berdiensi dua Definisi 52: PEUBAH ACAK DISKRIT BERDIMENSI DUA (,Y) disebut peubah acak diskrit berdiensi dua, jika banak nilai-nilai ang ungkin dari (,Y) salah satuna berhingga atau tak berhingga tapi dapat dihitung Definisi 52: PEUBAH ACAK KONTINU BERDIMENSI DUA (,Y) disebut peubah acak kontinu berdiensi dua, jika banak nilai-nilai ang ungkin dari dan Y asing-asing berbentuk sebuah interval Dala peubah acak diskrit, penghitungan peluang dari peubah acak dan Y ang asingasing berharga tertentu, eerlukan sebuah fungsi ang dinaakan fungsi peluang gabungan Definisi 53: FUNGSI PELUANG GABUNGAN Jika dan Y adalah dua peubah acak diskrit, aka fungsi ang dinatakan dengan,,y untuk setiap pasangan nilai (, dala sebuah daerah hasil dari dan Y, dinaakan fungsi peluang gabungan Dalil 5: SIFAT-SIFAT FUNGSI PELUANG GABUNGAN Sebuah fungsi berdua peubah acak dapat disebut sebagai distribusi peluang gabungan atau fungsi peluang gabungan dari peubah acak diskrit dan Y, jika dan hana jika nilai-nilaina, aitu,, eenuhi sifat-sifat sbb:, > 0 untuk setiap pasangan nilai (, dala daerah asalna 2,

3 Apabila epunai nilai-nilai, 2, 3,, dan Y epunai nilai-nilai, 2, 3,, n ; aka peluang peristiwa j dan Y Y k terjadi dinotasikan dengan j, Y k ) j, k ) Fungsi peluang gabungan dari dan Y di atas dapat digabarkan dala Tabel 5 TABEL 5 TABEL FUNGSI PELUANG GABUNGAN Y 2 3 n Julah, ), 2 ), 3 ), n ) p ( ) 2 3 2, ) 3, ), ) 2, 2 ) 3, ), 2 ) 2, 3 ) 3, 3 ), 3 ) 2, n ) 3, n ), n ) p ( 2 ) p ( 3 ) p ( ) Julah p 2 ( ) p 2 ( 2 ) p 2 ( 3 ) p 2 ( n ) Penghitungan peluang dari dua peubah acak dan Y ang asing-asing berharga tertentu, digunakan ruus: P [(, Y) A], A dengan A erupakan hipunan bagian dari daerah asal dan Y Dala peubah acak kontinu, penghitungan peluang dari dua peubah acak ang asingasing berharga tertentu, eerlukan sebuah fungsi ang dinaakan fungsi densitas gabungan Definisi 55: FUNGSI DENSITAS GABUNGAN Sebuah fungsi ang elibatkan dua peubah acak dan Y dengan nilai-nilaina dinatakan dala bidang-, dinaakan fungsi densitas gabungan, jika dan hana jika: dengan A terletak dala bidang- Dalil 52: SIFAT-SIFAT FUNGSI DENSITAS GABUNGAN Sebuah fungsi dari dua peubah acak kontinu dan Y disebut fungsi densitas gabungan, jika nilai-nilaina, aitu f(,, eenuhi sifat-sifat sebagai berikut: f(, 0, untuk - < < 2 f (, d d P [(, Y) A] f (, d d A 2

4 DISTRIBUSI MARGINAL Apabila kita epunai distribusi gabungan dari dua peubah acak dan Y (bisa diskrit seua atau kontinu seua), aka kita dapat enentukan distribusi untuk asingasing peubah acak Jadi kita dapat enentukan distribusi dari peubah acak dan distribusi dari peubah acak Y Distribusi ang diperoleh itu dinaakan distribusi arginal Kita eperhatikan kebali Tabel 5 i } {, Y } {, Y } { n P ({ }) {, Y } {, Y n}), Y ) + +, Y n ) n i, Y i ) ii } {, Y } {, Y } { n P ({ 2}) { 2, Y } { 2, Y n}) 2, Y ) + + 2, Y n ) n i 2, Y i ) iii } {, Y } {, Y } { n P ({ 3}) { 3, Y } { 3, Y n}) 3, Y ) + + 3, Y n ) n i 3, Y i ) iv } {, Y } {, Y } { n P ({ }) {, Y } {, Y n }), Y ) + +, Y n ) n i, Y i Berdasarkan (i) sapai (iv), peluang dari peubah acak secara uu ditulis: { }) P ({, Y }) atau: ) atau: ) R Y R Y p (, ) R Y P (, Y Kita eperhatikan kebali Tabel 5 i } {, Y } {, Y } { Y P Y }) {, Y } {, Y ({ }), Y ) + +, Y ) i, Y i ) 3

5 ii } {, Y } {, Y } { Y P Y 2}) {, Y 2} {, Y ({ 2}), Y 2 ) + +, Y 2 ) i P (, Y iii } {, Y } {, Y } i { Y P Y 3}) {, Y 3} {, Y ({ 3}), Y 3 ) + +, Y 3 ) i, Y i 2 ) 3) iv Y } {, Y } {, Y } { n n n P ({ Y n}) {, Y n} {, Y n }), Y n ) + +, Y n ) i, Y i n Berdasarkan (i) sapai (iv), peluang dari peubah acak secara uu ditulis: {Y }) P ({, Y }) atau: Y atau: R R p (, ) R P (, Y Definisi 56: FUNGSI PELUANG MARGINAL Jika dan Y adalah dua peubah acak diskrit dan, adalah nilai dari fungsi peluang gabunganna di (,, aka fungsi ang diruuskan dengan: p ( ), untuk setiap dala daerah hasil dinaakan fungsi peluang arginal dari Adapun fungsi ang diruuskan dengan: untuk setiap dala daerah hasil Y dinaakan fungsi peluang arginal dari Y Karena p () dan p 2 ( asing-asing erupakan fungsi peluang, aka: i p ( ) ii p ( 2 p (, 2 Apabila kita eperhatikan kebali Tabel 5, aka fungsi peluang arginal dari terletak pada kolo julah, aitu: p () p ( ) ; untuk 4

6 p ( 2 ) ; untuk 2 p ( ) ; untuk Adapun fungsi peluang arginal dari Y terletak pada baris julah, aitu: p 2 ( p 2 ( ) ; untuk p 2 ( 2 ) ; untuk 2 p 2 ( n ) ; untuk n Kita sudah enjelaskan bahwa fungsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit dan Y digunakan untuk eperoleh fungsi peluang arginal asing-asing dari dan Y Dengan cara ang saa, fungsi densitas arginal asing-asing dari dan Y dapat diperoleh dari fungsi densitas gabunganna, jika dan Y keduana erupakan peubah acak kontinu Hal ini bisa dilihat dala uraian berikut ini a < < b) a < < b, - < Y < ) b a f (, d Berdasarkan sifat ketiga dala Definisi 45 bahwa: d a < < b) b a f ( ) d Karena itu, f (, d harus saa dengan f () Peruusan ini erupakan fungsi densitas arginal dari 2 c < Y < d) - < <,c < Y < d) d c f (, d Berdasarkan sifat ketiga dala Definisi 45 bahwa: d a < < b) b a f ( ) d Karena itu, f (, d harus saa dengan f 2 ( Peruusan ini erupakan fungsi densitas arginal dari Y Definisi 57: FUNGSI DENSITAS MARGINAL Jika dan Y adalah dua peubah acak kontinu dan f(, adalah nilai fungsi densitas gabungan di (,, aka fungsi ang diruuskan dengan: g ( ) f (, d untuk - < < 5

7 dinaakan fungsi densitas arginal dari Adapun fungsi ang diruuskan dengan: h ( f (, d untuk - < < dinaakan fungsi densitas arginal dari Y Karena g() dan h( asing-asing erupakan fungsi densitas, aka: i g ( ) d ii h ( d DISTRIBUSI BERSYARAT Dala Teori Peluang, kita sudah enjelaskan dua buah peristiwa ang bersarat Jika A dan B adalah dua buah peristiwa, aka peluang terjadina peristiwa B diberikan peristiwa A diruuskan dengan: A B) B A) ; A) > 0 A) Jika A adalah peristiwa dan B adalah peristiwa Y, aka: Y Y ) ), Y ), ) p ; p () > 0 ( ) Dari peruusan di atas, kita dapat endefinisikan fungsi peluang bersarat dari sebuah peubah acak diberikan peubah acak lainna Definisi 58: FUNGSI PELUANG BERSYARAT Jika, adalah fungsi peluang gabungan dari dua peubah acak diskrit dan Y di (, dan p 2 ( adalah nilai fungsi peluang arginal dari Y di, aka fungsi ang dinatakan dengan:, p 2 ( ; p 2 ( > 0 untuk setiap dala daerah hasil, dinaakan fungsi peluang bersarat dari diberikan Y Jika p () adalah nilai fungsi peluang arginal dari di, aka fungsi ang diruuskan dengan: 6

8 ), p ( ) ; p () > 0 untuk setiap dala daerah hasil Y, dinaakan fungsi peluang bersarat dari Y diberikan Karena dan ) asing-asing erupakan fungsi peluang, aka kedua fungsi peluang itu harus eenuhi sifat sebagai berikut: a 0 b 2a ) 0 b ) Definisi 59: FUNGSI DENSITAS BERSYARAT Jika f(, adalah nilai fungsi densitas gabungan dari dua peubah acak kontinu dan Y di (, dan f 2 ( adalah nilai fungsi densitas arginal dari Y di, aka fungsi ang diruuskan dengan: g( f (, f 2 ( ; f 2 ( > 0 untuk setiap dala daerah hasil, dinaakan fungsi densitas bersarat dari diberikan Y Jika f () adalah nilai fungsi peluang arginal dari di, aka fungsi ang diruuskan dengan: h( ) f (, f ( ) ; f () > 0 untuk setiap dala daerah hasil Y, dinaakan fungsi densitas bersarat dari Y diberikan Karena g( dan h( ) asing-asing erupakan fungsi densitas, aka kedua fungsi densitas itu harus eenuhi sifat sebagai berikut: a g( 0 b g ( d 2a h( ) 0 b h ( ) d 7

9 KEBEBASAN STOKASTIK Jika kita epunai dua buah peubah acak dan Y, baik diskrit aupun kontinu, aka kita dapat engetahui apakah kedua peubah acak itu bebas stokastik atau tidak bebas stokastik Definisi 50: KEBEBASAN STOKASTIK DISKRIT Misalna dua peubah acak diskrit dan Y epunai nilai fungsi peluang gabungan di (,, aitu, serta asing-asing epunai nilai fungsi peluang arginal dari di, aitu p () dan nilai fungsi peluang arginal dari Y di, aitu p 2 ( Kedua peubah acak dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hana jika:, p ()p 2 ( untuk seua pasangan nilai (, Dala praktekna, soal ang enangkut kebebasan stokastik dua peubah acak diskrit ini fungsi peluang gabungan dari kedua peubah acak harus diketahui bentukna Keudian kita enentukan dahulu fungsi peluang arginal dari asing-asing peubah acak Selanjutna kita ensubstitusikan seua pasangan nilai dari kedua peubah acak itu kedala persaratan kebebasan stokastik, dan kita eperhatikan hasilna dengan kriteria sbb: a Apabila ruas kiri saa dengan ruas kanan, aka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik b Apabila ruas kiri tidak saa dengan ruas kanan, aka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan untuk inial satu pasangan nilai peubah acak Definisi 5: KEBEBASAN STOKASTIK KONTINU Misalna dua peubah acak kontinu dan Y epunai nilai fungsi densitas gabungan di (,, aitu f(, serta asing- asing epunai nilai fungsi densitas arginal dari di, aitu f () dan nilai fungsi densitas arginal dari Y di, aitu f 2 ( Kedua peubah acak dan Y dikatakan bebas stokastik, jika dan hana jika: f(, f ()f 2 ( Dala praktekna, soal ang enangkut kebebasan stokastik dua peubah acak kontinu ini fungsi densitas gabungan dari kedua peubah acak harus diketahui bentukna Keudian kita enentukan dahulu fungsi densitas arginal dari asing-asing peubah acak Selanjutna kita enggunakan persaratan kebebasan stokastik, dan kita eperhatikan hasilna dengan kriteria sbb: a Apabila ruas kiri saa dengan ruas kanan, aka kedua peubah acak itu dikatakan bebas stokastik b Apabila ruas kiri tidak saa dengan ruas kanan, aka kedua peubah acak itu dikatakan tidak bebas stokastik atau bergantungan 8

10 9