KEBERADAAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTIN MATRIKS POLINOMIAL DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLASI

Transkripsi

1 KEBERADAAN SOLUSI PERSAMAAN DIOPHANTIN MATRIKS POLINOMIAL DAN PENYELESAIANNYA MENGGUNAKAN TITIK-TITIK INTERPOLASI Laila Istiani R. Heri Soelistyo Utoo 2, 2 Progra Studi Mateatika Jurusan Mateatika FMIPA UNDIP Jl. Prof. H. Soedarto, S.H, Searang 5275 Abstract. Diophantine equation is a atrix polynoial equation of the for X ( D( + Y ( N( = Q(. Here, we investigate the existence of the solutions [ X (, Y ( s )]. It can be investigated by using the grestest coon right divisors of the atrix [ D(, N( s )]. Then, the solutions can be solved by transforing to the for of the polynoial atrix equation M ( L( = Q(. By taking the interpolation points will be obtained the solutions M ( s ) of degree r. Keywords : diophantin equation, the greatest coon right divisor, right coprie. PENDAHULUAN Di dala encari hubungan antara variabel variabel, baik di dala ilu ekonoi aupun di dala ilu lainnya, sering dipecahkan suatu persoalan yang terdiri atas lebih dari dua persaaan. Bahkan di suatu negara yang telah aju, terutaa di dala penggunaan alat berhitung otoatis yang odern (koputer), tidak jarang di dala eneukan odel ekonoinya harus eecahkan suatu siste persaaan yang terdiri dari puluhan persaaan dengan ratusan variabel-variabel yang harus dicari nilainya. Matriks pada dasarnya eberikan eudahkan di dala pebuatan analisisanalisis yang encakup hubungan antara variabel-variabel [3]. Entri-entri dala sebuah atriks dapat berbentuk konstanta ataupun suatu fungsi polinoial. Pada perasalahan ini, akan dibahas tentang keberadaan solusi persaaan atriks polinoial, keudian dicari penyelesaiannya. Di sini, solusi persaaan diophantin yang juga berupa atriks polinoial, diperoleh dengan enggunakan titik- titik interpolasi. 2. PEMBAHASAN Konsep untuk interpolasi polinoial diberikan sebagai berikut. Jika diberikan sebanyak l titik interpolasi, s j skalar yang berbeda b j suatu vektor, dengan j=, 2,..., l, aka dapat dibentuk satu hanya satu polinoial q( berderajat n, di ana n = l - sedeikian sehingga: q(s j ) = b j, j =, 2,..., l () n q( = a i s i, a n s = [a a... a n ].. n s = q[, s,..., s n ] T, dengan q adalah vektor baris dengan ukuran (x(n+)) yang erupakan koefisien koefisien polinoial q(. Keudian persaaan () dapat ditulis sebagai:

2 ... s s2 s l qv = q s s2 s l l l l s s2... s l = [b,..., b l ] = B l. (2) Matriks V erupakan atriks Vanderonde berukuran (lxl) yang non singular jika hanya jika s j skalar yang berbeda dengan j=,..., l untuk s j skalar yang berbeda atriks Vanderonde epunyai rank penuh. Karena atriks Vanderonde epunyai rank penuh, persaaan (2) epunyai solusi tunggal q, sehingga polinoial q( berderajat n akan epunyai solusi tunggal yang eenuhi persaaan (). Contoh Misalkan akan dibentuk suatu polinoial q( berderajat 3 jika diberikan titik-titik interpolasi, yaitu: {(s j,b j ), j =,..., 4}= {(,[2] ), (2, [] ), (3,[-] ), (4,[] )}, aka n = l -. Sehingga akan didapatkan solusi q( yang tunggal, yaitu 3 s q( = s 3 s = s s + s Interpolasi Matriks Polinoial Untuk kasus atriks polinoial terdapat sedikit perbedaan dengan kasus polinoial, di ana pada kasus polinoial hanya ebutuhkan 2 titik interpolasi (s j b j ) segkan untuk kasus atriks polinoial ebutuhkan 3 titik interpolasi (s j,a j,b j ), diana a j yang erupakan vektor berukuran (x), b j erupakan vektor berurutan (px), s j suatu skalar. Teorea. [4] Diberikan titik interpolasi triplets (s j, a j, b j ) dengan j =,,l, d i integer non negatif dengan l= d i +, sedeikian se-hingga atriks S l = [S(s )a,, S(s l )a l ] yang berukuran (( d i + ) l) full rank, aka terdapat dengan tunggal atriks polinoial Q( berukuran (p ) dengan derajat kolo d i,,, yang eenuhi Q(s j )a j = b j, j =,, l (3) Bukti. Ketika derajat kolo Q( adalah d i, Q( dapat ditulis sebagai : Q( = Q S( (4) S( enunjukkan bahwa Q( berderajat kolo d i. Matriks Q adalah atriks berukuran (p ( d i + )) yang erupakan koefisien dari eleen-eleen atriks Q(. Persaaan (.4) disubstitusikan ke persaaan (3), keudian Q harus eenuhi Q S l = B l (5) dengan B l = [b,, b l ]. Karena S l epunyai rank penuh, solusi Q pada persaaan (5) tunggal. Matriks Q disubstitusikan pada persaaan (4) sehingga terdapat dengan tunggal atriks polinoial Q(

3 Contoh 2 Akan dibentuk suatu atriks polinoial Q( berukuran ( 2), jika diberikan interpolasi triplets dengan titik interpolasi l = 3 yaitu: {(s j, a j, b j ), j =, 2, 3} = {(-, [,] T, [2] ), (, [-,] T, [] ), (, [,] T, [] )}. Penyelesaian Derajat kolo dari atriks polinoial Q(adalah d i dengan i =,...,. Matriks polinoial berukuran (p ), sehingga = 2. Oleh karena itu derajat kolo atriks polinoial adalah d d 2. Menurut Teorea : l = d i +, 3 = (d + d 2 ) + 2, d + d 2 =. Ada 2 keungkinan pada kasus ini: ( i ) Untuk d = aka d 2 =. ( ii ) Untuk d =, aka d 2 = Misal diabil keungkinan (i),aka S( = blk diag {[,s] T, [] T } = s. Substitusikan asing-asing nilai s j pada pada S(, kalikan dengan a j, sehingga diperoleh Q = Matriks polinoial yang terbentuk adalah : 3 3 Q( = + s Persaaan Diophantin Matriks Polinoial Persaaan Diophantin epunyai bentuk: X ( D( + Y ( N( = Q( (6) dengan D( R[ s ] q,n( R[ s ] p Q( R[ s ] k adalah atriks polinoial yang diberikan, X( R[ s ] k q, Y( R[ s ] k p adalah atriks polinoial yang dicari. Dala teori siste kontrol biasanya persaaan (6) uncul dengan k = q =, sehingga X (, D( Q( s ) asing-asing berupa atriks polinoial persegi berukuran ( ). Definisi Dua atriks polinoial D( N( disebut sebagai dua atriks yang saling kopria kanan jika pebagi kanan persekutuan terbesar dari D( N( adalah suatu atriks uniodular. Teorea 2. [4] Persaaan (6) epunyai solusi [ X (, Y ( ] jika hanya jika setiap pebagi kanan persekutuan terbesar (greatest coon right divisors = gcrd) dari D( N( yaitu G R ( adalah pebagi kanan ( right divisor) dari Q(. Bukti : ( ) Misalkan atriks polinoial berukuran (x) G R ( adalah gcrd dari D( N(, aka terdapat atriks polinoial U( yang uniodular, sehingga eenuhi persaaan: U( U 2( D( GR ( U3( U 4( = N( Selanjutnya G R ( enjadi pebagi kanan dari Q(, sehingga dapat ditulis Q( = Q ( GR ( aka diperoleh persaaan : Q ( U( D( + Q ( U 2( N ( = Q( (7) Sehingga diperoleh solusi X ( = Q ( U ( Y ( = Q ( U 2( ( ) Misalkan D( N( dapat dituliskan dala bentuk persaaan D( = V ( GR (, N( = V3 ( GR ( serta dengan ensubstitusikan persaaan (7) ke dala persaaan (6), aka diperoleh: [ X ( V ( + Y ( V3 ( ] GR( = Q( Maka teihat bahwa G R ( adalah pebagi kanan dari Q(.

4 Akibat Jika D( N( adalah kopria kanan ( right coprie ), aka persaaan (6) selalu epunyai solusi. Bukti: Jika D( N( adalah kopria kanan, aka pebagi kanan persekutuan terbesar G R ( adalah atriks uniodular. Dari persaaan (7) diperoleh persaaan berikut GR ( U( D( + GR ( U 2( N ( = I. Jika persaaan di atas dikalikan dengan Q(, aka solusinya adalah X ( = Q( G ( U ( R ( ) ( ) R ( ) 2( ) Y s = Q s G s U s. Konsep untuk enyelesaikan persaaan atriks polinoial dijabarkan dala uraian berikut: Persaaan (6) dapat ditulis kebali dala bentuk persaaan : D( [ X (, Y ( ] = Q( N(. (8) Dari persaaan (8), teihat bahwa persaaan diophantin dapat diubah ke dala persaaan atriks polinoial yang berbentuk M ( L( = Q(, (9) dengan M ( = [ X (, Y ( ] D( L ( =. N( Matriks M( diubah ke dala: r M ( = M + Ms + + M r s () dengan r adalah bilangan bulat tak negatif yang erupakan derajat tertinggi dari atriks polinoial M ( s ). Persaaan () ditulis kebali dala persaaan : M ( s ) = M[ I si r T s I] dengan M = [ M M M r ] adalah atriks koefisien dari entri-entri atriks polinoial M ( yang berukuran [k ((p+)(r+))] I adalah atriks identitas berukuran ((p+) (p+)). Jika d i = deg ci [L(], i =,..., Q ˆ ( = M ( L(, aka deg ci [ Q ˆ ( s ) ] = di + r, i =,...,. Berdasarkan konsep interpolasi atriks polinoial pada Teorea, dengan engabil l = (d i + r)+ = d i +(r+) titik titik interpolasi ( s, a, b ), j =,, l, aka j j j atriks polinoial Q ˆ( s ) yang berukuran (k ) dapat ditulis sebagai: Q ˆ ( s ) = ˆS ( s ), Q r dengan Sr( s ) = blk diag [,,, d i r s s + ] Qˆ adalah atriks koefisien dari entri-entri atriks polinoial Q ˆ ( s ) yang berukuran (k d i +(r+)). Akhirnya dapat dibentuk atriks S berukuran (r+) x l berikut: S = S ( s ) a S ( s ) a... S ( s ) a ]. [ r r 2 2 r l l d i + Matriks S epunyai rank penuh untuk s j skalar yang berbeda a j vektor tak nol berukuran ( x ). Dengan deikian enurut Teorea terdapat dengan tunggal atriks polinoial Q ˆ ( s ) yang eenuhi Q ˆ ( s j ) a j = b j, j =,2,..., l () Persaaan (9) dapat ditulis kebali ke dala persaaan : r T M[ I si s I] L( = Q( T T r T T M[ L ( sl ( s L ( ] = Q( MLr ( = Q( (2) dengan T T r T L ( = [ L ( sl ( s L ( ] r ( p+ )( r+ ) Lr ( [ R] Dengan engabil sebanyak l titiktitik interpolasi (s j, a j ), aka diperoleh persaaan: M L ( s ) a = Q( s ) a, j =,, l r j j j j sehingga didapatkan: ML = Bl (3) dengan

5 L = L ( s ) a L ( s ) a L ( s ) a ] [ r r 2 2 r l l [ b b2 bl ] Bl = Dengan deikian, persaaan (2) dapat diselesaikan dengan encari solusi dari persaaan (3). Persaaan (3) erupakan siste persaaan linier, sehingga solusi M ada L jika hanya jika rank = rank L Bl Pang persaaan Diophantin (2) dengan D( R[ s ] N( R[ s ] p adalah kopria kanan isalkan d i = deg ci Q(. Jika diabil l d +(r+) = i titik-titik interpolasi (s j,a j ), j=,, l, aka dapat dibentuk teorea berikut. Teorea 3.[4] Diketahui atriks polinoial L ( Q ( pada persaaan (9), isalkan d i =deg ci [ L ( ],,,, pilih r sehingga eenuhi: deg ci [Q(] d i +r,,, Persaaan Diophantin (2) epunyai solusi M ( dengan derajat r jika hanya jika solusi M dari persaaan (3) T ada, dengan M ( = M[ I, si,, s r I]. Bukti. ( ) Karena M( = M M r s r M = [ M,..., M r ] aka diperoleh korespondensi satu satu antara M( dengan M. ( ) Diketahui ruas kiri dari persaaan (3) dapat dituliskan ML = Qˆ S (4) diana Qˆ (=M( L(= Qˆ S r (, selanjutnya, dengan elihat persaaan (), ruas kanan dari persaaan (2) dapat ditulis enjadi B l = QS (5) diana S = S ( s ) a S ( s ) a... S ( s ) a ] [ r r 2 2 r l l berukuran ( d i +(r+)xl) epunyai rank penuh sehingga enurut Teorea Q( adalah tunggal. Dari persaaan (4) persaaan (5) diperoleh Qˆ S = QS atau Qˆ =Q yang berarti Q juga tunggal. Karena Q( tunggal aka Qˆ (=Q( sehingga M(L(= Qˆ (=Q(. Karena S adalah atriks yang epunyai rank penuh M(L( = Qˆ (=Q( aka M(= M M r s r = M[I, si,..., s r I] T adalah solusi dari persaaan (9), dengan M adalah solusi dari persaaan (3). Contoh 3 Diberikan atriks-atriks polinoial 2 s s + D ( =, N ( = s s + 2s 3s 5 5s 5 Q ( = s 5s 4 s 3s 2 Dengan enggunakan Maple 8 didapatkan gcrd G R ( dari atriks D( N( adalah G R ( = det(g R ()=, sehingga atriks D( N( adalah kopria kanan berdasarkan Akibat, persaaan Diophantin tersebut epunyai solusi. Solusinya adalah: s s M( =. 2 s + 4 4s PENUTUP Keberadaan solusi persaaan diophantin ditentukan oleh pebagi kanan persekutuan terbesar dari atriks polinoial D( N(. Segkan solusi X( Y( diperoleh dengan enggunakan titik titik interpolasi (s j,a j ). Peba-hasan lebih lanjut engenai persaaan diophantin aplikasinya dapat dijupai pada teori siste kontrol. 4. DAFTAR PUSTAKA []. Antsaklis, P.J. and Gao, Z. (993), Polynoial and Rational Matrix Interpolation : Theory and Control Applications, International Journal of Control, 58(2),

6 [2]. Kailath, T. (98), Linier Syste, Englewood Cliffs, New York. [3]. Supranto, J. (998), Pengantar Matriks, Rineka Cipta, Jakarta. [4]. Vardulakis. A.I.G, (99), Linear Multivariable Control, John Wiley & Sons, Chicester, England.