BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU

Transkripsi

1 BAB III UJI STATISTIK PORTMANTEAU DALAM VERIFIKASI MODEL RUNTUN WAKTU Salah satu langkah yang paling penting dala ebangun suatu odel runtun waktu adalah dari diagnosisnya dengan elakukan peeriksaan apakah suatu odel yang diidentifikasi telah tepat. Uji portanteau telah enjadi bagian penting dari peeriksaan diagnostik (diagnostic checking) runtun waktu. Tahap ketiga dari proses peeriksaan diagnostik ini (Box dan Jenkins, 1994) tidak hanya eeriksa ketidakcukupan dari odel yang sesuai tetapi juga enyarankan perbaikan pada odel yang sesuai dala langkah selanjutnya pada prosedur peentukan odel. Residual sangat uu digunakan sebagai alat diagnostik untuk enguji seberapa baik kelayakan odel. Suatu odel dikatakan telah tepat jika deret dari residualnya terdistribusi secara bebas dan acak disekitar nol, serta jika tidak ada inforasi yang dapat digunakan untuk eperbaiki suatu odel. Dala prakteknya cara yang paling popular dala peeriksaan diagnostik sebuah odel runtun waktu adalah uji portanteau. Uji ini pertaa kali diusulkan oleh Box dan Pierce pada tahun 1970, diana ereka epelajari distribusi dari residual autokorelasi dala proses ARIMA (Chand, 011). Beberapa uji lack of fit untuk odel ARIMA berdasarkan pada koefisien autokorelasi residual yang diberikan oleh Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu

2 3 r k = n t=k+1 n t=1 ε t ε t ε t k (k = 1,, ) Dan untuk eeriksa kecukupan dari odel yang cocok tersebut Box dan Pierce engusulkan uji statistik portanteau yang berdistribusi χ p q. Q = n rk k=1 Dala diskusi Prothero dan Wallis pada tahun 1976, Chatfield enyebutkan sifat kekuatan yang buruk dari Q dan erekoendasikan untuk fokus pada autokorelasi residual pada beberapa lag pertaa dan lag usian. Serta enunjukkan perkiraan yang buruk dari distribusi sapel Q. Prothero dan Wallis juga enyarankan penggunaan faktor koreksi n+ n k pada Q (Chand, 011) Uji Portanteau Ljung-Box (Q LB ) Pada uji portanteau Box-Pierce terjadi perasalahan ketika n tidak besar. Ljung-Box enunjukkan bahwa untuk n = 100 pendekatan statistik Q ke distribusi Chi-kuadrat tidak euaskan. Setelah dilakukan beberapa diskusi engenai distribusi sapel dari uji statistik yang diusulkan oleh Box-Pierce, sehingga Ljung-Box pada tahun 1978 engusulkan uji statistik baru dengan enggantikan koefisien autokorelasi residual r k dengan nilai standarnya r k (Peña-Rodríguez, 00). r k = n + n k r k Sehingga uji portanteau Ljung-Box diruuskan sebagai: Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu

3 4 Q LB = n n + r k k=1 n k Statistik Q LB eiliki distribusi sapel yang jauh lebih dekat ke χ p q. 3. Uji Portanteau Monti (Q MT ) Ljung (198) enunjukkan bahwa enggunakan terlalu banyak autokorelasi residual dapat engurangi kekuatan uji. Sehingga, Monti pada tahun 1994 eperkenalkan uji portanteau Q MT berdasarkan autokorelasi parsial residual φ kk yang diruuskan sebagai berikut: Q MT = n n + φ kk k=1 n k Statistik Q MT berdistribusi Chi-kuadrat dengan derajat kebebasannya p q. Berdasarkan hasil siulasi, Monti enunjukkan bahwa uji Q MT lebih sensitif dibandingkan uji Q LB, naun hasil evaluasi dari Kwan dan Wu (1997) elalui siulasi Monte-Carlo untuk data yang dibangkitkan dengan periode bulanan, hanya eneukan sedikit perbedaan antara uji Q MT dan uji Q LB Uji Portanteau Peña-Rodríguez D Peña dan Rodríguez engusulkan uji portanteau yang baru pada tahun 00 dengan enggunakan transforasi dari deterinan R untuk enguji adanya autokorelasi pada residual. Untuk data runtun waktu stasioner, atriks korelasi residual orde, R didefinisikan sebagai: Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu

4 5 R = 1 r 1 r r 1 1 r 1 r r 1 1 (3.1) Uji portanteau Peña-Rodríguez diruuskan sebagai berikut: Dan didapatkan D = n 1 R 1 R = R 1 1 R i diana R i = 1 r() R r(), dengan r () = r 1, r,, r, erupakan koefisien korelasi yang dikuadratkan dari odel linier ε t = i j=1 b j ε t j + u t. Secara rekursif didapatkan R 1 = 1 R 1 i (3.) dan 1 R 1 dapat diinterpretasikan sebagai rata-rata kuadrat koefisien korelasi (Peña-Rodríguez, 00). D dapat juga ditafsirkan berdasarkan koefisien autokorelasi parsial. Perhatikan bahwa 1 R i = JKG (1,i) JKT keudian dengan cara yang saa didapatkan 1 R i 1 = JKG (1,i 1) JKT 1 R i 1 R i 1 sehingga JKG(1, i) = JKG(1, i 1) = 1 φ ii JKG 1,i 1 JKG(1,i) diana φ ii = JKG(1,i 1) erupakan kuadrat koefisien autokorelasi ke-i. sehingga deterinan R dapat dituliskan sebagai Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu

5 6 R 1 = 1 φ ii +i 1 φ = φ 11,, φ dan enggunakan hasil dari Monti (1994) bahwa n 1 φ cenderung berdistribusi noral ultivariat dengan vektor rata-rata nol dan atriks varians-kovarians I Q, diana Q = X V 1 X, V adalah atriks inforasi untuk paraeter θ dan φ, dan X adalah atriks p + q, dengan eleen-eleen θ dan φ ditentukan oleh 1 φ B i=0 φ i B i dan 1 θ B i=0 θ i B i. Teorea Jika odel teridentifikasi dengan benar, D akan enyebar secara asitot sebagai χ 1,i, diana χ 1,i i = 1,, erupakan variabel acak χ 1 dan i = 1,, adalah nilai eigen dari I Q W, diana W adalah sebuah atriks diagonal dengan eleen-eleen w ii = i + 1 i = 1,,. Pebuktian terdapat dala lapiran 1. Untuk odel ARMA bentuk untuk nilai eigen dari I Q W sulit. Menurut Box dan Pierce (1970) atriks Q = X V 1 X dapat diperkirakan dengan atriks Q = X X X 1 X apabila cukup besar. Berdasarkan uraian di atas peluang P D > x dapat ditaksir dengan ebalikan fungsi karakteristik dari χ 1,i (Ihof, 1961). Pendekatan distribusi χ 1,i dilakukan oleh distribusi berbentuk aχ b, distribusi Gaa dengan rata-rata dan variansi yang persis saa dengan distribusi sebenarnya Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu

6 7 dengan paraeter a dan b yang didefinisikan sebagai a = Diana dan dapat didekati oleh = + 1 p + q dan b =. = p + q Dengan deikian dapat ditentukan pendekatan distribusi D dengan distribusi Gaa, Γ α = b, β = 1 α diana paraeternya didefinisikan dengan dan α = β = Distribusi ini eiliki rata-rata α β = p + q p + q p + q p + q +1 p+q dan variansi α β = p+q. Pendekatan di atas akan lebih baik jika enggunakan koefisien autokorelasi yang distandarkan r k sehingga uji portanteau terbaru enjadi D = n 1 R 1 R adalah atriks korelasi yang dibangun berdasarkan r k. Pendekatan D lebih baik dari D, terutaa untuk sapel berukuran kecil (Peña dan Rodríguez, 00). Nilai D akan bernilai lebih besar dari saa dengan nol untuk seua nilai r k. Judith Novelin Anastia, 01 Perbanidingan Tiga Uji Statistik Dala Verifikasi Model Runtun Waktu