SISTEM LINEAR MAX-PLUS KABUR WAKTU INVARIANT AUTONOMOUS A8 M. Andy Rudhto 1 1 Program Stud Penddkan Matematka FKIP Unverstas Sanata Dharma Kampus III USD Pangan Maguwoharjo Yogyakarta 1 e-mal: arudhto@yahoo.co.d Abstrak Telah dbahas sstem lnear -plus waktu nvarant autonomous (SLMIA), d mana waktu aktftasnya berupa blangan real dan nterval. Dalam sstem lnear -plus kabur waktu nvarant autonomous (SLMKIA), ketdakpastan dalam waktu aktftasnya dmodelkan sebaga blangan kabur (fuzzy number), yang dapat dpandang sebaga keluarga nterval tersarang. Artkel n membahas tentang generalsas SLMIIA menjad SLMKIA dan analss nput-output SLMKIA, serta sfat perodknya. Dapat dtunjukkan bahwa SLMKIA berupa suatu sstem persamaan lnear -plus blangan kabur. Analsa nput-output SLMKIA dapat dbahas melalu proses rekursf pada sstem persamaan lnear -plus blangan kabur. Sfat perodk SLMKIA dapat dperoleh dar nla nla egen dan vektor egen blangan kabur matrks keadaan dalam sstemnya. Kata kunc: Sstem Lnear, Max-Plus, Blangan Kabur, Waktu Invarant, Input-Output, Autonomous PENDAHULUAN Dalam masalah pemodelan dan analsa suatu jarngan, kadang-kadang waktu aktftasnya tdak dketahu dengan past. Hal n msalkan karena jarngan mash pada tahap perancangan, data-data mengena waktu aktftas belum dketahu secara past. Ketdakpastan waktu aktftas jarngan n dapat dmodelkan dalam suatu blangan kabur (fuzzy number), yang selanjutnya d sebut waktu aktftas kabur. Aljabar -plus (hmpunan semua blangan real Rdlengkap dengan operas dan plus) telah dapat dgunakan dengan bak untuk memodelkan dan menganalss secara aljabar masalah-masalah jarngan, sepert masalah: penjadwalan (proyek) dan sstem antran, lebh detalnya dapat dlhat pada Bacell, et al. (2001), Rudhto, A. (2003). Dalam Schutter (1996) dan Rudhto, A. (2003) telah dbahas pemodelan dnamka sstem produks sederhana dengan pendekatan aljabar -plus. Secara umum model n berupa sstem lnear -plus waktu nvarant. Makalah dpresentaskan dalam Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka dengan tema Kontrbus Penddkan Matematka dan Matematka dalam Membangun Karakter Guru dan Sswa" pada tanggal 10 November 2012 d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY
Konsep aljabar -plus blangan kabur yang merupakan perluasan konsep aljabar -plus, d mana elemen-elemen yang dbcarakan berupa blangan kabur telah dbahas dalam Rudhto (2008) dan Rudhto (2011a), yang juga melput konsep matrks atas aljabar -plus blangan kabur, nla egen dan vektor egen -plus blangan kabur. Sejalan dengan cara pemodelan dan pembahasan nput-output sstem lnear -plus waktu nvarant (SLMI) sepert dalam Schutter (1996) dan Rudhto, A. (2003), dan dengan memperhatkan hasl-hasl pada aljabar -plus blangan kabur, dalam Rudhto (2011a) telah dbahas pemodelan dan analsa nput-output sstem lnear -plus kabur waktu nvarant (SLMKI), yatu sstem lnear -plus waktu nvarant dengan waktu aktftas kabur. Dalam stuas tertentu ada suatu SLMI yang keadaannya tdak dpengaruh kedatangan nput, yang dsebut dengan SLMI autonomous (SLMIA). Dalam makalah n akan dbahas pemodelan, analss nput-output dan sfat perodk sstem lnear -plus kabur waktu nvarant autonomous (SLMKIA). Dalam makalah n dasumskan pembaca telah mengenal pengertan dan sfat-sfat aljabar -plus blangan kabur, matrks atas aljabar -plus blangan kabur, nla egen dan vektor egen -plus blangan kabur sepert yang dapat dbaca dalam Rudhto (2011a). PEMBAHASAN Berkut dberkan defns sstem lnear -plus kabur waktu nvarant autonomous (SLMKIA). Defns 1 (SLMKIA) Sstem Lnear Max-Plus Kabur Waktu-Invarant Autonomous adalah Sstem Kejadan Dskrt yang dapat dnyatakan dengan persamaan berkut: x~ (k+1) = A ~ ~ x ~ (k) (1) y~ (k) = C ~ ~ x ~ (k) untuk k = 1, 2, 3,..., dengan konds awal ~ x (0) ~ ε, A ~ nn F(R) dan C~ F(R) 1n. Vektor kabur x ~ (k) F(R) n menyatakan keadaan (state) kabur dan y~ (k) I(R) 1 adalah vektor output kabur sstem saat waktu ke-k. Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 66
SLMKIA dalam defns d atas merupakan sstem dengan satu nput dan satu output (SISO). SLMKIA sepert dalam defns d atas secara sngkat akan dtulskan dengan SLMKIA( A ~, C ~, x ~ (0) ε ~ ). Jka konds awal dberkan pada sstem, maka secara rekursf juga dapat dtentukan barsan keadaan sstem dan barsan output sstem yang bersesuaan dengan konds awal tersebut. Secara umum sfat nput-output SLMKIA ( A ~,C ~, x ~ (0) ε ~ ) dberkan dalam teorema berkut. Teorema 1 (Input-Output SLMKIA( A ~, C ~, x ~ (0) ε ~ )) Dberkan suatu blangan bulat postp p. Jka vektor output kabur y ~ = [ y ~ (1), y ~ (2),..., y~ (p)] T dberkan pada SLMKIA( A ~,C ~, x ~ (0) ε ~ ), maka y ~ = K ~ ~ x ~ (0), dengan ~ ~ K ~ ~ ~ = C ~ C ~ A 2 A. ~ ~ p C ~ A Bukt: Pembuktan analog dengan pembuktan pada kasus waktu aktftas yang berupa blangan real, dengan mengngat bahwa operas penjumlahan dan perkalan matrks potongan- yang berupa matrks nterval konssten terhadap urutan yang telah ddefnskan d atas. D sampng tu untuk setap [0, 1], elemen-elemen matrks potongan- juga bersarang (nested). Bukt untuk kasus waktu aktftas yang berupa blangan real dapat dlhat dalam Rudhto (2003: hal 56-58). Selanjutnya akan dberkan teorema yang memberkan cara penentuan keadaan awal tercepat untuk suatu [0, 1], sehngga nterval keadaan selanjutnya akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk dengan perode tertentu. Sebelumnya akan dkonstrukskan suatu vektor blangan kabur dalam defns berkut. Defns 2 Dberkan matrks A ~ nn F(R) rredusbel dan dengan v ~ adalah vektor egen -plus blangan kabur fundamental yang bersesuaan dengan blangan kabur ~ ~v d mana vektor potongan--nya adalah ( A ~ ). Dbentuk vektor v [ v, v ], dengan langkah-langkah sebaga berkut. Untuk setap [0, 1] dan = 1, 2,..., n, dbentuk Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 67
PROSIDING ISBN : 978-979-16353-8-7 1. 2. 3. 4. v = 1 v, v = 2 () v = 3 v = v, v = 1 v, v, dengan 1 = mn ( v 0 ) v = 2 () v 0 0, dengan 3 = mn( v v ). v = 4 (). 0 v, dengan 2 () = mn( v v ) v 0, dengan 4 () = mn( v v ).. Teorema 2 Dberkan SLMKIA( A ~,C ~, x ~ (0) ε ~ )) dengan A ~ rredusbel. Untuk suatu [0, 1], vektor v sepert yang ddefnskan dalam Defns 2, merupakan keadaan awal tercepat, sehngga nterval keadaan berkutnya akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk dengan besar perode berturut-turut ( ( Bukt: A ). A ) dan Persamaan ~ x (k+1) = A ~ ~ ~ x (k) dapat dnyatakan melalu keadaan awal x~ (0), dengan potongan--nya x (0) [ x (0), x (0) ] untuk setap [0, 1]. Perhatkan bahwa untuk setap [0, 1] berlaku x ( k 1) = A x (k) [ A x (k), A (k) x ] = [ ( A ) k x (0), berlaku x ( k 1) = ( A ) k x (0) ] k (A ) x (0). Jad untuk setap [0, 1] k (A ) x (0), yang berart berlaku bahwa ~ x ( k 1) = ~ A ~ k ~ x~ (0). Mengngat keadaan awal dapat dtentukan dengan past, maka keadaan awal merupakan adalah tegas atau berupa blangan kabur ttk, yatu x~ (0), dengan x (0) [ x (0), x (0) ] d mana x (0) = x (0) untuk setap [0, 1]. Karena matrks A ~ rredusbel, maka dapat dbentuk vektor blangan kabur pada Defns 2 d atas. Vektor blangan kabur -plus blangan kabur yang bersesuaan dengan ~ ~v sepert ~v tersebut juga merupakan vektor egen ( A ~ ). Dar konstruks vektor egen -plus blangan kabur d atas dperoleh bahwa komponen semuanya tak negatf dan terdapat {1, 2,..., n } sedemkan hngga v yatu v 0, 0 v = 0 untuk Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 68
setap [0, 1]. Sementara vektor potongan--nya merupakan nterval-nterval terkecl, 0 0 dalam art mn( v v ) = 0 untuk = 1, 2,..., n, d antara semua kemungknan vektor egen -plus blangan kabur hasl modfkas vektor egen -plus blangan kabur fundamental v ~ d atas, yang semua batas bawah komponennya tak negatf dan palng sedkt satu bernla nol. Mengngat vektor blangan kabur ~v merupakan vektor egen -plus blangan kabur yang bersesuaan dengan ~ ( A ~ ), maka berlaku A ~ ~ ~v = ~ ( A ~ ) ~ ~v atau A v = (A ) v atau [ A v, A v ] = [ ( A ) v, ( A ) v ] yang berart pula A v = ( A ) v dan A v = ( A ) v untuk setap [0, 1]. Untuk suatu nla [0, 1], dambl keadaan awal tercepat x~ (0) = v sehngga batas bawah nterval keadaan sstem perodk. Hal n karena terdapat {1, 2,..., n } sedemkan hngga v = 0 untuk setap [0, 1]. Mengngat operas dan pada matrks konssten terhadap urutan, maka berlaku m ( A ) k v m ( A ) k v m ( A ) k v. Akbatnya d (k) [ ( A ) k v, ( A ) k v ] [ ( A ) k v, ( A ) k v ] = [ ( ( A )) k v, ( ( A )) k v ] = [ ( ( A )) k, ( ( A )) k ] [ v, v ] k = [ A ), ( A )] [ v, v ] untuk setap k = 1, 2, 3,.... ( Dengan demkan untuk suatu [0, 1], vektor v merupakan keadaan awal tercepat, sehngga nterval keadaan selanjutnya akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk dengan besar perode berturut-turut ( A ) dan ( A ). SIMPULAN DAN SARAN Dar pembahasan d atas dapat dsmpulkan bahwa bahwa SLMKIA berupa suatu sstem persamaan lnear -plus blangan kabur. Analsa nput-output SLMKIA dapat Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 69
dbahas melalu proses rekursf pada sstem persamaan lnear -plus blangan kabur, d mana barsan output dapat dtulskan dalam suatu persamaan matrks atas aljabar -plus blangan kabur. Sfat perodk SLMKIA dapat dperoleh dar nla nla egen dan vektor egen blangan kabur matrks keadaan dalam sstemnya, d mana untuk suatu [0, 1], dapat dtentukan keadaan awal tercepat sehngga nterval keadaan selanjutnya akan berada dalam nterval terkecl yang batas bawah dan batas atasnya perodk. Dalam pembahasan pada makalah n mash sebatas teorts, sehngga teor n perlu dterapkan dalam masalah nyata sehar-sehar, sepert dalam masalah sstem produks, masalah antran dan sebaganya. DAFTAR PUSTAKA Baccell, F., Cohen, G., Olsder, G.J. and Quadrat, J.P. 2001. Synchronzaton and Lnearty. New York: John Wley & Sons. Rudhto, Andy. 2003. Sstem Lnear Max-Plus Waktu-Invarant. Tess: Program Pascasarjana Unverstas Gadjah Mada. Yogyakarta. Rudhto, Andy. Wahyun, Sr. Suparwanto, Ar dan Suslo, F. 2008. Aljabar Max-Plus Blangan Kabur. Berkala Ilmah MIPA Majalah Ilmah Matematka & Ilmu Pengetahuan Alam. Vol. 18 (2): pp. 153-164 Rudhto, Andy. 2011. Aljabar Max-Plus Blangan Kabur dan Penerapannya pada Masalah Penjadwalan dan Jarngan Antran Kabur, Dsertas: Program S3 Matematka FMIPA Unverstas Gadjah Mada, Yogyakarta. Rudhto, Andy. 2012a. Sstem Lnear Max-Plus Interval Waktu Invarant. Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka d Jurusan Penddkan Matematka FMIPA UNY, Yogyakarta, 3 Desember 2011. pp. MA-104-113. Rudhto, Andy. 2012b. Fuzzy Max-Plus Lnear Systems Tme-Invarant. Semnar Nasonal Aljabar 2012 d FMIPA Unverstas Dponegoro, Semarang, 14 Aprl 2012. Schutter, B. De., 1996. Max-Algebrac System Theory for Dscrete Event Systems, PhD thess Departement of Electrcal Engnerng Katholeke Unverstet Leuven, Leuven Semnar Nasonal Matematka dan Penddkan Matematka FMIPA UNY Yogyakarta, 10 November 2012 MA - 70