Sistem Bilaga Kompleks (Bagia Ketiga) Supama Jurusa Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA Email:maspomo@yahoo.com, supama@ugm.ac.id (Pertemua Miggu III)
Outlie 1 Akar Bilaga Kompleks 2
Akar Bilaga Kompleks Diberika bilaga kompleks z da N. Bilaga kompleks w dikataka merupaka akar pagkat dari z jika w = z. Selajutya, akar pagkat dari z ditulis dega otasi z 1. Misalka z = r(cos θ + i si θ) da w = R(cos φ + i si φ). Karea w = z, maka berdasarka rumus de Moivre sehigga R (cos(φ) + i si(φ)) = r(cos θ + i si θ) R cos(φ) = r cos θ da R si(φ) = r si θ (1) Karea R 0 maka dega meyelesaika (11) diperoleh R = r 1 da φ = θ + 2kπ, k Z (2)
Akar Bilaga Kompleks Jadi, jika diberika bilaga kompleks tak ol z = r(cos θ + i si θ) da N, maka akar pagkat dari z adalah bilaga-bilaga kompleks z k = r 1 (cos( θ + 2kπ ) + i si( θ + 2kπ )), k Z (3) Tetapi karea cosius da sius merupaka fugsi yag periodik dega periode 2π maka persamaa (13) mejadi z k = r 1 (cos( θ + 2kπ ) + i si( θ + 2kπ )), k = 0, 1, 2,..., 1
Akar Bilaga Kompleks Dari rumus di atas, dapat diketahui bahwa di dalam C, akar pagkat merupaka fugsi berilai sebayak (tidak tuggal). Hal ii berbeda dega pegertia fugsi berilai real yag selalu berilai tuggal. Namu demikia, apabila yag diperhatika salah satu cabagya saja, yaitu utuk satu ilai tertetu, maka akar pagkat merupaka fugsi berilai tuggal. Apabila pada rumus akar pagkat, diambil π < arg z k π, maka z k terkait diamaka cabag utama dari z 1.
Cotoh-cotoh Example Tetuka ( 8 8i) 1 3. Example Tetuka (8 8i 3) 1 4. Example Tetuka ( 16) 1 6. Example Tetuka semua ilai z sehigga z 4 + 2z 2 + 2 = 0.
Persekitara da titik Utuk sebarag z 0 C da bilaga real r > 0, himpua N(z 0, r) = {z C : z z 0 < r} disebut persekitara (eighborhood) z 0 dega jari-jari (radius) r. Titik z 0 A C disebut titik dalam (iterior poit) A jika terdapat r > 0 sehigga N(z 0, r) A. Titik z 0 A C disebut titik luar (exterior poit) A jika z 0 titik dalam A c. Titik z 0 disebut titik batas (boudary poit) A C jika z 0 buka titik dalam da buka titik luar A. Dega kata lai, z 0 disebut titik batas A C jika utuk setiap r > 0 berlaku N(z 0, r) A da N(z 0, r) A c.
Himpua terbuka/tertutup Himpua A C dikataka terbuka (ope) jika setiap titikya merupaka titik dalam. Theorem Setiap persekitara merupaka himpua terbuka. Diberika himpua A C. Titik z 0 C disebut titik limit (limit poit) A jika utuk setiap bilaga real r > 0, N(z 0, r) A {z 0 }. Himpua A C dikataka tertutup (closed) jika A memuat semua titik limitya. Theorem Himpua A tertutup jika da haya jika A C terbuka
Himpua terhubug, himpua terbatas, domai, da regio Himpua A C dikataka terhubug (coected) jika utuk setiap dua titik berbeda z 1, z 2 A dapat dihubugka dega sebayak berhigga segme (peggal) garis yag kesemuaya berada di dalam A. Himpua terbuka yag terhubug disebut domai. Mudah dipahami bahwa setiap persekitara merupaka domai. Suatu domai ditambah (atau tidak ditambah) beberapa atau semua titik batasya disebut daerah (regio). Himpua A C dikataka terbatas (bouded) jika terdapat bilaga real M > 0 sehigga z M utuk setiap z A. Jadi, A terbatas jika ada ligkara z = R sehigga setiap z A berada di dalam ligkara tersebut.