BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT

Transkripsi

1 BAB VI DERET TAYLOR DAN DERET LAURENT. Deret Taylor Misal fugsi f() aalitik pada - < R ( ligkara dega pusat di da jari-jari R ). Maka utuk setiap titik pada ligkara itu, f() dapat diyataka sebagai : f a( )....( < R ) f ( dega a )...(,,,...)! Atau dituliska, f ' ( ) f " ( ) f f ( ) + ( ) + ( ) +...( < R ).!! Deret diatas disebut Deret Taylor di titik da daerah - < R disebut daerah kekovergea atau keaalitika deret. Bila f() fugsi etire maka daerah keaalitika deret yaitu : - <. Bila, maka deret disebut Deret Mac lauri, berbetuk : f f...( < R )! Dalam memperderetka atau megekspasika suatu fugsi, aka lebih mudah dilakuka asalka kita sudah mempuyai perdereta dari fugsi tertetu. Caraya dega melihat pola dasar betuk perdereta suatu fugsi tertetu tersebut da daerah keaalitikaya. Adapu fugsi tertetu tersebut yag serigkali diguaka adalah: fugsi ekspoe ( f e ) da fugsi rasioal f. Utuk lebih jelasya, diberika beberapa cotoh berikut. Cotoh Nyataka f() e dalam deret Mac Lauri. Jawab :

2 Fugsi f() e merupaka fugsi etire sehigga daerah keaalitika : < da f e f...! Oleh karea itu, e ( < ) Cotoh Perderetka dalam deret Mac Lauri, fugsi berikut : a. f e 3. b. f() sih Jawab : Utuk meyelesaika perdereta kedua fugsi di atas dapat diguaka betuk deret cotoh sebab daerah keaalitikaya sama. a. Fugsi f e 3 merupaka fugsi etire, sehigga daerah keaalitika: < Dega meguaka betuk e...( < ). Maka di dapatka deret :! e ( < ). Oleh karea itu, didapatka:!! f() e ( < )! ( )!... b. Fugsi f sih ( e e ) merupaka fugsi etire sehigga daerah keaalitika: <. Maka betuk deret : ( ) sih e e!! + ( + )! ( < ) Cotoh 3

3 Perderetka fugsi f dalam deret Mac Lauri. Jawab : Fugsi f gagal aalitik di, sehigga daerah keaalitika: <. f! f! da ( ) +... <. Cotoh 4 Perderetka dalam deret Mac Lauri, fugsi berikut : a. f ( ) + b. f Jawab : Diguaka deret ( cotoh 3 ) a. Fugsi f tidak aalitik di - sehigga daerah keaalitika + <. f ( )... <. + b. Fugsi f tidak aalitik di da -, daerah keaalitika: <. f +...( < ) Cotoh 5 Tetuka deret Taylor dari f di. Jawab :

4 Fugsi f tidak aalitik di, daerah keaalitika - <. f ( )...( < ) + ( ) Soal Latiha ( Nomor sd 8 ) Guaka betuk deret yag sudah ada utuk meetuka perdereta fugsi berikut ke dalam deret Mc Lauri da tetuka daerah keaalitikaya.. f() si. f() cos 3. f() cosh 4. f() l ( - ) 5. f cosh ( ) 6. f f f ( Nomor 9 sd 3 ) Guaka betuk deret yag sudah ada utuk meetuka perdereta fugsi berikut ke dalam deret Taylor di pusat yag diketahui da tetuka daerah keaalitikaya 9. f() cosh ; -πi.. f ; i.. f + ; -i.

5 . f + ; i. 3. f() si ; ½π ( Nomor 4 sd 7 ) Tetuka deret Mac Lauri da daerah keaalitika dari : 4. f 5. f f f ( + i) 3 4 ( Nomor 8 sd 6 ) Tetuka deret taylor dega pusat diketahui dari fugsi : 8. f e ; 9. f e ; i. f cos ; π. f ;. f ; i 3. f() sih ( - i ) ; i 4. f 4 + ; 5. f cos ; 6. f ( ) ;.

6 3. Deret Lauret Bila fugsi f() tidak aalitik di maka f() tidak dapat diperderetka dalam deret Taylor di. Agar f() dapat diperderetka di maka dilakuka dega cara membuag titik sigular dari daerah - < R sehigga didapatka daerah R < - < R ( cici / aulus ) yag merupaka daerah keaalitika fugsi f(). Hal ii telah dilakuka oleh Lauret sebagaimaa dijelaska berikut. Misal f() tidak aalitik di tetapi aalitik pada aulus, R < - < R. Maka fugsi f() dapat diperderetka di mejadi betuk deret ( deret Lauret ) sebagai berikut : f ( ) b a( ) + ( R R ) ( )... < < f f dega a d πi +,,,, da b d C( ) i +, π C( ),,3, Litasa C merupaka litasa tutup sederhaa yag terletak di dalam aulus yag meligkupi. Notasi lai yag biasa diguaka utuk meyataka betuk deret Lauret yaitu : f f C ( )...( R < < R ), C d i +, π C ( ), ±, ±, Dalam memperderetka fugsi ke dalam deret Lauret kita tidak megguaka rumusa di atas, karea kita igi meghidari perhituga itegral litasa. Utuk itu dilakuka dega megguaka batua deret Taylor maupu deret Mc Lauri yag sudah kita pelajari. Agar lebih jelas diberika cotoh berikut. Cotoh 6 Perderetka fugsi f e / dega pusat di da tetuka daerah keaalitikaya.

7 Jawab : Fugsi f e / tidak aalitik di. Sehigga fugsi f() diperderetka ke dalam deret Lauret dega daerah keaalitika : < < atau < <. Maka ( / ) / f e... < <!! ( ) Cotoh 7 Perderetka keaalitikaya. a. b. c. f 3 + di titik yag diketahui da tetuka daerah Jawab : Fugsi f tidak aalitik di da. Sehigga 3 + deret dega pusat di kedua titik tersebut merupaka deret Lauret, sedagka di merupaka deret Mc Lauri. a. Bila f() diperderetka dega pusat maka daerah keaalitika yag mugki yaitu : (i) < - < (ii) < - (i) Daerah < - < ( < - da - < ) Disii kita tiggal memperderetka suku kedua dari f. Pada daerah - < : ( ) ( )

8 Jadi : f + ( )...( < < ) (ii) Daerah < - Jadi : + ( ) ( ) + f... + ( ) ( ) ( < ) < b. Bila f() diperderetka dega pusat maka daerah keaalitika yag mugki yaitu : (iii) < - < (iv) < - (iii) Daerah < - < ( < - da - < ) Disii kita tiggal memperderetka suku pertama dari f. Pada daerah - < : ( ) ( ) + ( ) Jadi : f ( )...( < < ) (iv) Daerah < - < + ( ) + ( ) ( ) +

9 Jadi : f ( )... < + c. Bila f() diperderetka dega pusat maka daerah keaalitika yag mugki yaitu : (v) < (vi) < < (vii) < (v) Daerah < Bila < maka < atau < ( )... < da...( < ) + f ( ) +... < + Jadi : (vi) Daerah < < ( < da < ) Pada daerah < Pada daerah < < : + < : + + Jadi : f ( ) +... ( < < ) +

10 (vii) Daerah < Bila < < maka < <. ( )... < ; +...( < ) + f ( )... < + + Jadi : Soal latiha ( Nomor sd 4 ) Perderetka fugsi berikut pada daerah yag diketahui :. f ( ) ; < <. f ( ) ; < + 3. f ; < 4. f ( )( 3 ) ; < - < ( Nomor 5 sd ) Ekspasika dalam deret Lauret dega daerah keaalitika berbetuk R < < R dari fugsi berikut da tetuka daerah keaalitikaya: e 5. f

11 Si 4 6. f 4 7. f f f() cos / e. f 5. f 6 + ( Nomor sd 7 ) Perderetka dalam deret lauret pada daerah R < - < R dari :. f 3. f 4. e ; ; i + 4 f ; i + i 5. f sih ; si 6. f ; π 3 4 ( π 4) 7. f ; 4 ( Nomor 8 sd ) Perderetka f pada daerah :

12 8. < 9. >. c. < - < ( Nomor sd 5 ) Perderetka fugsi berikut dega pusat diketahui :. f ; 3. f ; 3. f ; i sih 4. f ; 5. 3 i f ; i ( i) Daftar Pustaka. E. B. Shaff, A. D. Sider, Fudametal of Complex Aalysis for Mathematics, Sciece, ad Egieerig, Pretice Hall, Ic, New Jersey, 976..