LAMPIRAN 1 PEMBENTUKAN FUNGSI PERIODIZER

Transkripsi

1 LAMPIRAN

2 LAMPIRAN PEMBENUKAN FUNGSI PERIODIZER Fugsi p c x x, merupaka fugsi garis lurus simetris dega variabel bebas x, mejadi fugsi dasar pembetuka gelombag sawtooth. Fugsi p c x ii yag aka disubstitusi pada deret Fourier, utuk medapatka kurva periodik tak terbatas. Gambar berikut adalah kurva gelombag sawtooth yag diperoleh dari peritah SawtoothWave pada software Mathematica Fugsi periodik dari p c yag bergatug pada x, berperiode, yag dituliska p c x + p c x dega adalah bilaga bulat positif, megiterpretasika bahwa kurva garis lurus p c aka berulag tak terhigga dega selag awal fugsi periodik [, ]. Koefisie Fourier utuk fugsi periodik gelombag sawtooth p c : c x 2 p c x dx 2 x dx 2 2 x2 2 2 ; c j x 2 p c x cos 2jπx dx 2 x 2jπx si 2jπ x cos 2jπx 2 si 2jπ 2jπ 2jπ 2 si 2jπ + 2jπ 2 si 2jπ + 2 2jπ 2jπ dx 2jπx si 2jπ 2jπx si 2 cos 2jπx dx dx j 2 cos 2jπ cos π j 2 π diketahui j,, 2,,..., maka: cos 2jπ cos cos 2π, si 2jπ si si 2π.

3 s j x 2 p c x si 2jπx dx 2 2 x 2jπx cos + 2jπ x si 2jπx 2 2 cos 2jπ + + 2jπ 2jπ 2 2 cos 2jπ + 2jπ 2 2 cos 2jπ + 2 2jπ 2jπ dx 2jπx cos 2jπ 2jπx cos 2 si 2jπx j 2 si 2jπ si π jπ + 2 j 2 π 2 ( ) 2 2 2jπ + jπ dx dx Selajutya, deret Fourier utuk fugsi periodik gelombag sawtooth p c didefiisika sebagai berikut: p c x c 2 + c j cos 2jπx 2 π j j 2jπx si j + s j si 2jπx, j,2, jπx si jπ Fugsi p c ii yag dikeal sebagai fugsi periodizer, yaitu fugsi gelombag sawtooth dega variabel periode. j

4 Lampira 2 Program Mathematica. Aplikasi pada Kurva Komposit Cotoh Aplikasi2:Module[{H,H2,f,f,f2,f,f}, "Kurva Komposit"; f[x_]:-x/2-; f2[x_]:x/2+; f[x_]:-x/2+; f[x_]:x/2-; "Fugsi agga Satua Heaviside"; H[i_]:If[x i,,]; H2[i_]:If[x<i,,]; "Persamaa uggal Kurva Komposit"; f[x_]:f[x](h2[-]-h[-2])+f2[x](h[-2]-h2[])+f[x](h2[]-h2[2])+f[x](h2[2]- H2[]); Plot[f[x],{x,-,},PlotStyle Directive[Black,hick],AxesLabel {x,y}] ] Aplikasi2 y x Cotoh 2 Aplikasi:Module[{H,H2,g,g,g2,g,g}, "Kurva Komposit"; g[ _]:Sqrt[Cos[ ]]Cos[ ]; g2[ _]:-Sqrt[-Cos[ ]]Cos[ ]; g[ _]:(2 Cos[ ]+2 Cos 2 Si 2 )/Si[ ] 2 ; g[ _]:(-2 Cos[ ]+2 Cos 2 Si 2 )/Si[ ] 2 ; "Fugsi agga Satua Heaviside"; H[i_]:If[ i,,];

5 H2[i_]:If[ <i,,]; "Persamaa uggal Kurva Komposit"; g[ _]:g[ ](H2[]-H2[ /2])+g2[ ](H2[ /2]-H[ ])+g[ ](H[ ]- H2[ /2])+g[ ](H2[ /2]-H2[2 ]); PolarPlot[g[ ],{,,2 },PlotStyle Directive[Black,hick]] ] Aplikasi Aplikasi pada Kurva Poligo ak eratur Persamaa Umum IRegPol[x_,y_]: Module[{s,xIP,yIP,xIPol,yIPol,H,,u}, "Persamaa Pajag Sisi Poligo"; i Sqrt x j x j 2 y j y j 2 j 2 s[i_]: ; s[]; "Persamaa Parametrik Setiap Segme Garis"; xip[i_]:(x[[i+]]-x[[i]])/(s[i+]-s[i]) u+(x[[i]]s[i+]-x[[i+]]s[i])/(s[i+]-s[i]); yip[i_]:(y[[i+]]-y[[i]])/(s[i+]-s[i]) u+(y[[i]]s[i+]-y[[i+]]s[i])/(s[i+]-s[i]); "Fugsi agga Satua Heaviside"; H[i_]:If[u s[i],,]; "Persamaa Parametrik Poligo"; xipol[i_]:xip[]+ yipol[i_]:yip[]+ Legth[x]; i H k xip k xip k k 2 i H k yip k yip k k 2 +H[i](-xIP[i-]); +H[i](-yIP[i-]); ParametricPlot[{xIPol[],yIPol[]},{u,s[],s[]},PlotStyle Directive[Black,hick]] ]

6 Cotoh IRegPol[{,,,,,},{,2,,,,}] Kurva Poligo eratur Persamaa Umum RegPol[R_,_, _,x_,y_]: Module[{xRP,yRP,xx,yy,,Per}, "Fugsi Periodizer kutub"; Per[ _,N_, o_]: /N-2/N i ; "Persamaa Parametrik Poligo"; xrp[r_,m_, _,x_]:x+(r a[ /2- /m])/(si[per[,, ]]+a[ /2- /m] Cos[Per[,, ]]) Cos[ ]; yrp[r_,m_, _,y_]:y+(r a[ /2- /m])/(si[per[,, ]]+a[ /2- /m] Cos[Per[,, ]]) Si[ ]; ParametricPlot[{xRP[R,,,x],yRP[R,,,y]},{,,2 },PlotStyle Directive[Black, hick]] ] Cotoh RegPol[,,,,] RegPol[,,,,] RegPol[,,,,]. Si N i o i

7 Cotoh RegPol[2,,,,2] RegPol[2,,,-2,2] RegPol[2,,,,]

8 Cotoh RegPol[,,,,] RegPol[,, /,,] RegPol[,, /2,,]

9 2

10 LAMPIRAN PERHIUNGAN SOLUSI CONOH Lagkah peyelesaia kasus:. Verteks petago dapat dituliska sebagai berikut: Verteks ke- Koordiat x Koordiat y persamaa utuk mecari kumulatif pajag sisi poligo adalah: i s i x j x j 2 + y j y j 2 j s, ketika di verteks P pajag sisi poligo masih ol, karea koordiat verteks-verteks petago telah diketahui, pajag sisi petago dapat ditetuka sebagai berikut: s x j x 2 j + y j y 2 j x x 2 + y y 2 j s 2 x j x j 2 + y j y j 2 j x x 2 + y y 2 + x 2 x 2 + y 2 y s x j x 2 j + y j y 2 j j 2 x x 2 + y y 2 + x 2 x 2 + y 2 y 2 + x x y y s x j x 2 j + y j y 2 j j 2 x x 2 + y y 2 + x 2 x 2 + y 2 y 2 + x x y y x x 2 + y y

11 s x j x 2 j + y j y 2 j j 2 x x 2 + y y 2 + x 2 x 2 + y 2 y 2 + x x y y x x 2 + y y 2 + x x 2 + y y P P P 2 s P P s s 2 s s s. Persamaa parametrik utuk setiap segme garis P i P i+, i,,; pada petago dapat dituliska sebagai berikut: x i,i+ (s) x i+ x i s i+ s i s + x is i+ x i+ s i s i+ s i da y i,i+ (s) y i+ y i s i+ s i s + y is i+ y i+ s i s i+ s i karea koordiat verteks-verteks da pajag sisi petago telah diketahui, persamaa parametrik setiap segme garis dapat dituliska sebagai berikut: x u x x x s x s.2 s s s s x 2 u x 2 x s 2 s x s 2 x 2 s s 2 s x 2 u x x 2 s s 2 x 2s x s 2 s s (.2) (.222)

12 x u x x s s x s x s s s. (2.). 2. x u x x x s x s 2.22 (.) s s s s u 2.2 y u y y y s y s s s s s u 2. y 2 u y 2 y s 2 s y s 2 y 2 s s 2 s (.2) y 2 u y y 2 y 2s y s 2 2. (.222) s s 2 s s y u y y s s y s y s s s y u y y s s y s y s s s atau dapat dituliska dalam fugsi sesepeggal sebagai berikut:. (2.) (.) x u y u., < u.2..,.2 < u ,.222 < u 2..., 2. < u.. u 2.2,. < u , < u.2. u 2.,.2 < u.222..,.222 < u 2...2, 2. < u < u Fugsi tagga satua Heaviside yag diguaka adalah H, dega: H u, s i u s i u > s i i,, 2,, ; u variabel bebas yag terdefiisi pada [s,s ];. Setelah diketahui fugsi sesepeggal yag medefiisika persamaa parametrik utuk segme garis petago, persamaa parametrik tuggal petago tak teratur dibetuk dega megguaka fugsi tagga satua Heaviside. Persamaa parametrik petago:

13 x u i x i,i+ u H u, s i H u, s i+ x H u, H u,.2 + x 2 H u,.2 H u, x 2 H u,.222 H u, 2. + x H u, 2. H u,. + x H u,. H u, 2.22 y u i y i,i+ u H u, s i H u, s i+ y H u, H u,.2 + y 2 H u,.2 H u, y 2 H u,.222 H u, 2. + y H u, 2. H u,. + y H u,. H u, 2.22

14 LAMPIRAN KURVA POLIGON ERAUR Persamaa parametrik poligo tak teratur utuk: Gambar (a) x θ,,, + si π 2 y θ,,, + si π 2 Gambar (b) x θ,,, + si π 2 y θ,,, + si π 2 Gambar (c) x θ,,, + si π 2 y θ,,, + si π 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 si θ si θ si θ si θ si θ si θ Gambar 2 (a) x θ, 2,, + si π 2 y θ, 2,, 2 + si π 2 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 si θ si θ Gambar 2 (b) x θ, 2,, 2 + si π 2 y θ, 2,, 2 + si π 2 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 si θ si θ

15 Gambar 2 (c) x θ, 2,, + si π 2 y θ, 2,, + si π 2 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 si θ si θ Gambar 2 (a) x θ,,, + si π 2 y θ,,, + si π 2 ta π cos θ si θ + ta π cos π 2 ta π si θ si θ + ta π cos π 2 si θ si θ Gambar 2 (b) x θ,,, π ta + π cos θ si π 2 si θ π + ta π cos π 2 y θ,,, π ta + π si θ si π 2 si θ π + ta π cos π 2 si θ π si θ π Gambar 2 (c) x θ,,, π ta 2 + π cos θ si π 2 si θ π 2 + ta π cos π 2 y θ,,, π 2 ta + π si θ si π 2 si θ π 2 + ta π cos π 2 si θ π 2 si θ π 2