Fungsi Analitik (Bagian Ketiga)

Transkripsi

1 Fungsi Analitik (Bagian Ketiga) Supama Jurusan Matematika, FMIPA UGM Yogyakarta 55281, INDONESIA (Pertemuan Minggu VI)

2 Outline 1 Persamaan Cauchy-Riemann 2 Persamaan Cauchy-Riemann di Dalam Sistem Koordinat Kutub

3 Persamaan Cauchy-Riemann Pada pertemuan yang lalu telah disebutkan bahwa apabila f (z) ada, maka f kontinu di titik z. Hal itu berarti bahwa syarat perlu agar f (z) ada, adalah kekontinuan f. Pada bagian ini akan ditunjukkan bahwa disamping kekontinuan, ada syarat perlu lain agar f (z) ada. Hal itu dinyatakan di dalam teorema berikut ini.

4 Persamaan Cauchy-Riemann Theorem Diberikan f (z) = u(x, y) + iv(x, y) dan z 0 = x 0 + iy 0 D f. Jika f (z 0 ) ada, maka u dan v mempunyai turunan partial tingkat pertama di titik (x 0, y 0 ) dan di titik tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann, yaitu u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) dan u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) Selanjutnya, f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 )

5 Persamaan Cauchy-Riemann Teorema di atas menjelaskan bahwa persamaan Cauchy-Riemann merupakan syarat perlu agar suatu fungsi f mempunyai turunan di suatu titik, misalkan z 0. Oleh karena itu, persamaan Cauchy-Riemann sering dipakai untuk menentukan kapan suatu fungsi tak mempunyai turunan.

6 Contoh Example Pada Contoh terdahulu telah ditunjukkan bahwa f (z) = z 2 tidak mempunyai turunan di setiap z 0. Dengan menggunakan persamaan Cauchy-Riemann, hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut: Karena f (z) = z 2 = x 2 + y 2 maka u(x, y) = x 2 + y 2 dan v(x, y) = 0, sehingga u x = 2x, u y = 2y, v x = 0, dan v y = 0 Jelas bahwa di titik (x, y) (0, 0), persamaan Cauchy-Riemann tak dipenuhi. Jadi, menurut Teorema di atas f tak mempunyai turunan di setiap z 0.

7 Persamaan Cauchy-Riemann Bagaimana kebalikan Teorema di atas? Apabila di titik (x 0, y 0 ) persamaan Cauchy-Riemann dipenuhi, apakah f (z 0 ) ada? Untuk dapat menjawabnya, perhatikan contoh berikut ini.

8 Contoh Example Diberikan fungsi f dengan x 2 (1+i)+2y 2 (i 1) x+2y, z 0 f (z) = 0, z = 0 Akan ditunjukkan f (0) tidak ada.

9 Perhatikan bahwa f (z) f (0) z = x 2 (1 + i) + 2y 2 (i 1) (x + 2y)(x + iy) Untuk z 0 di sepanjang garis y = 0, f (z) f (0) x 2 (1 + i) lim = lim z 0 z x 0 x 2 = 1 + i sedangkan di sepanjang garis y = x, f (z) f (0) x 2 (3i 1) lim = lim z 0 z y 0 3x 2 (1 + i) = 3i i Karena nilai limit tidak tunggal, maka f (0) tidak ada.

10 Namun demikian, karena x 2 2y 2 x+2y, (x, y) (0, 0) u(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0) dan x 2 +2y 2 x+2y, (x, y) (0, 0) v(x, y) = 0, (x, y) = (0, 0)

11 maka u x (0, 0) = u(x, 0) u(0, 0) lim = 1, x 0 x u y (0, 0) = u(0, y) u(0, 0) lim = 1, y 0 y v x (0, 0) = v(x, 0) v(0, 0) lim = 1, dan x 0 x v y (0, 0) = v(0, y) v(0, 0) lim = 1 y 0 y Jadi, persamaan Cauchy-Riemann dipenuhi di (0, 0).

12 Persamaan Cauchy-Riemann Dari Contoh di atas dapat diambil suatu kesimpulan bahwa persamaan Cauchy-Riemann hanyalah merupakan syarat perlu agar suatu fungsi mempunyai turunan, belum merupakan syarat cukup. Artinya, meskipun suatu fungsi memenuhi persamaan Cauchy-Riemann di titik (x 0, y 0 ), maka belum tentu fungsi tersebut mempunyai turunan di titik z 0. Namun demikian, dengan menambahkan syarat-syarat kontinu maka dapat disusun suatu syarat cukup agar suatu fungsi mempunyai turunan di suatu titik. Hal itu dinyatakan di dalam teorema berikut ini.

13 Persamaan Cauchy-Riemann Theorem Diketahui fungsi f (z) = u(x, y) + iv(x, y) terdefinisikan pada suatu persekitaran titik z 0 = x 0 + iy 0. Jika u x, u y, v x, dan v y ada di seluruh persekitaran tersebut dan masing-masing kontinu di titik (x 0, y 0 ), serta di titik tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann, yaitu u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) dan u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), maka f (z 0 ) ada. Lebih lanjut, f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 )

14 Contoh Example Tunjukkan bahwa f (z) = z mempunyai turunan di setiap z, dan tentukan f (z). Penyelesaian: Nyatakan maka diperoleh f (z) = z = (x 2 y 2 + 1) + i2xy u(x, y) = x 2 y dan v(x, y) = 2xy sehingga u x (x, y) = 2x, v x (x, y) = 2y, u y (x, y) = 2y, v y (x, y) = 2x.

15 Mudah dipahami bahwa masing-masing turunan partial u dan v kontinu di setiap (x, y) dan di titik tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann u x (x, y) = v y (x, y) dan u y (x, y) = v x (x, y) Jadi, menurut Teorema terdahulu f (z) ada dan f (z) = u x (x, y) + iv x (x, y) = 2x + i2y = 2z.

16 Contoh Example Tentukan titik-titik dimana f (z) = x 3 4i(y 1) 3 mempunyai turunan. Selanjutnya, tentukan f ( 2 + 2i) dan f (2 + 3i). Penyelesaian: Turunan partial u dan v berturut-turut adalah u x (x, y) = 3x 2, v x (x, y) = 0, u y (x, y) = 0, v y (x, y) = 12(y 1) 2,

17 dan karena masing-masing berupa polinomial maka u x, u y, v x, dan v y semua kontinu di setiap (x, y). Selanjutnya, karena persamaan Cauchy-Riemann hanya dipenuhi apabila 3x 2 = 12(y 1) 2 x = 2(y 1) atau x = 2(y 1) maka f (z) ada pada A = {z = x + iy : x = 2(y 1) atau x = 2(y 1)}, dan menurut Teorema terdahulu f (z) = 3x 2 = 12(y 1) 2 Akhirnya, karena 2 + 2i A, maka f ( 2 + 2i) = 12, dan karena 2 + 3i / A, maka f (2 + 3i) tidak ada.

18 Pada pertemuan terdahulu telah dijelaskan, apabila z 0 maka z dapat dinyatakan ke dalam bentuk kutub z = r(cos θ + i sin θ) dengan r = z dan θ = arg z. Selain itu, diterangkan pula hubungan antara (x, y) dengan (r, θ), yaitu x = r cos θ dan y = r sin θ (1) Jadi, apabila diberikan fungsi f (z) = u(x, y) + iv(x, y), maka berdasarkan (1), u dan v masing-masing dapat dipandang sebagai fungsi (r, θ).

19 Selanjutnya, menggunakan aturan rantai, diperoleh u r v r = u x x r, = v x x r, Dari persamaan (2) dan (3), diperoleh u θ = u x, dan x θ (2) v θ = v x x θ (3) u r = u x cos θ + u y sin θ, u θ = u x r sin θ + u y r cos θ,(4) v r = v x cos θ + v y sin θ, v θ = v x r sin θ + v y r cos θ (5)

20 Apabila di titik (x 0, y 0 ) = (r 0, θ 0 ) berlaku persamaan Cauchy-Riemann, yaitu u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) dan u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), (6) maka di titik tersebut persamaan (5) akan menjadi v r = u y cos θ + u x sin θ, v θ = u y r sin θ + u x r cos θ (7) Selanjutnya, dari (4) dan (7), diperoleh u r (r 0, θ 0 ) = 1 r v θ(r 0, θ 0 ) dan 1 r u θ(r 0, θ 0 ) = v r (r 0, θ 0 ) (8)

21 Persamaan (8) adalah persamaan Cauchy-Riemann di dalam sistem koordinat kutub. Persamaan pertama di dalam (4) dan (5) bersama-sama dengan (6) menghasilkan u x = u r cos θ + v t sin θ dan v x = u r sin θ + v r cos θ (9) Jadi, apabila f mempunyai turunan di z 0 = r 0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ), maka menurut Teorema terdahulu dan persamaan (9) f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + iv x (x 0, y 0 ) = {u r (r 0, θ 0 ) cos θ 0 + v r (r 0, θ 0 ) sin θ 0 } +i{ u r (r 0, θ 0 ) sin θ 0 + v r (r 0, θ 0 ) cos θ 0 } = {u r (r 0, θ 0 ) + iv r (r 0, θ 0 )}{cos θ 0 i sin θ 0 }

22 Dengan demikian, apabila Teorema 4 dinyatakan kembali dengan menggunakan koordinat kutub, maka diperoleh Theorem Diketahui fungsi f (z) = u(r, θ) + iv(r, θ) terdefinisikan di suatu persekitaran titik (tak nol) z 0 = r 0 (cos θ 0 + i sin θ 0 ). Jika u dan v mempunyai turunan partial tingkat pertama pada persekitaran tersebut dan masing-masing kontinu di titik (r 0, θ 0 ) serta di titik tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann, maka f (z 0 ) ada. Lebih lanjut, f (z 0 ) = {u r (r 0, θ 0 ) + iv r (r 0, θ 0 )}{cos θ 0 i sin θ 0 }

23 Contoh Example Tunjukkan bahwa d( 1 z ) dz = 1 z 2. Bukti: Karena z 0, maka dapat dimisalkan z = r(cos θ + i sin θ), sehingga Jadi, dalam hal ini f (z) = 1 z = 1 (cos θ i sin θ) r u(r, θ) = 1 r cos θ dan v(r, θ) = 1 r sin θ

24 Berturut-turut diperoleh u r = 1 r 2 cos θ, u θ = 1 sin θ, r v r = 1 sin θ, r 2 v θ = 1 r cos θ Mudah dilihat bahwa di sebarang titik z = (r, θ) 0, u r, u θ, v r, dan v θ kontinu dan di titik tersebut berlaku persamaan Cauchy-Riemann. Jadi, f (z) ada dan f (z) = (u r + iv r )(cos θ i sin θ) = ( 1 r 2 cos θ + i 1 sin θ)(cos θ i sin θ) r 2 = 1 r 2 {(cos2 θ sin 2 θ) i(sin θ cos θ + cos θ sin θ)} = 1 r 2 (cos 2θ i sin 2θ) = 1 (r(cos θ + i sin θ)) 2 = 1 z 2.