JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN :

Transkripsi

1 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : SYARAT CUKUP AGAR SUATU FUNGSI TERINTEGRAL HENSTOCK MUTLAK DI DALAM RUANG METRIK KOMPAK LOKAL Mauharawati Jurusa Matematika FMIPA UNESA Surabaya Soepara Darmawijaya Jurusa Matematika FMIPA UGM Yogyakarta Abstrak Lee (1989) da Widodo (1992) telah memperlihatka bahwa itegral Hestock di dalam ruag metrik biasa R buka merupaka itegral mutlak. Berdasarka keyataa tersebut, makalah ii membahas syarat cukup agar suatu fugsi teritegral Hestock mutlak di dalam ruag metrik kompak lokal, khususya ruag metrik odiskrit. 1. PARTISI PERRON δ-fine Pada makalah ii, (X,d) meyataka ruag metrik kompak lokal odiskrit dega X sebagai himpua dasarya da d sebagai metrikya. Sebelum membahas adaya partisi Perro δ-fie, terlebih dahulu didefiisika pegertia himpua kove da sistem iterval di dalam ruag metrik yag dimaksud. Himpua A X dikataka kove (cove) jika utuk setiap a,b A berlaku { X : d(a,b) = d(a,) + d(b,) } A Koleksi S 2 X yag tidak kosog disebut sistem iterval (system of itervals) di dalam ruag metrik (X,d) jika memeuhi : (i). Utuk setiap p X, {p} S. (ii). Utuk setiap p X, N(p,r) S jika cl(n(p,r)) kompak. (iii). Jika A S maka A kove, cl(a) kompak da cl(a), it(a) S. 71

2 Syarat Cukup Agar Suatu (Mauharawati da Soepara Darmawijaya) (iv). Utuk setiap A, B S, A B S da utuk setiap η > 0 terdapat barisa C i i himpua { } setiap i da A - B = =1 S yag tidak tumpag tidih sehigga d(c i) < η utuk C i. Jika S merupaka sistem iterval di dalam ruag metrik (X,d), setiap aggota S disebut iterval. Iterval A S dikataka degeerate jika it(a) = da odegeerate jika it(a). Yag dimaksud dega sel adalah iterval kompak odegeerate. Suatu iterval dikataka terbuka jika ia merupaka himpua terbuka. Himpua A X disebut himpua elemeter (elemetary set) jika A merupaka gabuga higga iterval-iterval. Jadi A himpua elemeter jika da haya jika terdapat C i S, (1 i ) sehigga A = C i. Koleksi semua himpua elemeter yag termuat di dalam X dituliska dega E(X). Koleksi sebayak higga sel-sel {A i : i = 1,2,..., } S yag tidak tumpag tidih disebut partisi (partitio) pada atau di dalam himpua elemeter kompak E jika A i = E atau A i E. Diberika himpua elemeter kompak E dega it(e) da fugsi δ : E R +. Koleksi higga pasaga sel-titik P = {( A disebut :, i ), 1 i } = {(A,)} i (i). Partisi Perro δ-fie (Perro δ-fie partitio) pada atau di dalam E jika i A i N( i, δ( i )) da { A i } merupaka partisi pada atau di dalam E. 72

3 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : (ii). Partisi McShae δ-fie (McShae δ-fie partitio) pada atau di dalam E jika i E, A i N( i, δ( i )) da { A i } merupaka partisi pada atau di dalam E. Jamia adaya partisi Perro δ-fie pada himpua elemeter kompak yag odegeerate disajika pada lemma berikut. Lemma 1.1: Diberika himpua elemeter kompak E X dega it(e). Jika δ : E R +, maka terdapat partisi Perro δ-fie pada E. (Mauharawati da Soepara, 2001) 2. FUNGSI TERUKUR R * dega Diberika fugsi volume ν yag kotiu pada E(X). Fugsi µ * : 2 X µ * (A) = if ν( Ai ), Ai it erval terbuka da A Ai i = 1 i = 1 merupaka ukura luar (outer measure) pada X. (Mauharawati da Soepara, 2001) Himpua E X dikataka terukur-µ * (µ * -measurable) jika utuk setiap A X berlaku µ * (A) = µ * (A E) + µ * (A E C ). Jika A meyataka koleksi semua himpua terukur-µ * da µ ukura pada A yag dibagkitka oleh µ *, maka (X,A, µ) merupaka ruag ukura yag legkap. (Mauharawati, 2000). Diberika E himpua terukur-µ *. Fugsi g : X R * dikataka terukur-µ * (µ * -measurable) pada E jika utuk setiap bilaga real c, { E : g() > c} merupaka himpua terukur-µ *. 73

4 Syarat Cukup Agar Suatu (Mauharawati da Soepara Darmawijaya) Teorema 2.1. (Teorema Lusi) : Diketahui fugsi g : X R * da sel E X. Jika g terukur-µ * da terbatas pada E, maka terdapat fugsi f : X R * yag kotiu da terbatas pada E dega sup{f(): E} = sup{g(): E}, if{f(): E} = if{g(): E}, da utuk sebarag bilaga ε > 0 terdapat himpua tertutup F E sehigga µ(e - F) < ε da f = g pada F. (Mauharawati, 2000). 3. INTEGRAL HENSTOCK DAN INTEGRAL MCSHANE Diberika fugsi volume ν yag kotiu pada E(X). Fugsi g : X R* dikataka : (i). Teritegral-ν Hestock (Hestock ν - itegrable) pada sel E X, ditulis sigkat dega g H(E,ν ) jika terdapat bilaga real α dega sifat utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat fugsi δ : E R + sehigga utuk setiap partisi Perro δ-fie P = {( A, ) } pada E berlaku P g()ν (A ) - α < ε (ii). Teritegral-ν McShae (McShae ν - itegrable) pada sel E X, ditulis sigkat dega g M(E,ν ) jika terdapat bilaga real α dega sifat utuk setiap bilaga ε > 0 terdapat fugsi δ : E R + sehigga utuk setiap partisi McShae δ-fie P ={ ( A, ) } pada E berlaku P g()ν (A ) - α < ε dega P merupaka jumlaha atas partisi P Teorema 3.1: Diketahui fugsi g :X R * da sel E X. Jika g M(E,ν ), maka g M(E,ν ). (Mauharawati da Soepara 2001) 74

5 JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 6. No. 2, 71-76, Agustus 2003, ISSN : Syarat cukup agar suatu fugsi teritegral Hestock mutlak di dalam ruag metrik kompak lokal, khususya ruag metrik odiskrit disajika di dalam teorema berikut. Teorema 3.2.: Jika fugsi g :X R * terukur-µ * da terbatas pada sel E X, maka g da g teritegral-h terhadap ν pada E. Bukti : Berdasarka yag diketahui terdapat bilaga M > 0 sehigga utuk setiap E berlaku g( ) M Berdasarka Teorema Lusi, utuk sebarag bilaga ε > 0 terdapat himpua tertutup F E dega µ(e-f) < ε 2 M da terdapat fugsi f :X R * setiap E berlaku yag kotiu pada E, f = g pada F, da utuk f ( ) M Karea f kotiu pada E, maka f M(E,ν ). Oleh karea itu utuk sebarag bilaga ε > 0 terdapat fugsi δ 1 : E R + McShae δ 1 -fie pada E berlaku P f ( ) ν( A ) ( M) f < ε E Dipilih himpua terbuka O X sehigga E - F O da µ(o) < ε M da dibetuk fugsi δ : E R + dega δ1( ) utuk F δ() = C mi{ δ1 ( ), d(, O )} utuk E F da jika P = {(A,)} partisi 75

6 Syarat Cukup Agar Suatu (Mauharawati da Soepara Darmawijaya) Jika P = {(A,)} sebarag partisi McShae δ-fie pada E, maka P = {(A,)} merupaka partisi McShae δ 1 -fie pada E da P = P 1 P 2 dega P 1 = {(A,) P : F} da P 2 = {(A,) P : E - F}. Oleh karea itu diperoleh: P g( ) ν( A ) ( M) f P f ( ) ν( A ) ( M) f E + P g( ) ν( A ) P f ( ) ν( A ) < ε + P g( ) ν( A ) P f ( ) ν( A ) E P g( ) ν( A ) P f ( ) ν( A ) 2 2 = ε P 2 g( ) f ( ) ν ( A ) < ε + 2M µ(o) < ε + 2ε = 3ε Dega kata lai g M(E,ν ). Berdasarka Teorema 3.1, g M(E,ν ). Karea setiap fugsi yag teritegral McShae terhadapν pada suatu sel juga teritegral Hestock terhadap ν pada sel yag sama, maka terbukti bahwa g, g H(E,ν ). DAFTAR PUSTAKA 1. Lee, P.Y., Lazhou Lectures O Hestock Itegratio, World Scietific, Sigapore Mauharawati, Lapora Kemajua Peelitia Program S-3 Periode Oktober 2000, PPS UGM, Yogyakarta, Mauharawati da Soepara, D., Pemikira Umum tetag Itegral di dalam Ruag Metrik, Kompak Lokal, Makalah Semiar Bidag Aalisis Matematika Taggal 7 Juli 2001 di Jurusa Matematika FMIPA UGM Yogyakarta. 5. Widodo, Itegral Riema Legkap (Itegral Hestock), Tesis, Program Studi Matematika Sekolah Pascasarjaa ITB,