Bab IV. Penderetan Fungsi Kompleks

Transkripsi

1 Bab IV Pedereta Fugsi Kompleks Sebagaimaa pada fugsi real, fugsi kompleks juga dapat dideretka pada daerah kovergesiya. Semua watak kajia kovergesi pada fugsi real berlaku pula pada fugsi kompleks. Secara umum deret fugsi kompleks berupa poliomial : f(z) 0 cz c + c z + c z c z +... (4.) Deret Taylor Utuk fugsi f(z) yag aalitik di daerah R, f(z) dapat dideretka secara koverge di sekitar titik maa pu di dalam R, misalya z a, mejadi deret Taylor : f(z) c 0 (4.2) Persamaa (4.) idetik dega deret Taylor kecuali pegatura peulisaya. Koefisie poliomial dalam deret Taylor di atas, c, dapat dicari dega itegral auchy, persamaa (3.0) : c f () (a)/! f(z) dz (4.3) + Seperti pada deret fugsi real, utuk a 0 deret Taylor mejelma mejadi deret Mac Lauri. Kajia isbah (ratio test) Kajia ii adalah salah satu cara utuk meetuka kovergesi sebuah deret fugsi. Sebuah deret dapat dikataka koverge bila dipeuhi : lim c c + < (4.4) Nisbah koefisie deret yag satu dega yag berada di depaya harus seatiasa lebih kecil di maapu dalam deret itu. Jika isbah tersebut lebih besar, deretya pasti diverge. Kajia ii tidak dapat meyimpulka kovergesi sebuah deret, jika isbah (4.4) 26

2 di atas berilai, deretya masih mugki koverge da mugki pula diverge. Utuk itu diperluka kajia kovergesi yag lai, lihat kuliah Kalkulus II. Jeis deret yag serig dipakai dalam pedereta fugsi kompleks adalah deret biomium yag berbetuk : h( z) + [ h( z)] + [ h( z)] +... (4.5) h( z) Meurut kajia isbah kovergesi deret ii aka tercapai jika dipeuhi : h(z) < (4.6) Persamaa ii meghasilka ruji kovergesi z-a ρ, yaki sebuah ligkara dega ruji ρ. Deret haya koverge jika z-a berada di dalam ligkara, da diverge bila berada di luarya. Deret Lauret Bagaimaa pederetaya bila f(z) fugsi meromorfik yag gagal aalitik di sebuah kutub z a di dalam daerah kovergesiya? Di dalam sebuah aulus berpusatka di z a fugsi f(z) mejadi aalitik, karea z a sudah berada di luar kotur. Daerah kovergesiya mejadi : r < z-a < ρ. Di dalam daerah pedereta yag berupa aulus ii, deret fugsi yag dihasilka tidak haya berupa deret Taylor (4.2) di atas, tetapi mejadi lebih umum dega betuk : z a f(z) c 0 + ρ r z z Daerah kovergesi Deret Taylor d z a ρ Daerah kovergesi Deret Lauret (4.7) Suku pertama di ruas kaa tidak lai adalah deret Taylor, da suku keduaya yag berupa poliomial berpagkat egatif disebut sebagai bagia utama dari deret Lauret. Jadi secara umum deret Lauret (4.7) terdiri dari dua bagia : deret Taylor da bagia utamaya. Koefisie bagia utamaya juga dapat dicari dega itegral auchy dega kotur K ligkara bagia dalam aulus. 27

3 d f ( z) K + dz (4.8) Aulus itu kemudia mejadi daerah kovergesi deret Lauret. Bila semua d 0, titik z a di dalam daerah kovergesiya dikataka bersifat regular. Jika kutub z a berorde k dipakai sebagai pusat aulus : f(z) g( z) ( z ) a k Substitusi f(z) ii ke dalam persamaa (4.8) da aplikasi itegral auchy meghasilka persamaa : d g( z) 2π + k + ( z a) Dari sii jelaslah bahwa utuk : > k : d 0 ( + k ) g ( a) dz ( + k)! (4.9) karea faktorial bilaga bulat egatif tak higga besarya, meyebabka hasil bagi ol di ruas kaa. Kosekuesiya bagia utama deret Lauret aka berheti sampai omor k. : d f(z) dz (4.0) Koefisie d ii istimewa da aka dibahas di bagia berikutya. Jika semua d 0 maka z a disebut titik sigular esesial, misalya jika pedereta tersebut dilakuka dalam aulus yag pusatya buka di z a. Teorema residu Perhatika koefisie pertama d pada persamaa (4.0) di atas. Itegrasi sembarag fugsi f(z) pada kotur tertutup dega demikia adalah : f(z) dz d (4.) Persamaa (4.) ii memberika alteratif lai dalam perhituga itegral kotur tertutup terhadap fugsi variabel kompleks, sehigga ia setara dega persamaa (3.5) da itegral auchy (3.0). 28

4 Meurut persamaa (4.), itegral dapat diketahui hasilya jika koefisie d ditemuka. Tampak jelas bahwa peraa koefisie ii sagat petig dalam perhituga itegral kompleks, sehigga perlu diberi ama khusus. Dalam kasus aulus di atas, sebutaya adalah residu fugsi f(z) di kutub z a da biasa dituliska : d Res[f(z),a] (4.2) Residu sebuah fugsi selai dapat diperoleh dari proses pedereta, secara umum dapat pula diperoleh dega memafaatka itegral auchy. Misalya f(z) memiliki kutub berorde k di z a dalam daerah kovergesiya R sehigga fugsiya megambil betuk persamaa (3.9) : g( z) f ( z) ( z ) a k dega fugsi pembilag g(z) aalitik dalam R, maka : Res(f,a) f(z) dz g(z) k dz g ( k ) ( a ) ( k )! k d k (k )! lim z a dz (z-a)k f(z) (4.3) Persamaa iilah yag kemudia bayak diguaka utuk meghitug itegral kompleks, walaupu masih juga terdapat kelemaha, yaitu orde kutub harus dapat ditetuka terlebih dulu. Padahal tidak semua fugsi secara gamblag memperlihatka orde kutub yag dimilikiya. Dalam kasus yag seperti ii diajurka utuk mecari residu lewat pedereta. Dalam bayak kasus, fugsi f(z) memiliki lebih dari satu kutub. Teorema residu dapat diperluas pegertiaya utuk meaggulagi hal ii. Jika kutub-kutubya berada di z a j, maka : f(z) dz Re s[ f(z),a j ] (4.4) j 29

5 Semua residu di kutub-kutubya dijumlahka dulu. Utuk jeis kutub sederhaa, ia boleh dilitasi oleh kotur itegrasi, da residuya mejadi separo dari residu (4.3). 30

6 SOAL. Deretka fugsi : f(z) 7z 2 z(z + )(z 2) di daerah : a. 0 < z+ < b. < z+ < 3 c. z+ > 3 2. ari residu fugsi : f(z) 5z + 2i z(z + i) di daerah : a. 0 < z-i < b. < z-i < 2 c. z-i > 2 3. Hituglah sekali lagi itegral-itegral pada soal bab III omor 3 dega teorema residu da cocokka hasilya dega apa yag sudah ada dapatka! 4. Apabila u(z) da v(z) aalitik di titik z a, sedagka u(a) 0 da z a merupaka akar ol berorde satu dari g(z) 0, tujukka bahwa : ( ) Re ( ), ( ) s u z u a a v z dimaa v adalah dv/dz v ( a) 3