GELANGGANG HEREDITER

GELANGGANG HEREDITER TEDUH WULANDARI Departemen Matematka, Fakultas Matematka dan Imu Penetahuan Alam, Insttut Pertanan Boor Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranansan, Boor, Indonesa Abstract. Tulsan n membahas menena dens dan contoh dar elanan heredter. Penulsan n merupakan sebuah observas. Key words: elanan heredter 1. Pendahuluan Tulsan n berskan menena dens dan contoh dar elanan heredter. Penulsan n merupakan sebuah observas.sebelum membahas menena elanan heredter akan dbahas terlebh dahulu menena barsan eksak dan modul projekt. 2. Dens Gelanan Heredter Konsep barsan eksak dar R-modul dan homomorsma modul serta hubunan keduanya denan jumlah lansun akan banyak dunakan pada tulsan n. Berkut dens menena barsan eksak dar R- modul. Msalkan R suatu elanan, barsan dar R-modul dan homorsma R-modul berkut +1... M 1 M M+1... dsebut barsan eksak pada M jka Im = ker +1. Barsan tersebut dsebut barsan eksak jka setap barsan pada M merupakan barsan eksak. Berdasarkan dens tersebut dapat dperoleh 1. Barsan 0 M 1 M merupakan barsan eksak jka dan hanya jka bersat satu-satu. 2. Barsan M M 2 0 merupakan barsan eksak jka dan hanya jka bersat pada 3. Barsan 0 M 1 M M2 0 dsebut barsan eksak jka dan hanya jka bersat satu-satu, bersat pada dan Im = ker. 51

52 TEDUH WULANDARI Jka barsan 0 M 1 M M2 0 merupakan barsan eksak maka barsan tersebut dsebut jua barsan eksak pendek dan barsan tersebut dsebut barsan eksak terpsah jka barsan tersebut barsan eksak dan Im = ker merupakan suku lansun dar M. Berkut teorema menena barsan eksak terpsah. Teorema 1. Jka barsan 0 M 1 M M2 0 merupakan barsan eksak pendek dar R-modul maka pernyataan berkut ekuvalen 1. Ada homomorsma α : M M 1 sedemkan sehna α = 1 M1 2. Ada homomorsma β : M 2 M sedemkan sehna β = 1 M2 3. Barsan datas adalah barsan eksak splt dan M = Im ker α = ker Im β = M1 M 2 Alur pembuktan adalah sebaa berkut Lankah 1 1 2 dan 3 Lankah 2 2 1 dan 3 Lankah 3 3 1 dan 2 Bukt. Lankah 1. Msalkan ada homomorsma α : M M 1 sedemkan sehna α = 1 M1 dan x M. Perhatkan bahwa α x α x = α x α α x = α x α x = 0 sehna x α x ker α. Msalkan y = x α x ker α maka x = y + α x denan x M,y ker α dan α x Im. Karena x sebaran anota M maka M = ker α + Im. Msalkan a = b ker α Im maka 0 = α a = α b = α b = b sehna 0 = 0 = a akbatnya ker α Im = 0 jad M = ker α Im. Pernyataan 3 terpenuh. Karena bersat pada maka untuk setap u M 2 ada x M sedemkan sehna x = u. Tetap karena tdak bersat satu-satu maka ada kemunknan terdapat y M sedemkan sehna y = u. Sehna β ddenskan denan β : M 2 M u x α x denan x = u Akan dperlhatkan bahwa β terdens denan bak. Msalkan a, b M 2 denan a = b, karena bersat pada maka ada u,v M sedemkan

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,51-62 53 sehna u = a dan v = b. Karena a = b maka u = a = v sehna u v = 0. Akbatnya u v ker = Im sedankan β a β b = u α u v α v ker α = u v + α u α v Im Akbatnya β a β b ker α Im sehna β a β b = 0. Jad β terdens denan bak. Akan dperlhatkan β = 1 M2. Msalkan x M 2, karena bersat pada maka ada u M sedemkan sehna u = x β x = u α u = u α u karena Im = ker = u 0 = x Jad β = 1 M2 sehna pernyataan 2 terpenuh. Lankah 2. Denan cara yan sama denan lankah 1 dapat dtunjukkan bahwa 2 1 dan 3 Lankah 3. Msalkan M = M 1 M 2 maka barsan eksak datas menjad 0 M 1 M1 M 2 M2 0 a a + 0 a + b b Denskan α : M 1 M 2 M 1 dan β : M 2 M 1 M 2 a + b a b 0 + b Akan dperlhatkan bahwa α = 1 M1 dan β = 1 M2. Ambl x M 1 dan y M 2 α x = α x dan β y = β y = α x + 0 = 0 + y = x = y Jad α = 1 M1 dan β = 1 M2 sehna pernyataan 2 dan pernyataan 3 terpenuh. Sebelum masuk ke modul projekt perhatkan sat berkut n. Sat 2. Msalkan R suatu elanan, setap modul atas R merupakan peta homomorsma dar suatu R-modul bebas. Bukt. Msalkan M modul atas R dan {m } I merupakan hmpunan pembanun ba M. Msalkan, untuk setap, F merupakan suatu modul bebas atas R denan bass {e }. Msalkan F = I F maka F merupakan modul bebas atas R denan bass {e } I. Denskan : F M e m

54 TEDUH WULANDARI Jelas merupakan homomorsma yan bersat pada. Jad Im = M sehna setap modul atas R merupakan peta homomorsma dar suatu R-modul bebas. Msalkan M modul atas elanan R, modul M dkatakan modul projekt jka untuk setap daram homomorsma modul atas R A M h B 0 Gambar 1. Daram 1 modul projekt denan barsan homomorsma A B 0 eksak, terdapat homomorsma : M A sehna h =. Hubunan antara modul projekt dan modul bebas dapat dlhat berkut n. Msalkan M suatu modul bebas atas elanan R denan bass X. Pandan daram homomorsma pada Gambar 1 denan suatu epmorsma. Untuk menunjukkan M merupakan modul projekt, akan dtunjukkan bahwa ada homomorsma : M A sedemkan sehna h =. Msalkan X = {x } =1 dapat dperoleh h x B untuk setap. Karena bersat pada maka ada a x A sedemkan sehna a x = h x untuk setap. Denskan pemetaan : F A x a x merupakan homomorsma. Ambl sebaran y F, karena X bass ba M maka y = r x denan r R untuk setap. y = r x = r x = r x = r a x = r a x = r h x = h r x = h y sehna dperoleh = h. Jad M merupakan modul projekt. Untuk mempermudah pemerksaan apakah suatu modul merupakan modul projekt, dapat dunakan teorema berkut n.

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,51-62 55 Teorema 3. Msalkan R elanan dan M R-modul. berkut ekuvalen 1. Modul M merupakan modul projekt. Pernyataan 2. Setap barsan eksak 0 A B M 0 adalah barsan eksak terpsah. 3. Terdapat F modul bebas atas R dan N modul atas R sedemkan sehna F = N M Bukt. 1 2 Msalkan M modul projekt dan 0 A B M 0 barsan eksak. Perhatkan daram pada Gambar 2, M 1 M B M 0 Gambar 2. Daram 2 modul projekt karena M modul projekt maka ada β : M B sedemkan sehna β = 1 M berdasarkan Teorema 1 barsan eksak d atas merupakan barsan eksak terpsah. 2 3 Msalkan setap barsan eksak 0 A B M 0 merupakan barsan eksak terpsah. Karena M R-modul berdasarkan Sat 2 terdapat F modul bebas atas R dan epmorsma : F M sedemkan sehna Im = M. Msalkan N = ker, karena ker F maka dapat ddenskan : N F a a yan merupakan monomorsma sehna dapat dperoleh 0 N F M 0 denan Im = ker sehna barsan tersebut merupakan barsan eksak, berdasarkan hpotess dperoleh barsan tersebut adalah barsan eksak terpsah sehna dperoleh F = N M. 3 1 Msalkan terdapat F modul bebas atas R dan N modul atas R sedemkan sehna F = N M akbatnya ada h : F N M yan somorsma. Msalkan π M : N M M dan M : M N M a + b b b 0 + b sehna π M M = 1 M. Perhatkan daram yan terdapat pada Gambar 3

56 TEDUH WULANDARI h F N M 6 h 1 β π M M α 7 M Gambar 3. Daram 3 modul projekt Denskan α = h 1 M dan β = π M h. Akan dtunjukkan bahwa β α = 1 M. Msalkan b M, tuls 0 + b N M. Karena h bersat pada maka ada x F sedemkan sehna h x = 0 + b β α b = β α x = β h 1 M b = β h 1 M b = β h 1 0 + b = β x = π M h x = π M h x = π M 0 + b = b Jad β α = 1 M. Perhatkan daram pada Gambar 4, β F α k U M γ V 0 Gambar 4. Daram 4 modul projekt Karena F modul bebas maka F modul projekt. Akbatnya ada : F U sedemkan sehna = γ β. Akan dperlhatkan bahwa ada k : M U sedemkan sehna k = γ. Denskan k = α, msalkan m M k m = k m = α m = α m = α m = γ β α m = γ β α m = γ β α m = γ m Jad k = γ, akbatnya M modul projekt.

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,51-62 57 Msalkan R suatu elanan, modul V R dkatakan modul heredter jka V R dan setap submodulnya modul projekt. Dan R dkatakan elanan heredter kanan jka setap deal kanan dar R merupakan modul projekt atas R, denan kata lan modul R R merupakan heredter. Jka R merupakan elanan heredter kanan dan elanan Heredter kr maka R dkatakan heredter. 3. Contoh Gelanan Heredter Berkut contoh menena elanan heredter Contoh 4. Msalkan Z elanan nteer, Q lapanan hasl ba dar Z dan R subrn dar M 2 Q denan Z Q R = R merupakan heredter kanan tetap bukan heredter kr. Penyelesaan. Ada 2 tahap penyelesaan, pertama menunjukkan R adalah heredter kanan dan yan kedua menunjukkan R bukan heredter kr. Msalkan N = dan V =. 0 0 0 0 Tahap pertama. N dan V merupakan deal kanan dar R karena r1 r untuk sebaran 2 0 n1 R dan sebaran N, menakbatkan 2 0 n1 r 0 r 3 0 0 0 n1 r1 r = 3, karena Q lapanan 0 0 0 r 3 0 0 0 n1 r dan n 1,r 3 Q maka n 1 r 3 Q akbatnya 3 N demkan 0 0 jua untuk V. Akan dtunjukkan bahwa N dan V merupakan deal mnmal d R. Msalkan T deal kanan dar R denan 0 T N dan 0 t r1 r msalkan T, 2 R. Karena T deal kanan dar 0 0 0 r 3 0 t r1 r R maka 2 0 tr3 = T sehna aar T N 0 0 0 r 3 0 0 satu-satunya plhan untuk t adalah 0, sehna T = 0 akbatnya N merupakan deal kanan mnmal. Demkan jua denan V. Jad N dan V merupakan deal kanan mnmal dar R. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa V R merupakan modul projekt. Perhatkan daram pada Gambar 5, ambl v V R maka h v B, karena bersat pada maka a A sedemkan sehna a = h v sehna dapat ddenskan pemetaan : V R A R v a denan a = h v Akan dtunjukkan terdens denan bak, msalkan v, w V denan v = w maka h v = h w B R karena bersat pada maka ada

58 TEDUH WULANDARI V R v h A R a B R hv 0 Gambar 5. Daram 5 modul projekt a,b A R sedemkan sehna a = h v dan b = h w akbatnya a = h v = h w = b berdasarkan dens dperoleh a = v = w = b, sehna a = b. Jad terdens denan bak. Akan dtunjukkan bahwa merupakan homomorsma, msalkan u,v V maka h u,hv B, karena bersat pada maka ada a,b A sedemkan sehna a = h u dan b = h v akbatnya u = a dan v = b. Perhatkan berdasarkan dens, dperoleh dan untuk r R a + b = a + b = h u + h v = h u + v u + v = a + b berdasarkan dens, dperoleh = u + b ar = ar = h ur = h ur ur = ar = u r Jad merupakan homomorsma. Akan dtunjukkan bahwa = h, v = v = b = h v sehna = h. Jad V R merupakan modul projekt. Jelas V R = N R, karena pemetaan : N R V R 0 q 0 0 0 0 0 q

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,51-62 59 merupakan somorsma. Sehna N R jua merupakan modul projekt. Karena V R dan N R merupakan modul projekt maka ada F R dan G R modul bebas dan C R dan D R sedemkan sehna F = V C dan G = N D, akbatnya F + G = V C + N D = V + N C + D karena F + G jua merupakan modul bebas maka V + N jua merupakan modul projekt. Selanjutnya akan dtunjukkan bahwa deal kanan dar R yan memuat N + V tetap tdak sama denan N + V jua merupakan modul projekt. Sebelumnya perhatkan hal berkut, setap deal kanan dar R yan memuat N+V tetap tdak sama denan zz Q N + V akan memlk bentuk denan 0 z Z karena z q1 r1 r untuk N + V I, msalkan I dan 2 R 0 q 2 0 r 3 z q1 r1 r dperoleh 2 zr1 zr = 2 + q 1 r 3 I, sehna 0 q 2 0 r 3 0 q 2 r 3 I merupakan deal kanan dar R. Jelas I R = RR karena pemetaan : I R R R za b a b 0 c 0 c merupakan suatu somorsma. Karena R R merupakan modul bebas maka R R modul projekt sehna I R jua merupakan modul projekt. Tahap terakhr untuk menunjukkan R Heredtary kanan adalah menunjukkan deal kanan yan memuat N atau V tetap tdak sama denan N atau V merupakan modul projekt. Msalkan I deal kanan dar R denan N I sehna I N = 0, akbatnya I +N merupakan deal kanan yan memuat N. Perhatkan daram pada Gambar 6. I + N + n h A a B h + n 0 Gambar 6. Daram 6 modul projekt Ambl + n I + N maka h + n B, karena bersat pada maka a A sedemkan sehna a = h + n sehna dapat

60 TEDUH WULANDARI ddenskan pemetaan : I + N A + n a denan a = h + n Akan dtunjukkan terdens denan bak, msalkan 1 +n 1, 2 +n 2 V denan 1 + n 1 = 2 + n 2 maka h 1 + n 1 = h 2 + n 2 B R karena bersat pada maka ada a,b A R sedemkan sehna a = h 1 + n 1 dan b = h 2 + n 2 akbatnya a = h 1 + n 1 = h 2 + n 2 = b berdasarkan dens dperoleh a = 1 + n 1 = 2 + n 2 = b, sehna a = b. Jad terdens denan bak. Akan dtunjukkan bahwa merupakan homomorsma, msalkan 1 +n 1, 2 +n 2 I+N maka h 1 + n 1,h 2 + n 2 B, karena bersat pada maka ada a,b A sedemkan sehna a = h 1 + n 1 dan b = h 2 + n 2 akbatnya 1 + n 1 = a dan 2 + n 2 = b. Perhatkan a + b = a + b berdasarkan dens, dperoleh dan untuk r R = h 1 + n 1 + h 2 + n 2 = h 1 + n 1 + 2 + n 2 1 + n 1 + 2 + n 2 = a + b ar = ar berdasarkan dens, dperoleh = 1 + n 1 + 2 + n 2 = h 1 + n 1 r = h 1 + n 1 r 1 + n 1 r = ar = 1 + n 1 r Jad merupakan homomorsma. Akan dtunjukkan bahwa = h, 1 + n 1 = 1 + n 1 = a = h 1 + n 1 sehna = h. Jad I + N merupakan modul projekt, sehna setap deal kanan dar R merupakan modul projekt, akbatnya R merupakan Herdtary kanan. Tahap kedua. Telah dperlhatkan bahwa N merupakan deal kanan, denan cara yan sama dapat dperlhatkan bahwa N jua merupakan deal kr, sehna N merupakan deal dua ss d R. Demkan jua denan V, dapat dtunjukkan bahwa V merupakan deal dua ss,

JMA, VOL. 3, NO.2, DESEMBER, 2004,51-62 61 sehna A = N+V merupakan deal dua ss d R. Akan dperlhatkan bahwa n=1nr = A = AR, perhatkan bahwa Z Q Z Q 1R 2R 3R... = 1 2 Z Q 2Z Q = = = N + V = A Z Q 3 3Z Q...... karena A merupakan deal d R maka A = Ar untuk setap r R sehna A = AR. Jad n=1nr = A = AR. Selanjutnya akan dperlhatkan bahwa jka F modul kr atas R yan bebas maka n=1nf = AF. Msalkan F merupakan modul kr atas R yan bebas denan X = {x } I bass ba F. Perhatkan bahwa 1F 2F 3F... = I = I = I Z Q Z Q x 2 Z Q I Z Q 3 I x I I x = AF 2Z Q 3Z Q x x... x x... Jad n=1nf = AF. Selanjutnya akan dperlhatkan bahwa R bukan merupakan heredter kr. Untuk menunjukkan R bukan heredter kr cukup denan menunjukkan ada deal kr dar R yan bukan modul projekt. Andakan R N modul projekt maka ada F modul kr atas R yan bebas dan R W sedemkan sehna F = N W, perhatkan bawah N = n=1nn n=1nf = AF sehna AF = AN AW akbatnya untuk setap y AF, y dapat dtuls dalam y = a + b denan a AN dan b AW. Msalkan 0 a1 0 n1 0 b1 0 a1 a = dan b = w denan, 0 a 2 0 0 0 b 2 0 a 2

62 TEDUH WULANDARI 0 b1 0 n1 A, 0 b 2 0 0 0 a1 y = a + b = = 0 0 0 0 N dan w W sehna 0 n1 0 b1 + w 0 a 2 0 0 0 b 2 0 b1 + w 0 + AW = AW 0 b 2 sehna AF = AW kontradks denan F = N W dan N 0. Jad haruslah R N bukan modul projekt, akbatnya R bukanlah heredter kr. Datar Pustaka [1] Adkns, Wllam A & Wentraub Steveh H, Alebra An Aprroach va Module Theory, Sprner-Verla, New York, 1992 [2] Hersten, I.N., Noncommutatve Rns, The Carus Mathematcal Monohraphs number teen, The Mathematcal Assocaton o Amerca. [3] Lam, T.Y., A Frst Course n Noncommutatve Rns, Sprner-Verla, New York, 1991. [4] Lan, Sere, Alebra, Thrd Edton, Addson Wesley, New York, 1991. [5] Passman, Donald S, A Course n Rn Theory, Wadsworth & Brooks, Calorna, 1991.