ALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM

Transkripsi

1 ALJABAR WEYL, CONTOH GELANGGANG NOETHER DAN PRIM TEDUH WULANDARI Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Imu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor Jl. Raya Pajajaran, Kampus IPB Baranangsiang, Bogor, Indonesia ABSTRAK. Tulisan ini memperlihatkan bahwa aljabar Weyl merupakan suatu gelanggang Noether dan Prim tetapi bukan suatu Daerah Dedekind. Kata Kunci: Aljabar Weyl, Gelanggang Noether Prim, Daerah Dedekind. 1. Pendahuluan Tulisan ini merupakan bagian dari rangkaian penelitian mengenai hubungan antara daerah ideal utama, daerah Dedekind dan gelanggang Herediter, Noether dan Prim HNP). Pada [8] sudah diperlihatkan mengenai hubungan daerah ideal utama dan daerah Dedekind. Sedangkan pada [9] diperlihatkan bahwa tidak semua daerah Dedekind merupakan daerah ideal utama. Pada [11] diperlihatkan bahwa daerah Dedekind merupakan suatu gelanggang HNP. Tulisan ini akan memperlihatkan contoh dari suatu gelanggang Noether dan Prim yang bukan merupakan daerah Dedekind. Contoh tersebut adalah aljabar Weyl. Tulisan ini akan membahas beberapa sifat pada aljabar Weyl yang akan digunakan untuk memperlihatkan bahwa aljabar Weyl merupakan suatu gelanggang Noether Prim. 2. Teori Dasar yang Digunakan Berikut diberikan definisi dan teorema dasar yang digunakan dalam tulisan ini. Definisi 1. Misalkan R himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan dua operasi yaitu + dan, dinotasikan R, +, ), disebut gelanggang jika memenuhi 33

2 34 TEDUH WULANDARI 1. terhadap operasi tambah R, +) membentuk grup komutatif, 2. terhadap operasi kali R, ) memenuhi sifat asosiatif: ab)c = abc) untuk semua unsur a,b,c di R; dan terdapat unsur kesatuan 1 R yang berbeda dari 0 dan bersifat a1 = 1a = a untuk semua unsur a R, 3. terhadap operasi tambah dan operasi kali secara bersama-sama R, +, ) memenuhi sifat distributif: ab + c) = ab + ac dan a+b)c = ac+bc untuk semua unsur a,b,c R. Contoh dari gelanggang adalah Z. Definisi 2. Gelanggang komutatif adalah gelanggang R = R, +, ) yang memenuhi sifat komutatif yaitu ab = ba untuk semua unsur a dan b di R. Definisi 3. Daerah integral adalah gelanggang komutatif D = D, +, ) yang tidak memuat pembagi nol, yaitu untuk unsur a dan b di D yang memenuhi ab = 0 berlaku a = 0 atau b = 0. Definisi 4. Misalkan R = R, +, ) suatu gelanggang. Subhimpunan tak kosong dari R, I R disebut ideal kiri ideal kanan) jika 1. terdapat operasi tambah I, +) membentuk subgrup dari R, +), 2. untuk setiap x I dan r R berlaku rx Ixr I). Subhimpunan I disebut ideal jika I adalah ideal kiri dan ideal kanan. Definisi 5. Misalkan R suatu gelanggang, modul kiri M atas gelanggang R adalah 1. grup komutatif M = M, +). yang dilengkapi oleh 2. tindakan R M M melalui pengaitan α,x) αx untuk semua pasang α,x) R M, dan untuk setiap α,β di R dan x,y di M berlaku a) αx+y) = αx+αy, b) α+β)x = αx+βx, c) αβ)x = αβx), d) 1x = x. Modul kiri M atas R dinotasikan R M. Tindakan biasa juga disebut dengan operasi perkalian skalar. Untuk modul kanan, yang berbeda hanya tindakan dilakukan dari kanan. Modul yang merupakan modul kanan dan juga merupakan modul kiri cukup disebut dengan modul. Definisi 6. Misalkan A suatu gelanggang dan M suatu modul atas A. Suatu himpunan S = {x 1,x 2,...x n } dikatakan membangun M, jika setiap anggota dari M, misalkan m dapat ditulis dalam m = α 1 x 1 + α 2 x α n x n dengan α 1,α 2,...,α n A. M dikatakan dibangun secara hingga jika elemen dari S hingga. Berikut definisi mengenai modul Noether dan gelanggang Noether.

3 JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, Definisi 7. Misalkan A suatu gelanggang dan M suatu modul kiri atas A. Modul M disebut modul Noether jika memenuhi salah satu dari ketiga kondisi berikut ini 1. setiap submodul dari M dibangun secara hingga, 2. setiap rantai naik dari submodul M M 1 M 2... M k... merupakan rantai naik stabil, artinya terdapat bilangan asli N sehingga M n = M k untuk setiap bilangan asli k n, 3. setiap himpunan tak nol dari submodul-submodul M selalu memiliki unsur maksimal. Definisi 8. Suatu gelanggang R dikatakan gelanggang Noether kiri kanan) jika R sebagai modul kiri kanan) atas dirinya sendiri adalah modul Noether. Jika R merupakan gelanggang Noether kiri dan juga merupakan gelanggang Noether kanan, maka R dikatakan gelanggang Noether. Definisi 9. Suatu gelanggang R dikatakan gelanggang prim jika untuk setiap unsur tak nol a,b di R berlaku arb 0, dengan kata lain ada r R sedemikian sehingga arb 0. Salah satu contoh gelanggang prim adalah gelanggang matriks berukuran 2 2 atas bilangan bulat. 3. Definisi Aljabar Weyl Selanjutnya akan dibahas mengenai pembentukan secara sederhana aljabar Weyl, pembahasan ini akan dimulai dengan contoh-contoh berikut. Contoh 10. Misalkan K lapangan dan {x,y} peubah tak komutatif atas K. Definisikan R = K[x,y] polinomial dengan peubah tak komutatif. Misalkan F = xy yx, maka F merupakan ideal atas R, sehingga dapat dibentuk gelanggang kuosien R = R F. Perhatikan bahwa xy yx F sehingga xy yx = 0 xy yx = 0 xy = yx

4 36 TEDUH WULANDARI akibatnya x i y j = y j x i. Untuk sebarang f x,y) R dapat diperoleh f x,y) = i = i = i = i α ij x i y j +β ij y i x j ) j ) α ij x i y j +β ij y i x j j αij x i y j +β ij y i x j) j ) α ij x i y j +β ij x j y i j sehingga f x,y) dapat ditulis sebagai ) k l γ kl x k y l. Jadi setiap elemen R dapat ditulis dalam bentuk ) k l γ kl x k y l akibatnya R dapat dipandang sebagai polinomial K[x, y] dengan {x, y} sebagai indeterminates yang komutatif dengan kata lain R dapat dipandang sebagai polinomial biasa yang sudah kita kenal. Contoh lain mengenai polinomial adalah sebagai berikut Contoh 11. Misalkan K dan R[x,y] yang sama seperti contoh 10. Misalkan juga G = x 2 +1,y 2 +1,xy +yx, maka G juga merupakan ideal atas R sehingga dapat dibentuk gelanggang kuosien R = R G. Perhatikan bahwa x 2 +1 G y 2 +1 G xy +yx G sehingga dapat diperoleh x 2 +1 = 0 y 2 +1 = 0 xy +yx = 0 x 2 = 1 y 2 = 1 xy = yx akibatnya x i y j = y j x i.

5 JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, Untuk sebarang f x,y) R f x,y) = α ij x i y j +β ij y i x j ) i j = α ij x i y j β ij x j y i ) i j = γ mn x m y n ) m n = γ mn x m y n ) + γ mn x m y n ) m n m n }{{}}{{} m,n bilangan genap m bilangan ganjil, n bilangan genap + γ mn x m y n ) + γ mn x m y n ) m n m n }{{}}{{} n bilangan ganjil, m bilangan genap m,n bilangan ganjil = a+bx+c y +dx y sehingga f x,y) dapat ditulis sebagai a+bx+c y+dx y. Jadi setiap elemen R dapat ditulis dalam bentuk a+bx+c y +dx y dengan sifat x 2 = 1, y 2 = 1 dan xy = yx akibatnya R dapat dipandang sebagai gelanggang quaternion. Aljabar Weyl juga berawal dari polinomial seperti contoh-contoh sebelumnya. Misalkan K lapangan dan R = [x, y] polinomial dengan indeterminates tak komutatif. Misalkan juga F = xy yx 1, maka F membentuk ideal sehingga R F membentuk gelanggang kuosien dengan sifat xy xy 1 = 0 xy = xy +1. Sifat ini dapat dikembangkan sebagai berikut, karena F ideal dari R dan y R maka xy yx 1)y F dan yxy yx 1) F sehingga xy yx 1)y +yxy yx 1) = xy 2 yxy y +yxy y 2 x y akibatnya Selanjutnya perhatikan xy 2 y 2 x 2y = 0 = xy 2 y 2 x 2y F, xy 2 = y 2 x+2y. xy yx 1)y 2 +y xy 2 y 2 x 2y ) = xy 3 yxy 2 y 2 +yxy 2 y 3 x 2y 2 = xy 3 y 3 x 3y 2 F,

6 38 TEDUH WULANDARI akibatnya xy 3 y 3 x 3y 2 = 0 xy 3 = y 3 x+3y 2. Secara umum xy n y n x ny n 1 merupakan elemen dari F, karena untuk n genap diperoleh xy n n n ) 2 y 2 x 2 y n 2 1 y n n 2 +y 2 xy n n n ) 2 y 2 x 2 y n 2 1 = xy n y n n n 2 xy 2 2 yn 1 +y n n 2 xy 2 y n x n 2 yn 1 = xy n y n x ny n 1 F, sedangkan untuk n ganjil, misalkan n = k+l dengan k,l bilangan asli xy k y k x ky k 1) y l +y k xy l y l x ly l 1) = xy k+l y k xy l ky k+l) 1 +y k xy l y k+l x ly k+l) 1 = xy k+l y k+l x k +l)y k+l) 1 F. Akibatnya xy n y n x ny n 1 F sehingga xy n y n x ny n 1 = 0 xy n = y n x+ny n 1. Bentuk di atas dapat lebih diperumum, misalkan f y) = a n y n akibatnya df dy = n a n y n 1 sehingga an xy n y n x ny n 1) = an xy n a n y n x a n ny n 1) akibatnya xf y) f y)x nf y) n 1 = 0 = xan y n a n y n x na n y n 1) = x a n y n a n y n x n a n y n 1 = xf y) f y)x n df dy F, xf y) n = f y) n x+nf y) n 1. Dengan cara yang sama dapat juga diperoleh yf x) n = f x) n y nf x) n 1. Gelanggang kuosien R F ini dinotasikan dengan A 1 K) dan dikenal dengan aljabar Weyl tingkat satu atas K. Untuk selanjutnya elemen dari aljabar Weyl A 1 K) dinotasikan tanpa garis di atas. Secara umum aljabar Weyl merupakan polinomial dengan indeterminates tak komutatif yang memiliki sifat xf y) = f y)x+ df dy. Akibat

7 JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, sifat tersebut bentuk hx) = i j α ijx i y j + β ij y i x j sebagai elemen dari A 1 K) dapat ditulis menjadi hx) = k l γ kly k x l Contoh 12. 4x 2 y 3 +2y 2 x 3 = 4x y 3 x 3y 2) +2y 2 x 3 = 4xy 3 x 12xy 2 +2y 2 x 3 = 4 y 3 x 3y 2) x 12 y 2 x 2y ) +2y 2 x 3 = 4y 3 x 2 12y 2 x 12y 2 x 24y +2y 2 x 3 = 4y 3 x 2 12y 2 x 24y +2y 2 x 3 4. Aljabar Weyl, Gelanggang Noether Prim Selanjutnya akan diperlihatkan bahwa aljabar Weyl memenuhi gelanggang Noether dan gelanggang Prim. Untuk yang pertama akan ditunjukkan bahwa aljabar Weyl A 1 K) merupakan gelanggang Prim. Untuk menunjukkan aljabar Weyl merupakan gelanggang Prim cukup dengan menunjukkan bahwa aljabar Weyl tidak memuat pembagi nol. Misalkan f,g A 1 K) dengan f 0 dan g 0, akan ditunjukkan fg 0. Misalkan f = i j α ijy i x j dan g = i j β ijy i x j, karena f dan g tidak nol maka ada α ij 0 dan β kl 0 untuk suatu i,j,k,l. Karena α ij,β kl K yang merupakan suatu lapangan maka α ij β kl 0, akibatnya fg 0. Jadi aljabar Weyl A 1 K) merupakan suatu gelanggang prim. Sebelum menunjukkan bahwa aljabar Weyl merupakan gelanggang Noether akan dibahas terlebih dulu mengenai teorema berikut Teorema 13. Basis Hilbert Misalkan R gelanggang Noether. Maka ring polinomial R[x] juga merupakan gelanggang Noether. Bukti : Misalkan R gelanggang Noether yang komutatif, akan ditunjukkan R[x] merupakan gelanggang Noether. Untuk menunjukkan R[x] merupakan gelanggang Noether akan ditunjukkan bahwa setiap ideal di R[x] dibangun secara hingga. Jelas bahwa ideal nol dibangun secara hingga oleh nol itu sendiri. Misalkan I R merupakan suatu ideal yang tak nol. Akan ditunjukkan I dibangun secara hingga. Misalkan f x) R[x] dengan f 0, notasikan lcf x)) sebagai koefisien dari pangkat tertinggi f. Untuk n = 0,1,2,3... definisikan I n = {a R;lcf x)) = a untuk suatu f x) I dengan derajat n} dengan kata lain, I n merupakan himpunan koefisien dari polinomial dengan derajat tertinggi n. Akan ditunjukkan bahwa I n merupakan ideal atas R untuk setiap n. Misalkan a,b I n maka ada f,g R[x] sedemikian sehingga f x) = a 0 + a 1 x ax n dan gx) = b 0 + b bx n selanjutnya f x)+gx) = a 0 +b 0 )+a 1 +b 1 )+...+

8 40 TEDUH WULANDARI a+b)x n akibatnya a + b I n. Misalkan r R karena rf x) = ra 0 +a 1 x+...+ax n ) = ra 0 + ra 1 x rax n akibatnya ra I n. Jadi I n ideal atas R. Misalkan a I n maka ada f R[x] sedemikian sehingga f x) = a 0 +a 1 x+...+ax n akibatnya xf x) = xa 0 +a 1 x+...+ax n ) = xa 0 +xa 1 x+...+xax n = a 0 x+a 1 x ax n+1 sehingga a I n+1. Jadi I n I n+1 untuk setiap n. Akibatnya dapat diperoleh I 0 I 1 I 2... karena R Noether maka ada k N sedemikian sehingga I k = I n untuk setiap n k, sehingga rantai naik ideal di atas menjadi I 0 I 1 I 2... I k = I k Karena R Noether maka setiap ideal dari R dibangun secara hingga akibatnya untuk 0 m k, dapat diperoleh {a m1,a m2,...a msm } sebagai pembangun bagi I m. Pilih f mj x) I sedemikian sehingga degf mj x)) = m dan lcf mj x)) = a mj untuk semua 0 m k dan 1 j s m. Misalkan Î = f mjx);0 m k,1 j s m, akan ditunjukkan bahwa I = Î. Pertama akan ditunjukkan bahwa I Î. Misalkan f x) I, jika f x) = 0 dan karena Î merupakan ideal maka f x) Î. Jika f x) 0, misalkan degf x)) = r dan a = lcf x)). Akan digunakan induksipadar untukmenunjukkanf x) Î. Untukr = 1makar k akibatnya a I 1 sehingga dapat ditulis a = c 1 a 11 +c 2 a c s1 a 1s1. Perhatikan polinomial gx) = s 1 i=1 c i f ri x) Î = c 1 f 11 x)+c 2 f 12 x)+...+c s1 f 1s1 x) = c 1 b 10 +a 11 x)+c 2 b 20 +a 12 x)+...+c s1 b s1 0 +a 1s1 x) = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )+c 1 a 11 +c 2 a c s1 a 1s1 )x = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )+ax, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < r = 1, jadi degf x) gx)) = 0 dengan lcf x) gx)) = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 = c. Karena c I 0 maka c = l 1 a 01 + l 2 a l s0 a 0s0 akibatnya akan ada f 01,f 02,...,f 0s0 I dengan degf oj x)) = 0 dan lcf oj x)) = a 0j untuk 1 j s 0. Perhatikan c = l 1 a 01 +l 2 a l s0 a 0s0 = l 1 a01 x 0) +l 2 a02 x 0) +...+l s0 a0s0 x 0) = l 1 f 01 +l 2 f l s0 f 0s0 = s 0 i=1 l i f 0i Î. Jadi f x) gx)) Î, karena gx) Î dan Î merupakan ideal maka f x) gx)) +gx) Î. Jadi f x) Î. Untuk r = 2 maka r k akibatnya a I 2 sehingga dapat ditulis a = c 1 a 21 +c 2 a c s2 a 2s2.

9 Perhatikan polinomial JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, gx) = s 2 i=1 c i f ri x) Î = c 1 f 21 x)+c 2 f 22 x)+...+c s2 f 2s2 x) = c 1 b10 +b 11 x+a 21 x 2) +c 2 b20 +b 21 x+a 22 x 2) c s2 bs2 0 +b s2 1x+a 2s2 x 2) = c 1 b 10 +c 2 b c s2 b s2 )+c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1)x +c 1 a 21 +c 2 a c s2 a 2s1 )x 2 = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )+c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1)x +ax 2, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < r = 2, jadi degf x) gx)) = 1, dengan lcf x) gx)) = c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1 berdasarkan langkah sebelumnya f x) gx) Î. Karena f x) gx) Î dan gx) Î maka f x) gx))+gx) Î. Jadi f x) Î. Sehingga berdasarkan induksi terhadap r untuk r k dapat diperoleh, misalkan deghx)) = r untuk r < k, maka hx) Î. Untuk r = k, karena a = lcf x)) akibatnya a I k sehingga dapat ditulis a = c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk. Perhatikan polinomial gx) = s k i=1 c i f ki x) Î = c 1 f k1 x)+c 2 f k2 x)+...+c sk f ksk x) = c 1 b10 +b 11 x+...+a k1 x k) +c 2 b20 +b 21 x+...+a k2 x k) +...+c sk bsk 0 +b sk 1x+...+a ksk x k) = c 1 b 10 +c 2 b c sk b sk )+c 1 b 11 +c 2 b c sk b sk 1)x+...+c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk )x k = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )+c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1)x+...+ax k, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < r = k, berdasarkan hipotesis f x) gx) Î. Karena f x) gx) Î dan gx) Î maka f x) gx)) + gx) I. Jadi f x) Î. Untuk r = k + 1 maka r > k akibatnya a I k sehingga dapat ditulis a =

10 42 TEDUH WULANDARI c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk. Perhatikan polinomial gx) = s k i=1 c i x r k f ri x) Î = c 1 x k+1 k f k1 x)+c 2 x k+1 k f k2 x)+...+c sk x k+1 k f ksk x) = c 1 xf k1 x)+c 2 xf k2 x)+...+c sk xf ksk x) = c 1 x b 10 +b 11 x+...+a k1 x k) +c 2 x b 20 +b 21 x+...+a k2 x k) +...+c sk x b sk 0 +b sk 1x+...+a ksk x k) = c 1 b 10 +c 2 b c sk b sk )x+c 1 b 11 +c 2 b c sk b sk 1)x c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk )x k+1 = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )x+c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1)x ax k+1, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < k + 1, berdasarkan langkah sebelumnya f x) gx) Î. Karena f x) gx) Î dan gx) Î maka f x) gx))+gx) I. Jadifx) Î. Untuk r = k +2 maka r > k akibatnya a I k sehingga dapat ditulis a = c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk. Perhatikan polinomial gx) = s k i=1 c i x r k f ri x) Î = c 1 x k+2 k f k1 x)+c 2 x k+2 k f k2 x)+...+c sk x k+2 k f ksk x) = c 1 x 2 f k1 x)+c 2 x 2 f k2 x)+...+c sk x 2 f ksk x) = c 1 x 2 b 10 +b 11 x+...+a k1 x k) +c 2 x 2 b 20 +b 21 x+...+a k2 x k) +...+c sk x 2 b sk 0 +b sk 1x+...+a ksk x k) = c 1 b 10 +c 2 b c sk b sk )x 2 +c 1 b 11 +c 2 b c sk b sk 1)x c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk )x k+2 = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )x 2 +c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1)x ax k+2, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < r = k + 2, berdasarkan langkah sebelumnya f x) gx) Î. Karena f x) gx) Î dan gx) Î maka f x) gx))+gx) I. Jadi f x) Î. Sehingga berdasarkan induksi terhadap r untuk r > k dapat diperoleh, misalkan deghx)) = r untuk k < r < n, maka hx) Î. Untuk r = n, karena a = lcf x)) dan r > k maka a I k sehingga dapat ditulis a = c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk. Perhatikan polinomial

11 JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, gx) = s k i=1 c i x r k f ri x) Î = c 1 x n k f k1 x)+c 2 x n k f k2 x)+...+c sk x n k f ksk x) = c 1 x n f k1 x)+c 2 x n f k2 x)+...+c sk x n f ksk x) = c 1 x n b 10 +b 11 x+...+a k1 x k) +c 2 x n b 20 +b 21 x+...+a k2 x k) +...+c sk x n b sk 0 +b sk 1x+...+a ksk x k) = c 1 b 10 +c 2 b c sk b sk )x n +c 1 b 11 +c 2 b c sk b sk 1) x n c 1 a k1 +c 2 a k c sk a ksk )x k+n = c 1 b 10 +c 2 b c s1 b s1 )x n +c 1 b 11 +c 2 b c s2 b s2 1) x n ax k+n, sehingga diperoleh lcgx)) = a akibatnya degf x) gx) < r = n, berdasarkan hipotesis f x) gx) Î. Karena f x) gx) Î dan gx) Î maka f x) gx)) + gx) I. Jadi f x) Î. Akibatnya berdasarkan induksi terhadap r dapat diperoleh f x) Î. Jadi diperoleh I I. Tahap selanjutnya menunjukkan kebalikannya. Karena Î = f mjx) dengan f mj I dan I merupakan ideal maka jelas bahwa Î I. Jadi diperoleh I = Î. Jadi dapat disimpulkan bahwa I dibangun secara hingga. Karena setiap ideal di R[x] dibangun secara hingga, maka berdasarkan definisi Noether, R[x] merupakan gelanggang Noether. AljabarWeylA 1 K)merupakanpolinomialdengan2indeterminates tak komutatif dengan koefisien terletak di K yang merupakan suatu lapangan. Karena K lapangan maka K merupakan suatu division ring akibatnya K hanya memiliki ideal 0 dan dirinya sendiri, K. Sehingga rantai naik ideal di K merupakan rantai naik yang stabil, akibatnya K merupakan gelanggang Noether. Berdasarkan Toerema 13, K[y] merupakan gelanggang Noether. A 1 K) dapat dipandang sebagai polinomial dengan indeterminates x atas K[y] yaitu A 1 [K] = K[y][x], akibatnya dimiliki polinomial dengan indeterminates x dengan koefisien pada K[y] dengan fx xf untuksetiapf K[y]. DengansedikitvariasiterhadapbuktiTeorema 13 akan ditunjukkan bahwa A 1 K) = K[y][x] merupakan gelanggang Noether. Diketahui K[y] merupakan gelanggang Noether, dan setiap elemen dia 1 K)dapatditulisdalambentuk f i x i denganf i K[y]. Misalkan I ideal dari A 1 K) dan misalkan I n himpunan koefisien-koefisien tertinggi dari elemen di I dengan derajat n. Pertama akan ditunjukkan I n ideal di K[y]. Misalkan f,g I n maka ada f 0 + f 1 x +

12 44 TEDUH WULANDARI f 2 x fx n,g 0 +g 1 x+g 2 x gx n I sehingga f0 +f 1 x+f 2 x fx n) + g 0 +g 1 x+g 2 x gx n) = f 0 +g 0 )+f 1 +g 1 )x+f 2 +g 2 )x f +g)x n sehingga f +g I n. Misalkan h K[y] sehingga h f 0 +f 1 x+f 2 x fx n) = hf 0 +hf 1 x+hf 2 x hfx n dan f0 +f 1 x+f 2 x fx n) h = f 0 h+f 1 xh+f 2 x 2 h+...+fx n h dengan sifat aljabar weyl xf y) = f y)x+ df dy dapat diperoleh f 0 h+f 1 xh+f 2 x 2 h+...+fx n h = f 0 h+...+fhx n Akibatnya hf,fh I n. Jadi I n ideal di K[y] Misalkanf I n sehinggadapatdiperolehf 0 +f 1 x+f 2 x fx n I, karena I ideal di A 1 K) maka f 0 +f 1 x+f 2 x fx n )x I sehingga diperoleh f 0 x + f 1 x 2 + f 2 x fx n+1 I akibatnya f I n+1. Jadi dapat disimpulkan I n I n+1. Misalkan L 0 L 1... merupakan rantai naik ideal di A 1 K). Notasikan L in sebagai himpunan koefisien tertinggi pada L i dengan derajat n. Karena L 0 L 1... dan karena I n I n+1 maka dapat diperoleh L in L in+1 akibatnya L ij L km jika i k dan j m. Perhatikan rantai naik ideal L 11 L 22 L karena L ii ideal di K[y], dan K[y] Noether maka rantai naik tersebut stabil, misalkan pada L jj. Untuk setiap n dengan 0 n j 1, perhatikan rantai naik {L in i 0}, jika diuraikan untuk n = 0 L 00 L 10 L untuk n = 1 L 01 L 11 L untuk n = 2 L 02 L 12 L untuk n = j 1 L 0j 1 L 1j 1 L 2j 1... Karena L ij ideal di K[y] Noether maka rantai naik di atas stabil untuk setiap rantai, misalkan rantai tersebut stabil pada L knn untuk setiap n. Pilih m = max{j,k 0,k 1,...,k j 1 }, akibatnya untuk i m dan untuk setiap n 0 berlaku L in = L mn. Karena n berlaku untuk setiap maka dapat ditulis L 0 L 1 L 2... L m = L m+1 =... artinya rantai naik ideal {L i i 0} stabil pada L m. Jadi A 1 K) gelanggang Noether. DaripenjelasandiatasdapatdisimpulkanbahwaaljabarWeylA 1 K) memenuhi gelanggang Noether dan gelanggang Prim. Jadi aljabar Weyl A 1 K) merupakan contoh dari gelanggang Noether Prim. Tetapi karena aljabar Weyl A 1 K) tidak bersifat komutatif karena xy yx

13 JMA, VOL. 7, NO. 1, JULI, 2008, maka Aljbar Weyl A 1 K) bukan daerah integral, akibatnya aljabar Weyl A 1 K) bukan Daerah Dedekind. Daftar Pustaka 1. Adkins, William A & Weintraub Steveh H, Algebra An Aprroach via Module Theory, Springer-Verlag, New York, Coutinho, S.C., The Many Avatars of Simple Algebra, The American Mahtematical Monthly, vol 104, 71997), Herstein, I.N., Topics in Algebra, Second Edition, John Wiley & Sons, Singapore, Hungerford, Algebra, Springer-Verlag, New York, Lam, T.Y., A First Course in Noncommutative Rings, Springer- Verlag, New York, Lang, Serge, Algebra, Third Edition, Addison Wesley, New York, McConnell, J.C & J.C Robinson, Noncommutative Noetherian Rings, John Wiley & Sons, New York, Wulandari, Teduh, Hubungan daerah ideal utama dan daerah Dedekind, disampaikan pada kegiatan Conference on Statistical and Mathematical Sciences of Islamic Society in South East Asia Region pada tanggal April Wulandari, Teduh, Contoh Daerah Dedekind, disampaikan pada kegiatan sesi poster Departemen Matematika, IPB pada tanggal 15 September Wulandari, Teduh, Gelanggang Herediter, Jurnal Matematika dan Aplikasinya, vol 3, No.2, Desember, Wulandari, Teduh, Hubungan Daerah Dedekind dengan Gelanggang HNP, Jurnal Matematika dan Aplikasinya, vol 5, No. 1, Juli, 2006.

14 46 TEDUH WULANDARI..