KAITAN ANTARA SUPLEMEN SUATU MODUL DAN EKSISTENSI AMPLOP PROYEKTIF MODUL FAKTORNYA DALAM KATEGORI σ[m]

Transkripsi

1 KAITAN ANTARA SULEEN SUATU ODUL DAN EKSISTENSI ALO ROYEKTIF ODUL FAKTORNYA DALA KATEGORI σ[] Ftran urusan atematka FIA Unverstas Lamung l rofdr Soemantr Brojonegoro No1 Bandar Lamung Abstract Let be an R-module and N σ[] A rojectve module wth a suerfluous emorhsm π : N s called rojectve cover of N n σ[] Even f there are enough rojectve module n σ[], a module need not have a rojectve cover To get rojectve cover, we need sulement whch do not always exst In ths aer, we wll nvestgate relaton between sulement of a module and exstence rojectve cover of a factor module of Keywords: -rojectve module, rojectve cover, suerfluous emorhsm, sulement 1 ENDAHULUAN Dberkan R adalah rng assosatf dengan elemen satuan (1 R R) Suatu modul dsebut royektf jka modul tersebut meruakan enjumlah langsung suatu modul bebas Artnya, untuk seta R-modul 1, 2, jka dberkan barsan eksak endek , maka meruakan modul royektf jka barsan eksak tersebut tersah Selanjutnya, jka adalah suatu R-modul, maka dsebut modul -royektf jka untuk seta R-modul 1, barsan R-modul bersfat eksak dan tersah [6] ad, modul - royektf meruakan modul royektf relatf terhada barsan eksak tertentu Beberaa hal yang terkat dengan modul -royektf adalah submodul kecl, emorfsma kecl dan amlo royektf Tdak semua modul memunya amlo royektf Katayama (1969) memberkan salah satu syarat erlu dan cuku suatu modul memunya amlo royektf yang berkatan dengan eksstens elemen demoten rng endomorfsma dar rng tersebut yang memenuh syarat tertentu d dalam kategor R-modul Selan tu, syarat lan agar dmlk amlo royektf adalah modul tersebut meruakan modul bersulemen [6] Buyukask (2010) membuktkan bahwa untuk modul royektf lokal (locally rojectve module), seta submodul maksmal meruakan sulemen jka dan hanya jka submodul tersebut sem sederhana dan meruakan modul royektf Dengan adanya keterkatan antara sulemen suatu modul dan modul royektf, maka dalam eneltan n akan dkaj mengena sfat dan karakterstk sulemen dar suatu modul, serta katan antara sulemen suatu modul dan eksstens amlo royektf dar modul faktornya dalam kategor σ [ ], yang meruakan subkategor enuh dar kategor R-modul R-OD 2 SULEEN DARI SUATU ODUL Sulemen dar suatu submodul R- modul ddefnskan sebaga berkut salkan adalah R-modul dan U, V submodul Submodul V dkatakan sulemen dar U d jka V mnmal terhada hmunan submodul-submodul L dar yang memenuh U + L = ad, V = mn {L U + L = } [3] Dengan kata lan, V adalah sulemen dar U d jka U + V = dan untuk seta L submodul dengan U + L =, berakbat V L salkan adalah R-modul dan S submodul Submodul S dkatakan submodul kecl d, dtuls S << S + T, untuk seta submodul sejat T dar [5] Sfat dan karaktersas sulemen suatu modul dalam katannya 105

2 Ftran (Katan Antara Sulemen Suatu odul dan Eksstens Amlo oyektf odul Faktornya dalam kategor σ[]) dengan submodul kecl dberkan dalam rooss berkut rooss 21 [2] Dberkan U, V meruakan submodul dar R-modul V meruakan sulemen dar U d jka dan hanya jka U + V = dan U V meruakan submodul kecl d V (yatu U V = V ) Bukt : Dalam Z sebaga Z -modul, seta submodul sejat yang tak nol tdak memunya sulemen Daat derhatkan bahwa U + V Z, untuk seta U dan V submodul sejat dar Z sebaga Z -modul Hal n mendasar endefnsan suatu modul yang seta submodul sejatnya yang tak nol memunya sulemen d dalam modul yang dnamakan dengan Dketahu V sulemen dar U d dan X V modul bersulemen Salah satu contoh dar yang memenuh modul bersulemen adalah modul sem (U V) + X = V sederhana odul sem sederhana yang Akan dtunjukkan X = V meruakan hasl tambah langsung dar erhatkan bahwa submodul-submodul sederhana meruakan = V + U = ( U V ) + X + U = U + X modul bersulemen, sebab seta Berdasarkan kemnmalan V, deroleh submodul dar modul sem sederhana V X Karena X meruakan submodul meruakan enjumlah langsung, seert yang akan dbuktkan dalam rooss V, maka X = V Akbatnya, U V berkut meruakan submodul kecl d V rooss 23 [1] ka adalah R-modul Sebalknya, dketahu U + V = dan yang meruakan jumlahan submodul U V = V Akan dtunjukkan V submodul sederhana { meruakan sulemen dar U d, yatu V } I dan N adalah mnmal terhada submodul-submodul L sebarang submodul dar I, maka terdaat dar yang memenuh U + L = sal I sedemkan sehngga Y V yang memenuh U + Y = N ( ) Akbatnya, Bukt : V = V = ( U + Y ) V = ( U V ) + Y salkan adalah modul sem sederhana Berdasarkan hotess, U V = V Oleh dan N sebarang submodul dar N Akan karena tu, deroleh Y = V ad, terbukt dtunjukkan N meruakan enjumlah bahwa V meruakan sulemen U d langsung, yatu terdaat N submodul dar Karaktersas lan dar sulemen sedemkan sehngga N N = suatu modul dsajkan dalam rooss Karena adalah modul sem sederhana, berkut maka daat dasumskan = I rooss 22 [6] salkan adalah R- Dbentuk modul dan X = ka X A S = { I dan N = {0}} dan A sulemen d, maka X = A Bukt: maka S dengan nklus meruakan salkan X + Y = A untuk suatu Y hmunan terurut arsal submodul dar A Karena A sulemen d salkan C = { α } α A adalah sebarang, maka terdaat K submodul dar ranta d S dan = α A α Akan yang memenuh = K + A dan K A = A ad, dtunjukkan S Andakan S = K + A = K + X + Y Karena Karena N = {0}, maka harus X =, maka deroleh K + Y = dtunjukkan ad, terdaat Dengan menggunakan hukum modular, 0 sedemkan sehngga deroleh A = ( A K) + Y yang berakbat A = Y ad, terbukt bahwa X = A {0}, dengan = \ 0 0 salkan 0 x 0, maka x daat dtulskan sebaga: 106

3 urnal atematka Vol 14, No3, Desember 2011 : x = x + + x 1 k dengan x, untuk { 1,, k } dan x 0, untuk seta {1,, k} Karena C meruakan ranta, maka terdaat suatu ndeks α sedemkan sehngga { 1,, k } tdak termuat d dalam α ad, α α Kontradks dengan α S Oleh karena tu, haruslah S Berdasarkan Lemma Zorn yang menyatakan bahwa jka X meruakan hmunan terurut arsal dan seta ranta d X memunya batas atas, maka X memunya elemen maksmal Dalam hal n, S meruakan batas atas dar ranta C Akbatnya, S memunya elemen maksmal, katakan Selanjutnya, akan dtunjukkan = N + N ( ) Andakan tdak benar, maka terdaat ndeks I 0 sedemkan sehngga N +, maka 0 N dan 0 Karena 0 meruakan modul sederhana, maka deroleh N = {0} dan 0 0 = {0} Oleh karena tu, { 0 } S Hal n menmbulkan kontradks dengan kemaksmalan ad, haruslah = N + N ( ) atau dengan kata lan, seta submodul dar meruakan enjumlah langsung Akbatnya, seta modul sem sederhana meruakan modul bersulemen Radcal dar suatu R-modul ddefnskan sebaga rsan semua submodul maksmal dan dtuls Rad() ka tdak memlk submodul maksmal, maka dtentukan Rad() = [5] Selanjutnya, jka seta submodul dar meruakan sulemen d, maka meruakan modul sem sederhana seert yang akan daarkan dalam rooss berkut 0 rooss 24 [4] salkan adalah R- modul ka seta submodul dar meruakan sulemen d, maka meruakan modul sem sederhana Bukt Sebelumnya akan dtunjukkan Rad () = 0 Andakan Rad () 0, maka terdaat x Rad () dengan x 0 Berdasarkan hotess, Rx adalah sulemen d Oleh karena tu, terdaat K sedemkan sehngga Rx + K = dan Rx K << Rx Karena x Rad () dan Rx <<, maka K = Akbatnya, Rx << Rx Hal n menmbulkan kontradks ad, haruslah Rad () = 0 Selanjutnya, akan dtunjukkan adalah modul sem sederhana Dberkan N submodul, maka berdasarkan hotess, N adalah sulemen d Oleh karena tu, terdaat N sedemkan sehngga N + N = dan N N << N ad, N N Rad( ) = 0 Akbatnya, N N modul sem sederhana Karaktersas lan dar sulemen suatu modul dberkan dalam rooss berkut rooss 25 [3] Dberkan U, V meruakan submodul dar R-modul ka V adalah sulemen dar U d, maka berlaku: 1 ka W + V = untuk suatu W U, maka V meruakan sulemen dar W d ; 2 ka dbangun secara berhngga (fntely generated), maka V dbangun secara berhngga; 3 ka U meruakan submodul maksmal dar, maka V sklk dan = ad, terbukt adalah U V = Rad( V ) meruakan submodul maksmal dar V; 4 ka K =, maka V meruakan sulemen dar U + K ; 5 ka K =, maka K V = V dan Rad( V ) = V Rad( ) ; 6 ka Rad ( ) =, maka U termuat dalam submodul maksmal dar 107

4 Ftran (Katan Antara Sulemen Suatu odul dan Eksstens Amlo oyektf odul Faktornya dalam kategor σ[]) Bukt: 1 Karena V meruakan sulemen dar U, maka berlaku U + V = dan U V = V Akbatnya, W V U V = V Oleh karena terbukt V meruakan sulemen dar W d 2 Dberkan meruakan modul yang dbangun secara berhngga Karena U + V =, maka terdaat V V submodul yang dbangun secara berhngga yang memenuh U + V = Berdasarkan kemnmalan V, deroleh V = V ad, terbukt V dbangun secara berhngga 3 Dberkan U meruakan submodul maksmal dar Dengan cara yang sama dengan bukt (2), deroleh V meruakan submodul sklk Selanjutnya, akan dtunjukkan U V = Rad( V ) meruakan submodul maksmal dar V Karena V /( U V ) ; / U, maka U V meruakan submodul maksmal dar Akbatnya, U V Rad ( V ) D lan hak, karena V meruakan sulemen U d, maka berlaku U V = V Dar sn, deroleh U V Rad( V ), sehngga daat dsmulkan U V = Rad( V ) 4 ka K =, maka untuk suatu X V, dengan U + K + X = berlaku U + X = Berdasarkan kemnmalan V, deroleh X = V Dengan kata lan, terbukt V meruakan sulemen dar U + K 5 ka K = dan X V dengan ( K V ) + X = V, maka: = U + V = U + ( K V ) + X = U + X Berdasarkan kemnmalan V, deroleh X = V Selanjutnya karena ( K V ) + X = V, maka deroleh ( K V ) = V Dengan demkan, V Rad ( ) Rad( V ) D lan hak, 108 Rad( V ) V Rad( ) selalu terenuh Akbatnya, terbukt Rad( V ) = V Rad( ) Dalam teorema berkut dberkan katan antara sulemen dan eksstens amlo royektf dar modul faktornya Teorema 26 [6] ka N modul royektf d dalam σ [ ], maka untuk U submodul dar N, ernyataan berkut ekuvalen 1 Terdaat V N yang meruakan enjumlah langsung d N dengan U + V = N dan U V = V 2 N / U memunya amlo royektf d σ [ ] Bukt: (1) (2) Karena V meruakan enjumlah langsung dar N yang meruakan modul royektf d σ [ ], maka V juga meruakan modul royektf d dalam σ [ ] Selanjutnya, untuk emorfsma : V N N / U deroleh Ker = U V = V Oleh karena tu, daat dsmulkan bahwa ( V, ) meruakan amlo royektf dar N / U d dalam kategor σ [ ] (2) (1) Dasumskan σ [ ] memunya amlo royektf, katakan π : N / U meruakan amlo royektf dar N / U d σ [ ] Oleh karena tu, ada dagram: N π N / U 0 Dagram 1 daat dtentukan morfsma f : N sedemkan sehngga Dagram 1 komutatf yatu π o f = Karena dan π emorfsma, maka f meruakan emorfsma Oleh karena tu, daat dbentuk barsan eksak berkut: 0 Ker f N 0 Karena meruakan modul royektf d dalam σ [ ], maka barsan eksak tersebut tersah Akbatnya, terdaat g : N sedemkan sehngga f o g = d Oleh kerena tu,

5 urnal atematka Vol 14, No3, Desember 2011 : π = π o f o g = o g Dengan demkan, deroleh U + g( ) = N Selanjutnya, karena g() meruakan amlo royektf dar N/U, maka U g( ) = g( ) ad, terdaat V = g( ) yang meruakan enjumlah langsung d N sedemkan sehngga U + V = N dan U V = V ernyataan ada Teorema 26 (1) ekuvalen dengan U meruakan sulemen dar V d N, demkan juga sebalknya, yatu V meruakan sulemen dar U d N dalam kategor σ[] Oleh karena tu, daat dkatakan bahwa, jka N meruakan modul royektf dalam kategor σ[] dan U memunya sulemen d N, maka akan berakbat modul faktor N/U memunya amlo royektf dalam kategor σ[] Selanjutnya, ( V, ), dengan V meruakan sulemen dar U dan : V N N / U adalah emetaan royeks, meruakan amlo royektf untuk modul faktor N/U dalam kategor σ [ ] 3 KESIULAN Tdak semua modul memunya amlo royektf Untuk menjamn adanya amlo royektf n derlukan adanya sulemen dar modul tersebut Salah satu contoh dar modul bersulemen adalah modul sem sederhana odul sem sederhana yang meruakan hasl tambah langsung dar submodul-submodul sederhana meruakan modul bersulemen, sebab seta submodul dar modul sem sederhana meruakan enjumlah langsung Sebalknya, jka seta submodul dar meruakan sulemen d, maka meruakan modul sem sederhana ka suatu submodul dar modul royektf d dalam σ[] memunya sulemen, maka modul faktornya memunya amlo royektf dalam kategor σ[], yatu jka N meruakan modul royektf dalam kategor σ[] dan U memunya sulemen d N, maka akan berakbat modul faktor N/U memunya amlo royektf dalam kategor σ[] Selanjutnya, ( V, ), dengan V meruakan sulemen dar U dan : V N N / U adalah emetaan royeks, meruakan amlo royektf untuk modul faktor N/U dalam kategor σ [ ] 4 DAFTAR USTAKA [1] Anderson, W dan Fuller, K, (1992), Rngs and Categores of odules, Srnger-Verlag Berln Hedelberg, New York [2] Blhan, G, (2005), Amly Fws odules, ournal of Arts and Scences Say, Vol4, 2005 [3] Clark,, Lom, C, Vanaja, N, dan Wsbauer, R, (2006), Lftng odules (Sulement and rojectvty n odul Theory), Brkhauser Verlag, Basel Swtzerland [4] Serl, (2007), Thess: Totally Weak Sulemented odules, Izmr Insttute of Technology [5] Wang, Yongduo, Dng, Nanqng, Generalzed Lftng odules, Internatonal ournal of athematcs and athematcal Scences Volume 2006, ages 1-9 [6] Wsbauer, R, (1991), Foundaton of odul and Rng Theory, Gordon and Breach 109