Extra 4 Pengantar Teori Modul

Ukuran: px
Mulai penontonan dengan halaman:

Download "Extra 4 Pengantar Teori Modul"

Transkripsi

1 Extra 4 Pegatar Teor odul Apabla selama dkealka suatu kosep aljabar megea ruag vektor, maka modul merupaka perumuma dar ruag vektor. Pada modul, syarat skalar dperumum mejad eleme pada suatu rg da buka lapaga. Dega demka ruag vektor merupaka suatu kasus khusus dar modul da karea sfat modul yag lebh luas dar ruag vektor maka ada berbaga sfat-sfat trval pada ruag vektor mejad o-trval pada modul. Utuk megawal pembahasa megea modul, berkut dberka defs tetag modul kaa da modul kr.. Pegerta Umum odul da Submodul Defs E4. (odul Kr) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Serta dberka pula operas ber (dsebut pergadaa skalar) *:R. Hmpua dsebut modul kr atas R (dotaska R-odul), jka memeuh ketga aksoma pergadaa skalar berkut : r*( m + m ) = r* m + r* m, m, m 2 r R. 2 2 ( r + r )* m= r * m+ r * m, m r, r2 R ( r r )* m= r *( r * m), m r, r2 R Cotoh E4.2 Dberka ruag vektor 3 da hmpua seluruh matrks blaga real berukura 3x3 a a2 a3 3x3 = a2 a22 a 23 aj a3 a32 a 33 Dberka pula operas ber vektor. *: 3x3 3 3 sebaga operas pergadaa matrks dega Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009.

2 Dketahu 3 adalah grup Abela da 3x3 adalah rg. Serta operas pergadaa matrks dega vektor adalah operas ber. Aka dtujukka bahwa ketga aksoma dpeuh. egguaka sfat pergadaa matrks dega vektor :. Utuk sebarag matrks a a2 a3 a a a a3 a32 a x3 da vektor x y x, y 2 2 x 3 y 3 3 a a2 a3 x + y a a2 a3 x a a2 a3 y a a a x + y = a a a x + a a a y a3 a32 a 33 x3 + y 3 a3 a32 a 33 x 3 a3 a32 a 33 y 3 2. Utuk sebarag matrks a a a b b b a a a b b b a a a b b b , x da vektor x x 2 x 3 3 a + b a2 + b2 a3 + b3 x a a2 a3 x b b2 b3 x a + b a + b a + b x = a a a x + b b b x a3 + a3 a32 + b32 a33 + b 33 x 3 a3 a32 a 33 x 3 b3 b32 b 33 x 3 3. Utuk sebarag matrks a a a b b b a a a b b b a a a b b b , x da vektor x x 2 x 3 3 a a2 a3 b b2 b3 x a a2 a3 b b2 b3 x a a a b b b x = a a a b b b x a3 a32 a33 b3 b32 b 33 x3 a3 a32 a 33 b3 b32 b 33 x 3 Akbatya 3 = 3x3 odul. Dperhatka bahwa operas pergadaa 3 dega 3x3 pada cotoh datas dapat berlaku karea vektor dar 3 drepresetaska sebaga matrks vertkal. Bagamaa jka vektor pada 3 drepresetaska sebaga matrks horzotal? Jelas bahwa jka vektor pada drepresetaska sebaga matrks horzotal maka operas pergadaa pada cotoh datas tdak Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

3 dapat berlaku. Namu 3 dega vektorya sebaga matrks horzotal tetap dapat mejad modul atas rg 3x3 jka operas pergadaaya dubah, yak matrks doperaska dega vektor dar ss kaa. Dar cotoh tersebut dapat dyataka suatu defs baru. Defs E4.3 (odul Kaa) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Serta dberka pula operas pergadaa skalar *: R. Hmpua dsebut modul kaa atas R (dotaska odul-r), jka memeuh ketga aksoma pergadaa skalar berkut : ( m + m )* r = m * r+ m * r, m, m 2 r R m*( r r2) m* r m* r2 + = +, m r, r2 R 3. ( ) m*( r r ) = m* r * r, m r, r2 R. 2 2 Aka tetap tdak meutup kemugka bahwa operas pergadaa skalar pada modul dapat berlaku dar kr da sekalgus dar kaa. Sfat modul dega operas pergadaa tersebut dapat dyataka sebaga defs. Defs E4.4 (B-odul) Dberka grup Abela (, + ) da rg ( R, +, ). Jka adalah modul kr sekalgus modul kaa atas R maka dsebut B-odul. Cotoh E4.5 Hmpua seluruh blaga bulat merupaka B-odul dega rg da operas pergadaa perkala blaga bulat. Jka rg pada modul merupaka rg dega eleme satua, maka dapat dmuculka suatu defs baru. Defs E4.6 (odul Uter Kr) Dketahu R-odul da R rg dega eleme satua. odul dsebut modul uter kr jka da haya jka utuk setap m berlaku R * m= m dega R merupaka eleme satua d R. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

4 Defs E4.7 (odul Uter Kaa) Dketahu odul-r da R rg dega eleme satua. odul dsebut modul uter kaa jka da haya jka utuk setap m berlaku m* R satua d R. = m dega R merupaka eleme Cotoh E4.8 Hmpua seluruh blaga bulat merupaka B-odul Uter dega rg da operas pergadaa perkala blaga bulat. Utuk mempermudah peulsa, otas a b aka dtuls ab. Harap dperhatka bahwa utuk seterusya pembahasa megea modul d tulsa megacu kepada modul uter kr da dega pealara yag serupa pembahasa dapat dterapka juga pada modul uter kaa. Selajutya, aka dperkealka suatu struktur dar suatu modul yag dsebut submodul. Defs E4.9 (Submodul) Dketahu R-odul, R rg dega eleme satua, da N, maka N dsebut submodul dar jka da haya jka ketga aksoma berkut dpeuh:. N merupaka subgrup Abela dar 2. Operas pergadaa skalar yag berlaku pada juga berlaku pada N 3. N memeuh aksoma-aksoma modul uter. Jka N merupaka submodul dar, maka N dapat dyataka sebaga R-odul. Cotoh E4.0 Pada odul, hmpua 3 merupaka submodul dar. Utuk selajutya, rg R pada R-odul dasumska sebaga rg dega eleme satua. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

5 Teorema berkut dapat dperguaka utuk meelaah apakah suatu hmpua merupaka submodul. Teorema E4. Dketahu R-odul da N, maka N dsebut submodul dar jka da haya jka memeuh dua syarat berkut: Bukt. ( ). 2 N,, 2 2. r N, N r R N Dketahu bahwa N adalah submodul dar modul. Dega demka N adalah subgrup Abela dar da akbatya utuk setap, 2 N, berlaku 2 N. Karea operas pergadaa skalar yag berlaku pada juga berlaku pada N, maka utuk setap N da r R, berlaku r N. ( ) Karea utuk setap, 2 N berlaku 2 N, maka meurut Teorema.9 N merupaka subgrup Abela dar. Selajutya, karea r N utuk setap N da r R maka operas pergadaa skalar d juga berlaku d N. Terakhr, karea N merupaka hmpua baga dar da operas pergadaa skalar d juga berlaku d N maka aksoma-aksoma modul uter d juga berlaku d N. Jad, N merupaka submodul dar. Jka dketahu dua submodul dar suatu modul, maka dapat dbetuk submodul baru dar kedua submodul tersebut. Teorema berkut meyataka hal tersebut. Teorema E4.2 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar, maka kedua sfat berkut berlaku:. H K merupaka submodul dar 2. H + K merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

6 Bukt. () Aka dtujukka H K adalah submodul dar, yatu H K memeuh Teorema E4.. Dambl sebarag, 2 H K maka, 2 H da, 2 K. Karea H da K adalah submodul, maka 2 H da 2 K. Akbatya 2 H K. Selajutya, dambl sebarag r R, karea H da K adalah submodul maka r, r 2 H da r, r 2 K. Akbatya r, r2 H K. Jad, terbukt bahwa H K merupaka submodul dar. (2) Aka dtujukka H + K adalah submodul dar, yatu H + K memeuh Teorema E4.. Dperhatka bahwa H K { h k h H da k K} = h+ k da 2 = h2 + k2 utuk suatu h, h2 + = +. Dambl sebarag, 2 H + K, maka H da k, k2 submodul maka h h2 H da k k2 K. Akbatya K. Karea H da K adalah = ( h + k ) ( h + k ) = ( h h ) + ( k k ) H + K. Selajutya, dambl sebarag r R. Karea H da K adalah submodul, maka rh r = r( h + k ) = rh + rk H + K. Jad, terbukt bahwa H H da rk, K. Akbatya + K merupaka submodul dar. Cotoh E4.3 Dberka rg polomal dega peubah x da koefseya blaga bulat, [ x]. Karea adalah rg dega eleme satua maka [ x] juga rg dega eleme satua. Karea rg dega eleme satua adalah grup Abela maka [ x] adalah -odul dega operas pergadaa skalar dega polomal. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

7 Dambl sub-hmpua dar [ x], yatu [ x] = ax a. Aka dtujukka bahwa = 0 [ x] adalah submodul dar [ x]. Dambl sebarag x, y [ x] maka x = ax da = 0 y = bx utuk a, b = 0, sehgga ( ) = 0 = 0 = 0 utuk suatu x y = a x bx = a b x a b, akbatya x y [ x]. Utuk sebarag m da x = ax, = 0 utuk suatu ma = 0 = 0 mx = m a x = ( ma ) x, akbatya mx [ x]. Dperhatka bahwa 2 [ x] da 5 [ x] merupaka submodul dar [ x]. Dega demka meurut Teorema E4.2 berlaku:. 2 [ x] 5 [ x] = 0 [ x] 2. 2 [ x] + 5 [ x] = [ x] Dperhatka bahwa 2 [ x] 5 [ x] bukalah submodul dar. Karea utuk 2x 2 [ x] da 5x 5 [ x], 5x 2x= 3x 2 [ x] 5 [ x]. Dar defs-defs beserta teorema-teorema datas dapat dperoleh kesmpula sebaga berkut:. Setap rg merupaka modul atas drya sedr, yatu jka R rg maka R R-odul. 2. Jka R dpadag sebaga R-odul, maka setap deal pada R merupaka submodul d R. 3. Setap ruag vektor merupaka modul. Utuk cotoh-cotoh selajutya, submodul pada -odul aka selalu berbetuk dega merupaka blaga bulat. Utuk meujukka kebeara peryataa dapat megguaka sfat Daerah Ideal Utama, yatu setap deal pada dbagu oleh tepat satu eleme. Terkat dega pembagu suatu submodul, subbab selajutya aka membahas pembagu suatu submodul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

8 2. odul Faktor da Homomorfsma salka dketahu R-odul. Karea grup Abela, maka sebarag subgrup dar juga merupaka grup Abela. salka N merupaka sebarag subgrup dar. Karea N subgrup Abela, maka N merupaka subgrup ormal terhadap, yatu an = Na utuk setap a. Dega demka meurut Teorema E3.7, N = { a+ N a } merupaka grup terhadap operas ber ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N. Karea grup Abela, maka jelas bahwa ( a+ N) + ( b+ N) = ( a+ b) + N = ( b+ a) + N = ( b+ N) + ( a+ N). Jad, N merupaka grup Abela terhadap operas pejumlaha koset. Teorema E4.4 Dketahu R-odul, N sebarag submodul dar, da R rg dega eleme satua, maka N R -odul terhadap operas pergadaa koset r( a+ N) = ( ra) + N utuk setap r R da an N. Selajutya, N dsebut dega modul faktor. Bukt. Aka dtujukka bahwa operas pergadaa koset datas merupaka operas ber. Pertama aka dtujukka bahwa operas terdefs dega bak. Dambl sebarag a+ N, b+ N N dega a+ N = b+ N. egguaka sfat kesamaa dua koset dperoleh a b N. Karea N submodul, maka utuk sebarag r R berlaku, ( ) r a b = ra rb N. Dega kata la ( ra) + N = ( rb) + N, sesua dega defs operas pergadaa koset r( a+ N) = r( b+ N). Terbukt operas terdefs dega bak. Kedua, operas tertutup karea ra utuk sebarag r R da a da dega demka berlaku r( a+ N) = ( ra) + N N. Jad, operas pergadaa koset merupaka operas ber. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

9 + + da rr,, r2 Terakhr, dberka sebarag a N, b N N operas pergadaa koset memeuh aksoma pergadaa skalar :. r a+ N + b+ N = r a+ b + N (( ) ( )) (( ) ) = ( r( a+ b) ) + N = ( ra + rb) + N = ( ra + N ) + ( rb + N ) = r( a+ N) + r( b+ N) R. Aka dtujukka bahwa ( ) ( r+ r2)( a+ N) = ( r+ r2) a + N = ( ra + ra 2 ) + N = ( ra + N) + ( ra 2 + N) = r ( a+ N) + r ( a+ N) 2 ( ) ( rr 2)( a+ N) = ( rr 2) a + N = ( r( ra 2 )) + N = r( ra 2 + N) = r r ( a+ N) ( ) ( ) ( ) 2 a+ N = a + N R R = a+ N. Jad, terbukt bahwa N merupaka modul atas R. Cotoh E4.5 Pada -odul dapat dplh submodul 6 da dbetuk grup abela { } 6 = 0+ 6, + 6, 2+ 6, 3+ 6, 4+ 6, Hmpua 6 merupaka modul atas dega operas pergadaa skalar r( a ) ( ra) a = + 6 utuk setap r da Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

10 odul faktor merupaka salah satu sfat yag dguaka pada pembahasa megea teorema utama homomorfsma. Berkut dberka pegerta megea homomorfsma, yatu suatu pemetaa dar suatu modul ke modul la yag megawetka sfat-sfat operas pergadaa skalar d kedua modul. Defs E4.6 (Homomorfsma odul) Dketahu da ' adalah R-odul. Pemetaa φ : ' dsebut homomorfsma modul jka da haya jka memeuh kedua syarat berkut: ( m + m ) = ( m ) + ( m ), utuk setap m, m2. φ 2 φ φ 2 2. φ( rm) = r φ( m), utuk setap m da r R. Cotoh E4.7 Dketahu da [ x] keduaya merupaka -odul. Pemetaa φ : [ x] 3 ( a) ax φ = merupaka homomorfsma modul, karea φ( a+ b) = a+ b x = ax + bx = φ( a) + φ( b), utuk setap ab,. ( ) φ ( ) ( ) dega defs ( ra) = ra x = r ax = r φ( a), utuk setap a da r. Berkut dberka lemma megea sfat-sfat homomorfsma modul. Lemma E4.8 Dketahu da keempat sfat berkut berlaku: ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. Jka 0 merupaka eleme dettas d, maka φ ( 0 ) = 0 ' 2. Jka a, maka φ( a) = φ( a) 3. Jka H merupaka sumodul dar, maka φ ( H ) merupaka submodul dar ' 4. Jka K ' merupaka submodul dar ', maka φ ( K ') merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

11 Bukt. () salka 0 merupaka eleme dettas d, yatu a+ 0 = 0 + a= a utuk setap a. Karea a 0 0 a a + = + =, maka berlaku φ( a 0 ) φ( 0 a) φ( a) homomorfsma, maka dperoleh:. φ( a 0 ) φ( a) φ( 0 ) φ( a) + = + = da. φ( 0 a) φ( 0 ) φ( a) φ( a) + = + =. Jad, dperoleh φ( a) φ( 0 ) φ( 0 ) φ( a) φ( a) ( 0 ) 0 ' + = + =. Karea φ + = + = utuk setap a da dega demka φ = yatu eleme dettas d '. (2) Dambl sebarag a da dega demka dperoleh a+ ( a) = ( a) + a= 0. Karea a+ ( a) = ( a) + a= 0, maka berlaku φ( a ( a) ) φ( ( a) a) φ( 0 ) homomorfsma da meurut () berlaku ( 0 ) 0 '. φ( a+ ( a) ) = φ( a) + φ( a) = 0 ' da. φ( ( a) + a) = φ( a) + φ( a) = 0 '. Jad, dperoleh φ( a) φ( a) φ( a) φ( a) 0 ' berlaku φ( a) φ( a) =. + = + =. Karea φ φ =, maka dperoleh: + = + = utuk setap a da dega demka (3) Dambl sebarag ab, φ ( H), maka a = φ ( x) da b φ ( y) Dperhatka bahwa a b φ( x) φ( y) φ( x) φ( y) φ( x y) = utuk suatu x, y H. = = + =. Karea H submodul da x, y H, maka meurut Teorema E4. berlaku x y H da dega demka ( ) φ( ) a b= φ x y H. Dambl sebarag r R da dperhatka bahwa ra r φ( x) φ( rx) = =. Karea H submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku rx H da dega demka = φ( ) φ( ). Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa ( H ) ra rx H φ merupaka submodul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja 2009.

12 (4) Dambl sebarag ab, φ ( K' ), maka φ ( a) = k da ( b) k2 φ = utuk suatu k, k2 K'. Karea K ' submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku k k 2 K' da dega demka = φ( ) φ( ) = φ( ). Sehgga berlaku a b φ ( K' ) k k a b a b K 2 '. Dambl sebarag r R da dperhatka bahwa rk = r φ( a) = φ( ra). Karea K ' submodul, maka meurut Teorema E4. berlaku rk = φ ( ra) K da dega demka ra φ ( K ') ' Teorema E4. terbukt bahwa φ ( K ') merupaka submodul.. Jad, meurut Berkut dberka defs megea Kerel da Image suatu homomorfsma beserta sfatsfatya. Defs E4.9 (Kerel da Image Homomorfsma) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. Kerel φ = { m φ( m) 0 ' } = da 2. Image φ = { ( m) ' m } φ. Selajutya, kerel φ dotaska ker ( φ ). Cotoh E4.20 Pada Cotoh E4.7 dketahu ker ( ) { 0} φ = da mage( ) { ax 3 a } φ =. Lemma E4.2 Dketahu da Bukt. ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka. ker ( φ ) merupaka submodul dar da 2. mage( φ ) merupaka submodul dar '. Dperhatka bahwa ker ( φ ) buka hmpua kosog, karea 0 ker( φ ) sebarag k, k ker( φ ) 2. Karea φ adalah homomorfsma modul maka berlaku,. Selajutya, dambl Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

13 φ( k k ) φ( k ) φ( k ) = = = da dega demka k k ( φ ) 2 2 ' ' ' 2 ker. Terakhr dambl sebarag r R da k ker ( φ ). Karea φ adalah homomorfsma modul maka φ( rk) r φ( k) r0 0 = = = da dega demka rk ker ( φ ) ' ' ker ( φ ) merupaka submodul dar.. Jad, meurut Teorema E4. Dperhatka bahwa mage( φ ) buka hmpua kosog karea 0 mage( φ ) dambl sebarag xy, mage( φ ) '. Selajutya,. aka x = φ( m ) da y = φ( m2 ) utuk suatu m, m 2. Karea φ adalah homomorfsma modul maka x y = φ( m) φ( m2) = φ( m m2). Karea modul, maka m m 2 da dega demka x y φ( m m ) mage( φ ) =. Terakhr 2 dambl sebarag r Rda x mage( φ ), maka x = φ( m) utuk suatu m. Karea φ adalah homomorfsma modul, maka rx = rφ( m) = φ( rm). Karea modul, maka rm da dega demka rx = φ ( rm) mage( φ ). Jad, meurut Teorema E4. ( ) submodul dar '. mage φ merupaka Defs megea somorfsma berkut, aka megawal pembahasa megea Teorema Utama Homomorfsma odul. Defs E4.22 (Isomorfsma) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul. Jka φ adalah pemetaa bjektf, yatu φ pemetaa jektf sekalgus surjektf, maka pemetaa φ dsebut somorfsma modul. Cotoh E4.23 Dketahu -odul, maka pemetaa ϕ : merupaka somorfsma modul. dega ϕ ( a) = a, utuk setap a Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

14 Teorema E4.24 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul dega ker ( φ ) = H. aka pemetaa μ: H ϕ( ) yag ddefska μ( a+ H) = φ( a) utuk setap a+ H H merupaka somorfsma modul. Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.3. Teorema E4.25 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul dega ker ( ) φ = H. aka pemetaa : H setap a merupaka homomorfsma surjektf. Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.4. γ yag ddefska ( ) γ a = a+ H utuk Dar Teorema E4.24 da E4.25, dapat dbetuk lagkah-lagkah sebaga berkut:. Dketahu da ' merupaka R-odul 2. Dketahu φ : ' homomorfsma modul 3. Dketahu φ ( ) ' 4. Dar Teorema E4.4, dperoleh ker ( ) φ merupaka R-odul 5. Dar Teorema E4.25, dapat dbetuk suatu homomorfsma surjektf dar ke ker ( φ ) 6. Dar Teorema E4.24, dapat dbetuk suatu somorfsma dar ker ( φ ) ke ( ) φ. Dperhatka lagkah 4, 5, da 6. Jka a, maka utuk memetaka eleme a ke ' melalu suatu pemetaa homomorfsma modul, tdak harus melalu pemetaa φ. Dar lagkah 4, 5, da 6, utuk memetaka eleme a ke ' dapat pula melalu pemetaa γ da μ yag keduaya merupaka pemetaa homomorfsma modul. Pertama, eleme a dpetaka terlebh dahulu ke grup ker ( φ ) melalu pemetaa γ, hasl petaya adalah γ ( a). Selajutya, eleme γ ( a) Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

15 dpetaka ke φ ( ) ' melalu pemetaa μ, hasl petaya adalah μ( γ ( a) ) ( μ γ)( a) Jad, megguaka lagkah-lagkah tersebut eleme a tdak lagsug dpetaka ke pemetaa φ, melaka harus sggah sejeak d modul ker ( ) =. ' melalu φ utuk kemuda dpetaka ke ' melalu pemetaa μ γ. Tetap yag terpetg adalah modul ker ( φ ) da φ ( ) somorfs, yatu ada suatu somorfsma dar ker ( φ ) ke φ ( ). Sfat tersebut dapat dyataka ke dalam sebuah teorema. Teorema E4.26 (Teorema Utama Homomorfsma odul ) Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka terdapat suatu somorfsma modul dar ker ( φ ) ke ( ) φ. Jka φ merupaka pemetaa surjektf aka dperoleh ( ) ' φ = da Teorema E4.26 dapat berubah mejad sepert berkut. Teorema E4.27 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul yag surjektf, maka terdapat suatu somorfsma modul dar ker ( φ ) ke '. Teorema Utama Homomorfsma odul pada dasarya merupaka kasus khusus dar Teorema Utama Homomorfsma Grup da Rg. Karea tu terdapat juga Teorema ke-2 da ke-3 megea Teorema Utama Homomorfsma odul. Pembukta utuk kedua teorema tersebut serupa dega pembukta utuk Teorema Utama Homomorfsma Grup da Rg. Teorema E4.28 (Teorema Utama Homomorfsma odul 2) Dketahu R-odul serta H da N merupaka sebarag submodul dar, maka terdapat suatu smomorfsma modul dar ( H + N) N ke H ( H N) Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.2.. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

16 Teorema E4.29 (Teorema Utama Homomorfsma odul 3) Dketahu R-odul serta H da N merupaka sebarag submodul dar. Jka H juga submodul dar N, maka terdapat suatu smomorfsma modul dar N ke ( H) ( N H ). Bukt. Bukt sejala dega pembukta Teorema E3.22. Teorema E4.30 Dketahu da ' adalah R-odul da φ : ' merupaka homomorfsma modul, maka utuk sebarag submodul Bukt. () K ' dar ' berlaku:. Submodul φ ( K ') memuat ( ) ker φ. 2. Jka terdapat submodul H dar yag memuat ker ( φ ) da ( H) K' Karea ( K' ) φ = H. 0 ', eleme dettas d ', termuat pada ' aggota yag dpetaka ke ' φ = maka K ' maka φ ( K ') memuat setap 0. Dega kata la φ ( K ') memuat ( ) ker φ. (2) salka H merupaka submodul dar dega ker ( φ ) H da ( H) K' Karea φ ( H) = K', maka jelas bahwa H φ ( K' ) ( K' ) H φ. Dambl sebarag k K' ( ). Karea φ ( K' ) = H da φ φ ( K' ) = K', maka k φ( h) φ( x) φ ( ). Karea φ( h) = φ( x), maka dperoleh φ( ) φ( ) ' x K ' φ =.. Selajutya, aka dbuktka bahwa = =, utuk suatu h H da h x = 0 K'. Karea φ homomorfsma, dperoleh φ( h) φ( x) = φ( h x). Dega demka, φ ( h x) = 0 ' atau dega kata la h x ker ( φ ). Karea ker ( ) φ H, akbatya h x H. Karea h H Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

17 da h x H h+ h x = h+ h x= x= x H. Karea x H da H, akbatya ( ) ( ) 0 submodul, maka x H. Karea pemlha k sebarag da ( H) K' Jad, karea berlaku H φ ( K' ) da φ ( K' ) H, maka ( K' ) φ =, berakbat ( K' ) φ = H. φ H. Teorema E4.3 (Teorema Korespodes) Dketahu da ' da H, K, serta N merupaka submodul dar. Jka submodul H da K memuat N da berlaku H N Bukt. = K N, maka H = K. Karea N merupaka submodul dar, maka meurut Teorema E4.4 N merupaka R- odul. Dbetuk homomorfsma : N φ, dega defs ( ) φ a = a+ N utuk setap a da jelas bahwa ker ( φ ) = N. Dperhatka bahwa φ merupaka pemetaa surjektf, karea utuk sebarag a+ N N dapat dplh x dega x a = sehgga ( ) φ a = a+ N. Karea H da K merupaka submodul dar da φ merupaka pemetaa surjektf, maka jelas bahwa φ ( H) = H N da φ ( K) = K N. Karea submodul H memuat N ker ( φ ) φ ( H) = H N = K N, maka meurut Teorema E4.32 () berakbat ( K N) ( K N) K =. φ =, maka dperoleh H K = da φ = H. Karea Cotoh E4.32 Pada -odul, aka dtujukka bahwa prma. Dperhatka dahulu bahwa. a + b = d, dega d = gcd ( a, b) 2. a b = c, dega c= lcm ( a, b) m ( m) dega m da salg relatf dega gcd merupaka faktor persekutua terbesar da lcm merupaka kelpata persekutua terkecl. Selajutya, dmsalka N maka gcd ( m, ) = da lcm ( m, ) = da H = m. Karea m da salg relatf prma, = m. Dega demka H + N = m + = da Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

18 ( ) H N = m = m. Sehgga meurut Teorema Utama Homomorfsma odul 3 H + N H m. dperoleh ( ) N ( H N) ( m) 3. Eleme Tors da Ahlator Sesua defs modul, suatu rg dega eleme satua dapat dpadag sebaga modul atas drya sedr. Dperhatka pada kasus ketka rg tersebut memuat eleme pembag ol. Igat kembal bahwa eleme pembag ol pada suatu rg adalah eleme a da b yag keduaya tdak ol dega ab = 0. Keberadaa eleme pembag ol aka memuculka sfat pada modul yag tdak terdapat pada ruag vektor. Hal tersebut dkareaka skalar pada ruag vektor merupaka eleme lapaga yag setap elemeya buka merupaka pembag ol. Defs E4.33 (Eleme Tors) Dberka R-odul, eleme m dsebut eleme tors jka da haya jka terdapat r { } R 0 R sehgga 0 rm =. Dega demka 0 merupaka eleme tors. Defs E4.34 (odul Tors) Dberka R-odul. odul dsebut modul tors jka da haya jka setap elemeya merupaka eleme tors. Defs E4.35 (odul Bebas Tors) Dberka R-odul. odul dsebut modul bebas tors jka da haya jka memlk tepat satu eleme tors, yatu 0. Cotoh E4.36 Dketahu rg 8 merupaka modul atas rg da juga atas drya sedr. Jka 8 dpadag sebaga -odul, maka seluruh eleme pada 8 merupaka eleme tors da dega demka 8 merupaka modul tors. Karea dapat dplh 8 sehgga ( ) 8 a + 8 = 0+ 8 utuk setap a Jka 8 dpadag sebaga modul atas Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

19 drya sedr, maka eleme torsya adalah 0 + 8, 2 + 8, 4 + 8, da Dperhatka bahwa dega meggat rg yag meyerta modul, maka eleme-eleme tors dapat berubah. Dar defs eleme tors, jka dberka suatu R-odul maka dapat dhmpu semua eleme tors pada modul tersebut. salka modul. Teorema-teorema berkut meyataka sfat hmpua Teorema E4.37 Dketahu R-odul da maka Bukt. T merupaka submodul dar. Dambl sebarag m m2, T T merupaka hmpua seluruh eleme tors T. T hmpua seluruh eleme tors pada. Jka R daerah tegral,, maka terdapat r r R { }, 0 R sehgga rm = rm 2 2 = 0. Aka 2 dtujukka m m2 T. Karea R adalah daerah tegral, maka R tdak memuat eleme pembag ol yatu utuk setap r r R { } { }, 0 R, berlaku rr 2 0 R. Dega demka dapat dplh 2 r3 = rr 2 R 0 R, sehgga r 3 ( m m 2 ) = rm 3 rm 3 2 = ( rr 2 ) m ( rr 2 ) m 2. Karea R adalah daerah tegral maka pergadaa d R bersfat komutatf, sehgga ( rr ) m ( rr ) m = ( rr) m ( rr ) m = r ( rm ) r( rm ) = r 0 r0 = Sehgga dperoleh m m2 T. Selajutya, dambl sebarag r R da m T. Aka dtujukka rm T. Karea m T maka terdapat r R { } sedemka sehgga rm= 0 0. Karea R adalah daerah tegral 0 0 R maka pergadaa d R bersfat komutatf, sehgga r ( rm) = ( rr) m= ( rr ) m= r( rm) = r0 = Sehgga dperoleh rm. T Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa T merupaka submodul dar. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

20 Teorema E4.38 Dketahu R-odul da maka T merupaka modul bebas tors. T hmpua seluruh eleme tors pada. Jka R daerah tegral, Bukt. eurut Teorema E4.37, karea R daerah tegral maka meurut Teorema E4.4 m 0 T T T adalah submodul atas sehgga T adalah R-odul. Adaka T memlk eleme tors + +, maka terdapat r R { } sehgga ( ) 0 ( ) 0 r m rm s 0 0 R + T = + T = + T, akbatya T { } srm R 0 R sedemka sehgga ( ) ( ) 0 sr 0 R, akbatya m = 0 da dega kata la m+ T = 0 + T. r m+ = +. Karea T T rm. Karea rm T, maka terdapat = srm=. Karea R adalah daerah tegral, maka ucul kotradks dega pegadaa bahwa m Sehgga yag bear T modul bebas tors. T T Jka eleme tors merupaka eleme pada modul, maka dar kods dhmpu eleme pada rg yag meyebabka kods tersebut berlaku. Defs E4.37 (Ahlator) Dberka R-odul da X rm = 0 juga dapat. Ahlator atas X, dotaska dega a ( X ), ddefska sebaga a( X ) { r R rx 0 utuk setap x X } = =. Cotoh E4.38 Dketahu rg 8 ( X ) a = 4 merupaka modul atas rg da X = { 2+ 8, 6+ 8 } maka Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

21 Lemma E4.39 Dberka R-odul da X Bukt. Dambl sebarag ab, a( X) ( a b) x ax bx 0 0 0, maka a ( X ) merupaka deal kr d R., maka ax = bx = 0 utuk setap x X. Dega demka = = = utuk setap x X. Sehgga dperoleh a b a ( X). Dambl sebarag r R, dperhatka bahwa ( ra) x = r ( ax) = r0 = 0 utuk setap x X da dega demka ra a ( X ). Jad, ( ) a X merupaka deal kr d R. Akbat E4.40 Dberka R-odul da X. Jka R rg komutatf, maka a ( X ) merupaka deal kr sekalgus deal kaa d R. Utuk selajutya, deal yag dmaksud pada tulsa merupaka deal kr yag juga merupaka deal kaa. 4. Pembagu Submodul da odul Bebas Apabla dketahu X merupaka suatu hmpua baga dar R-odul, maka dapat dbetuk suatu submodul dar yag dbagu oleh X. Submodul tersebut merupaka submodul terkecl dar yag memuat X. Defs berkut meyataka hal tersebut. Defs E4.4 (Submodul yag Dbagu oleh X) Dketahu R-odul da X. Submodul N merupaka submodul yag dbagu oleh X jka da haya jka N = I I I dega = { I submodul dar X I} I. Utuk selajutya, submodul yag dbagu oleh X dotaska dega X. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

22 Cotoh E4.42 Pada -odul, dplh hmpua X = { 2, 4,6}. Karea submodul pada berbetuk maka submodul-submodul dar yag memuat X adalah 2 da sedr, dega I. Sehgga submodul yag dbagu oleh X adalah 2 = 2. demka = { 2, } Teorema E4.43 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar maka H + K merupaka submodul terkecl yag memuat submodul H da K. Bukt. Pada Teorema E4.2 telah dyataka bahwa H + K merupaka submodul dar. Dperhatka bahwa utuk sebarag h H dapat dplh k = 0 sehgga h= h+ 0 = h+ k H + K da dega demka H H + K. Dega cara yag serupa dapat pula dtujukka bahwa K H + K da dega demka berlaku H K H + K. Adaka ada submodul S dega H K S. Karea H, K H K akbatya H S da K S. Karea S merupaka submodul, maka utuk setap h H da k K berlaku h+ k S. Dega kata la H + K S. Jad, terbukt bahwa H + K merupaka submodul terkecl yag memuat submodul H da K. Akbat E4.44 Dketahu R-odul. Jka H da K merupaka sebarag submodul dar maka H K = H + K. Teorema E4.45 Dketahu R-odul, jka X = maka X = { 0 }. Bukt. Dperhatka bahwa utuk setap hmpua baga N utuk modul { 0 }, juga berlaku { } da akbatya { } 0, maka N. Dega demka 0 I. Karea setap submodul Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

23 dar selalu memuat eleme 0, akbatya 0 I I I da dega demka berlaku X = = { 0} I = 0 I I { 0 } { }. Teorema E4.46 Dketahu R-odul da X X = rx, r R, da x X. = Bukt. dega X, maka berlaku salka K = rx, r R, da x X. Aka dtujukka bahwa K merupaka = submodul dar. Dambl sebarag ab, K, maka a= rx da = m b= s y utuk suatu = r, s R da x, y X. Dperhatka bahwa m + m dega a b= rx s y = k z j j = = j= k j rj j = sj + j m da z j x j j =. y j + j m Sehgga dperoleh + m j j. j= a b= k z K Selajutya, dambl sebarag r R da dperhatka bahwa ra = r rx = ( rr) x K = =. Jad, meurut Teorema E4. terbukt bahwa K merupaka submodul dar. Karea X K da X merupaka submodul terkecl yag memuat X, berakbat X K. Karea X merupaka submodul terkecl yag memuat X, maka X X. Dega demka utuk setap r R da x X berlaku rx X. Akbatya ab, X da dega demka K X. Jad, karea X K da K X, maka berlaku K = X. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

24 Defs E4.47 (odul Sklk) Dketahu R-odul. Jka terdapat a sehgga a = maka modul dsebut modul sklk. Cotoh E4.48 odul merupaka modul sklk karea =. Lemma E4.49 Dketahu R-odul sklk da Bukt. Dbetuk pemetaa : R = a utuk suatu a φ dega defs ( r), maka R a ( a) homomorfsma modul yag surjektf da jelas bahwa ker ( φ ) = a ( a) Utama Homomorfsma odul, berlaku R a ( a). φ = ra. Pemetaa φ tersebut merupaka.. Jad, meurut Teorema Defs E4.50 (Rak odul yag Dbagu Secara Berhgga) Dketahu R-odul da = X utuk suatu X. Jka X herupaka hmpua berhgga maka modul dkataka dbagu secara berhgga da rak dar merupaka bayakya eleme dar hmpua pembagu yag terkecl. Notas μ ( ) utuk selajutya meyataka rak dar. Defs E4.5 (Rak odul yag Tdak Dbagu Secara Berhgga) Dketahu R-odul da berhgga maka μ ( ) =. = X utuk suatu X. Jka X herupaka hmpua tak Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

25 Akbat E4.52 Dketahu R-odul, maka sfat-sfat berkut berlaku:. Jka = { 0 }, maka μ ( ) = 0 2. merupaka modul sklk jka da haya jka μ ( ) =. Lemma E4.53 Dketahu R-odul da N sebarag submodul dar. Jka dbagu secara berhgga, maka modul N juga dbagu secara berhgga da μ( N) μ( ). Bukt. salka = X dega X = { x,..., xk} sebaga hmpua pembagu terkecl. Dambl sebarag y N, maka y = a+ N utuk suatu a. Karea = X, dega demka terdapat sehgga a= rx utuk suatu r = R da x X. Akbatya berlaku y = a+ N = rx + N = rx + N + + r x + N = r x + N + + r x + N (( ) ) (( ) ) ( ) ( ). = Jad, modul N dbagu secara berhgga. salka μ( N) > μ( ) da dega demka N { y N y N} sebaga hmpua pembagu terkecl. Dbetuk eleme ( ) ( ) ( ) s s = +,..., s + dega s > k a+ N = y + N + + y + N = y + + y + N. Dega demka dperoleh a = y + + y = X. Karea X merupaka hmpua pembagu terkecl da s > k maka s terdapat hmpua Y' { y y } sehgga { y,..., y } Y' { y',..., y' } X { x,..., x },..., s Akbatya a = y ' ' + + y k = X = = =. s k k da dega demka ( ' ) ucul kotradks dega { y N y N} a+ N = y + + y + N. +,..., s + sebaga hmpua pembagu terkecl. Jad, pegadaa salah da terbukt bear bahwa μ( N) μ( ). ' k Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

26 Lemma E4.54 Dketahu R-odul da N sebarag submodul dar. Jka N da N dbagu secara berhgga, maka modul juga dbagu secara berhgga da μ( ) μ( N) μ( N) Bukt. salka { } X +. X = x,..., xk N merupaka hmpua pembagu terkecl utuk N, sehgga = N. Dbetuk : N setap a φ sebaga homomorfsma surjektf dega ( ). Dplh Y = { y,..., ys}, sehgga Y' { φ( y ),..., φ( ys )} φ a = a+ N utuk = merupaka hmpua pembagu terkecl utuk N. Aka dtujukka bahwa X Y = da dega demka μ( ) k s μ( N) μ( N) + = +. Dambl sebarag a da dega demka a+ N N. Karea Y' ( a) = a+ N = r ( y ) + + r ( y ) φ φ sφ s utuk suatu r dperoleh rφ( y ) + + rφ( y ) = φ( ry + + r y ) φ φ ( a) = φ( ry + + r y ) s s s s s s = N, maka R. Karea φ homomorfsma surjektf, da dega demka. Dperhatka juga bahwa ry + + ry s s Y. Karea ( a) = φ( ry + + rs ys ), akbatya ( ( s s) ) φ a ry + + r y = + N atau dega kata la 0 a ( ry + + rsys) ker ( φ ) N = X. Jad, karea { ( s s) } ( s s) a= a ry + + ry + ry + + ry X Y, maka dperoleh X Y. Jelas bahwa X Y, da dega demka dperoleh = X Y. Tdak setap modul memlk hmpua pembagu. Jka suatu modul memlk hmpua pembagu, maka terdapat sfat pada hmpua pembagu tertetu yag dsebut dega bass. Berkut aka dberka pegerta megea bass da modul bebas. Defs E4.55 (Bebas Lear) Dketahu R-odul da X. Hmpua X dkataka bebas lear jka da haya jka utuk setap, utuk setap r berakbat r = = r = 0 R. R da x X dega, jka rx + + rx = 0 Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

27 Defs E4.56 (Bass) Dketahu R-odul da X memeuh dua syarat berkut:. = X. Hmpua X dkataka bass utuk jka da haya jka 2. X bebas lear. Defs E4.57 (odul Bebas) Dketahu R-odul. Jka terdapat X dsebut modul bebas. dega X merupaka bass utuk, maka Cotoh E odul merupaka modul sklk karea + 8 = 8 da dega demka 8 merupaka modul bebas. Namu 8 odul buka modul bebas, karea utuk sebarag X 8 selalu dapat dplh r = 8 sehgga rx = Jad, setap hmpua baga pada 8 sela { } odul tdak memlk bass. x X 0 tdak bebas lear da dega demka 8 Lemma E4.59 Dketahu R-odul. Jka modul bebas da R daerah tegral, maka modul bebas tors. Bukt. Karea modul bebas, maka memlk bass. salka X merupaka bass utuk da merupaka hmpua eleme tors pada. Dambl sebarag 0 rx = utuk suatu r R { } 0 R. Karea x T, maka T T x da dega demka x = rx utuk suatu r x X R. Dega demka dperoleh rx = r rx = ( rr) x = 0. Karea X merupaka bass, maka x X x X dperoleh rr = 0R utuk setap r R. Karea R daerah tegral da r 0 R, maka dperoleh r = 0. Akbatya x= rx = 0 x = 0. Jad, T { 0} R x X x X = atau modul bebas tors. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

28 5. Jumlaha Lagsug Kosep jumlaha lagsug (drect sum) merupaka suatu kosep utuk membetuk suatu modul yag lebh luas dar beberapa modul yag dberka. odul-modul tersebut aka somorfs dega suatu submodul pada modul yag lebh luas tersebut. Defs E4.60 (Jumlaha Lagsug) Dketahu,..., utuk suatu merupaka modul-modul atas R, maka produk Cartesa juga merupaka modul atas R dega operas:. ( x,..., x ) ( y,..., y ) ( x y,..., x y ) + = + +, utuk setap 2. r( x,..., x ) = ( rx,..., rx ), utuk setap ( ) (,..., )(,,..., ) x x y y x,..., x da r R. odul dsebut jumlaha lagsug dar modul,..., da dotaska atau. = Lemma E4.6 Dketahu,..., utuk suatu merupaka modul-modul atas R, maka pemetaa φ : k k = dega ( a) = ( x,..., x, x, x,..., x ) = ( 0,...,0, a,0,...,0) merupaka somorfsma modul. φk k k k+ = Teorema E4.62 Dketahu R-odul da N,..., N utuk suatu merupaka submodul-submodul dar. Jka dpeuh syarat:. = N + + N 2. Utuk setap, berlaku N { N + + N + N + + N } = { }, + 0 maka N. = Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

29 Bukt. Dbetuk pemetaa f : N dega ( ) f a = a utuk setap a N. Dbetuk juga pemetaa dega f ( x,..., x ) = f ( x ) utuk setap (,..., ) : = f N = x x N. Karea = = N + + N dega demka f merupaka pemetaa surjektf. Dperhatka juga bahwa f da f merupaka homomorfsma modul. Selajutya, dambl sebarag ( x,..., x ) ker ( f ) = maka berlaku f ( x,..., x ) = f ( x ) = x + + x = 0. Sehgga utuk dperoleh, ( ) x = x + + x + x + + x da dega demka + { }. Karea N { N + + N + N + + N } = { } x N N + + N + N + + N + maka dperoleh x = 0 utuk setap, + 0. Dega demka ker ( ) {( 0,...,0 )} f =. Sehgga sejala dega Lemma E3.6, homomorfsma modul f jektf. Jad, karea f homomorfsma modul yag surjektf sekalgus jektf, maka f merupaka somorfsma modul da berlaku N. = Defs E4.63 (Kompleme) Dketahu R-odul da K submodul dar. Submodul K dkataka kompleme pada jka da haya jka terdapat submodul H dar sehgga K H. Cotoh E4.64 Pada 6 sebaga modul atas drya sedr, submodul K = { 0+ 6, 2+ 6, 4+ 6 } merupaka kompleme pada 6 sehgga:. K + H = 6 2. K H { 0 6 } = +. Akbatya, meurut Teorema E4.62 berlaku K H 6., karea dapat dplh submodul H = { 0+ 6, 3+ 6 } Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

30 6. Barsa Eksak Utuk suatu koleks submodul N,..., N dar R-odul, dapat dbetuk suatu barsa yag dsebut dega barsa eksak. Barsa tersebut damaka barsa eksak da memlk sfat petg d teor modul, salah satuya pada pembahasa megea modul proyektf. Defs E4.65 (Barsa Eksak) Dketahu R-odul da { N I} merupaka homomorfsma dar N ke merupaka koleks submodul dar. Dketahu juga f N. Barsa dar R-odul da homomorfsma f N f - N f + N + dkataka eksak pada N jka da haya jka mage( ) ker ( ) barsa eksak jka eksak pada setap N. f f + =. Barsa tersebut dkataka Defs E4.66 (Barsa Pedek) Dketahu R-odul serta N da N 2 merupaka submodul dar, maka barsa { } 0 f g N N 2 { } 0 dsebut barsa pedek dega f da g merupaka homomorfsma modul. Dar barsa pedek dapat dturuka tga sfat sebaga berkut. Teorema E4.67 Barsa { } 0 N f eksak d N jka da haya jka homomorfsma modul f jektf. Bukt. ( ) Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul φ yag mugk dar { 0 } ke N adalah φ ( 0 ) = 0. Karea barsa tersebut eksak d N, maka mage( φ ) = ker ( f ). Karea Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

31 mage ( φ ) = { }, maka ker ( ) { } 0 homomorfsma modul f jektf. 0 f =. Sehgga sejala dega Lemma E3.6, berakbat ( ) Karea homomorfsma modul f jektf, maka sejala dega Lemma E3.6 berakbat ker ( ) { } 0 f =. Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul φ yag mugk dar { 0 } ke N adalah φ ( 0 ) = 0. Karea mage( ) { 0 } ker ( f ) eksak d N. φ = =, maka barsa tersebut Teorema E4.68 Barsa g N 2 { } 0 eksak d N 2 jka da haya jka homomorfsma modul g surjektf. Bukt. ( ) Dperhatka bahwa satu-satuya homomorfsma modul ψ yag mugk dar N 2 ke { 0 } adalah ( a) 0 mage ψ = utuk setap a N2. Karea barsa tersebut eksak d N 2, maka ( g ) = ker ( ψ ). Karea ker ( ψ ) = N2, maka mage( g) N2 homomorfsma modul g surjektf. = da dega demka ( ) =. Dperhatka bahwa satu- Karea homomorfsma modul g surjektf, maka mage( g) N2 satuya homomorfsma modul ψ yag mugk dar N 2 ke { 0 } adalah ( a) 0 setap a N2. Karea mage( g) N ker ( ψ ) ψ = utuk = 2 =, maka barsa tersebut eksak d 2 N. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

32 Teorema E4.69 Barsa pedek { } 0 f g N N 2 { } 0 merupaka barsa eksak jka da haya jka homomorfsma modul f jektf, g surjektf, da mage ( f ) ker ( g ) N2. mage( f ) =. Lebh lajut, meurut Teorema Utama Homomorfsma odul, berlaku Cotoh E4.70 Barsa { 0} f g { 0} merupaka barsa eksak pedek dega f ( a+ 3 ) = 2a+ 3 da g( b ) ( b ) + 6 = mod2 + 2 utuk setap a da b Sesua Teorema Utama Homomorfsma odul da 3, berlaku Defs E4.7 (Barsa Eksak Terpsah) Dketahu R-odul, maka barsa eksak pedek dkataka barsa eksak terpsah jka da haya jka mage( f ) ker ( g ) = merupaka kompleme pada. Cotoh E4.72 Pada Cotoh E4.70 dketahu mage( f ) = ker( g) = 2 6 = { 0+ 6, 2+ 6, 4+ 6 }. Sehgga meurut Cotoh E4.64, barsa eksak pedek pada Cotoh E4.70 merupaka barsa eksak terpsah. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

33 Selajutya, ddefska pemetaa dettas : dega ( a) = a utuk setap a. Pemetaa dettas tersebut jelas merupaka homomorfsma modul da dapat dturuka sfat barsa eksak terpsah. Sebelumya dberka lemma megea pemetaa berkut. Lemma E4.73 Dketahu A da B sebarag hmpua da pemetaa f : A B, maka Bukt.. Jka terdapat pemetaa h: B 2. Jka terdapat pemetaa k: B A dega ( h f ) = A maka pemetaa h surjektf A dega ( f k ) = A maka pemetaa k jektf. Utuk sebarag a A jelas bahwa f ( a) f ( A) B. Dega demka utuk sebarag a A dapat dplh y = f ( a) B sehgga ( ) ( ( )) ( )( ) A ( ) surjektf. Selajutya, dambl sebarag b, b2 = ( ), maka dperoleh f ( x) f ( k( b) ) f ( k( b2) ) x k b A h y = h f a = h f a = a = a. Jad, pemetaa h B dega k( b ) = k( b ). Dperhatka utuk 2 = =. Karea f ( x) = f ( k( b) ) = ( f k)( b) = A ( b) = b maka dperoleh ( ( )) ( ( )) cara yag serupa, utuk x = k( b2 ) A dperoleh juga f ( k( b2) ) f ( k( b) ) b2 b = b da dega demka pemetaa k jektf. 2 f k b = f k b = b. Dega 2 = =. Jad, dperoleh Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

34 Teorema E4.74 Dketahu R-odul, N da N 2 merupaka submodul dar, serta f da g keduaya merupaka homomorfsma modul. Jka barsa pedek { } 0 f g N N 2 { } 0 merupaka barsa eksak maka tga peryataa dbawah ekuvale: Bukt.. Terdapat homomorfsma modul : N 2. Terdapat homomorfsma modul : N2 α sehgga ( α f ) = N β sehgga ( g β ) = N 2 3. Barsa pedek tersebut merupaka barsa eksak terpsah da ( 2) mage mage N N. 2 ( f ) ker ( α ) ( β ) ker ( g ) Sebelumya aka dtujukka terlebh dahulu bahwa ker ( ) mage( f ) { 0} sebarag x ker ( α ) mage( f ). Karea x ker ( α ), maka ( x) 0 x mage( f ), maka x f ( a) ( ) ( ( )) ( )( ) N ( ) α =. Dambl α = da karea = utuk suatu a N. Dega demka 0 = α x = α f a = α f a = a = a. Karea f homomorfsma modul, maka = ( ) = ( 0 ) = 0 da dega demka ker ( ) mage( f ) { 0} x f a f α =. Dbetuk pemetaa : N2 g( z) β, dega β( x) z ( f α)( z) Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja = utuk setap x N2 da = x utuk suatu z (karea g surjektf). Aka dtujukka bahwa β merupaka homomorfsma modul yag dmaksud. Aka dtujukka bahwa pemetaa β terdefs dega bak. Dambl sebarag x, y N2 dega x = y. Karea, pemetaa g: N2 surjektf, maka terdapat ab, dega x = g( a) da y = g( b). Karea x = y, maka g( a) = g( b) g( a b) = 0 da dega demka a b ker ( g) eksak, maka a b ker ( g) = mage( f ).. Karea barsa tersebut 34

35 Dega demka dperoleh: ( ) ( ( )( )) ( ) ( ) ( ) = ( )( ) = ( a b) + ( f α )( b a) β x β y a f α a b f α b Dperhatka, bahwa ( a b) + ( f α )( b a) ker ( α ), karea (( a b) + ( f )( b a) ) = ( a b) + ( ( f ))( b a) = α( a b) + ( α f )( α( b a) ) = α( a b) + N ( α( b a) ) = α( a b) + α( b a) = α( a) α( b) + α( b) α( a) α α α α α = 0. Dperhatka juga bahwa ( a b) + ( f α )( b a) mage( f ) ( a b) + ( f α )( b a) mage( f )., da dega demka Akbatya, β( x) β( y) = ( a b) + ( f α)( b a) ker ( α) mage( f ) = { 0} Jad, dperoleh β( x) β( y). = da dega demka pemetaa β terdefs dega bak. Selajutya, aka dbuktka bahwa β merupaka homomorfsma modul. Dambl sebarag x, y N2. Karea, pemetaa g: N2 surjektf, maka terdapat ab, dega x = g( a) da y = g( b). Karea g homomorfsma maka dperoleh x y g( a) g( b) g( a b) dega demka ( x) + ( y) = ( a+ b) ( f )( b+ a) = ( x+ y) + = + = + da β β α β. Utuk sebarag r R, dperoleh ( ) = + ( )( ) = ( )( ) = ( ( )( )) = ( ) rβ x ra f α ra ra r f α a r a f α a rβ x. Jad, terbukt bahwa β merupaka homomorfsma modul. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

36 Terakhr, aka dbuktka bahwa ( g β ) = N 2. Utuk sebarag x N2, karea g: N2 surjektf, maka terdapat a dega x = g( a). Dega demka dperoleh ( g β)( x) = g( a ( f α)( a) ) = g( a) ( g ( f α) )( a). Dperhatka, karea ( f α)( a) = f ( α( a) ) mage( f ) da mage( f ) = ker ( g ), maka ( g ( f α ))( a) = 0 dperoleh ( g β )( x) = g( a) 0 = g( a) = x atau dega kata la ( g β ) = N. 2. Jad, ( 2 3) Dar pembukta baga ( 2) telah dketahu bahwa ker ( ) mage( f ) { 0} aka dbuktka bahwa ker ( α ) mage( f ) α =. Selajutya = +. Dketahu terdapat homomorfsma modul α : N sehgga ( α f ) = N. Dambl sebarag x da dega demka ( x f ( ( x) )) = ( x) ( f ( ( x) )) = ( x) ( f )( ( x) ). α f = N, akbatya ( α f )( α( x) ) = N ( α( x) ) = α( x) ( x f ( ( x) )) = ( x) ( f )( ( x) ) = ( x) ( x) = 0. α α α α α α α α Karea ( ) α α α α α α α Jad, dperoleh x ( f α )( x) ker ( α ). da dega demka Karea x = ( x ( f α)( x) ) + ( f α)( x) da ( f α )( x) mage( f ) x, maka dperoleh ker ( α ) + mage( f ) da dega demka berlaku ker ( α ) mage( f ) ker ( α ) da mage( f ), akbatya ( ) ( ) ker α + mage f. Jad, karea berlaku ker ( α ) + mage( f ) da ( ) ( ) +. Karea ker α + mage f, akbatya = ker ( α ) + mage( f ) da meurut Teorema E4.62 berlaku mage( f ) ker ( α ). Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

37 Dperhatka bahwa karea f pemetaa jektf akbatya mage( f ) somorfs dega domaya, yatu N. Karea β merupaka pemetaa jektf akbatya mage( β ) somorfs dega domaya, yatu N 2. Dega demka berlaku ( ) ( α) ( ) ( β) 2 mage f ker = mage f mage N N. ( 3 ) Dketahu bars eksak tersebut merupaka barsa eksak terpsah da berlaku N N2. Karea N N2, maka terdapat somorfsma modul φ dar ke N N 2. Dega demka, utuk setap x, selalu terdapat (, ) N N dega x = φ (, ). Dbetuk pemetaa : N α dega ( x) α =. 2 2 ( 2 ) Aka dbuktka pemetaa tersebut terdefs dega bak. Dambl sebarag x, y dega x = y. Karea N N2, maka terdapat, 3 N da 2, 4 N2 da y φ (( 3, 4) ) =. Karea x y (, ) ker( φ ) =, berakbat φ( (, 2) ) φ( ( 3, 4) ) sehgga x = φ ((, 2) ) = atau dega kata la. Karea φ somorfsma, maka φ merupaka pemetaa jektf da sejala dega Teorema E3.6 berakbat ker ( ) {( 0, 0) } φ =. Sehgga dperoleh (, ) = ( 0,0 ) (, ) = (, ) da dega demka α( x) α( y) = = =. Jad, 3 pemetaa α terdefs dega bak. Pemetaa α jelas merupaka homomorfsma modul da α f a = a utuk setap a N berlaku ( )( ) atau dega kata la ( α f ) = N. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

38 Dperhatka bahwa dar Teorema E4.74 dapat dbetuk dagram sepert dbawah N f g N 2 { } 0 φ φ 4 φ 2 φ 3 { } 0 N α β N 2 Pemetaa φ, φ2, φ3,da, φ 4 seluruhya merupaka pemetaa ol (zero mappg), yatu pemetaa yag memetaka setap eleme doma ke 0. Pemetaa ol tersebut merupaka homomorfsma. Lebh lajut, φ da φ 3 merupaka pemetaa jektf serta φ2 da φ 4 merupaka pemetaa surjektf. Struktur Aljabar Pegatar Teor odul Wja

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER

TUGAS MATA KULIAH TEORI RING LANJUT MODUL NOETHER TUGAS ATA KULIAH TEORI RING LANJUT ODUL NOETHER Da Aresta Yuwagsh (/364/PPA/03489) Sebelumya, telah dketahu bahwa sebaga rg dega eleme satua memeuh sfat rata ak utuk deal-deal d. Apabla dpadag sebaga modul,

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teoremateorema II. LANDAAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teoremateorema ag medukug utuk pembahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorema tersebut dtulska sebaga berkut.. Teorema Proeks Teorema

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab bers defs-defs da sfat-sfat yag petg yag berhubuga dega modul. Hal-hal tersebut dperlua dalam pembahasa megea modul jetf pada Bab III. 2.1. Modul Mata ulah Aljabar Ler membahas

Lebih terperinci

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA

Ruang Banach. Sumanang Muhtar Gozali UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Ruag Baach Sumaag Muhtar Gozal UNIVERSITAS PENDIDIKAN INDONESIA Satu kose etg d kulah Aalss ugsoal adalah teor ruag Baach. Pada baga aka drevu defs, cotoh-cotoh, serta sfat-sfat etg ruag Baach. Kta aka

Lebih terperinci

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS

SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Bulet Ilmah Mat. Stat. da Terapaya (Bmaster) Volume 03, No. 2(204), hal 35 42. SIFAT-SIFAT LANJUT FUNGSI TERBATAS Suhard, Helm, Yudar INTISARI Fugs terbatas merupaka fugs yag memlk batas atas da batas

Lebih terperinci

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real.

BAB 5 BARISAN DAN DERET KOMPLEKS. Secara esensi, pembahasan tentang barisan dan deret komlpeks sama dengan barisan dan deret real. BAB 5 BARIAN DAN DERET KOMPLEK ecara eses, pembahasa tetag barsa da deret komlpeks sama dega barsa da deret real. 5. Barsa Barsa merupaka sebuah fugs dega doma berupa hmpua blaga asl N. ebuah barsa kompleks

Lebih terperinci

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA

MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Masalah Norm Mmum (Karat) MASALAH NORM MINIMUM PADA RUANG HILBERT DAN APLIKASINYA Karat da Dhorva Urwatul Wutsqa Jurusa Peddka Matematka FMIPA Uverstas Neger Yogakarta Abstract I ths paper, wll be dscussed

Lebih terperinci

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP

BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP BAB IV BATAS ATAS BAGI JARAK MINIMUM KODE SWA- DUAL GENAP Msal dguaka kode ler C[, k, d] dega matrks pembagu G da matrks cek partas H. Sebuah blok formas x = x 1 x 2 x k, x = 0 atau 1, yag aka dkrm terlebh

Lebih terperinci

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS

NORM VEKTOR DAN NORM MATRIKS NORM VEKTOR DN NORM MTRIK umaag Muhtar Gozal UNIVERIT PENDIDIKN INDONEI. Pedahulua Jka kta membcaraka topk ruag vektor maka cotoh sederhaa yag dapat kta ambl adalah ruag Eucld R. D ruag kta medefska pajag

Lebih terperinci

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah

BAB III INTEGRAL RIEMANN-STIELTJES. satu pendekatan untuk membentuk proses titik. Berkaitan dengan masalah BAB III INEGRAL RIEMANN-SIELJES. Pedahulua Pada Bab, telah dsggug bahwa ukura meghtug merupaka salah satu pedekata utuk membetuk proses ttk. Berkata dega masalah perhtuga, ada hal meark yag perlu amat,

Lebih terperinci

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA

ALJABAR LINTASAN LEAVITT SEMIPRIMA ALJABAR LINTASAN LAVITT SMIPRIMA Ngrum Astrawat Program Stud Tekka, Akadem Martm Yogyakarta astramath@gmal.com ABSTRA. Suatu graf dapat drepresetaska sebaga aljabar ltasa da jka graf tersebut dperluas

Lebih terperinci

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT

IDEAL DALAM ALJABAR LINTASAN LEAVITT Delta-P: Jural Matematka da Peddka Matematka ISSN 289-855X Vol., No. 2, Oktober 22 IDAL DALAM ALJABAR LINTASAN LAVITT Ida Kura Walyat Program Stud Peddka Matematka Jurusa Peddka MIPA FKIP Uverstas Kharu

Lebih terperinci

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals

On A Generalized Köthe-Toeplitz Duals JMP : Volume 4 Nomor, Ju 202, hal. 3-39 O A Geeralzed Köthe-Toepltz Duals Sumardoo, Supama 2, da Soepara Darmawaa 3 PPPPTK Matematka, smrd2007@gmal.com 2 Mathematcs Departmet, Gadah Mada Uverst, supama@ugm.ac.d

Lebih terperinci

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50

Jurnal Matematika Murni dan Terapan Vol. 4 No.2 Desember 2010: 38-50 Jural Matematka Mur da Terapa Vol. 4 No.2 esember 200: 38-50 KETERKENALIAN SISTEM LINIER IFERENSIAL BIASA TIME-VARYING AN SISTEM LINIER IFERENSIAL PARSIAL ENGAN PENEKATAN MOUL ATAS OPERATOR IFERENSIAL

Lebih terperinci

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat.

KALKULUS LANJUT. Pertemuan ke-4. Reny Rian Marliana, S.Si.,M.Stat. KALKULUS LANJUT Pertemua ke-4 Rey Ra Marlaa, S.S.,M.Stat. Plot Mater Notas Jumlah & Sgma Itegral Tetu Jumlah Rema Pedahulua Luas Notas Jumlah & Sgma Purcell, et all. (page 226,2003): Sebuah fugs yag daerah

Lebih terperinci

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode

II. TINJAUAN PUSTAKA. Dalam proses penelitian untuk menganalisis aproksimasi fungsi dengan metode II. TINJAUAN PUSTAKA Dalam proses peelta utuk megaalss aproksmas fugs dega metode mmum orm pada ruag hlbert C[ab] (Stud kasus: fugs rasoal) peuls megguaka defs teorema da kosep dasar sebaga berkut:.. Aproksmas

Lebih terperinci

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema

II. LANDASAN TEORI. Pada bab II ini, akan dibahas pengertian-pengertian (definisi) dan teorema-teorema II. LANDASAN TEORI Pada bab II aka dbahas pegerta-pegerta (defs) da teorea-teorea ag edukug utuk pebahasa pada bab IV. Pegerta (defs) da teorea tersebut dtulska sebaga berkut... Teorea Proeks Teorea proeks

Lebih terperinci

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi

BAB II KAJIAN PUSTAKA. Aljabar Max-Plus adalah himpunan { } himpunan semua bilangan real yang dilengkapi dengan operasi BAB II KAJIAN PUSTAKA A. Aljabar Max-Plus 1. Pegerta Aljabar Max-Plus Aljabar Max-Plus adalah hmpua { } dega hmpua semua blaga real yag dlegkap dega operas maksmum, dotaska dega da operas pejumlaha yag

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Pegatar Teor Pegkodea (Codg Theory) KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Dose Pegampu : Al Sutjaa DISUSUN OLEH: Nama : M Zak Ryato Nm : /5679/PA/8944 Program Stud : Matematka JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu

BAB II LANDASAN TEORI. Dalam pengambilan sampel dari suatu populasi, diperlukan suatu BAB II LADASA TEORI Dalam pegambla sampel dar suatu populas, dperluka suatu tekk pegambla sampel yag tepat sesua dega keadaa populas tersebut. Sehgga sampel yag dperoleh adalah sampel yag dapat mewakl

Lebih terperinci

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL

NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL NILAI EIGEN DAN VEKTOR EIGEN MATRIKS TERREDUKSI REGULER DALAM ALJABAR MAX-PLUS INTERVAL A-12 Sswato 1, Ar Suparwato 2, M Ady Rudhto 3 1 Mahasswa S3 Matematka FMIPA UGM da Staff Pegajar FMIPA UNS Surakarta,

Lebih terperinci

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES)

KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Codg Theory KODE SIKLIK (CYCLIC CODES) Muhamad Zak Ryato NIM: 2/56792/PA/8944 E-mal: zak@malugmacd http://zakmathwebd Dose Pembmbg: Drs Al Sutjaa, MSc Pedahulua Salah satu bahasa yag palg petg pada lear

Lebih terperinci

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN

SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Program Stud S1 Tekk Iformatka Fakultas Iformatka, Telkom Uversty SOLUSI TUGAS I HIMPUNAN Matematka Dskrt (MUG2A3) Halama 1 dar 6 Soal 1 Tetukalah eleme-eleme dar hmpua berkut! 2 x x adalah blaga real

Lebih terperinci

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU

BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SATU BAB III PERSAMAAN PANAS DIMENSI SAU Pada baga sebelumya, kta telah membahas peerapa metoda Ruge-Kutta orde 4 utuk meyelesaka masalah la awal dar persamaa dferesal basa orde. Pada bab, kta aka melakuka

Lebih terperinci

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI

BAB 6 PRINSIP INKLUSI DAN EKSKLUSI BB 6 PRINSIP INKLUSI DN EKSKLUSI Pada baga aka ddskuska topk berkutya yatu eumeras yag damaka Prsp Iklus da Eksklus. Kosep dalam bab merupaka perluasa de dalam Dagram Ve beserta oepras rsa da gabuga, amu

Lebih terperinci

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu METODE FUNGS QUAS-FED SATU ARAMETER UNTUK MENYEESAKAN MASAAH ROGRAM NTEGER TAK NEAR Ra Hardyat (M4) ABSTRAK Dalam kehdupa sehar-har serg djumpa masalah optmas yag membutuhka hasl teger Masalah tersebut

Lebih terperinci

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika

TEOREMA TITIK TETAP BANACH. Skripsi. Diajukan untuk Memenuhi Salah satu Syarat. Memperoleh Gelar Sarjana Matematika. Program Studi Matematika TEOREMA TITIK TETAP BANACH Skrps Dajuka utuk Memeuh Salah satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjaa Matematka Program Stud Matematka Oleh: Wdaryata Ctra Nursata NIM : 348 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

Lebih terperinci

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI

INTEGRAL LEBESGUE PADA FUNGSI TERBATAS SKRIPSI INTGRAL LBSGU PADA FUNGSI TRBATAS SKRIPSI Dajuka Kepada Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas Neger Yogyakarta utuk memeuh sebaga persyarata gua memperoleh gelar Sarjaa Sas Dsusu Oleh : Fauzah

Lebih terperinci

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI

MINGGU KE-10 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI MINGGU KE-0 HUBUNGAN ANTAR KONVERGENSI Hubuga atar koverges Hrark atar koverges dyataka dalam teorema berkut. Teorema Msalka X da X, X, X 3,... adalah varabel radom yag ddefska pada ruag probabltas yag

Lebih terperinci

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK

UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK MODUL 4 UKURAN GEJALA PUSAT DAN UKURAN LETAK. Pedahulua Utuk medapatka gambara yag lebh jelas tetag sekumpula data megea sesuatu persoala, bak megea sampel atau pu

Lebih terperinci

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal

Bukti Teorema Sisa China dengan Menggunakan Ideal Maksimal Vol 5, No, 9-98, Jauar 9 But Teorema Ssa Cha dega egguaa deal asmal Abstra Sstem perogruea yag dapat dcar peyelesaaya secara teor blaga dasar teryata dapat dbuta melalu teor-teor strutur aljabar hususya

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai

BAB 2 LANDASAN TEORI. perkiraan (prediction). Dengan demikian, analisis regresi sering disebut sebagai BAB LANDASAN TEORI. Kosep Dasar Aalss Regres Aalss regres regressso aalyss merupaka suatu tekk utuk membagu persamaa da megguaka persamaa tersebut utuk membuat perkraa predcto. Dega demka, aalss regres

Lebih terperinci

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA

BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA BAB III PEMBENTUKAN SKEMA PEMBAGIAN RAHASIA 3. Pegkodea Matrks Ketetaggaa Matrks ketetaggaa A adaah matrks smetr, sehgga, dega memh semua eeme pada dagoa utama da eeme-eeme dbawah dagoa utama, maka aka

Lebih terperinci

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) III MODEL. , θ Ω. 1 Pendugaan parameter dengan metode maximum lkelihood estimation dapat diperoleh dari: 5 Mamum Lkelhood Estmato Defs Fugs Lkelhood Msalka X, X,, X adalah eubah acak d dega fugs massa eluag ( ; θ, dega θ dasumska skalar da tdak dketahu, maka rosedur fugs lkelhood daat dtulska sebaga berkut

Lebih terperinci

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM

PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM PERTEMUAN III PERSAMAAN REGRESI TUJUAN PRAKTIKUM 1 Megetahu perhtuga persamaa regres ler Meggambarka persamaa regres ler ke dalam dagram pecar TEORI PENUNJANG Persamaa Regres adalah persamaa matematka

Lebih terperinci

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc &

Notasi Sigma. Fadjar Shadiq, M.App.Sc & Notas Sgma Fadjar Shadq, M.App.Sc (fadjar_pg@yahoo.com & www.fadjarpg.wordpress.com Notas sgma memag jarag djumpa dalam kehdupa sehar-har, tetap otas tersebut aka bayak djumpa pada baga matematka yag la,

Lebih terperinci

BAB III ISI. x 2. 2πσ

BAB III ISI. x 2. 2πσ BAB III ISI 4. Keadata Normal Multvarat da Sfat-sfatya Keadata ormal multvarat meruaka geeralsas dar keadata ormal uvarat utuk dmes. f ( x) [( x )/ ] / = e x π x = ( x )( ) ( x ). < < (-) (-) Betuk (-)

Lebih terperinci

H dinotasikan dengan B H

H dinotasikan dengan B H Delta-P: Jural Matemata da Pedda Matemata ISSN 089-855X Vol., No., Aprl 03 OPERATOR KOMPAK Mustafa A. H. Ruhama Program Stud Pedda Matemata, Uverstas Kharu ABSTRAK Detahu H da H dua ruag Hlbert, B H )

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1).

BAB II LANDASAN TEORI. merepresentasikan dan menjelaskan permasalahan pada dunia nyata ke dalam. pernyataan matematis (Widowati & Sutimin, 2007 : 1). BAB II LANDASAN EORI.. Model Matematka Model Matematka merupaka represetas matematka yag dhaslka dar pemodela Matematka. Pemodela Matematka merupaka suatu proses merepresetaska da mejelaska permasalaha

Lebih terperinci

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN

Penelitian Operasional II Teori Permainan TEORI PERMAINAN Peelta Operasoal II Teor Permaa 7 2 TEORI PERMAINAN 2 Pegatar 2 Krtera Tekk Permaa : () Terdapat persaga kepetga datara pelaku (2) Setap pema memlk stateg, bak terbatas maupu tak terbatas (3) Far Game

Lebih terperinci

Edge Anti-Magic Total Labeling dari

Edge Anti-Magic Total Labeling dari Edge At-Magc Total Labelg dar Charul Imro da Suhud Wahyud Jurusa Matematka Isttut Tekolog Sepuluh Nopember Surabaya mro-ts@matematka.ts.ac.d, suhud@matematka.ts.ac.d C Abstract We wll fd edge at-magc total

Lebih terperinci

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang

BAB 1 PENDAHULUAN. 1.1 Latar Belakang BAB PENDAHULUAN. Latar Belakag Sampa saat, model Regres da model Aalss Varas telah dpadag sebaga dua hal ag tdak berkata. Meskpu merupaka pedekata ag umum dalam meeragka kedua cara pada taraf permulaa,

Lebih terperinci

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi. tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan.

BAB III PEMBAHASAN. Pada bab ini akan dibahas mengenai ring embedding dan faktorisasi. tunggal pada ring komutatif tanpa elemen kesatuan. BAB III PEMBAHASAN Pada bab n akan dbahas mengena rng embeddng dan faktorsas tunggal pada rng komutatf tanpa elemen kesatuan. A. Rng Embeddng Defns 3.1 (Malk et al. 1997: 318 Suatu rng R dkatakan embedded

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP

PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP PELABELAN GRACEFUL PADA DIGRAF LINTASAN DAN DIGRAF BIPARTIT LENGKAP Lusa Tr Lstyowat Krstaa Waya M Fatekurohma Jurusa Matematka FMIPA Uerstas Jember e-mal: krstaa_waya@yahoocom da m_fatkur@yahoocom Abstract:

Lebih terperinci

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ALGORITMA MENENTUKAN HIMPUNAN TERBESAR DARI SUATU MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS LGORITM MENENTUKN HIMPUNN TERBESR DRI SUTU MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar Program Stud Matematka FMIP UNDIP JlProfSoedarto SH Semarag 575 bstract Ths research dscussed about how to obtaed

Lebih terperinci

"8, Iurusan r""#iff;mil1ffi$$;i?m"* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM.

8, Iurusan r#iff;mil1ffi$$;i?m* pontianak APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM. Kusumastut,N Dsajka ada Semr da Rryat Tahuam BKS-PTN Wlayah Bard ke-21 Uverstas Rau l0 - ll Me 2010,,* G "8, tt'- APLIKASI SEMIMODUL RASIONAL ATAS SEN{IRING PADA TEORI SISTEM Iurusa r""#ff;ml1ff$$;i?m"*

Lebih terperinci

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel

BAB I PENDAHULUAN. 1.1 Statistika Deskriptif dan Statistika Inferensial. 1.2 Populasi dan Sampel BAB I PENDAHULUAN 1.1 Statstka Deskrptf da Statstka Iferesal Dewasa d berbaga bdag lmu da kehdupa utuk memaham/megetahu sesuatu dperluka dat Sebaga cotoh utuk megetahu berapa bayak rakyat Idoesa yag memerluka

Lebih terperinci

Bab II Teori Pendukung

Bab II Teori Pendukung Bab II Teor Pedukug.. asar Statstka Utuk keperlua peaksra outstadg clams lablty, pegetahua dalam statstka mead hal yag petg. asar statstka yag dguaka dalam tess atara la :. strbus ormal Sebuah peubah acak

Lebih terperinci

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER

PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO w PADA BEBERAPA GRAF EULER PELABELAN GRACEFUL SATU MODULO PADA BEBERAPA GRAF EULER Isa 1, Luca Ratasar, R. Heru Tjahjaa 3 1,,3 Jurusa Matematka, Fakultas Sas da Matematka, Uverstas Dpoegoro Jl. Prof. H. Soedarto, S.H. Tembalag,

Lebih terperinci

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu

Di dunia ini kita tidak dapat hidup sendiri, tetapi memerlukan hubungan dengan orang lain. Hubungan itu pada umumnya dilakukan dengan maksud tertentu KORELASI 1 D dua kta tdak dapat hdup sedr, tetap memerluka hubuga dega orag la. Hubuga tu pada umumya dlakuka dega maksud tertetu sepert medapat kergaa pajak, memperoleh kredt, memjam uag, serta mta pertologa/batua

Lebih terperinci

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL

REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL REPRESENTASI BILANGAN FIBONACCI DALAM BENTUK KOMBINATORIAL Rzky Maulaa Nugraha Tekk Iformatka Isttut Tekolog Badug Blok Sumurwed I RT/RW 4/, Haurgeuls, Idramayu, 4564 e-mal: laa_cfre@yahoo.com ABSTRAK

Lebih terperinci

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus

Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus Homomorfisma Pada Semimodul Atas Aljabar Max-Plus A 14 Oleh : Musthofa Jurusa Pedidika Matematika FMIPA UNY Abstrak Kosep homorfisma telah bayak dibahas pada beberapa struktur aljabar yaitu pada ruag vektor

Lebih terperinci

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan

PENDAHULUAN Metode numerik merupakan suatu teknik atau cara untuk menganalisa dan menyelesaikan masalah masalah di dalam bidang rekayasa teknik dan Aalsa Numerk Baha Matrkulas PENDAHULUAN Metode umerk merupaka suatu tekk atau cara utuk megaalsa da meyelesaka masalah masalah d dalam bdag rekayasa tekk da sa dega megguaka operas perhtuga matematk Masalah-masalah

Lebih terperinci

BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR. Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformasi linear f L ( V, F )

BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR. Misalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformasi linear f L ( V, F ) 28 BAB III HASILKALI TENSOR PADA RUANG VEKTOR III.1 Ruang Dual Defns III.1.2: Ruang Dual [10] Msalkan V ruang vektor atas lapangan F. Suatu transformas lnear f L ( V, F ) dkatakan fungsonal lnear (atau

Lebih terperinci

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN

MATEMATIKA INTEGRAL RIEMANN MATEMATIKA KELAS XII IPA - KURIKULUM GABUNGAN Ses NGAN INTEGRAL RIEMANN A. NOTASI SIGMA a. Defs Notas Sgma Sgma (Σ) adalah otas matematka megguaka smbol yag mewakl pejumlaha da beberapa suku yag memlk

Lebih terperinci

; θ ) dengan parameter θ,

; θ ) dengan parameter θ, Vol. 4. No. 3, 5-59, Desember 00, ISSN : 40-858 APLIKASI METODE BESARAN PIVOTAL DALAM PENENTUAN SELANG KEYAKINAN TAKSIRAN PARAMETER POPULASI. Agus Rusgyoo Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstraks Dberka populas

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana merupakan bagian regresi yang mencakup hubungan linier BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa merupaka baga regres yag mecakup hubuga ler satu peubah acak tak bebas dega satu peubah bebas. Hubuga ler da dar satu populas dsebut gars regres

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat

BAB II LANDASAN TEORI. penulisan skripsi yaitu mengenai data panel, beberapa bentuk dan sifat BAB II LANDASAN TEORI Pada Bab II aka dbahas dasar-dasar teor yag dguaka dalam peulsa skrps yatu megea data pael, beberapa betuk da sfat matrks, matrks parts, betuk ler da betuk kuadratk beserta ekspektasya,

Lebih terperinci

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran

STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN. Tujuan Pembelajaran Kurkulum 013/006 matematka K e l a s XI STATISTIKA: UKURAN PEMUSATAN Tujua Pembelajara Setelah mempelajar mater, kamu dharapka memlk kemampua berkut. 1. Dapat meetuka rata-rata data tuggal da data berkelompok..

Lebih terperinci

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis

STATISTIK. Ukuran Gejala Pusat Ukuran Letak Ukuran Simpangan, Dispersi dan Variasi Momen, Kemiringan, dan Kurtosis STATISTIK Ukura Gejala Pusat Ukura Letak Ukura Smpaga, Dspers da Varas Mome, Kemrga, da Kurtoss Notas Varabel dyataka dega huruf besar Nla dar varabel dyataka dega huruf kecl basaya dtuls Tmes New Roma

Lebih terperinci

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam

BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL. Masalah regresi invers dengan bentuk linear dapat dijumpai dalam BAB III MENYELESAIKAN MASALAH REGRESI INVERS DENGAN METODE GRAYBILL 3. Pegerta Masalah regres vers dega betuk lear dapat djumpa dalam berbaga bdag kehdupa, dataraya dalam bdag ekoom, kesehata, fska, kma

Lebih terperinci

BAB II LANDASAN TEORI

BAB II LANDASAN TEORI BAB II LANDASAN TEORI Bab aka mejelaska megea ladasa teor yag dpaka oleh peuls dalam peelta. Bab dbag mejad beberapa baga, yag masg masg aka mejelaska Prcpal Compoet Aalyss (PCA), Egeface, Klusterg K-Meas,

Lebih terperinci

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP

TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM. Sudarno Jurusan Matematika FMIPA UNDIP JURNAL MATEMATIKA DAN KOMPUTER Vol. 7. No. 1, 11-19, Aprl 004, ISSN : 1410-8518 TAKSIRAN UMUR SISTEM DENGAN UMUR KOMPONEN BERDISTRIBUSI SERAGAM Sudaro Jurusa Matematka FMIPA UNDIP Abstrak Sstem yag dbetuk

Lebih terperinci

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih

S2 MP Oleh ; N. Setyaningsih S2 MP Oleh ; N. Setyagsh MATERI PERTEMUAN 1-3 (1)Pedahulua pera statstka dalam peelta ; (2)Peyaja data : dalam betuk (a) tabel da (b) dagram; (3) ukura tedes setaral da ukura peympaga (4)dstrbus ormal

Lebih terperinci

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF

ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF ANALISIS ALGORITMA REKURSIF DAN NONREKURSIF KELOMPOK A I GUSTI BAGUS HADI WIDHINUGRAHA (0860500) NI PUTU SINTYA DEWI (0860507) LUH GEDE PUTRI SUARDANI (0860508) I PUTU INDRA MAHENDRA PRIYADI (0860500)

Lebih terperinci

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito

ALJABAR MAX-PLUS DAN PENERAPANNYA. M. Andy Rudhito LJBR MX-PLUS DN PENERPNNY M. dy Rudhto Program Stud Peddka Matematka FKIP Uverstas Saata Dharma Yogyakarta 6 PRKT ljabar -plus merupaka suatu struktur aljabar d maa hmpua semua blaga real R {} dlegkap

Lebih terperinci

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA

POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA MODUL KULIAH ILMU UKUR TANAH POLIGON TERBUKA TERIKAT SEMPURNA Pegerta : peetua azmuth awal da akhr, peetuat kesalaha peutup sudut,koreks sudut, kesalaha lear da koreks lear kearah sumbu X da Y, Peetua

Lebih terperinci

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA BAB III UKURAN PEMUSATAN DATA A. Ukura Gejala Pusat Ukura pemusata adalah suatu ukura yag meujukka d maa suatu data memusat atau suatu kumpula pegamata memusat (megelompok). Ukura pemusata data adalah

Lebih terperinci

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh

Selesaikan persamaan kuadrat ini dengan bentuk kuadrat lengkap, diperoleh Blaga Kompleks Feomea blaga kompleks arlah dua buah blaga ag jumlaha da haslkala juga Msalka blaga ag dcar adalah da w, dega kods + w = da w = Dar kods + w = dperoleh w = Gatka ke w =, dperoleh ( ) =,

Lebih terperinci

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT

KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH. Ariyanto* ABSTRACT Aryato, Kaja Sfat Keompaa pada Ruag Baah KAJIAN SIFAT KEKOMPAKAN PADA RUANG BANACH Aryato* ABSTRACT The propertes of ompatess Baah spaes ths paper s a geeralzato of a ompat uderstadg the system o the real

Lebih terperinci

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES

* MEMBUAT DAFTAR DISTRIBUSI FREKUENSI MENGGUNAKAN ATURAN STURGES * PENYAJIAN DATA Secara umum, ada dua cara peyaja data, yatu : 1. Tabel atau daftar. Grafk atau dagram Macam-macam daftar yag dkeal : a. Daftar bars kolom b. Daftar kotges c. Daftar dstrbus frekues Sedagka

Lebih terperinci

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu.

BAB 2 LANDASAN TEORI. Regresi linier sederhana yang variabel bebasnya ( X ) berpangkat paling tinggi satu. BAB LANDASAN TEORI. Regres Ler Sederhaa Regres ler sederhaa yag varabel bebasya ( berpagkat palg tgg satu. Utuk regres ler sederhaa, regres ler haya melbatka dua varabel ( da. Persamaa regresya dapat dtulska

Lebih terperinci

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI

BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI BAB 5. ANALISIS REGRESI DAN KORELASI Tujua utama aalss regres adalah mecar ada tdakya hubuga ler atara dua varabel: Varabel bebas (X), yatu varabel yag mempegaruh Varabel terkat (Y), yatu varabel yag dpegaruh

Lebih terperinci

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas

TEKNIK SAMPLING. Hazmira Yozza Izzati Rahmi HG Jurusan Matematika FMIPA Universitas Andalas TEKNIK SAMPLING Hazmra Yozza Izzat Rahm HG Jurusa Matematka FMIPA Uverstas Adalas Defs Suatu cotoh gerombol adalah suatu cotoh acak sederhaa dmaa setap ut pearka cotoh adalah kelompok atau gerombol dar

Lebih terperinci

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain

BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain BAB III TEOREMA GLEASON DAN t-desain Dalam ubbab 3., kta aka mempelaar alah atu fat petg dar kode wa-dual geap. Sfat terebut dberka oleh Teorema 3.(Teorema Gleao), Teorema ecara megeaka telah meetuka betuk

Lebih terperinci

BAB II AKSIOMA PELUANG

BAB II AKSIOMA PELUANG II KSIOM PELUNG PENGNTR pakah peluag tu? pakah sebatas peluag muul gambar pada pelempara 1 mata uag yag setmbag adalah 0.5, atau peluag rs Joh aka mampu meg-ko lawa tadgya dalam pertadga tju adalah 0.6.

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA

BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA Jural Maemaka, Vol., No., 2, 6 2 BEBERAPA SIFAT IDEAL GELANGGANG POLINOM MIRING: SUATU KAJIAN PUSTAKA AMIR KAMAL AMIR Jurusa Maemaka, FMIPA, Uversas Hasaudd 9245 Emal : amrkamalamr@yahoo.com INTISARI Msalka

Lebih terperinci

Bab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/0906577381

Bab 1 Ruang Vektor. R. Leni Murzaini/0906577381 Bab 1 Ruang Vektor Defns Msalkan F adalah feld, yang elemen-elemennya dnyatakansebaga skalar. Ruang vektor atas F adalah hmpunan tak kosong V, yang elemen-elemennya merupakan vektor, bersama dengan dua

Lebih terperinci

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007

Volume 1, Nomor 2, Desember 2007 Volume, Nomor, Desember 007 Barekeg, Desember 007. hal.-7 Vol.. No. ESTIMASI PARAMETER DISTRIBUSI EKPONENSIAL PADA LOKASI TERBATAS (Estmatg Parameter Dstrbuto Expoetal At Fte Locato MOZART W TALAKUA, JEFRI

Lebih terperinci

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2

INTERVAL KEPERCAYAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFISIEN VARIASI DARI DISTRIBUSI LOGNORMAL I. Pebriyani 1*, Bustami 2, S. Sugiarto 2 INTERVAL KEPERCAAAN UNTUK PERBEDAAN KOEFIIEN VARIAI DARI DITRIBUI LOGNORMAL I. Pebrya * Bustam. ugarto Mahasswa Program Matematka Dose Jurusa Matematka Fakultas Matematka da Ilmu Pegetahua Alam Uverstas

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling)

Penarikan Contoh Acak Sederhana (Simple Random Sampling) Pearka Cotoh Acak Sederhaa (Smple Radom Samplg) Defs Jka sebuah cotoh berukura dambl dar suatu populas sedemka rupa sehgga setap cotoh berukura ag mugk memlk peluag sama utuk terambl, maka prosedur tu

Lebih terperinci

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE

PRINSIP INKLUSI- EKSKLUSI INCLUSION- EXCLUSION PRINCIPLE RISI IKLUSI- EKSKLUSI ICLUSIO- EXCLUSIO RICILE rsp Iklus-Eksklus Ada berapa aggota dalam gabuga dua hmpua hgga? A A = A A - A A Cotoh Ada berapa blaga bulat postf lebh kecl atau sama dega 00 yag habs dbag

Lebih terperinci

Orbit Fraktal Himpunan Julia

Orbit Fraktal Himpunan Julia Vol. 3, No., 6-7, Jauar 7 Orbt Fraktal Hmpua Jula Ad Kresa Jaya, Nswar Alasa Abstrak Makalah membahas kumpula ttk-ttk yag berada dalam daerah hmpua Jula d ruag kompleks da memperlhatka sebuah algortma

Lebih terperinci

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani

FMDAM (2) TOPSIS TOPSIS TOPSIS. Charitas Fibriani FMDAM (2) Chartas Fbra Techque for Order Preferece by Smlarty to Ideal Soluto () ddasarka pada kosep dmaa alteratf terplh yag terbak tdak haya memlk jarak terpedek dar solus deal postf, amu juga memlk

Lebih terperinci

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK

BAB 1 ERROR PERHITUNGAN NUMERIK BAB ERROR PERHITUNGAN NUMERIK A. Tujua a. Memaham galat da hampra b. Mampu meghtug galat da hampra c. Mampu membuat program utuk meelesaka perhtuga galat da hampra dega Matlab B. Peragkat da Mater a. Software

Lebih terperinci

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1

HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBAS LINIER. di V. Vektor w dikatakan sebagai kombinasi linier dari vektor-vektor v, 1 HIMPUNAN RENTANGAN DAN BEBA LINIER HIMPUNAN RENTANGAN Defs (Kombas Ler) Msala V suatu ruag etor atas feld F. w etor d V, da, 1, juga etoretor d V. Vetor w dataa sebaga ombas ler dar etor-etor, 1, ja w

Lebih terperinci

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS

ANALISIS MASALAH GENERATOR DARI POSSIBLE DAN UNIVERSAL EIGENVECTOR PADA MATRIKS INTERVAL DALAM ALJABAR MAX-PLUS Sear Nasoal Mateatka IV (SeNasMat) Isttut Tekolog Sepuluh Nopeber, Surabaya, 3 Deseber NLISIS MSLH GENERTOR DRI POSSIBLE DN UNIVERSL EIGENVECTOR PD MTRIKS INTERVL DLM LJBR MX-PLUS Rata Novtasar, Suboo,

Lebih terperinci

BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA

BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA BEBERAPA SIFAT TERKAIT SUBMODUL SEMIPRIMA A-3 Dan Aresta Yuwanngsh 1 1 Mahasswa S Matematka UGM dan.aresta17@yahoo.com Abstrak Dberkan R merupakan rng dengan elemen satuan, M R-modul kanan, dan R S End

Lebih terperinci

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS

SUM BER BELA JAR Menerap kan aturan konsep statistika dalam pemecah an masalah INDIKATOR MATERI TUGAS C. Pembelajara 3 1. Slabus N o STANDA R KOMPE TENSI KOMPE TENSI DASAR INDIKATOR MATERI TUGAS BUKTI BELAJAR KON TEN INDIKA TOR WAK TU SUM BER BELA JAR Meerap ka atura kosep statstka dalam pemecah a masalah

Lebih terperinci

BAB II TINJAUAN PUSTAKA

BAB II TINJAUAN PUSTAKA BAB II TINJAUAN PUSTAKA.1 Pedahulua Sebelum membahas megea prosedur peguja hpotess, terlebh dahulu aka djelaska beberapa teor da metode yag meujag utuk mempermudah pembahasa. Adapu teor da metode tersebut

Lebih terperinci

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI I PENDAHULUAN 11 Latar Belakag Peelta yag dlakuka oleh Va der Pol pada sebuah tabug trode tertutup, yatu sebuah alat yag dguaka utuk megedalka arus lstrk dalam suatu srkut pada trasmtter da recever meghaslka

Lebih terperinci

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas:

ANALISIS REGRESI. Model regresi linier sederhana merupakan sebuah model yang hanya terdiri dari satu peubah terikat dan satu peubah penjelas: ANALISIS REGRESI Pedahulua Aalss regres berkata dega stud megea ketergatuga satu peubah (peubah terkat) terhadap satu atau lebh peubah laya (peubah pejelas). Jka Y dumpamaka sebaga peubah terkat da X1,X,...,X

Lebih terperinci

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum

BAB II TEORI DASAR. Definisi Grup G disebut grup komutatif atau grup abel jika berlaku hukum BAB II TEORI DASAR 2.1 Aljabar Liier Defiisi 2. 1. 1 Grup Himpua tak kosog G disebut grup (G, ) jika pada G terdefiisi operasi, sedemikia rupa sehigga berlaku : a. Jika a, b eleme dari G, maka a b eleme

Lebih terperinci

III PEMBAHASAN. Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti)

III PEMBAHASAN. Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti) Karea vektor-vektor kolom X adalah bebas lear maka mempuya vektor ege yag bebas lear. erbukt eorema 9 Jka... adalah la ege dar maka... adalah la ege dar. BUK : salka... adalah la ege dar yag bersesuaa

Lebih terperinci

PENENTUAN FAKTOR UTAMA PENYEBAB GANGGUAN LISTRIK DENGAN METODE VALIDASI-SILANG (STUDI KASUS DI KOTA SEMARANG)

PENENTUAN FAKTOR UTAMA PENYEBAB GANGGUAN LISTRIK DENGAN METODE VALIDASI-SILANG (STUDI KASUS DI KOTA SEMARANG) Prosdg SPMIPA pp 185-191 006 ISBN : 979704470 PENENTUAN FAKTOR UTAMA PENYEBAB GANGGUAN LISTRIK DENGAN METODE VALIDASI-SILANG (STUDI KASUS DI KOTA SEMARANG) Taro Program Stud Statstka FMIPA UNDIP Semarag

Lebih terperinci

BAB 2. Tinjauan Teoritis

BAB 2. Tinjauan Teoritis BAB Tjaua Teorts.1 Regres Lear Sederhaa Regres lear adalah alat statstk yag dperguaka utuk megetahu pegaruh atara satu atau beberapa varabel terhadap satu buah varabel. Varabel yag mempegaruh serg dsebut

Lebih terperinci

BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV

BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV BAB 4 ENTROPI PADA PROSES STOKASTIK RANTAI MARKOV 4. Proses Sokask Dalam kehdupa yaa, sergkal orag g megama keerkaa sau kejada dega kejada la dalam suau erval waku ereu, yag merupaka suau barsa kejada.

Lebih terperinci

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi)

b) Untuk data berfrekuensi fixi Data (Xi) B. Meghtug ukura pemusata, ukura letak da ukura peyebara data serta peafsraya A. Ukura Pemusata Data Msalka kumpula data berkut meujukka hasl pegukura tgg bada dar orag sswa. 0 cm 30 cm 5 cm 5 cm 35 cm

Lebih terperinci

EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM

EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM EKUIVALENSI INTEGRAL RIEMANN DAN INTEGRAL LEBESGUE SKRIPSI OLEH ANING ROYATUL KHURIYAH NIM. 0960036 JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI MAULANA MALIK IBRAHIM MALANG

Lebih terperinci

Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Sampling) Departemen Statistika FMIPA IPB

Penarikan Contoh Gerombol (Cluster Sampling) Departemen Statistika FMIPA IPB Pearka Cotoh Gerombol (Cluster Samplg) Departeme Statstka FMIPA IPB Radom samplg (Revew) Smple radom samplg Stratfed radom samplg Rato, regresso, ad dfferece estmato Systematc radom samplg Cluster radom

Lebih terperinci