Matematika Terapa Dose : Zaid Romegar Mair ST. M.Cs Pertemua 3 PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA Jl. Koloel Wahid Udi Lk. I Kel. Kayuara Sekayu 30711 web:www.polsky.ac.id mail: polsky@polsky.ac.id Tel. / Fax.: +62 714 321099 1
Fugsi Misalka A da B himpua. Relasi bier f dari A ke B merupaka suatu fugsi jika setiap eleme di dalam A dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B. Jika f adalah fugsi dari A ke B kita meuliska f : A B yag artiya f memetaka A ke B. A disebut daerah asal (domai) dari f da B disebut daerah hasil (codomai) dari f. Nama lai utuk fugsi adalah pemetaa atau trasformasi. Kita meuliska f(a) = b jika eleme a di dalam A dihubugka dega eleme b di dalam B. 2
Jika f(a) = b maka b diamaka bayaga (image) dari a da a diamaka pra-bayaga (pre-image) dari b. Himpua yag berisi semua ilai pemetaa f disebut jelajah (rage) dari f. Perhatika bahwa jelajah dari f adalah himpua bagia (mugki proper subset) dari B. A B f a b 3
Fugsi adalah relasi yag khusus: 1. Tiap eleme di dalam himpua A harus diguaka oleh prosedur atau kaidah yag medefiisika f. 2. Frasa dihubugka dega tepat satu eleme di dalam B berarti bahwa jika (a b) ) f da (a c) ) f maka b = c.. 4
Fugsi dapat dispesifikasika dalam berbagai betuk diataraya: 1. Himpua pasaga terurut. Seperti pada relasi. 2. Formula pegisia ilai (assigmet). Cotoh: f(x) = 2x + 10 f(x) = x 2 da f(x) = 1/x. 3. Kata-kata Cotoh: f adalah fugsi yag memetaka jumlah bit 1 di dalam suatu strig bier. 4. Kode program (source code) Cotoh: Fugsi meghitug x fuctio abs(x:iteger):iteger; begi if x < 0 the abs:=-x else abs:=x; ed; 5
Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 v) (3 w)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} adalah fugsi dari A ke B. Di sii f(1) = u f(2) = v da f(3) = w. Daerah asal dari f adalah A da daerah hasil adalah B. Jelajah dari f adalah {u v w} yag dalam hal ii sama dega himpua B. Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 u) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} adalah fugsi dari A ke B meskipu u merupaka bayaga dari dua eleme A. Daerah asal fugsi adalah A daerah hasilya adalah B da jelajah fugsi adalah {u v}. 6
Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 v) (3 w)} dari A = {1 2 3 4} ke B = {u v w} buka fugsi karea tidak semua eleme A dipetaka ke B. Cotoh Relasi f = {(1 u) (1 v) (2 v) (3 w)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} buka fugsi karea 1 dipetaka ke dua buah eleme B yaitu u da v. Cotoh Misalka f : Z Z didefiisika oleh f(x) = x 2. Daerah asal da daerah hasil dari f adalah himpua bilaga bulat da jelajah dari f adalah himpua bilaga bulat tidak-egatif. 7
Fugsi f dikataka satu-ke-satu (oe-to-oe) atau ijektif (ijective) jika tidak ada dua eleme himpua A yag memiliki bayaga sama. A B a 1 b 2 c 3 d 4 5 8
Cotoh Relasi f = {(1 w) (2 u) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w x} adalah fugsi satu-ke-satu Tetapi relasi f = {(1 u) (2 u) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} buka fugsi satu-ke-satu karea f(1) = f(2) = u. 9
Cotoh Misalka f : Z Z. Tetuka apakah f(x) = x 2 + 1 da f(x) = x 1 merupaka fugsi satu-ke-satu? Peyelesaia: (i) f(x) = x 2 + 1 buka fugsi satu-ke-satu karea utuk dua x yag berilai mutlak sama tetapi tadaya berbeda ilai fugsiya sama misalya f(2) = f(-2) = 5 padahal 2 2. (ii) f(x) = x 1 adalah fugsi satu-ke-satu karea utuk a b a 1 b 1. Misalya utuk x = 2 f(2) = 1 da utuk x = -2 f(-2) = -3. 10
Fugsi f dikataka dipetaka pada (oto) atau surjektif (surjective) jika setiap eleme himpua B merupaka bayaga dari satu atau lebih eleme himpua A. Dega kata lai seluruh eleme B merupaka jelajah dari f. Fugsi f disebut fugsi pada himpua B. A B a 1 b 2 c 3 d 11
Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 u) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} buka fugsi pada karea w tidak termasuk jelajah dari f. relasi f ={(1w)(2u)(3)} da A={123} ke B={uvw} merupaka fugsi pada karea semua aggota B merupaka jelajah dari f. Relasi f = {(1 w) (2 u) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} merupaka fugsi pada karea semua aggota B merupaka jelajah dari f. 12
Fugsi f dikataka berkorespode satu-ke-satu atau bijeksi (bijectio) jika ia fugsi satu-ke-satu da juga fugsi pada. Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 w) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. 13
Cotoh Fugsi f(x) = x 1 merupaka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu karea f adalah fugsi satu-ke-satu maupu fugsi pada. Fugsi satu-ke-satu buka pada Fugsi pada buka satu-ke-satu A B A B a b c 1 2 3 4 a b c d c 1 2 3 Buka fugsi satu-ke-satu maupu pada Buka fugsi A B A B a 1 b c d c 4 2 3 a 1 b c d c 4 2 3 14
Fugsi Iversi Jika f adalah fugsi berkorespode satu-ke-satu dari A ke B maka kita dapat meemuka balika (ivers) dari f. Balika fugsi dilambagka dega f 1. Misalka a adalah aggota himpua A da b adalah aggota himpua B maka f -1 (b) = a jika f(a) = b. Fugsi yag berkorespode satu-ke-satu serig diamaka juga fugsi yag ivertible (dapat dibalikka) karea kita dapat medefiisika fugsi balikaya. Sebuah fugsi dikataka ot ivertible (tidak dapat dibalikka) jika ia buka fugsi yag berkorespode satu-ke-satu karea fugsi balikaya tidak ada. 15
Cotoh Relasi f = {(1 u) (2 w) (3 v)} dari A = {1 2 3} ke B = {u v w} adalah fugsi yag berkorespode satu-ke-satu. Balika fugsi f adalah f -1 = {(u 1) (w 2) (v 3)} Jadi f adalah fugsi ivertible. Cotoh Tetuka balika fugsi f(x) = x 1. Peyelesaia: Fugsi f(x) = x 1 adalah fugsi yag berkorespode satu-kesatu jadi balika fugsi tersebut ada. Misalka f(x) = y sehigga y = x 1 maka x = y + 1. Jadi balika fugsi balikaya adalah f -1 (y) = y +1. 16
Komposisi dari dua buah fugsi. Karea fugsi merupaka betuk khusus dari relasi kita juga dapat melakuka komposisi dari dua buah fugsi. Misalka g adalah fugsi dari himpua A ke himpua B da f adalah fugsi dari himpua B ke himpua C. Komposisi f da g diotasika dega f g adalah fugsi dari A ke C yag didefiisika oleh (f g)(a) = f(g(a)) 17
Cotoh Diberika fugsi f(x) = x 1 da g(x) = x 2 + 1. Tetuka f g da g f. Peyelesaia: (i) (f g)(x) = f(g(x)) = f(x 2 + 1) = x 2 + 1 1 = x 2. (ii) (g f)(x) = g(f(x)) = g(x 1) = (x 1) 2 + 1 = x 2-2x + 2. Cotoh diatas memperlihatka bahwa komposisi dua fugsi f da g tidak komutatif kecuali jika f=g 18
Beberapa Fugsi Khusus Bagia ii memberika beberapa fugsi yag dipakai Didalam ilmu computer yaitu fugsi floorceiligmodulo factorial perpagkata da logaritmik 1. Fugsi Floor da Ceilig Misalka x adalah bilaga riil berarti x berada di atara dua bilaga bulat. Fugsi floor dari x: x meyataka ilai bilaga bulat terbesar yag lebih kecil atau sama dega x Fugsi ceilig dari x: x meyataka bilaga bulat terkecil yag lebih besar atau sama dega x Dega kata lai fugsi floor membulatka x ke bawah sedagka fugsi ceilig membulatka x ke atas. 19
Cotoh Beberapa cotoh ilai fugsi floor da ceilig: 3.5 = 3 3.5 = 4 0.5 = 0 0.5 = 1 4.8 = 4 4.8 = 5 0.5 = 1 0.5 = 0 3.5 = 4 3.5 = 3 Cotoh Di dalam komputer data dikodeka dalam utaia byte satu byte terdiri atas 8 bit. Jika pajag data 125 bit maka jumlah byte yag diperluka utuk merepresetasika data adalah 125/8 = 16 byte. Perhatikalah bahwa 16 8 = 128 bit sehigga utuk byte yag terakhir perlu ditambahka 3 bit ekstra agar satu byte tetap 8 bit (bit ekstra yag ditambahka utuk meggeapi 8 bit disebut paddig bits). 20
2. Fugsi modulo Misalka a adalah sembarag bilaga bulat da m adalah bilaga bulat positif. a mod m memberika sisa pembagia bilaga bulat bila a dibagi dega m a mod m = r sedemikia sehigga a = mq + r dega 0 r < m. Cotoh Beberapa cotoh fugsi modulo 25 mod 7 = 4 15 mod 4 = 0 3612 mod 45 = 12 0 mod 5 = 5 25 mod 7 = 3 (sebab 25 = 7 ( 4) + 3 ) 21
3. Fugsi Faktorial 0 1) (. 2 1 0 1! 4. Fugsi Ekspoesial 0 0 1 a a a a 22 Utuk kasus perpagkata egatif a a 1 5. Fugsi Logaritmik Fugsi logaritmik berbetuk x y a log x = a y
Fugsi Rekursif Fugsi f dikataka fugsi rekursif jika defiisi fugsiya megacu pada diriya sediri. Cotoh:! = 1 2 ( 1) = ( 1)!.! 1 ( 1)! 0 0 Fugsi rekursif disusu oleh dua bagia: (a) Basis Bagia yag berisi ilai awal yag tidak megacu pada diriya sediri. Bagia ii juga sekaligus meghetika defiisi rekursif. (b) Rekures Bagia ii medefiisika argume fugsi dalam termiologi diriya sediri. Setiap kali fugsi megacu pada diriya sediri argume dari fugsi harus lebih dekat ke ilai awal (basis). 23
Cotoh defiisi rekursif dari faktorial: (a) basis:! = 1 jika = 0 (b) rekures:! = ( -1)! jika > 0 5! dihitug dega lagkah berikut: Jadi 5! = 120. (1) 5! = 5 4! (rekures) (2) 4! = 4 3! (3) 3! = 3 2! (4) 2! = 2 1! (5) 1! = 1 0! (6) 0! = 1 (6 ) 0! = 1 (5 ) 1! = 1 0! = 1 1 = 1 (4 ) 2! = 2 1! = 2 1 = 2 (3 ) 3! = 3 2! = 3 2 = 6 (2 ) 4! = 4 3! = 4 6 = 24 (1 ) 5! = 5 4! = 5 24 = 120 24
Cotoh Di bawah ii adalah cotoh-cotoh fugsi rekursif laiya: 1. 0 1) ( 2 0 0 ) ( 2 x x x F x x F 2. Fugsi Chebysev 1 ) 2 ( ) 1 ( 2 1 0 1 ) ( x T x xt x x T 3. Fugsi fiboacci: 25 3. Fugsi fiboacci: 1 2) ( 1) ( 1 1 0 0 ) ( f f f
Referesi : Muir RialdiMatematika Diskrit Peerbit Iformatika 2012. 2/24/2016 26