PELABELAN GRACEFUL SISI PADA GRAF KOMPLIT, GRAF KOMPLIT REGULER K-PARTIT, GRAF RODA, GRAF BISIKEL, DAN GRAF TRISIKEL

Transkripsi

1 PELABELAN GRACEFUL SISI PADA GRAF KOMPLIT, GRAF KOMPLIT REGULER K-PARTIT, GRAF RODA, GRAF BISIKEL, DAN GRAF TRISIKEL Dia Noer Idah Sari 1, Budi Rahadjeg, S.Si, M.Si., 1 Jurusa Matematika, FMIPA, Uesa dis_dia@yahoo.com ABSTRAK Misal G adalah graf dega p titik da q sisi. Graf G dikataka graceful sisi jika ada fugsi bijektif f : E(G) { 1,,,q } da fugsi bijektif g : V(G) { 0, 1,,,p-1 } dega g(u) uv E(G) f(uv). Suatu graf disebut graceful sisi jika terdapat pelabela graceful sisi pada graf tersebut. Pada skripsi ii dibahas pelabela graceful sisi pada beberapa jeis graf sederhaa, yaitu graf komplit, graf komplit reguler k-partit, graf roda, graf bisikel, da graf trisikel. Kata kuci : pelabela graceful sisi, graf komplit, graf komplit reguler k-partit, graf roda, graf bisikel, da graf trisikel. 1 PENDAHULUAN Salah satu topik dalam teori graf yag megalami perkembaga pesat adalah pelabela. Pelabela pada graf pertama kali diperkealka oleh Sadlàck (196), kemudia Stewart (1966), Kotzig da Rosa (1970). Pelabela pada suatu graf adalah sebarag fugsi yag memasagka usurusur graf (titik atau sisi) dega bilaga (biasaya bilaga bulat). Pelabela graceful adalah salah satu pelabela yag sagat terkeal. Ada beberapa macam pelabela graceful, diataraya adalah pelabela graceful sisi, pelabela graceful titik, pelabela graceful kuat, pelabela super sisi graceful, da lai-lai. Sebelumya telah ada skripsi yag membahas pelabela graceful, yaitu tetag pelabela (k, d)-graceful pada graf Tp-Trees oleh Iug Auliya (008). Walaupu pelabela graceful sisi adalah salah satu pegembaga pelabela graceful, dari keduaya terdapat perbedaa yag sagat bayak.sehigga pelabela graceful sisi mejadi mearik utuk dipelajari da dibahas lebih lajut. Adapu jural yag mejadi acua dalam pembahasa dalam skripsi ii adalah jural dega judul Is all the wheel graphs are Edge Graceful? oleh Vekatesa, S. ad Sattaatha, R. da Edge- Graceful Graph oleh Lida Tsai. Pada skripsi ii, peulis haya membahas pelabela graceful sisi secara teoritis beserta teorema-teorema tetag Sedagka aplikasi dari pelabela graceful sisi tidak dibahas. Adapu graf yag diguaka dalam pembahasa adalah beberapa jeis graf sederhaa, yaitu graf komplit, graf komplit reguler k-partit, graf roda, graf bisikel, da graf trisikel. KAJIAN PUSTAKA Pada bagia ii, aka diuraika beberapa defiisi dasar da beberapa teorema yag berkaita dega pembahasa megeai pelabela graceful sisi pada bab berikutya..1 TEORI DASAR GRAF Sebuah graf G berisika dua himpua, yaitu himpua higga tak kosog V(G) yag elemeelemeya disebut titik da himpua (mugki kosog) E(G) yag eleme-elemeya disebut sisi sedemikia higga setiap eleme e dalam E(G) adalah sebuah pasaga tak beruruta dari titik-titik di V(G). V(G) disebut himpua titik dari graf G da E(G) disebut himpua sisi dari graf G [1].. MACAM-MACAM GRAF Sebuah graf komplit dega titik, dilambagka dega K, adalah graf sederhaa di maa utuk setiap dua titik berbeda pada graf dihubugka oleh tepat satu sisi[1]. Bayak sisi pada graf komplit dega buah titik adalah 1. Graf bipartit (bipartite graph) adalah graf yag himpua titikya dapat dipartisi mejadi dua himpua tak kosog X da Y sehigga setiap sisi pada graf tersebut meghubugka sebuah titik di X da sebuah titik di Y. X da Y disebut himpua partisi [1]. Graf bipartit komplit (complete bipartite graph) adalah graf bipartit dega himpua partisi X da Y sehigga setiap titik di X dihubugka dega setiap titik di Y oleh tepat satu sisi [10]. Graf bipartit komplit dega X = m da Y = diotasika dega K m,.

2 Graf reguler adalah suatu graf yag setiap titikya berderajat sama [13]. Graf k-partit adalah graf yag himpua titikya dapat dipartisi mejadi k himpua tak kosog titik-titik, misal A, = 1,, 3,, k sehigga setiap sisi pada graf tersebut meghubugka sebuah titik di A i, utuk i 1,,, k da sebuah titik di A j utuk j 1,,, k, j i. A, = 1,, 3,, k disebut himpua partisi. Dega kata lai, pada graf k- Partit tidak ada sisi yag meghubugka dua titik pada himpua partisi yag sama [13]. Graf komplit reguler k-partit adalah suatu graf komplit k-partit yag setiap titikya berderajat sama atau bayakya aggota setiap himpua partisi titikya sama [13]. Graf sikel adalah graf sederhaa yag setiap titikya berderajat dua [1]. Graf sikel dega titik dilambagka dega C dega 3. Graf bisikel adalah graf yag terdiri dari dua sikel yag berpotoga pada satu titik, berpotoga pada satu sisi, berpotoga pada beberapa sisi, atau dihubugka oleh suatu litasa. Suatu graf bisikel terdiri dari q sisi da q-1 titik [1]. Graf trisikel adalah graf yag terdiri dari tiga sikel. Utuk jeis pertama ketiga sikel tersebut mempuyai satu titik persekutua atau ada dua pasag sikel mempuyai satu titik persekutua. Utuk jeis kedua, setiap dua sikel berpotoga pada satu atau beberapa sisi atau ada dua pasag sikel berpotoga pada satu atau beberapa sisi. Utuk jeis ketiga setiap dua sikel dihubugka oleh suatu litasa atau ada dua pasag sikel yag dihubugka oleh suatu litasa. Suatu graf trisikel terdiri dari q sisi da q- titik [1]. Graf roda W terbetuk dari suatu graf sikel C dega meambahka satu titik, misal titik x da buah sisi, dimaa setiap sisi yag ditambahka meghubugka titik x dega setiap titik pada C. Graf roda W mempuyai 1 titik da sisi [1]..3 FUNGSI Misalka A da B adalah dua himpua yag tidak kosog. Suatu cara atau atura yag memasagka setiap eleme dari himpua A dega tepat satu eleme di himpua B disebut fugsi dari himpua A ke himpua B. Apabila cara atau atura tersebut diberi simbol f, maka dikataka bahwa f adalah suatu fugsi dari himpua A ke himpua B da dilambagka sebagai f : A B. Himpua A disebut sebagai daerah asal (domai) da diotasika dega D(f). Himpua B disebut daerah kawa (kodomai) dari fugsi f. [5] Ada beberapa macam fugsi, yaitu fugsi ijektif, fugsi surjektif, da fugsi bijektif. Misal f : A B adalah suatu fugsi dari himpua A ke himpua B, a) Fugsi f dikataka ijektif (satu-satu) jika da haya jika setiap eleme berbeda di daerah asal mempuyai peta yag berbeda di daerah. b) Fugsi f : A B disebut surjektif (oto) jika da haya jika setiap eleme di daerah kawa merupaka peta dari eleme dari daerah asal. c) Fugsi f : A B disebut bijektif (korespodesi satu-satu) jika da haya jika merupaka fugsi ijektif da surjektif [5].. BILANGAN BULAT DAN KETERBAGIAN Jika a da b adalah bilaga-bilaga bulat dega a 0, maka a dikataka membagi b jika ada suatu bilaga bulat c sedemikia higga b = ac. Jika a membagi b, dapat dikataka bahwa a adalah faktor atau pembagi dari b da b adalah kelipata dari a. Jika a membagi b, dapat diotasika a b da jika a tidak membagi b, dapat diotasika a b []. Misal m adalah suatu bilaga bulat positif. Jika a da b adalah bilaga bulat, maka a da b kogrue modulo m jika m (a-b). Jika a da b kogrue modulo m, maka dapat dituliska a b (mod m). Jika m (a-b), maka dituliska bahwa a b (mod m) da dikataka a da b tidak kogrue modulo m. Bilaga bulat m disebut modulus dari kekogruea tersebut []..5 PELABELAN Pelabela pada suatu graf adalah sebarag fugsi yag memasagka usur-usur graf (titik atau sisi) dega bilaga (biasaya bilaga bulat). Jika domai dari fugsi adalah himpua titik, maka pelabela disebut pelabela titik (vertex labelig). Jika domai dari fugsi adalah himpua sisi, maka pelabela disebut pelabela sisi (edge labelig). Da jika domai dari fugsi adalah himpua titik da sisi, maka pelabela disebut pelabela total (total labelig) [8]..6 PELABELAN GRACEFUL Pelabela graceful pada graf G dega q sisi adalah suatu fugsi ijektif, f : V(G) { 0,1,,,q } sedemikia higga jika sisi xy dilabeli dega f x f(y), maka label sisi aka berbeda semua. Di sii, V(G) adalah himpua titik pada graf G, sisi xy adalah sisi yag meghubugka titik x da titik y pada graf G. Graf yag memeuhi pelabela graceful disebut graf graceful[6]. Berikut adalah cotoh graf yag memeuhi pelabela graceful : Gambar 1. Pelabela Graceful

3 3 PEMBAHASAN Pada bab ii aka dibahas megeai pelabela graceful sisi, da beberapa teorema megeai pelabela 3.1 GRAF GRACEFUL SISI Misal G graf dega p titik da q sisi. Graf G dikataka graceful sisi jika ada fugsi bijektif f : E(G) { 1,,,q } da fugsi bijektif g : V(G) { 0, 1,,,p-1 } dega g(u) uv E(G) f(uv) (mod p) [11]. Berikut adalah beberapa cotoh graf graceful sisi : mi i, j i j 1 p, utuk i j p 1 f v i v j = maks i, j p i j 1 p, utuk i j > p 1 dega i j da i, j ϵ { 1,, 3,, p } (Pada K p terdapat p-1 macam selisih i da j. Pada fugsi f di atas, rumus fugsi dibedaka mejadi dua macam, yaitu utuk i j p1 da utuk i j > p1 ) Sedagka titik-titik K p dilabeli dega : g v i = r=pi1 r r= p 3 i pi1 p1 mod p, utuk i p1 a= p 3 a=0 a 1 i p i mod p, utuk i = p1 a= p 3 a i p1 a=0 i p1 mod p, utuk p1 < i < p Gambar. Graf Graceful Sisi 3. TEOREMA-TEOREMA : Teorema 3..1 : Jika graf G dega p titik da q sisi adalah graf graceful sisi, maka p q q p p1 Karea G adalah graf graceful sisi, maka terdapat pelabela graceful sisi pada graf G sehigga : label titik v i v i v j E(G) label sisi v i v j, utuk semua v i V(G) i=p i=p i=1 label titik v i i=1 v i v j E(G) labelsisi v i v j (Setiap sisi pada graf G terkait dega dua titik. Sehigga jika mejumlahka semua label titik dalam graf G, maka setiap sisi dihitug tepat dua kali) 01 (p-1) (13 q) p(p1) q(q1) p(p1) q(q1) q(q1) p(p1) q q p(p1) p q q p(p1) Teorema 3.. : K p dega p gajil, p 3 adalah graf Utuk membuktika bahwa suatu graf adalah graf graceful sisi, harus ditujukka ada fugsi yag memeuhi pelabela graceful sisi pada graph tersebut. Labeli sisi-sisi K p (p gajil, p 3) dega : a= p 3 a i p1 a=0 mod p, utuk i = p Akibatya label sisi-sisi pada K p (p gajil, p 3) adalah bilaga bulat 1,, 3,, q dega label berbeda pada setiap sisi da label titik-titik adalah bilaga bulat 0, 1,,, p-1 dega label berbeda pada setiap titik da label titik merupaka jumlah semua label sisi-sisi yag terkait ke titik tersebut modulo p. Pelabela ii adalah pelabela graceful sisi, sehigga ada pelabela graceful sisi pada K p dega p gajil. Jadi K p dega p gajil adalah graf Berikut adalah pelabela graceful sisi pada K 3, K 5, K 7 dega label yag didefiisika di atas : Gambar 3. Pelabela Graceful Sisi pada Graf K 3 Gambar. Pelabela Graceful Sisi pada Graf K 5

4 Gambar 5. Pelabela Graceful Sisi pada Graf K 7 Teorema 3..3 : Jika graf komplit reguler k-partit, K 1,,, k adalah graf graceful sisi, maka gajil da k gajil atau k kelipata. Pada graf komplit reguler k-partit, K 1,,, k terdapat k himpua partisi titik-titik di maa pada setiap himpua partisi terdapat titik. Sehigga bayak titik pada K 1,,, k adalah k. Karea K 1,,, k adalah graf reguler, maka setiap titik berderajat sama, yaitu (k-1). Da bayak sisi pada k (k 1) graf ii adalah. Berdasarka Teorema 3..1, diperoleh : k (k1)k (k1)k (k1)k (k1)k utuk suatu bilaga bulat b (k1)k (k1) k 3 k(k1) (k 1)k k (k1) (1) k (k 1) (k 1) k (k 1) k (k1) (k), (i) Adaika geap (*) Karea geap da merupaka bayak titik pada setiap himpua partisi titik, maka = x, utuk suatu bilaga bulat positif x, sehigga : 3 k(k1) (x)3 k(k1) 8x3 k(k1) x 3 k(k 1) Karea x da k adalah bilaga bulat, maka x 3 k(k 1) adalah bilaga bulat. 3 k(k1) (1) Karea 3 k(k1) = x 3 k(k 1) da b adalah bilaga bulat, maka (1) juga bilaga bulat. Dari (*), geap sehigga -1 gajil, akibatya (1) buka bilaga bulat. Jadi tidak mugki geap atau gajil (**) Karea gajil da merupaka bayak titik pada setiap himpua partisi titik, maka = y 1, utuk suatu bilaga bulat positif y (ii) Dari (ii), maka : 1 Sehigga 1 3 k(k1) Karea 1 3 k(k1) y11 y adalah bilaga bulat (1) da b adalah bilaga bulat, maka juga harus bilaga bulat. Dari (**), adalah gajil, akibatya 3 gajil, agar 3 k(k1) juga bilaga bulat, maka k(k 1) harus bisa dibagi. Kasus 1, k geap : Karea k geap, maka k 1 gajil, akibatya (k 1) juga gajil. Agar k(k 1) bisa dibagi, maka k harus bisa dibagi. (#) Kasus, k gajil : Karea k gajil, maka k 1 geap, akibatya (k 1) juga geap da bisa dibagi. Sehigga k(k 1) selalu bisa dibagi. (##) Dari (#) da (##) maka k harus kelipata atau k gajil (###) Berdasarka (**) da (###), maka harus gajil da k harus kelipata atau k gajil. Jadi jika graf komplit reguler k-partit, K 1,,, k adalah graf graceful sisi, maka gajil da k gajil atau k kelipata. Teorema 3.. : Graf roda W 3 adalah graf Misal graf roda W 3 dega V(W 3 ) = {v 0, v 1, v, v 3 } da E(W 3 ) = { v 0 v 1, v 0 v, v 0 v 3, v 1 v, v 1 v 3, v v 3 } Labeli sisi-sisi pada graf W 3 dega : f(v 0 v 1 ) = 6 f(v 0 v ) =5 f(v 0 v 3 ) = f(v 1 v ) = f(v 1 v 3 ) = 1 f(v v 3 ) = 3 Sedagka titik-titik pada graf W 3 dilabeli dega : g(v 0 ) = (f(v 0 v 1 ) f(v 0 v ) f(v 0 v 3 )) (mod ) = (6 5 )(mod ) = 3 g(v 1 ) = (f(v 0 v 1 ) f(v 1 v ) f(v 1 v 3 )) (mod ) = (6 1)(mod ) = 1 g(v ) = (f(v 0 v ) f(v 1 v ) f(v v 3 )) (mod ) = (5 3)(mod ) = g(v 3 ) = (f(v 0 v 3 ) f(v 1 v 3 ) f(v v 3 )) (mod ) = ( 1 3)(mod ) = 0 Akibatya label sisi-sisi pada graf roda W 3 adalah bilaga bulat 1,, 3,, 5, 6 dega label berbeda pada setiap sisi da label titik-titik adalah bilaga bulat 0, 1,, 3 dega label berbeda pada setiap titik da label titik merupaka jumlah dari semua label sisi-sisi yag terkait pada titik tersebut modulo (bayak titik pada W 3 adalah ). Jadi graf roda W 3 adalah graf

5 Teorema 3..5 : Graf roda W buka graph graceful sisi utuk 3. Graf roda W memiliki 1 titik da sisi. Adaika graf roda W adalah graf graceful sisi, maka berdasarka Teorema 3..1: 1 ( 1)( 1 1) 1 ( 1)() ( 1), utuk suatu bilaga bulat k (i) 1 Kasus 1, geap : (*) Karea geap da pada W, > 3, maka = x, utuk suatu bilaga bulat positif x, sehigga : 7 7 x 7x adalah bilaga bulat Karea da k adalah bilaga bulat, maka juga bilaga bulat. 1 Dari (*), geap, akibatya 1 gajil sehigga buka bilaga bulat. 1 Akibatya tidak ada bilaga bulat k = 7 7 sehigga Jadi graf roda W buka graf graceful sisi utuk geap (#) Kasus, gajil : Pada W, 3. Utuk > 3 : < 1 sehigga 7 buka bilaga 1 1 bulat Akibatya tidak ada bilaga bulat k = 7 7 sehigga Jadi graf roda W buka graf graceful sisi utuk gajil, 3. (##) Dari (#) da (##),graf roda W buka graf graceful sisi utuk 3. Teorema 3..6 : Graf bisikel dega bayak sisi 5 adalah graf Satu-satuya graf bisikel dega 5 sisi adalah : Gambar 6. Graf Bisikel dega 5 Sisi Misal graf bisikel di atas, diberi ama B dega V(B) = { v 0, v 1, v, v 3 } da E(B) = { v 0 v 1, v 0 v, v 0 v 3, v 1 v, v v 3 } Labeli sisi-sisi pada graf B dega : f(v 0 v 1 ) = 5 f(v 1 v ) = f(v v 3 ) = 1 f(v 0 v 3 ) = 3 f(v 0 v ) = Sedagka titik-titik pada graf B dilabeli dega : g(v 0 ) = (f(v 0 v 1 ) f(v 0 v 3 ) f(v 0 v )) (mod ) = (5 3 )(mod ) = g(v 1 ) = (f(v 0 v 1 ) f(v 1 v )) (mod ) = (5 )(mod ) = 1 g(v ) = (f(v 1 v ) f(v 0 v ) f(v v 3 )) (mod ) = ( 1)(mod ) = 3 g(v 3 ) = (f(v 0 v 3 ) f(v v 3 )) (mod ) = (3 1)(mod ) = 0 Akibatya label sisi-sisi pada graf B adalah bilaga bulat 1,, 3,, 5 dega label berbeda pada setiap sisi da label titik-titik adalah bilaga bulat 0, 1,, 3 dega label berbeda pada setiap titik da label titik merupaka jumlah dari semua label sisi-sisi yag terkait pada titik tersebut modulo (bayak titik pada B adalah ). Jadi graf bisikel dega bayak sisi 5 adalah graf Selai itu graf bisikel dega 5 sisi juga dapat dilabeli dega pelabela graceful sisi yag lai, misalya : Gambar 7. Beberapa Pelabela Graceful Sisi pada Graf Bisikel dega 5 Sisi Teorema 3..7 : Graf bisikel buka graf graceful sisi utuk bayak sisi tidak sama dega 5. Graf bisikel memiliki - 1 titik da sisi. Adaika graf bisikel adalah graf graceful sisi, maka berdasarka Teorema 3..1 : 1 ( 1)( 1 1) 1 ( 1)( )

6 , k Z (i) 1 Kasus 1, geap : (*) Karea geap da pada graph bicycle, > 3, maka = x, utuk suatu bilaga bulat positif x, sehigga : 3 x 3 x 3 adalah bilaga bulat. 3 1 Karea 3 da k adalah bilaga bulat, maka juga bilaga bulat. 1 Dari (*), geap, akibatya - 1 gajil sehigga buka bilaga bulat. 1 Akibatya tidak ada bilaga bulat k = 3 1 sehigga Jadi graf bisikel buka graf graceful sisi utuk bayak sisi geap (#) Kasus, gajil : Pada graf bisikel, > 3. Utuk = 5 : 3 1 k = 3 1 k = 5 3 k = 6 Z 51 Utuk > 5 : < 1 sehigga 3 buka bilaga 1 1 bulat. Akibatya tidak ada bilaga bulat k = 3 sehigga Jadi graf bisikel buka graf graceful sisi utuk gajil, 5. (##) Dari (#) da (##),graf bisikel buka graf graceful sisi utuk 5. Teorema 3..8 : Graf trisikel dega 6 sisi adalah graf Graf trisikel dega 6 sisi adalah graf roda W 3. Berdasarka Teorema 3.., maka trisikel dega 6 sisi adalah graf Teorema 3..9 : Graf trisikel dega sisi selai 6 da 1 buka graf Graf trisikel memiliki - titik da sisi. Adaika trisikel adalah graf graceful sisi, maka berdasarka Teorema 3..1 : ( )( 1) ( )( 3) , k Z (i) Kasus 1, gajil : (*) Karea gajil da pada graf trisikel, 6, maka = y 1, utuk suatu bilaga bulat positif y, sehigga : 9 6 k = 9 6 k = y y 1 k = y y 1 k = y 5 6 y 1 Karea y 5 da k adalah bilaga bulat, maka 6 juga bilaga bulat. y1 Tapi 6 y1 adalah bilaga bulat haya utuk y = 1 da y = yag artiya haya utuk = 3 da = 5. Padahal tidak ada graf trisikel dega 3 sisi da 5 sisi. Jadi graf trisikel dega bayak sisi gajil buka graf (#) Kasus, geap : (**) Pada graf trisikel, 6. Utuk = 8 : 9 6 k = 9 6 k = k = 19 Z Utuk = 10 : 9 6 k = 9 6

7 k = k = 1 Z Utuk = 1 : 9 6 k = 9 6 k = k = 111 Z 10 Utuk > 1 : 6 < 1 sehigga 9 6 buka bilaga bulat. Akibatya tidak ada bilaga bulat k = 9 6 sehigga 7 3. Jadi graf trisikel buka graf graceful sisi utuk geap kecuali utuk = 6 da = 1. (##) Dari (#) da (##),graf trisikel buka graf graceful sisi utuk bayak sisi selai 6 da 1. PENUTUP.1 Kesimpula 1. Misal G adalah graf dega p titik da q sisi. Graf G dikataka graceful sisi jika ada fugsi bijektif f : E(G) { 1,,,q } da fugsi bijektif g : V(G) { 0, 1,,,p- 1 } dega g(u) uv E(G) f(uv).. Jika graf G dega p titik da q sisi adalah graf graceful sisi, maka p ( q q p(p1). 3. K p dega p gajil, p 3 adalah graf. Jika graf komplit reguler k-partit, K 1,,, k adalah graf graceful sisi, maka gajil da k gajil atau k kelipata. 5. Graf roda W 3 adalah graf 6. Graph roda W buka graf graceful sisi utuk Graf bisikel dega bayak sisi 5 adalah graf 8. Graf bisikel buka graf graceful sisi utuk bayak sisi tidak sama dega Graf trisikel dega bayak sisi 6 adalah graf 10. Graf trisikel dega bayak sisi selai 6 da 1 buka graf. Sara Skripsi ii haya membahas tetag pelabela graceful sisi pada graf komplit, graf komplit reguler k-partit, graf roda, graf bisikel, da graf trisikel. Bagi para pembaca yag tertarik megembagka tulisa ii dapat membahas pelabela graceful sisi pada jeis-jeis graf yag lai. Misalya pada graf P m x P, graf C m C, graf C m x C, graf Peterse, graf Poho, da lai sebagaiya. Selai itu dapat pula dibahas tetag pegembaga dari pelabela graceful yag lai misalya pelabela graceful titik, pelabela graceful kuat, pelabela super sisi graceful, da lai-lai. 5 DAFTAR PUSTAKA [1] Budayasa, Ketut.007.Teori Graph da Aplikasiya.Surabaya : UNESA Uiversity Press Surabaya. [] Keeth H. Rose.000.Elemetary Number Theory ad It s Applicatios Fourth Editio.Addiso Wesley Logma, Ic. [3] Robert G. Bartle da Doald R. Sherbert.000.Itroductio to Real Aalysis Third Editio.Uited States of Amerika : Joh Wiley ad Sos, Ic. [] Sutaro, Heri, dkk.005.matematika Diskrit.Malag : UM Press. [5] Sukirma.005.Pegatar Aljabar Abstrak. Malag : UM Press. [6] Vekatesa, S. ad Sattaatha, R. Is all the wheel graphs are Edge Graceful?. Iteratioal Joural of Algorithms, Computig ad Mathematics Volume 3, Number 3, August 010, Eashwar Publicatios. (olie) [7] Tsai, Lida. Edge-Graceful Graph.(olie) (ja.ucc.au.edu/edge-graceful Graph.Lida Tsai.pdf diakses pada taggal 6 Oktober 011) [8] J.A.Gallia. A Dyamic Survey of Graph Labelig. The Electroic Joural of Combiatorics. Twelfth editio published: Jauary 31, 009.Uiversity of Miesota Duluth.(olie)( ys/ds6.pdf) [9] Auliya, Iug.008.Pelabela (k, d)-graceful pada Graph Tp-Trees.Skripsi tidak diterbitka.surabaya : FMIPA UNESA. [10] (olie) (diakses pada taggal 6 Oktober 011) [11] (olie) (diakses pada taggal 6 Oktober 011) [1] (olie) (diakses pada taggal 6 Oktober 011) [13] mathworld.wolfram.com/productmath (olie) (diakses pada taggal 3 Oktober 01)