BAB 2 LANDASAN TEORI

Ukuran: px

Mulai penontonan dengan halaman:

Download "BAB 2 LANDASAN TEORI"

Farida Kusuma
7 tahun lalu
Tontonan:

1 BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1. Bicriteria Liear Programmig (BLP) Pesoala optimisasi dega beberapa fugsi tujua memperhitugka beberapa tujua yag koflik secara simulta, secara umum Multi objective programmig (MOP) memiliki betuk umum sebagai berikut. Miimum f x = f 1 x, f 2 x,, f p x (2.1) Kedala x X dimaa X R adalah himpua layak (feasible set) da f i x, i = 1,2,, p adalah fugsi berilai riil. Persamaa (2.1) disebut multiple objective liear programmig (MOLP) Miimum f x = c i T x, i = 1, 2,, p (2.2) Kedala X = {x R : Ax b, x 0} Dimaa c = c 1, c 2,, c p R, A adalah matriks m da b = b 1, b 2, b m R m, f x disebut objective space da X disebut decisio space. Persoala optimasi satu tujua seperti liear programmig biasaya memiliki satu peyelesaia yag disebut dega solusi optimal. Sebalikya persoala optimasi kasus MOP meiliki semua peyelesaia layak (feasible solutio) yag disebut dega solusi efisie da solusi efisie lemah. Defiisi (Solusi efisie) Solusi layak dari x X dikataka efisie atau pareto optimal jika da haya jika tidak terdapat titik lai x X sehigga f x f(x) Defiisi (Solusi efisie lemah) Solusi layak dari x X dikataka efisie lemah atau weakly pareto optimal jika da haya jika tidak terdapat titik lai x X sehigga f x < f(x) 4 Uiversitas Sumatera Utara

2 Bicreteria liear programmig (BLP) merupaka kasus khusus dari persamaa (2.1) dega p = 2 yag dapat ditulis betuk umum ya sebagai berikut Miimum Kedala cx X = {x R : Ax b, x 0} dimaa c merupaka matriks 2 m Ehrgott (2005) megemukaka solusi efisie dari BLP aka sama dega peyelesaia optimum liear programmig parametic yag memiliki betuk umum : c λ λc 1 T + (1 λ)c 2 T (2.3) Miimum Kedala c λ x Ax = b ; x 0 λ adalah parameter yag berilai 0 λ 1 da c λ x adalah fugsi tujua parameter. Lagkah-lagkah Parametric Simplex Algorithm pada Bicriteria Liear Programmig yaitu : 1. Memodelka data A, b, C pada Bicriteria Liear Programmig 2. Meambah slack variabel pada persamaa Bicriteria Liear Programmig 3. Membuat tabel simplex, dimulai dega λ = 1 4. Medefiisika basis yag aka keluar (B) 5. Medefiisika variabel yag aka masuk (I) Dimaa I = i N ci 2 < 0, ci 1 0 Jika I = STOP, maka peyelesaia telah efisie 6. Meetuka λ = max i I ci 2 ci 1 ci 2 7. Meetuka s argmax i I: ci 2 ci 1 ci 2 8. Meetuka r argmi j B: b j A js, A js > 0 5 Uiversitas Sumatera Utara

3 9. Kembali ke tahap 5 jika hasil belum merupaka solusi efisie 2.2 Bilaga Iterval Moore (2009) Megemukaka iterval tertutup (utuk seterusya disebut iterval) diotasika dega [a, b] memiliki otasi a, b = {x R: a x b} Defiisi (Degeerate Iterval) Moore (2009) Adaika X = [x, x] da x = x maka x merupaka suatu bilaga riil x atau merupaka iterval X = [x, x] Defiisi (Operasi Aritmatika dari Iterval) Adaika A = a, a, B = b, b, C = [c, c] da adaika * diotasika sebagai operasi aritmatika +,,, pada iterval. Maka * operasi dari iterval diotasika. A B Sehigga Operasi Pejumlaha Operasi Peguraga Operasi Perkalia Operasi Perkalia skalar A + B = [a + b, a + b] A B = [a b, a b] A B = mi a b, a b, a b, a b, max a b, a b, a b, a b k. A = ka, ka Operasi Pembagi a B = a, a 1 b, 1 b Sifat komutatif A + B = B + A ; A B = B A Sifat asosiatif A + B + C = A + B + C ; A B C = A B C 6 Uiversitas Sumatera Utara

4 2.3 Iterval Liear Programmig Dega kedala ( ) Allahdadi da Mishmat (2011) megemukaka pada kedala liear programmig yag memiliki tada ketidaksamaa lebih kecil sama dega ( ) memiliki daerah feasible terbesar da daerah feasible terkecil diyataka dalam otasi matematika Teorema 1 Adaiaka jika terdapat suatu pertidaksamaa iterval j=1 a ij a ij x j b, b maka j=1 a j x j b merupaka daerah feasible terbesar da j=1 a j x j b Merupaka daerah feasible terkecil. Bukti Adaika j=1 a j x j b merupaka versi tegas dari pertidaksamaa. Utuk beberapa solusi x j 0 didapat j=1 a j x j j=1 a j x j oleh karea itu jika j=1 a j x j b maka memugkika j=1 a j x j j=1 a j x j b b sehigga titik x berada pada area feasible terbesar. Utuk beberapa solusi x j 0 didapat j=1 a j x j j=1 a j x j oleh karea itu jika j=1 a j x j b maka memugkika j=1 a j x j j=1 a j x j b b sehigga titik x berada pada area feasible terkecil. Gambar 2.1 Daerah Feasible Terkecil da Daerah Feasible Terbesar 7 Uiversitas Sumatera Utara

5 Allahdadi da Mishmat (2011) megemukaka berdasarka Teorema 1 maka didapat lagkah-lagkah peyelesaia Iterval Liear Programmig dega kedala ( ) 1. memodelka suatu kasus Iterval liear programmig Miimum Z = j=1 c j c j x j Kedala j=1 a ij a ij x j b i b i ; x Meyelesaika Best optimum dari (2.2). Best optimum merupaka suatu keputusa optimum terbaik yag dapat terjadi diyataka. Miimum Z = j=1 c j x j Kedala j=1 a ij x j b i ; x Meyelesaika Worst optimum dari (2.2). Worst optimum merupaka suatu keputusa optimum terburuk yag dapat terjadi diyataka. Miimum Z = j=1 c j x j Kedala a ij j=1 x j b i ; x Mearik Kesimpula c j da c j merupaka batas bawah da batas atas koefisie fugsi tujua. a ij da a ij merupaka batas bawah da batas atas kostata tekologis. b i da b i merupaka batas bawah da batas atas dari kostata pembatas. Dimaa a j, a j, c j, c j a ij = a ij jika x j 0 a ij jika x j 0 a j = a ij jika x j 0 a ij jika x j 0 c j = c j jika x j 0 c j jika x j 0 c j = c j jika x j 0 c j jika x j 0 8 Uiversitas Sumatera Utara

6 2.4 Teori Himpua Fuzzy Teori himpua fuzzy yag ditemuka oleh Lotfi A. Zadeh pada tahu 1965 merupaka keragka matematis yag diguaka utuk mempresetasika ketidakpastia, ketidakjelasa, ketidaktepata da kekuraga iformasi. Setiadji (2009) megemukaka pada teori himpua tegas (Crisp) keberadaa suatu eleme pada suatu himpua (misal himpua A) haya memiliki dua kemugkia keaggotaa yaitu aggota A atau buka aggota A. Zadeh megkaitka fugsi keaggotaa atau derajat keaggotaa ke dalam suatu himpua tertetu yaitu himpua fuzzy. Susilo (2006) Megemukaka bahwa fugsi keaggotaa atau derajat keaggotaa adalah suatu ilai atau parametr yag meujuka seberapa besar tigkat keaggotaa eleme (x) dalam suatu himpua A yag diotasika dega μ A x. Pada himpua tegas haya ada dua ilai yaitu μ A x = 1 utuk x mejadi aggota A da μ A x = 0 utuk x buka aggaota A. μ A x = 1, x A 0, x A Defiisi (Himpua Fuzzy) Adaika X adalah himpua semesta dimaa elemeya diotasika sebagai x. Maka himpua fuzzy A diotasika A diyataka sebagai himpua pasaga terurut A = {(x, μ A x ) x X} dimaa μ A x adalah fugsi keaggotaa dari himpua kabur A yag merupaka suatu pemetaa dari himpua semesta X ke selag tertutup [0,1]. μ A X [0,1] Defiisi (α cuts) Bector da Chadra (2005) Adaika A adalah suatu himpua fuzzy di X da α (0,1]. Maka α cut dari himpua fuzzy A adalah himpua tegas A α diotasika A α = x X μ A x α 9 Uiversitas Sumatera Utara

7 2.5 Bilaga Fuzzy Klir da Yua (1995) megemukaka bilaga fuzzy didefiisika sebagai setiap himpua fuzzy di R dimaa fugsi keaggotaa sifat μ A (x) berikut : 1. A haruslah himpua fuzzy ormal da covex 2. A α dalam selag tertutup utuk setiap α (0,1] 3. Mempuyai pedukug yag terbatas Suatu bilaga kabur bersifat ormal, jika fugsi keaggotaa berilai sama dega 1 utuk x = a. Pedukug yag terbatas da α-cuts utuk α 0 harus dalam iterval tertutup sebagai syarat utuk medefiisika operasi atitmatika pada bilaga fuzzy. Defiisi (Bilaga Fuzzy) Adaika A merupaka himpua fuzzy di R. Maka A adalah suatu bilaga fuzzy jika da haya jika terdapat pada suatu iterval tertutup a, b sehigga 1, x A μ A x = l x, x, a r x, x (b, ) Dimaa l:, a [0,1] bergerak aik da l x = 0 utuk semua x, w 1, w 1 < a r: b, [0,1] bergerak turu da r x = 0 utuk semua x w 2,, w 2 < b 2.6 Operasi Aritmatika Pada Bilaga Fuzzy Bector da Chadra (2005) megemukaka aritmatika Fuzzy merupaka sifat dasar dari α cut dimaa A merupaka bilaga fuzzy da A α berada pada suatu iterval tertutup. A α = a L R α, a α, α (0,1] 10 Uiversitas Sumatera Utara

8 Defiisi (Operasi dari dua bilaga fuzzy) Bector da Chadra (2005) Adaika A, B, A α, B α dimaa A α = a L R α, a α, B α = b L R α, b α, α (0,1] da adaika * diotasika sebagai operasi aritmatika +,,, pada bilaga fuzzy.maka * operasi dari bilaga fuzzy diotasika. A B α = A α B α, α (0,1] 2.7 Bilaga Fuzzy Triagular Susilo (2006) Megemukaka suatu fugsi keaggotaa himpua kabur disebut fugsi keaggotaa segitiga jika mempuyai tiga parameter, yaitu a l, a, a r R dega a l < a < a r da diyataka dega A = (a l, a, a r ) dega atura : 0, x < a l, x > a r μ A x = x a l, a a l a r x a r a, a l < x a a < x a r α cut dari bilaga fuzzy triagular A = [a l, a, a r ] merupaka iterval tertutup pada a α L, a α R a α L, a α R = a a l α + a l, a r a r a α, α (0,1] Gambar 2.2 Fuzzy Triagular 11 Uiversitas Sumatera Utara

dokumen-dokumen yang mirip

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy

BAB III PEMBAHASAN. Pada BAB III ini akan dibahas mengenai bentuk program linear fuzzy BAB III PEMBAHASAN Pada BAB III ii aka dibahas megeai betuk program liear fuzzy dega koefisie tekis kedala berbetuk bilaga fuzzy da pembahasa peyelesaia masalah optimasi studi kasus pada UD FIRDAUS Magelag