Fungsi Pengertian Fungsi Relasi : aturan yang mengawankan/ mengkaitkan/ menugaskan himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner dari A ke B merupakan suatu ungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :, A, jika = maka =, ( ) ( ) Untuk setiap MA Kalkulus I Pengertian Fungsi Jika adalah ungsi dari A ke B kita menuliskan : A B yang artinya memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari dan B disebut codomain dari. Relasi di bawah ini merupakan ungsi A a i u e o i B 5 MA Kalkulus I
Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan ungsi : Tidak ada kaitan dgn anggota B A a i u e a mempunyai nilai B o 5 Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan disebut jelajah (range) / jangkauan dari. Perhatikan bahwa jelajah dari adalah himpunan bagian dari B. MA Kalkulus I Pengertian Fungsi Jelajah : { y ( ) = y, A} B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan R Contoh :. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) = + Jawab : a. Mencari domain MA Kalkulus I 5 Pengertian Fungsi syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : + 0 Sehingga D =,, atau R b. Mencari Range y =, + 0 y( + ) = + R = R {} 0 atau = (,0) ( 0, ) R MA Kalkulus I 6
Contoh. Carilah domain dan range dari ungsi : + ( ) = + a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : + 0 Sehingga D =,, = R MA Kalkulus I 7 Contoh b. Range + ( ) = y = + y + y = + y = y ( y ) = y y = y Syarat ungsi tersebut terdeinisi, y 0 y Jadi R =,, Atau R MA Kalkulus I 8 Contoh. Carilah domain dan range dari ungsi : ( ) = 5 6 a. Mencari domain Syarat agar ungsi tersebut terdeinisi adalah : 5 6 0 + 5 + 6 0 + + ( )( ) 0 TP = -, - ++ -- ++ - - Jadi = [, ] D MA Kalkulus I 9
Contoh b. Mencari Range ( ) = y = 5 6 y = 5 6 + 5 + ( y + 6) = 0 Agar R, maka D 0 5. 5 y y ( y + 6) 0 0 0 ( + y)( y) 0 TP = Jadi, --, R ++ -- =,, = 0, [ 0 ) Karena y 0 MA Kalkulus I 0 Soal Latihan Tentukan domain dan range dari ungsi di bawah ini 5 ( ) = + 6 ( ) = ( + ) ( ) ( ) = 7 ( ) = 8. ( ) = 5 + 6 ( ) = + 9. ( ) = + ( ) = 5 + 6 ( ) = 0. ( ) = + MA Kalkulus I Macam-macam Fungsi Macam-macam ungsi :. Fungsi polinom + n ( ) = a + a + a +... a n -Fungsi konstan, 0 ( ) a0 = -Fungsi linier, ( ) = a a 0 + -Fungsi kuadrat, ( ) = a + a a + 0 MA Kalkulus I
Macam-macam Fungsi. Fungsi Rasional Bentuk umum : ( ) ( ) p q contoh : ( ) ( + ) = + + p(), q() = ungsi polinom dengan q() 0. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh : ( ) = + MA Kalkulus I Macam-macam Fungsi. Fungsi bilangan bulat terbesar/ loor = n n < n + 5 = 5, = = Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan, = 5. Fungsi Genap Disebut ungsi genap jika terhadap sumbu y ( ) ( ) = dan graiknya simetris MA Kalkulus I Macam-macam Fungsi Contoh : ( ) = ( ) = ( ) = cos( ) 6. Fungsi Ganjil Disebut ungsi ganjil jika simetris terhadap titik asal, contoh : ( ) = sin( ) ( ) = ( ) = ( ) dan graiknya MA Kalkulus I 5 5
Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi, komposisi ungsi antara dan ditulis Domain dari adalah himpunan semua bilangan dengan domain Diberikan ungsi ( ) dan g( ) ( ) g ( ) ( o g)( ) = ( g( ) ) ( o g)( ) g ( ) sehingga g( ) di dalam D Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g D φ MA Kalkulus I 6 Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut : R g D φ MA Kalkulus I 7 Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, ( g o )( ) = g( ( ) ) Syarat agar dua ungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R D φ g Domain dari komposisi ungsi dan g dideinisikan sbb : D D o g g o = = { D g g( ) D } D ( ) D { } g Sedangkan deinisi dari Range komposisi ungsi komposisi R R { R } { R } g o = { g( t) R g t R } atau R g o = y R g y = g() t, t o g = { ( t) R t R g } atau R o g = y R y = () t, t MA Kalkulus I 8 g 6
Fungsi Komposisi Siat-siat ungsi komposisi : ( o g)( ) ( g o )( ) (( o g) o h)( ) = ( o ( g o h) )( ) Contoh :. Jika diketahui g o dan D = [ 0, ) R = [ 0, ) o g ( ) = g( ) = D g Tentukan beserta domain dan range-nya! = R R g = (,] MA Kalkulus I 9 Contoh Karena R = [ 0, ) φ, maka ungsi g o terdeinisi D g ( g o )( ) g ( ) ( ) = g( ) = = a. Mencari Domain g o D = D ( ) D g o { } g { [ 0, ) R} = { 0 < < } = MA Kalkulus I 0 Contoh { 0 0} = { 0 0} [ 0, ) [ 0 ) [ 0 ) = =, =, b. Mencari Range g o R R g o g o Jadi R { y R g y = g( t) t R } y (,] y = t, t [ 0 ) =, { } =, go = y (, ] (,] = y (,] MA Kalkulus I 7
Contoh Karena R g D = ( ] [ 0, ) = 0, o g terdeinisi dengan, [ ] φ ( o g)( )= ( g( ) ) = ( ) = c.domain D o g o g = { D g g( ) D } = R [ 0, ) { } = { R 0} = { R } = R [, ] = [, ], maka ungsi MA Kalkulus I Contoh d. Range R o g o g = { y R y = () t, t R g } = y [ 0, ) y = t, t (,] { } { y 0 y = t,0 } = t { y 0 0 } = y = [ 0, ) [ 0, ] = [ 0,] MA Kalkulus I Contoh. Jika diketahui ungsi ( ) = g( ) = D = R R = R R g = R D g = R Tentukan g o beserta domain dan range-nya! R D g = R R = R φ, sehingga g o terdeinisi a. Domain g o D = D ( ) D g o { g } { R R} = = R R = R MA Kalkulus I 8
Contoh b. Range g o R g o { y R g y = g() t t R } { y R y = t, R} =, = t = R R = R MA Kalkulus I 5 Soal Latihan Apakah o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari o g dan domain dari o g. 5 ( ) = g ( ) = ( ) = + ( ) ( ) = ( ) = ( + ) ( ) = 5 + 6 g g ( ) = + ( ) = 5 + 6 g( ) = g( ) = + MA Kalkulus I 6 Graik dari ungsi. Garis Lurus y = m + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh : y = + - MA Kalkulus I 7 9
Garis Lurus ( y y ) = m( ) Persamaan garis lurus melalui y y y y = Persamaan garis lurus melalui y = a + b + c ( ), y. Graik ungsi kuadrat (parabola) Diskriminan D = b ac (, y )& ( y ), MA Kalkulus I 8 Graik Fungsi Kuadrat b D Titikpuncak=, a a y a >0 D>0 D=0 D<0 MA Kalkulus I 9 Graik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah graik ungsi y = + + a = jadi a > 0 graik menghadap ke atas D = b ac = = - < 0 tidak menyinggung sumbu MA Kalkulus I 0 0
Graik Fungsi Kuadrat Titik potong dengan sumbu koordinat Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu tidak ada Titik potong dengan sumbu y = 0 y = dengan demikian graik melalui (0,) b D Titik puncak =, a a =, MA Kalkulus I Graik Fungsi Kuadrat Gambar graik ungsi y = + + Untuk persamaan kuadrat = ay + by + c D b Titikpuncak=, a a b Sumbu simetri = a - MA Kalkulus I Graik Fungsi Majemuk. Graik Fungsi Majemuk Contoh :. Gambarkan graik ungsi ( ) = =, 0, < 0 y=- y= MA Kalkulus I
Graik Fungsi Majemuk. Gambarkan graik ungsi ( ) = + > Graiknya terdiri dari bagian, yaitu garis y = untuk dan garis y = + untuk > + = y = y MA Kalkulus I Graik Fungsi Majemuk. Gambarkan graik dari ungsi ( ) = () terdeinisi untuk setiap kecuali, sehingga domain dari () adalah semua bilangan riil kecuali Fungsi () dapat diuraikan sebagai berikut : ( ) = ( + )( ) ( ) MA Kalkulus I 5 Graik Fungsi Majemuk atau ( ) = +, jika Range dari () adalah semua bilangan riil kecuali. Jadi graiknya terdiri dari semua titik pada garis y = + kecuali titik (,). = + y MA Kalkulus I 6
Graik Fungsi Majemuk. Gambarkan graik dari ungsi ( ) = Kita deinisikan : = + 0 < 0 y = + y = MA Kalkulus I 7 Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai y = ( ) y = ( a) graik y = ( ) y = + ( a) y = ( ) ( ) h y = + y = graik graik ( ) h graik y = ( ) y = ( ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan mengalami pergeseran sejauh a ke kiri mengalami pergeseran sejauh h ke atas, h > 0 a>0 mengalami pergeseran sejauh h ke bawah MA Kalkulus I 8 Translasi Untuk ungsi yang dinyatakan sebagai = ( y) = ( y a) graik = ( y) = + ( y a) = ( y) ( y) a = + = graik graik ( y) a graik = ( y) = ( y), a > 0 mengalami pergeseran sejauh a ke atas mengalami pergeseran sejauh a ke bawah mengalami pergeseran sejauh a ke kanan mengalami pergeseran sejauh a ke kiri MA Kalkulus I 9
Contoh Translasi. Gambarkan graik dari ungsi ( ) = + 5 ( + ) + 5 = = ( ) + y = ( ) y = digeser sejauh ke kanan y = ( ) y = MA Kalkulus I 0 Contoh Translasi y = ( ) y = ( ) + Kemudian maka akan terbentuk digeser sejauh ke atas y = ( ) + y = ( ) MA Kalkulus I Contoh Translasi. Gambarkan graik ungsi Kita lihat dahulu graik ( ) = y = y = y = : MA Kalkulus I
Contoh Translasi Graik y = y = dapat dipandang sebagai graik yang digeser ke atas sejauh satuan y = y = MA Kalkulus I Soal Latihan, Tentukan domain dan range dari ungsi di bawah ini ( ) = + ( ) = + ( ) = ( ) = 5 + 6 ( ) 5 Diketahui ( ) = g ( ) = Apakah o g terdeinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari o g dan domain dari o g. Gambarkan graik dari ungsi di bawah ini 6 7 ( ) = 8. ( ) = ( + ) ( ) = 5 + 6 9. ( ) = + MA Kalkulus I 5