Sistem Bilangan Real. Apa yang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional?

Transkripsi

1 Oleh: Endang Ded

2 Sistem Bilangan Real Apa ang dimaksud dengan bilangan real, rasional dan bilangan irasional? Bilangan Real adalah bilangan-bilangan ang merupakan gabungan dari bilangan rasional dan bilangan irasional Bilangan rasional adalah bilangan angdapat ditulis dalam bentuk p/q dengan p dan q bilangan bulat, q 0 Bilangan Irasional adalah bilangan-bilangan real ang tak dapat dinatakan sebagai p/q dengan p,q bilangan bulat dan q 0

3 Bagaimana cara membedakan antara bilangan rasional dan bilangan irasional, bila dinatakan dalam bentuk desimal? Bentuk desimal bilangan-bilangan rasional selalu berulang. Bentuk desimal bilangan-bilangan irasional selalu takberulang.

4 Bagaimana lambang baku untuk mengenali suatu himpunan bilangan? R bilangan real N bilangan asli 1,2,3,4,... Z bilangan bulat..., -2, -1, 0, 1, 2,3,4,... Q bilangan rasional

5 Bagaimna siat lapangan bilangan real? Untuk setiap,,z di R, berlaku 1. Siat komutati + = + ;. =. 2. Siat asosiati + ( + z) = ( + ) + z; (z) = ()z 3. Siat distributi kali terhadap tambah ( + z) = + z

6 4. Unsur kesatuan Terdapat unsur 0 (unsur kesatuan tambah atau unsur nol) dan 1 (unsur kesatuan kali atau unsur satuan) ang memenuhi + 0 = 0 + = z dan. 1= 1. = 5. Unsur balikan (invers) (i) Untuk setiap di R terdapat di R sehingga + (-) = 0 (- lawan dari ) (ii) Untuk setiap di R, 0 terdapat -1 di R sehingga. -1 = 1 ( -1 kebalikan dari )

7 Bagaimana deinisi pengurangan dan pembagian bilangan real? Misalkan, di R. (a) Pengurangan dari bilangan real dengan ditulis dideinisikan dengan = + (-) (b) Pembagian dari bilangan real oleh ( 0) ditulis : dideinisikan dengan :=/= -1

8 Bagaimana Deinisi Urutan pada Bilangan Real? Misalkan a,b di R. (1) a < b berarti b a positi atau b a > 0 2 a b berarti a b atau a b 3 b a berarti a b atau b a positi

9 Bagaimana Siat-siat Urutan bilangan real? Misalkan,,z,c di R. (1) Jika < dan < z, maka < z (Siat Transiti) (2) Jika <, maka + c < + c (Siat Penambahan) (3) Jika < dan c > 0, maka c <c (Siat Perkalian) (4) Jika < dan c < 0, maka c >c (Siat Perkalian)

10 Apa ang dimaksud dengan pertidaksamaan, dan himpunan penelesaian? Pertidaksamaan adalah hubungan matematika ang mengandung tanda salah satu dari <, >,,, dan suatu variabel. Semua himpunan bilangan real ang memenuhi pertidaksamaan dinamakan himpunan penelesaian. Penelesaian pertidaksamaan dapat diperoleh dengan menggunakan siat-siat urutan ang telah dibicarakan pada pasal sebelumna

11 Bagimana cara menentukan tanda pertidaksamaan? Untuk pertidaksamaan ang terdiri dari sejumlah berhingga aktor linear di ruas kiri dengan ruas kananna nol, tandana dapat ditentukan dengan cara berikut: Tetapkan tanda dari suatu selang bagianna. Bila melintasi nilai batas ang berasal dari aktor linear berpangkat bilangan ganjil, maka tanda selang bagian berikutna berubah.

12 Bila melintasi nilai batas ang berasal dari aktor linear berpangkat bilangan genap, maka tanda selang bagian berikutna tetap. Bagaimana Deinisi Nilai Mutlak? Nilai mutlak dari bilangan real, ditulis //, dideinisikan sebagai, 0, 0

13 Bagimana siat-siat nilai mutlak? 1. Untuk setiap bilangan real berlaku a. 0 c. b. d

14 2. Untuk setiap bilangan real dan berlaku a. jhj 2 dan 2 b. 3. Jika a 0, maka a. b. a jhj a a jhj a atau dan 2 a 2 a dan 2 a 2 a,

15 4. Untuk setiap bilangan real dan berlaku 5. Untuk setiap bilangan real dan berlaku d. b. c. a. 0,... b a

16 Fungsi dan Graikna Deinisi Fungsi sebagai pasangan terurut: Misalkan A dan B himpunan-himpunan tidak kosong. Suatu ungsi dari A ke B ditulis :A B adalah himpunan pasangan terurut sehingga (i) untuk setiap di A ada di B sehingga (,) di A B (ii) jika (,) di dan (,z) di, maka = z

17 Deinisi Fungsi sebagai pemetaan Misalkan A dan B himpunan-himpunan tidak kosong. Suatu ungsi dari A ke B ditulis : A B adalah suatu aturan ang memasangkan setiap di A dengan tepat satu anggota () di B.

18 Bagaimana Deinisi Fungsi Injekti, Surjekti, dan Fungsi Bijekti?.Misalkan A dan B himpunan-himpunan ang tak kosong, dan ungsi : A B (1) dikatakan ungsi satu-satu (injekti) 1 1 ditulis : A B apabila, dan, maka 1 = 2 ; 1 2 atau ekuivalen dengan pernataan: apabila,, dan dan, maka

19 (2) (3) dikatakan ungsi pada (onto) ditulis pada : A B, apabila R =B. Fungsi ini disebut juga ungsi surjekti. Jika ungsi tidak pada, maka dikata-kan ungsi ke dalam (into) kedalam dan ditulis : A B.

20 Deinisi Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil Diberikan suatu ungsi sebarang. (i) dikatakan ungsi genap apabila (ii) (-) = () untuk setiap di D. dikatakan ungsi ganjil apabila (-) = -() untuk setiap di D.

21 Deinisi Bilangan Bulat Terbesar Bilangan bulat terbesar dari R, ditulis, dideinisikan sebagai bilangan bulat terbesar ang lebih kecil atau sama dengan atau k k k 1, dengan k bilangan bulat

22 Deinisi Jumlah, Selisih, hasilkali, hasilbagi, dan Pangkat Diberikan,g adalah ungsi dan c suatu konstanta. Fungsi-ungsi +g, -g, c,.g, dan /g untuk setiap dideinisikan sebagai D Dg

23 i g g ii g g iii c c iv g. g v g g, g 0 vi n n

24 Pergeseran Graik Fungsi Diberikan graik ungsi dan a suatu bilangan positi, maka : (i) Graik ungsi = ( a) diperoleh dengan menggeser graik ke kanan sejauh a satuan. (ii) Graik ungsi = ( + a) diperoleh dengan menggeser graik ke kiri sejauh a satuan.

25 (iii) (iv) Graik ungsi = () + a diperoleh dengan menggeser graik ke atas sejauh a satuan. Graik ungsi = () a diperoleh dengan menggeser graik ke bawah sejauh a satuan.

26 Deinisi Peta dan Prapeta Diberikan = () suatu ungsi. (i) Jika, maka () disebut peta dari D R (ii) jika, maka himpunan D disebut prapeta dari, ditulis 1

27 Deinisi Peta dan Prapeta Suatu Himpunan Misalkan suatu ungsi. A D ( A) ( ) (i) Jika, maka himpunan peta dari himpunan A. (ii) Jika 1 B ( B) R A disebut, maka himpunan D ( ) B disebut prapeta dari himpunan B.

28 Deinisi Fungsi Komposisi g o Misalkan dan g adalah ungsi dengan R D. Terdapat ungsi g dari himpunan bagian D ke himpunan bagian R g. Fungsi ini disebut komposisi dari dan g, ditulis g o (dibaca bundaran g) dan persamaanna ditentukan oleh (g o )() = g( ())

29 Daerah asal g o adalah prapeta terhadap, ditulis 1 D R D go Daerah nilai g o adalah peta terhadap g, ditulis g D R Dg D R Dg g R g R D g( ) go g R g R g D go

30 Teorema Keberadaan Fungsi Invers Jika ungsi satu-satu, maka (i) (ii) ungsi invers -1 ada, dan R D 1