Materi Fungsi Linear Fungsi Variabel, koefisien, dan konstanta Variabel variabel bebas Koefisien Konstanta 1). Pengertian fungsi linier

Transkripsi

1 Materi Fungsi Linear Admin 8:32:00 PM Duhh akhirnya nongol lagi... kali ini saya akan bahas mengenai pelajaran yang paling disukai oleh hampir seluruh warga dunia :v... MATEMATIKA, ya itu namanya. materi 1. adalah tentang fungsi linear kenapa saya update tentang matematika?? karena ada temen yang request, moga aja viewers bisa banyak. AMIN :D langsung saja... Fungsi adalah hubungan matematis antara suatu variabel dengan variabel lainnya. Unsur-unsur pembentuk fungsi adalah Variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur yang sifatnya berubah-ubah dari satu keadaan ke keadaan lainnya. Variabel dapat dibedakan menjadi variabel bebas dan variabel terikat. Variabel bebas : variabel yang menjelaskan variabel lainnya. adapun variabel terikat adalah variabel yang diterangkan oleh variabel bebas. Koefisien adalah bilangan atau angka yang diletakkan tepat di depan suatu variabel, terkait dengan variabel yang bersangkutan. Konstanta sifatnya tetap dan tidak terkait dengan suatu variabel apapun 1). Pengertian fungsi linier Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.: f : x mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta

2 2). Melukis grafik fungsi linier Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0) b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1) c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus Persamaan linier juga dapat ditulis ditulis dengan simbol y = ax + b (ini untuk memudahkan kita dalam memahami gambar) Jika b bernilai positif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri bawah ke kanan atas Jika b bernilai negatif : fungsi linier digambarkan garis dari kiri atas ke kanan bawah Jika b bernilai nol : digambarkan garis yg sejajar dengan sumbu datar x Gambar Fungsi Linear

3 Apabila b bernilai negatif : Y = 10-2X maka kurva bergerak dari kiri atas ke kanan bawah Apabila b bernilai positif : Y = 2 + 2X maka kurva bergerak dari kiri bawah ke kanan atas 3). Gradien dan persamaan garis lurus a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m: m = y1-y2 atau m = y2-y1 x1-x2 x2-x1 b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah: y-y1 = x-x1 y2-y1 x2-x1 c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah: y = m (x x1 ) + y1 4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient 5). Titik potong dua buah garis Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi, metode substitusi maupun metode grafik 6). Hubungan dua buah garis Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1 Berimpit Dua garis lurus akan berimpit apabila persamaan garis yang satu merupakan kelipatan dari garis yan lain. Dengan demikian, garis akan berimpit dengan garis, jika

4 Sejajar Dua garis lurus akan sejajar apabila lereng/gradien garis yang satu sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis akan sejajar dengan garis, jika Berpotongan Dua garis lurus akan berpotongan apabila lereng/gradien garis yang satu tidak sama dengan lereng/gradien dari garis yang lain. Dengan demikian, garis akan berpotongan dengan garis, jika Tegak lurus Dua garis lurus akan saling tegak lurus apabila lereng/gradien garis yang satu merupakan kebalikan dari lereng/gradien dari garis yang lain dengan tanda yang berlawanan. Dengan demikian, garis akan tegak lurus dengan garis, jika atau

5 BAB 2 Fungsi Linier Pengertian Fungsi Linier atau fungsi berderajat satu ialah fungsi yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah pangkat satu. Sesuai namanya, setiap persamaan linier apabila digambarkan akan menghasilkan sebuah garis lurus. Bentuk umum persamaan linier adalah : y = a + bx dimana a adalah penggal garisnya pada sumbu vertikal y, sedangkan b adalah koefisien arah atau gradien garis yang bersangkutan. 2.2.Pembentukan Persamaan Linier Sebuah persamaan linier dapat dibentuk melalui beberapa macam cara, tergantung pada data yang tersedia. Berikut ini dicontohkan empat macam cara yang dapat ditempuh untuk membentuk sebuah persamaan linier, masing-masing berdasarkan ketersediaan data yang diketahui. Keempat cara yang dimaksud adalah : Cara dwi-koordinat Dari dua buah titik dapat dibentuk sebuah persamaan linier yang memenuhi kedua titik tersebut. Apabila diketahui dua buah titik A dan B dengan koordinat masing-masing (x 1,y 1 ) dan (x 2,y 2 ),maka rumus persamaan liniernya adalah : Contoh Soal: Misalkan diketahui titik A(2,3) dan titik B(6,5), maka persamaan liniernya:

6 4y -12 = 2x 4, 4y = 2x+ 8, y = 2 + 0,5 x Cara koordinat-lereng Apabila diketahui sebuah titik A dengan koordinat (x 1,y 1 ) dan lereng garisnya b, maka persamaan liniernya adalah : Contoh Soal : Andaikan diketahui bahwa titik A(2,3) dan lereng garisnya adalah 0,5 maka persamaan linier yang memenuhi kedua persamaan kedua data ini adalah Cara penggal-lereng Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggalnya pada salah satu sumbu (a) dan lereng garis (b) yang memenuhi persamaan tersebut, maka persamaan liniernya adalah : y=ax+b ; a = penggal, b = lereng Contoh Soal : Andaikan penggal dan lereng garis y =f (x) masing-masing adalah 2 dan 0,5, maka persamaan liniernya adalah : y=2+5x Cara dwi-penggal Sebuah persamaan linier dapat pula dibentuk apabila diketahui penggal garis pada masingmasing sumbu, yaitu penggal pada sumbu vertikal (ketika x = 0) dan penggal pada sumbu horisontal ( ketika y = 0), maka persamaan liniernya adalah :

7 ; a = penggal vertikal, b = penggal horisontal Contoh Soal : Andaikan penggal sebuah garis pada sumbu vertikal dan sumbu horisontal masing-masing 2 dan -4, maka persamaan liniernya adalah :

8 pengertian fungsi linear,,definisi..dan persamaan linear Fungsi Liniar 1). Pengertian fungsi linier Fungsi linier adalah suatu fungsi yang variabelnya berpangkat satu atau suatu fungsi yang grafiknya merupakan garis lurus. Oleh karena itu fungsi linier sering disebut dengan persamaan garis lurus (pgl) dengan bentuk umumnya sbb.: f : x mx + c atau f(x) = mx + c atau y = mx + c m adalah gradien / kemiringan / kecondongan dan c adalah konstanta 2). Melukis grafik fungsi linier Langkah-langkah melukis grafik fungsi linier a Tentukan titik potong dengan sumbu x, y = 0 diperoleh koordinat A( x1, 0) b Tentukan titik potong dengan sumbu y, x = 0 diperoleh koordinat B( 0, y1) c hubungkan dua titik A dan B sehingga terbentuk garis lurus 3). Gradien dan persamaan garis lurus a). Garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) memiliki gradien m: m = y1-y2 atau m = y2-y1 x1-x2 x2-x1 b. Persamaan garis lurus yang melalui titik A(x1, y1) dan B(x2, y2) adalah: y-y1 = x-x1 y2-y1 x2-x1 c. Persamaan garis lurus (pgl) yang bergradien m dan melalui titik A(x1, y1) adalah: y = m (x x1 ) + y1 4). Menentukan gradien dari persamaan garis lurus Persamaan garis lurus : ax + by = c maka gradiennya m = - Persamaan garis lurus : y = ax + b maka m = Garis yang sejajar sumbu x memiliki persamaan y = c dan m = Garis yang sejajar sumbu y memiliki persamaan x = c dan tidak memiliki gradient 5). Titik potong dua buah garis Menentukan titik potong dua buah garis lurus identik dengan menyelesaikan penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel baik dengan metode eleminiasi, metode substitusi maupun metode grafik

9 6). Hubungan dua buah garis Dua garis yang bergradien m1 dan m2 dikatakan sejajar jika m1 = m2 dan tegak lurus jika m1 x m2 = -1

10 Fungsi Kuadrat 87,626 kali dibaca Fungsi kuadrat merupakan suatu fungsi yang pangkat terbesar variabelnya adalah 2. Mirip dengan persamaan kuadrat, namun berbentuk suatu fungsi. Bentuk umumnya adalah:, dengan suatu bilangan real dan. Contoh:. Dengan demikian,,, dll. (Materi terkait: Persamaan Kuadrat, Sistem Persamaan Linear) Grafik/Kurva Fungsi Kuadrat Jika digambarkan pada koordinat Cartesius, grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola. Parabola nya terbuka ke atas jika dan terbuka ke bawah jika. Berikut ini langkah-langkah dalam menggambarkan grafik/kurva nya: Pertama, tentukan titik potong terhadap sumbu, yaitu nilai saat. Dengan demikian, nilai titik potong ini merupakan akar-akar dari persamaan kuadrat. Kemudian, tentukan titik potong terhadap sumbu, yaitu nilai saat. Setelah itu, tentukan sumbu simetri nya. Sumbu simetri merupakan garis yang membagi dua parabola menjadi sama besar. Titik potong sumbu simetri terhadap sumbu dapat dihitung dengan menggunakan rumus: atau. Terakhir, tentukan titik puncak (titik balik maksimum atau minimum) grafiknya. Titik puncak merupakan titik di mana nilai mencapai nilai maksimum atau minimum, sehingga parabola nya akan berbalik arah. Koordinat titik puncak parabola adalah:.

11 Di mana D adalah diskriminan, yaitu. Setelah mendapatkan titik-titik di atas, maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat dengan menghubungkan titik-titik diatas dengan garis yang berbentuk parabola. Agar parabolanya terlihat lebih halus (smooth), kita dapat menghitung/menentukan titik-titik lain yang dilewati oleh kurva/fungsi. Berikut ini merupakan contoh grafik fungsi kuadrat : Contoh Soal: Jika mempunyai nilai minimum, tentukanlah nilai. Jawab: Nilai minimum tersebut merupakan titik puncak. Dengan demikian, dengan menggunakan rumus titik puncak kita dapat: Titik puncak =. Dengan demikian,. Hubungan Diskriminan Grafik Fungsi Kuadrat Jika pada persamaan kuadrat nilai diskriminan dapat kita gunakan untuk mengetahui apakah akar-akarnya riil, kembar, atau tidak mempunyai akar-akar riil, pada fungsi kuadrat kita dapat menggunakan nilai diskriminan untuk mengetahui apakah grafiknya memotong sumbu di dua titik yang berlainan, menyinggung sumbu, atau tidak menyinggung ataupun memotong sumbu. Berikut ini sifat-sifatnya:.

12 Jika merupakan diskriminan suatu fungsi kuadrat, maka: Jika, maka grafik memotong sumbu pada dua titik yang berbeda Jika, maka grafik menyinggung sumbu x pada satu titik. Jika, maka grafik tidak memotong sumbu. Menyusun Fungsi Kuadrat Baru Kita dapat menyusun fungsi kuadrat baru jika salah satu dari ketiga informasi ini diketahui, yaitu: 1. Jika diketahui melewati tiga titik, yaitu, dan, maka bentuk fungsinya dapat diketahui dengan mensubstitusikan nilai koordinat ketiga titik tersebut ke persamaan. Dengan demikian, akan didapat tiga persamaan linear dalam, dan. Selanjutnya, tentukan nilai, dan dengan menggunakan metode eliminasi/substitusi. 2. Jika diketahui memotong sumbu di titik dan, serta melalui satu titik lain (, maka bentuk fungsinya adalah:. Titik ketiga, yaitu digunakan untuk mendapatkan nilai pada bentuk fungsi di atas. 3. Jika diketahui melalui titik puncak dan satu titik lain (, maka bentuk fungsinya adalah. Contoh: Tentukanlah bentuk fungsi kuadrat yang memotong sumbu pada titik dan, serta melalui titik A. Jawab: Karena diketahui titik potong terhadap sumbu dan melewati satu titik lain, maka kita dapat menggunakan bentuk (2) di atas, yaitu. Dengan demikian:. Karena melewati titik., maka:.

13 Jadi, bentuk fungsi kuadrat nya adalah. Fungsi Rasional (Rational Functions) 1 November 2010 msihabudin Tinggalkan komentar Go to comments Bentuk umum Bentuk umum fungsi rasional adalah dengan dan adalah fungsi polynomial dan Fungsi rasional dibagi menjadi dua yaitu: 1.Fungsi rasional sejati yaitu jika derajat lebih rendah dari derajat Contoh: Fungsi rasional yang dirumuskan dengan adalah fungsi rasional sejati. Dalam hal ini derajat pembilang adalah satu dan derajat penyebut adalah 2. 2.Fungsi rasional tidak sejati yaitu jika derajat lebih tinggi atau sama dengan derajat Contoh: Fungsi rasional yang dirumuskan dengan adalah fungsi rasional tidak sejati. Dalam hal ini derajat dari pembilang adalah 4 derajat penyebut adalah 2. Grafik fungsi rasional tidak memiliki bentuk yang khas seperti fungsi linier atau fungsi kuadrat karena sangat tergantung pada fungsi pembilang dan fungsi penyebutnya. Grafik demikian agak sulit dan membutuhkan waktu untuk menggambarnya. Contoh: Gambarkan grafik fungsi Penyelesaian : fungsi tak terdefinisi pada Untuk x mendekati dua dari kanan nilai penyebutnya mendekati nol dan berharga positip, sehingga berharga positip dan sangat besar. Jika x semakin lebih besar dari dua maka menjadi semakin kecil. Selanjutnya jika x mendekati dua dari kiri maka penyebut mendekati nol dan bertanda negatip, sehingga berharga kecil sekali dan negatip. Jika x semakin lebih kecil dari dua maka Dari analisa tersebut maka grafik dari fungsi akan semakin besar dan tetap bertanda negatip. adalah seperti di bawah ini.

14 2.Gambarkan grafik fungsi rasioanal Penyelesaian: Dari rumusan fungsi dapat dipahami bahwa nilai : a.nilai terdefinisi pada b.sama dengan nol jika c.jika t berharga positip sangat besar maka d.jika t berharga negatip sangat kecil maka Dengan demikian grafik fungsi mendekati nol dan berharga positip; mendekati nol dan berharga negatip. dapat digambarkan sketsanya dibuat latihan. 3.Gambarkan grafik fungsi rasioanal Penyelesaian: Dari rumusan fungsi dapat dipahami bahwa nilai : a.terdefinisi untuk b.sama dengan nol jika c.sama dengan 1 jika d.jika x berharga positip sangat besar maka mendekati 1 dan selalu lebih besar dari 1; e.jika x berharga negatip sangat kecil maka mendekati 1 dan selalu lebih keci dari 1. Dengan demikian grafik fungsi dapat digambarkan sketsanya seperti di bawah ini.

15 Pengertian Fungsi Rasional dan Asimtot Pengertian fungsi rasional adalah fungsi dengan bentuk umum : Dimana p(x) dan d(x) adalah polinomial dengan syarat d(x) 0. Daerah asal/domain dari V(x) adalah x untuk semua bilangan real diluar pembuat nol d(x) (akar akar dari fungsi d). Contoh fungsi rasional yang paling sederhana adalah f(x) = 1/x dan f(x) = 1/x², dimana kedua fungsi tersebut mempunyai pembilang sebuah kontstanta dan penyebut berupa polinomial. Karena pembentuk nol/ akar persamaan penyebut ( d(x)) adalah nol, maka domain dari fungsi tersebut adalah x anggota bilangan real dimana x 0. Untuk contoh yang lebih rumit bisa saja diambil misalkan fungsi f(x) = (3x-5)/ (2x+1). Untuk ini domainnya adalah x 1/2. Karena 1/2 adalah pembuat nol dari d (x). Coba perhatikan kembali fungsi f(x) = 1/x, fungsi tersebut dinamakan fungsi kebalikan. Sebab, jika diambil nilai x sembarang - selain pembuat nol. Maka akan diperoleh kebalikan dari nilai itu. Ini artinya semakin besar nilai x maka nilai fungsi akan semakin kecil. Hal yang berkebalikan itulah yang menjadi sebutan,fungsi terbalik. Jika digambarkan maka diperoleh gambar seperti berikut. Jika diperhatikan gambar diatas, pada titik x=0 hasilnya jika di subtitusikan pada fungsi 1/x hasilnya tak hingga, artinya tidak ada titik (0,...) yang dilalui oleh grafik. Salah satu keunikan yang di dapat adalah untuk bagian kurva di kuadran x menuju tak berhingga maka nilai f(x) mendekati nol. Kurva tersebut mengindikasikan bahwa grafik adalah fungsi ganjil.

16 Sekarang bagaimana dengan f(x)= 1/x². Jika digambarkan akan diperoleh seperti di bawah ini. Gambar yang diperoleh hampir sama dengan kurva 1/x. Dari bentuk seperti itulah bisa didefenisikan sifat asimtot, dimana y=0 adalah asimtot horizontal dari fungsi f(x) = 1/x dan f(x) = 1/x². Bisa disimpulkan. Asimtot Horizontal adalah jika diberikan suatu konstanta k, garis y = k dari fungsi V(x) jika x, menyebabkan V(x) mendekati k: x, V(x) k atau x, V(x) k. Sementara asimtot vertikal bisa didefenisikan dalam kalimat matematis, Asimtot Vertikal adalah jika diberikan suatu konstanta h, garis x = h, untuk fungsi V jika x mendekati h, V(x) akan ber tambah atau ber kurang tanpa batas: ketika x h+, V(x) ± atau ketika x h, V(x) ±. Jadi asimtot untuk f(x) = 1/x adalah y = 0 dan x = 0 untuk asimtot vertikal. Lebih sederhananya bisa dihitung dengan menggunakan rumus asimtot di bawah ini. Pada gambar (a) di bawah ini menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = 1, yang menggambarkan grafik f(x) sebagai translasi grafik y = 1/x ke atas sejauh 1 satuan. Gambar (b) menunjukkan garis asimtot horizontal pada y = 2, yang menggambarkan grafik g(x) sebagai pergeseran grafik y = 1/x² ke bawah sejauh 2 satuan. Sederhananya bila berikan sebuah persaman maka bentuklah persamaan fungsi tersebut dalam bentuk umum rumus asimtot. Kemudian tentukan nilai k dan h

17 masing masing sesuai rumus. Maka nilai k dan h tersebut adalah asimtot-nya. Untuk lebih lengkap bisa dilanjutkan membaca :