Sistem Bilangan Ri l

Transkripsi

1 Sistem Bilangan Riil

2 Sistem bilangan N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real N : 1,,,. Z :,-,-1,0,1,,.. Q : a q =, a, b Z, b 0 b R = Q Irasional Contoh Bil Irasional,,π MA 1114 Kalkulus 1

3 Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) π Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang MA 1114 Kalkulus 1

4 Selang Jenis-jenis selang Himpunan selang < a (-, a ) { } { } a (-, a ] { } < ( ) a < b { } a b a, b [ ] { } a, b > b ( b, ) { } b [ b, ) { R } (, ) Grafik a a a a b b b b MA 1114 Kalkulus 1 4

5 Sifat sifat bilangan real Sifat-sifat urutan : q Trikotomi Jika dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari < y atau > y atau = y q Ketransitifan Jika < y dan y < z maka < z q Perkalian Misalkan z bilangan positif dan < y maka z < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka z > yz MA 1114 Kalkulus 1 5

6 Pertidaksamaan l Bentuk umum pertidaksamaan : A B ( ) ( ) < D( ) E( ) l dengan A(), B(), D(), E() adalah suku banyak (polinom) dan B() 0, E() 0 MA 1114 Kalkulus 1 6

7 Pertidaksamaan l Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP) l Cara menentukan HP : 1. Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi : P( ) Q( ) < 0 MA 1114 Kalkulus 1 7

8 Pertidaksamaan. Faktorkan P() dan Q() menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat. Tentukan titik pemecah (pembuat nol faktor linear). Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul MA 1114 Kalkulus 1 8

9 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian Hp = [ 4,8] 4 8 MA 1114 Kalkulus 1 9

10 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian < < 4 8 > 4 4 < 8 1 < 8 Hp 1 =, 1 MA 1114 Kalkulus 1 10

11 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5 < 0 ( + 1)( ) < 0 Titik Pemecah (TP) : 1 = dan = Hp = 1, 1 MA 1114 Kalkulus 1 11

12 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian dan dan dan dan dan 0 9 MA 1114 Kalkulus 1 1

13 10 9 Hp =, [ 0, ) Dari gambar tersebut dapat disimpulkan : Hp = 10 0, 9 MA 1114 Kalkulus 1 1

14 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian 5. 1 < < ( 1) ( + ) ( + 1)( 1) ( + 1)( 1) TP : -1, 1, < 0 < Hp = ( ) MA 1114 Kalkulus , 1,

15 MA 1114 Kalkulus 1 15 Contoh : Tentukan Himpunan Penyelesaian ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

16 Untuk pembilang + + mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP :,- Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah Hp = (, ) (, ) MA 1114 Kalkulus 1 16

17 Pertidaksamaan dgn nilai mutlak l Definisi : =,, < 0 0 Arti Geometris : Jarak dari ke titik 0(asal) MA 1114 Kalkulus 1 17

18 MA 1114 Kalkulus 1 18 Pertidaksamaan nilai mutlak l Sifat-sifat nilai mutlak: y y = = a a a a 0, a a a 0, atau a y y 6. Ketaksamaan segitiga y y y y

19 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 5 < Kita bisa menggunakan sifat ke-. < 5 < 5 < < + 5 < < 8 1 < < 4 1,4 Hp = ( ) 1 4 MA 1114 Kalkulus 1 19

20 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian. 5 < Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif. ( 5) < < < < ( )( 4) < 0 TP : 1, Hp = ( 1,4) MA 1114 Kalkulus 1 0

21 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian pake definisi Kita bisa menggunakan sifat 4 ( + ) ( 4 + 5) TP :, MA 1114 Kalkulus 1 1

22 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : Hp =, (, 1] MA 1114 Kalkulus 1

23 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian atau atau 9 10 atau 18 Hp = [ 10, ) (, 18] MA 1114 Kalkulus 1

24 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Kita definisikan dahulu : = < = 1 1 < 1 Jadi kita mempunyai interval : I II III, 1 ( ) [ 1,) [, ) -1 MA 1114 Kalkulus 1 4

25 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian < 1 (, 1) I. Untuk interval atau + 1 ( ) ( 1) atau, 9 MA 1114 Kalkulus 1 5

26 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp1 = 9, (, 1) -1 9 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (, 1) sehingga Hp1 = (, 1) MA 1114 Kalkulus 1 6

27 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval 1 < atau [ 1,) + 1 ( ) ( + 1) atau, MA 1114 Kalkulus 1 7

28 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 4 Jadi Hp =, [ 1,) Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 7 1, 7 4 sehingga Hp = 1, 4 MA 1114 Kalkulus 1 8

29 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval + 1 ( ) ( + 1) atau atau [, ) 5, MA 1114 Kalkulus 1 9

30 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5 Jadi Hp =, [, ) 5 Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah 5 sehingga, Hp = 5, MA 1114 Kalkulus 1 0

31 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 Hp Hp ( ) 7 5 Hp =, 1 1,, 4 Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan MA 1114 Kalkulus 1 1

32 Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp = 7 5,, 4 MA 1114 Kalkulus 1

33 Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan MA 1114 Kalkulus 1